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线性代数模块 - Linear Algebra Module

Vorcyc.Mathematics.LinearAlgebra 命名空间包含多种线性代数类和结构，包括 BasisTransformation、LinearEquationSolver、MatrixFp32、Matrix<T>、MatrixDecomposition、MatrixDiagnostics、MatrixHelper、MatrixOperations、Quaternion<T>、TensorFp32、Tensor<T>、Tensor4D<T>、TensorOps 和 VectorSpan。数学向量以 ReadOnlySpan<T> / Span<T> / T[] 表示，由 VectorSpan 提供点积、范数等运算，避免与 BCL 的 System.Numerics.Vector<T>（SIMD）命名冲突。4 维数据由布局中性的 Tensor4D<T> 存储；深度学习模块中的 BatchTensor<T>（NHWC）在其上封装 batch 语义。

以下所有类型都位于命名空间：Vorcyc.Mathematics.LinearAlgebra

📒目录

🔖 Vorcyc.Mathematics.LinearAlgebra.BasisTransformation 类
🔖 Vorcyc.Mathematics.LinearAlgebra.LinearEquationSolver 类
🔖 Vorcyc.Mathematics.LinearAlgebra.MatrixFp32 类
🔖 Vorcyc.Mathematics.LinearAlgebra.MatrixFp32<T> 类
🔖 Vorcyc.Mathematics.LinearAlgebra.MatrixHelper 类
🔖 Vorcyc.Mathematics.LinearAlgebra.MatrixOperations 类
🔖 Vorcyc.Mathematics.LinearAlgebra.Quaternion<T> 结构
🔖 Vorcyc.Mathematics.LinearAlgebra.TensorFp32 类
🔖 Vorcyc.Mathematics.LinearAlgebra.TensorFp32<T> 类
🔖 Vorcyc.Mathematics.LinearAlgebra.VectorSpan 类
🔖 Vorcyc.Mathematics.LinearAlgebra.MatrixDecomposition 类
🔖 Vorcyc.Mathematics.LinearAlgebra.MatrixDiagnostics 类
🔖 Vorcyc.Mathematics.LinearAlgebra.Tensor4D<T> 类
🔖 Vorcyc.Mathematics.LinearAlgebra.TensorOps 类

Vorcyc.Mathematics.LinearAlgebra.BasisTransformation 类

Vorcyc.Mathematics.LinearAlgebra.BasisTransformation 是一个静态类，提供基变换的方法。

方法清单及说明

1. Transform

public static T[] Transform<T>(T[] vector, Matrix<T> fromBasis, Matrix<T> toBasis) where T : struct, IFloatingPointIeee754<T>
- 将向量从一个基变换到另一个基。
- 参数:
  - vector: 要变换的向量。
  - fromBasis: 原基。
  - toBasis: 目标基。
- 返回值: 变换后的向量。
- 异常:
  - ArgumentException: 当基的维度不匹配时抛出。

代码示例

以下是一个使用 BasisTransformation 类中 Transform 方法的示例，并在示例中加入了注释：

using System; 
using Vorcyc.Mathematics.LinearAlgebra;

public class BasisTransformationExample 
{ 
    public static void Main() 
    { 
        // 定义向量和基矩阵 
        double[] vector = { 1.0, 2.0, 3.0 };
        Matrix<double> fromBasis = new Matrix<double>(new double[,] { { 1.0, 0.0, 0.0 }, { 0.0, 1.0, 0.0 }, { 0.0, 0.0, 1.0 } });
        Matrix<double> toBasis = new Matrix<double>(new double[,] { { 0.0, 1.0, 0.0 }, { 1.0, 0.0, 0.0 }, { 0.0, 0.0, 1.0 } });
    
        // 进行基变换
        double[] transformedVector = BasisTransformation.Transform(vector, fromBasis, toBasis);

        // 输出变换后的向量
        Console.WriteLine("Transformed Vector: " + string.Join(", ", transformedVector));
    }
}

Vorcyc.Mathematics.LinearAlgebra.LinearEquationSolver 类

Vorcyc.Mathematics.LinearAlgebra.LinearEquationSolver 是一个静态类，提供求解线性方程组的方法。

方法清单及说明

1. GaussianEliminationSolve

public static T[] GaussianEliminationSolve<T>(Matrix<T> A, T[] b) where T : struct, IFloatingPointIeee754<T>
- 使用高斯消元法求解线性方程组 Ax = b。
- 参数:
  - A: 系数矩阵 A。
  - b: 常数向量 b。
- 返回值: 解向量 x。
- 异常:
  - ArgumentException: 当矩阵 A 不是方阵或 A 的行数与向量 b 的维度不匹配时抛出。
public static void GaussianEliminationSolve<T>(Matrix<T> A, ReadOnlySpan<T> b, Span<T> x, T[,]? augmentedWorkspace = null) where T : struct, IFloatingPointIeee754<T>
- 原地求解 Ax = b，将结果写入 x；可选传入 augmentedWorkspace（n×(n+1)）以避免重复分配增广矩阵。

2. LUSolve

public static T[] LUSolve<T>(Matrix<T> A, T[] b) where T : struct, IFloatingPointIeee754<T>
- 使用 LU 分解法求解线性方程组 Ax = b。
- 参数:
  - A: 系数矩阵 A。
  - b: 常数向量 b。
- 返回值: 解向量 x。
- 异常:
  - ArgumentException: 当矩阵 A 不是方阵或 A 的行数与向量 b 的维度不匹配时抛出。

3. JacobiSolve

public static T[] JacobiSolve<T>(Matrix<T> A, T[] b, T tolerance, int maxIterations = 1000) where T : struct, IFloatingPointIeee754<T>
- 使用 Jacobi 法求解线性方程组 Ax = b。
- 参数:
  - A: 系数矩阵 A。
  - b: 常数向量 b。
  - tolerance: 收敛容差。
  - maxIterations: 最大迭代次数。
- 返回值: 解向量 x。
- 异常:
  - ArgumentException: 当矩阵 A 不是方阵或 A 的行数与向量 b 的维度不匹配时抛出。

4. GaussSeidelSolve

public static T[] GaussSeidelSolve<T>(Matrix<T> A, T[] b, T tolerance, int maxIterations = 1000) where T : struct, IFloatingPointIeee754<T>
- 使用 Gauss-Seidel 法求解线性方程组 Ax = b。
- 参数:
  - A: 系数矩阵 A。
  - b: 常数向量 b。
  - tolerance: 收敛容差。
  - maxIterations: 最大迭代次数。
- 返回值: 解向量 x。
- 异常:
  - ArgumentException: 当矩阵 A 不是方阵或 A 的行数与向量 b 的维度不匹配时抛出。

5. CholeskySolve

public static T[] CholeskySolve<T>(Matrix<T> A, T[] b) — 对称正定方程组 Ax = b（A = LLᵀ）

6. SolveLeastSquares / SolveRidgeLeastSquares

SolveLeastSquares<T>(Matrix<T> designMatrix, ReadOnlySpan<T> y) — min ‖Ax − y‖²；法方程优先，病态时自动 SVD
SolveRidgeLeastSquares<T>(Matrix<T> designMatrix, ReadOnlySpan<T> y, T lambda, bool regularizeIntercept = true) — 岭回归

7. SolveLeastSquaresSvd

SolveLeastSquaresSvd<T>(Matrix<T> designMatrix, ReadOnlySpan<T> y, T? tolerance = null) — 薄 SVD 伪逆，适用于秩亏设计矩阵

代码示例

以下是一个使用 LinearEquationSolver 类中多个方法的示例，并在示例中加入了注释：

using System; using Vorcyc.Mathematics.LinearAlgebra;

public class LinearEquationSolverExample 
{
    public static void Main() 
    { 
        Matrix<double> A = new Matrix<double>(new double[,] { { 2.0, -1.0, 0.0 }, { -1.0, 2.0, -1.0 }, { 0.0, -1.0, 2.0 } });
        double[] b = { 1.0, 0.0, 1.0 };

        // 使用高斯消元法求解
        double[] x1 = LinearEquationSolver.GaussianEliminationSolve(A, b);
        Console.WriteLine("Gaussian Elimination Solution: " + string.Join(", ", x1));

        // 使用 LU 分解法求解
        double[] x2 = LinearEquationSolver.LUSolve(A, b);
        Console.WriteLine("LU Decomposition Solution: " + string.Join(", ", x2));

        // 使用 Jacobi 法求解
        double[] x3 = LinearEquationSolver.JacobiSolve(A, b, 1e-10);
        Console.WriteLine("Jacobi Method Solution: " + string.Join(", ", x3));

        // 使用 Gauss-Seidel 法求解
        double[] x4 = LinearEquationSolver.GaussSeidelSolve(A, b, 1e-10);
        Console.WriteLine("Gauss-Seidel Method Solution: " + string.Join(", ", x4));
    }

}

Vorcyc.Mathematics.LinearAlgebra.MatrixFp32 类

Vorcyc.Mathematics.LinearAlgebra.MatrixFp32 是一个表示二维矩阵的类，提供了矩阵的基本操作和运算方法。

属性

1. Rows

public int Rows { get; }
- 获取矩阵的行数。

2. Columns

public int Columns { get; }
- 获取矩阵的列数。

构造器

1. MatrixFp32(int rows, int columns)

public MatrixFp32(int rows, int columns)
- 使用指定的行数和列数构造一个矩阵。
- 参数:
  - rows: 行数。
  - columns: 列数。

2. MatrixFp32(int size)

public MatrixFp32(int size)
- 使用指定的大小构造一个方阵。
- 参数:
  - size: 矩阵的大小（行数和列数）。

3. MatrixFp32(float[,] initialValues)

public MatrixFp32(float[,] initialValues)
- 使用二维数组构造一个矩阵。
- 参数:
  - initialValues: 二维数组形式的初始值。

索引器

1. this[int row, int column]

public ref float this[int row, int column]
- 获取或设置指定位置的元素。
- 参数:
  - row: 行索引。
  - column: 列索引。
- 返回值: 指定位置的元素。

隐式转换

1. 隐式转换为二维数组

public static implicit operator float[,](MatrixFp32 matrix)
- 将矩阵隐式转换为二维数组。
- 参数:
  - matrix: 要转换的矩阵。

2. 隐式转换为锯齿数组

public static implicit operator float[][](MatrixFp32 matrix)
- 将矩阵隐式转换为锯齿数组。
- 参数:
  - matrix: 要转换的矩阵。

3. 隐式转换为矩阵

public static implicit operator MatrixFp32(float[][] values)
- 将锯齿数组隐式转换为矩阵。
- 参数:
  - values: 要转换的锯齿数组。
public static implicit operator MatrixFp32(float[,] values)
- 将二维数组隐式转换为矩阵。
- 参数:
  - values: 要转换的二维数组。

运算符

1. 矩阵加法

public static MatrixFp32 operator +(MatrixFp32 a, MatrixFp32 b)
- 矩阵加法运算符。
- 参数:
  - a: 第一个矩阵。
  - b: 第二个矩阵。
- 返回值: 两个矩阵的和。

2. 矩阵减法

public static MatrixFp32 operator -(MatrixFp32 a, MatrixFp32 b)
- 矩阵减法运算符。
- 参数:
  - a: 第一个矩阵。
  - b: 第二个矩阵。
- 返回值: 两个矩阵的差。

3. 矩阵乘法

public static MatrixFp32 operator *(MatrixFp32 a, MatrixFp32 b)
- 矩阵乘法运算符。
- 参数:
  - a: 第一个矩阵。
  - b: 第二个矩阵。
- 返回值: 两个矩阵的积。

4. 矩阵与标量乘法

public static MatrixFp32 operator *(MatrixFp32 matrix, float scalar)
- 矩阵与标量乘法运算符。
- 参数:
  - matrix: 矩阵。
  - scalar: 标量。
- 返回值: 矩阵与标量的积。

5. 矩阵与标量除法

public static MatrixFp32 operator /(MatrixFp32 matrix, float scalar)
- 矩阵与标量除法运算符。
- 参数:
  - matrix: 矩阵。
  - scalar: 标量。
- 返回值: 矩阵与标量的商。

方法

1. GetRow

public Span<float> GetRow(int rowIndex)
- 获取指定行的元素。
- 参数:
  - rowIndex: 行索引。
- 返回值: 指定行的元素的 Span。

2. GetColumn

public ReadOnlySpan<float> GetColumn(int columnIndex)
- 获取指定列的元素。
- 参数:
  - columnIndex: 列索引。
- 返回值: 指定列的元素的 ReadOnlySpan。

3. Transpose

public MatrixFp32 Transpose()
- 矩阵转置。
- 返回值: 转置后的矩阵。

4. Determinant

public float Determinant()
- 计算矩阵的行列式。
- 返回值: 矩阵的行列式。

5. Inverse

public MatrixFp32 Inverse()
- 计算矩阵的逆矩阵。
- 返回值: 矩阵的逆矩阵。

6. LUDecomposition

public void LUDecomposition(out MatrixFp32 L, out MatrixFp32 U, out int[] P)
- LU 分解（带部分主元选择）。
- 参数:
  - L: 输出的下三角矩阵。
  - U: 输出的上三角矩阵。
  - P: 输出的置换向量，表示行交换顺序。

7. QRDecomposition

public void QRDecomposition(out MatrixFp32 Q, out MatrixFp32 R)
- QR 分解。
- 参数:
  - Q: 输出的正交矩阵。
  - R: 输出的上三角矩阵。

8. CholeskyDecomposition

public MatrixFp32 CholeskyDecomposition()
- Cholesky 分解。
- 返回值: 下三角矩阵。

9. Eye

public static MatrixFp32 Eye(int size)
- 创建一个单位矩阵。
- 参数:
  - size: 矩阵的大小（行数和列数）。
- 返回值: 单位矩阵。

10. Companion

public static MatrixFp32 Companion(float[] a)
- 创建一个伴随矩阵。
- 参数:
  - a: 输入数组，表示多项式的系数。
- 返回值: 伴随矩阵。
- 异常:
  - ArgumentException: 当输入数组的长度小于 2 或第一个系数为零时抛出。

11. FillRandom

public void FillRandom()
- 用随机数填充矩阵。

12. Clone

public MatrixFp32 Clone()
- 创建矩阵的深拷贝。
- 返回值: 矩阵的深拷贝。

13. ToString

public override string ToString()
- 返回矩阵的字符串表示形式。
- 返回值: 矩阵的字符串表示形式。

代码示例

以下是一个使用 MatrixFp32 类中多个方法的示例，并在示例中加入了注释：

using System; 
using Vorcyc.Mathematics.LinearAlgebra;

public class MatrixExample 
{ 
    public static void Main() 
    { 
        // 使用二维数组构造矩阵 
        MatrixFp32 matrixA = new MatrixFp32(new float[,] { { 1.0f, 2.0f, 3.0f }, { 4.0f, 5.0f, 6.0f }, { 7.0f, 8.0f, 9.0f } });

        // 使用行数和列数构造矩阵
        MatrixFp32 matrixB = new MatrixFp32(3, 3);
        matrixB.FillRandom();

        // 矩阵加法
        MatrixFp32 sum = matrixA + matrixB;
        Console.WriteLine("Sum of matrices:\n" + sum);

        // 矩阵减法
        MatrixFp32 difference = matrixA - matrixB;
        Console.WriteLine("Difference of matrices:\n" + difference);

        // 矩阵乘法
        MatrixFp32 product = matrixA * matrixB;
        Console.WriteLine("Product of matrices:\n" + product);

        // 矩阵转置
        MatrixFp32 transpose = matrixA.Transpose();
        Console.WriteLine("Transpose of matrixA:\n" + transpose);

        // 计算行列式
        float determinant = matrixA.Determinant();
        Console.WriteLine("Determinant of matrixA: " + determinant);

        // 计算逆矩阵
        MatrixFp32 inverse = matrixA.Inverse();
        Console.WriteLine("Inverse of matrixA:\n" + inverse);

        // LU 分解
        matrixA.LUDecomposition(out MatrixFp32 L, out MatrixFp32 U, out int[] P);
        Console.WriteLine("L matrix from LU decomposition:\n" + L);
        Console.WriteLine("U matrix from LU decomposition:\n" + U);

        // QR 分解
        matrixA.QRDecomposition(out MatrixFp32 Q, out MatrixFp32 R);
        Console.WriteLine("Q matrix from QR decomposition:\n" + Q);
        Console.WriteLine("R matrix from QR decomposition:\n" + R);

        // Cholesky 分解
        MatrixFp32 cholesky = matrixA.CholeskyDecomposition();
        Console.WriteLine("Cholesky decomposition of matrixA:\n" + cholesky);

        // 创建单位矩阵
        MatrixFp32 identity = MatrixFp32.Eye(3);
        Console.WriteLine("Identity matrix:\n" + identity);

        // 创建伴随矩阵
        MatrixFp32 companion = MatrixFp32.Companion(new float[] { 1.0f, -6.0f, 11.0f, -6.0f });
        Console.WriteLine("Companion matrix:\n" + companion);

        // 矩阵深拷贝
        MatrixFp32 clone = matrixA.Clone();
        Console.WriteLine("Clone of matrixA:\n" + clone);
    }
}

Vorcyc.Mathematics.LinearAlgebra.MatrixFp32<T> 类

Vorcyc.Mathematics.LinearAlgebra.MatrixFp32<T> 是一个表示二维矩阵的泛型类，提供了矩阵的基本操作和运算方法。

属性

1. Rows

public int Rows { get; }
- 获取矩阵的行数。

2. Columns

public int Columns { get; }
- 获取矩阵的列数。

构造器

1. MatrixFp32(int rows, int columns)

public MatrixFp32(int rows, int columns)
- 使用指定的行数和列数构造一个矩阵。
- 参数:
  - rows: 行数。
  - columns: 列数。

2. MatrixFp32(int size)

public MatrixFp32(int size)
- 使用指定的大小构造一个方阵。
- 参数:
  - size: 矩阵的大小（行数和列数）。

3. MatrixFp32(T[,] initialValues)

public MatrixFp32(T[,] initialValues)
- 使用二维数组构造一个矩阵。
- 参数:
  - initialValues: 二维数组形式的初始值。

索引器

1. this[int row, int column]

public ref T this[int row, int column]
- 获取或设置指定位置的元素。
- 参数:
  - row: 行索引。
  - column: 列索引。
- 返回值: 指定位置的元素。

隐式转换

1. 隐式转换为二维数组

public static implicit operator T[,](Matrix<T> matrix)
- 将矩阵隐式转换为二维数组。
- 参数:
  - matrix: 要转换的矩阵。

2. 隐式转换为锯齿数组

public static implicit operator T[][](Matrix<T> matrix)
- 将矩阵隐式转换为锯齿数组。
- 参数:
  - matrix: 要转换的矩阵。

3. 隐式转换为矩阵

public static implicit operator Matrix<T>(T[][] values)
- 将锯齿数组隐式转换为矩阵。
- 参数:
  - values: 要转换的锯齿数组。
public static implicit operator Matrix<T>(T[,] values)
- 将二维数组隐式转换为矩阵。
- 参数:
  - values: 要转换的二维数组。

运算符

1. 矩阵加法

public static Matrix<T> operator +(Matrix<T> a, Matrix<T> b)
- 矩阵加法运算符。
- 参数:
  - a: 第一个矩阵。
  - b: 第二个矩阵。
- 返回值: 两个矩阵的和。

2. 矩阵减法

public static Matrix<T> operator -(Matrix<T> a, Matrix<T> b)
- 矩阵减法运算符。
- 参数:
  - a: 第一个矩阵。
  - b: 第二个矩阵。
- 返回值: 两个矩阵的差。

3. 矩阵乘法

public static Matrix<T> operator *(Matrix<T> a, Matrix<T> b)
- 矩阵乘法运算符。
- 参数:
  - a: 第一个矩阵。
  - b: 第二个矩阵。
- 返回值: 两个矩阵的积。

4. 矩阵与标量乘法

public static Matrix<T> operator *(Matrix<T> matrix, T scalar)
- 矩阵与标量乘法运算符。
- 参数:
  - matrix: 矩阵。
  - scalar: 标量。
- 返回值: 矩阵与标量的积。

5. 矩阵与标量除法

public static Matrix<T> operator /(Matrix<T> matrix, T scalar)
- 矩阵与标量除法运算符。
- 参数:
  - matrix: 矩阵。
  - scalar: 标量。
- 返回值: 矩阵与标量的商。

方法

1. GetRow

public Span<T> GetRow(int rowIndex)
- 获取指定行的元素。
- 参数:
  - rowIndex: 行索引。
- 返回值: 指定行的元素的 Span。

2. GetColumn

public T[] GetColumn(int columnIndex)
- 获取指定列的元素。
- 参数:
  - columnIndex: 列索引。
- 返回值: 指定列的元素的 T[]。

3. Transpose

public Matrix<T> Transpose()
- 矩阵转置。
- 返回值: 转置后的矩阵。

4. Determinant

public T Determinant()
- 计算矩阵的行列式。
- 返回值: 矩阵的行列式。

5. Inverse

public Matrix<T> Inverse()
- 计算矩阵的逆矩阵。
- 返回值: 矩阵的逆矩阵。

6. LUDecomposition

public void LUDecomposition(out Matrix<T> L, out Matrix<T> U, out int[] P)
- LU 分解（带部分主元选择）。
- 参数:
  - L: 输出的下三角矩阵。
  - U: 输出的上三角矩阵。
  - P: 输出的置换向量，表示行交换顺序。

7. QRDecomposition

public void QRDecomposition(out Matrix<T> Q, out Matrix<T> R)
- QR 分解。
- 参数:
  - Q: 输出的正交矩阵。
  - R: 输出的上三角矩阵。

8. CholeskyDecomposition

public Matrix<T> CholeskyDecomposition()
- Cholesky 分解。
- 返回值: 下三角矩阵。

9. Eye

public static Matrix<T> Eye(int size)
- 创建一个单位矩阵。
- 参数:
  - size: 矩阵的大小（行数和列数）。
- 返回值: 单位矩阵。

10. Companion

public static Matrix<T> Companion(T[] a)
- 创建一个伴随矩阵。
- 参数:
  - a: 输入数组，表示多项式的系数。
- 返回值: 伴随矩阵。
- 异常:
  - ArgumentException: 当输入数组的长度小于 2 或第一个系数为零时抛出。

11. FillRandom

public void FillRandom()
- 用随机数填充矩阵。

12. Clone

public Matrix<T> Clone()
- 创建矩阵的深拷贝。
- 返回值: 矩阵的深拷贝。

13. ToString

public override string ToString()
- 返回矩阵的字符串表示形式。
- 返回值: 矩阵的字符串表示形式。

代码示例

以下是一个使用 MatrixFp32<T> 类中多个方法的示例，并在示例中加入了注释：

using System; 
using Vorcyc.Mathematics.LinearAlgebra;

public class MatrixExample 
{ 
    public static void Main() 
    { 
        // 使用二维数组构造矩阵 
        Matrix<double> matrixA = new Matrix<double>(new double[,] { { 1.0, 2.0, 3.0 }, { 4.0, 5.0, 6.0 }, { 7.0, 8.0, 9.0 } });

        // 使用行数和列数构造矩阵
        Matrix<double> matrixB = new Matrix<double>(3, 3);
        matrixB.FillRandom();

        // 矩阵加法
        Matrix<double> sum = matrixA + matrixB;
        Console.WriteLine("Sum of matrices:\n" + sum);

        // 矩阵减法
        Matrix<double> difference = matrixA - matrixB;
        Console.WriteLine("Difference of matrices:\n" + difference);

        // 矩阵乘法
        Matrix<double> product = matrixA * matrixB;
        Console.WriteLine("Product of matrices:\n" + product);

        // 矩阵转置
        Matrix<double> transpose = matrixA.Transpose();
        Console.WriteLine("Transpose of matrixA:\n" + transpose);

        // 计算行列式
        double determinant = matrixA.Determinant();
        Console.WriteLine("Determinant of matrixA: " + determinant);

        // 计算逆矩阵
        Matrix<double> inverse = matrixA.Inverse();
        Console.WriteLine("Inverse of matrixA:\n" + inverse);

        // LU 分解
        matrixA.LUDecomposition(out Matrix<double> L, out Matrix<double> U, out int[] P);
        Console.WriteLine("L matrix from LU decomposition:\n" + L);
        Console.WriteLine("U matrix from LU decomposition:\n" + U);

        // QR 分解
        matrixA.QRDecomposition(out Matrix<double> Q, out Matrix<double> R);
        Console.WriteLine("Q matrix from QR decomposition:\n" + Q);
        Console.WriteLine("R matrix from QR decomposition:\n" + R);

        // Cholesky 分解
        Matrix<double> cholesky = matrixA.CholeskyDecomposition();
        Console.WriteLine("Cholesky decomposition of matrixA:\n" + cholesky);

        // 创建单位矩阵
        Matrix<double> identity = Matrix<double>.Eye(3);
        Console.WriteLine("Identity matrix:\n" + identity);

        // 创建伴随矩阵
        Matrix<double> companion = Matrix<double>.Companion(new double[] { 1.0, -6.0, 11.0, -6.0 });
        Console.WriteLine("Companion matrix:\n" + companion);

        // 矩阵深拷贝
        Matrix<double> clone = matrixA.Clone();
        Console.WriteLine("Clone of matrixA:\n" + clone);
    }
}

Vorcyc.Mathematics.LinearAlgebra.MatrixHelper 类

Vorcyc.Mathematics.LinearAlgebra.MatrixHelper 是一个静态类，提供了多种矩阵和数组操作的辅助方法。

方法清单及说明

1. GetLength

internal static int GetLength<T>(T[][] values, int dimension)
- 获取锯齿数组指定维度的长度。
- 参数:
  - values: 锯齿数组。
  - dimension: 维度（1 或 2）。
- 返回值: 指定维度的长度。
internal static int GetLength<T>(T[,] values, int dimension)
- 获取二维数组指定维度的长度。
- 参数:
  - values: 二维数组。
  - dimension: 维度（1 或 2）。
- 返回值: 指定维度的长度。

2. GetTotalLength

public static int GetTotalLength(this Array array, bool deep = true, bool rectangular = true)
- 获取数组所有维度的总长度。
- 参数:
  - array: 数组。
  - deep: 是否递归获取所有维度的长度。
  - rectangular: 是否假设数组是矩形的。
- 返回值: 数组所有维度的总长度。

3. GetLength

public static int[] GetLength(this Array array, bool deep = true, bool max = false)
- 获取数组每个维度的长度。
- 参数:
  - array: 数组。
  - deep: 是否递归获取所有维度的长度。
  - max: 是否获取每个维度的最大长度。
- 返回值: 数组每个维度的长度。

4. IsJagged

public static bool IsJagged(this Array array)
- 判断数组是否为锯齿数组。
- 参数:
  - array: 数组。
- 返回值: 如果是锯齿数组则返回 true，否则返回 false。

5. IsMatrix

public static bool IsMatrix(this Array array)
- 判断数组是否为多维数组。
- 参数:
  - array: 数组。
- 返回值: 如果是多维数组则返回 true，否则返回 false。

6. IsVector

public static bool IsVector(this Array array)
- 判断数组是否为向量。
- 参数:
  - array: 数组。
- 返回值: 如果是向量则返回 true，否则返回 false。

7. Concatenate

public static T[] Concatenate<T>(this T[] a, params T[] b)
- 水平合并两个向量。
- 参数:
  - a: 第一个向量。
  - b: 第二个向量。
- 返回值: 合并后的向量。
public static T[] Concatenate<T>(this T[] vector, T element)
- 水平合并向量和一个元素。
- 参数:
  - vector: 向量。
  - element: 元素。
- 返回值: 合并后的向量。
public static T[] Concatenate<T>(this T element, T[] vector)
- 水平合并一个元素和向量。
- 参数:
  - element: 元素。
  - vector: 向量。
- 返回值: 合并后的向量。
public static T[,] Concatenate<T>(this T[,] a, T[,] b)
- 水平合并两个二维数组。
- 参数:
  - a: 第一个二维数组。
  - b: 第二个二维数组。
- 返回值: 合并后的二维数组。
public static T[][] Concatenate<T>(this T[][] a, T[][] b)
- 水平合并两个锯齿数组。
- 参数:
  - a: 第一个锯齿数组。
  - b: 第二个锯齿数组。
- 返回值: 合并后的锯齿数组。
public static T[,] Concatenate<T>(params T[][,] matrices)
- 水平合并多个二维数组。
- 参数:
  - matrices: 多个二维数组。
- 返回值: 合并后的二维数组。
public static T[][] Concatenate<T>(params T[][][] matrices)
- 水平合并多个锯齿数组。
- 参数:
  - matrices: 多个锯齿数组。
- 返回值: 合并后的锯齿数组。
public static T[] Concatenate<T>(this T[][] vectors)
- 水平合并多个向量。
- 参数:
  - vectors: 多个向量。
- 返回值: 合并后的向量。

8. Stack

public static T[][] Stack<T>(this T[][] a, T[][] b)
- 垂直合并两个锯齿数组。
- 参数:
  - a: 第一个锯齿数组。
  - b: 第二个锯齿数组。
- 返回值: 合并后的锯齿数组。
public static T[,] Stack<T>(params T[] elements)
- 垂直合并多个向量。
- 参数:
  - elements: 多个向量。
- 返回值: 合并后的二维数组。
public static T[,] Stack<T>(this T[] vector, T element)
- 垂直合并向量和一个元素。
- 参数:
  - vector: 向量。
  - element: 元素。
- 返回值: 合并后的二维数组。
public static T[,] Stack<T>(params T[][,] matrices)
- 垂直合并多个二维数组。
- 参数:
  - matrices: 多个二维数组。
- 返回值: 合并后的二维数组。
public static T[,] Stack<T>(this T[,] matrix, T[] vector)
- 垂直合并二维数组和向量。
- 参数:
  - matrix: 二维数组。
  - vector: 向量。
- 返回值: 合并后的二维数组。
public static T[][] Stack<T>(params T[][][] matrices)
- 垂直合并多个锯齿数组。
- 参数:
  - matrices: 多个锯齿数组。
- 返回值: 合并后的锯齿数组。

9. Transpose

public static T[,] Transpose<T>(this T[,] matrix)
- 获取矩阵的转置。
- 参数:
  - matrix: 矩阵。
- 返回值: 转置后的矩阵。
public static T[,] Transpose<T>(this T[,] matrix, bool inPlace)
- 获取矩阵的转置。
- 参数:
  - matrix: 矩阵。
  - inPlace: 是否在原矩阵上进行转置。
- 返回值: 转置后的矩阵。
public static T[,] Transpose<T>(this T[] rowVector)
- 获取行向量的转置。
- 参数:
  - rowVector: 行向量。
- 返回值: 转置后的矩阵。
public static T[,] Transpose<T>(this T[] rowVector, T[,] result)
- 获取行向量的转置。
- 参数:
  - rowVector: 行向量。
  - result: 存储转置结果的矩阵。
- 返回值: 转置后的矩阵。
public static Array Transpose(this Array array, int[] order)
- 获取张量的广义转置。
- 参数:
  - array: 张量。
  - order: 新的维度顺序。
- 返回值: 转置后的张量。
public static T Transpose<T>(this T array, int[] order) where T : class, IList
- 获取张量的广义转置。
- 参数:
  - array: 张量。
  - order: 新的维度顺序。
- 返回值: 转置后的张量。

10. Get

public static T[,] Get<T>(this T[,] source, int startRow, int endRow, int startColumn, int endColumn)
- 返回从当前矩阵中提取的子矩阵。
- 参数:
  - source: 源矩阵。
  - startRow: 起始行索引。
  - endRow: 结束行索引。
  - startColumn: 起始列索引。
  - endColumn: 结束列索引。
- 返回值: 提取的子矩阵。
public static T[,] Get<T>(this T[,] source, T[,] destination, int startRow, int endRow, int startColumn, int endColumn)
- 返回从当前矩阵中提取的子矩阵。
- 参数:
  - source: 源矩阵。
  - destination: 存储结果的矩阵。
  - startRow: 起始行索引。
  - endRow: 结束行索引。
  - startColumn: 起始列索引。
  - endColumn: 结束列索引。
- 返回值: 提取的子矩阵。
public static T[,] Get<T>(this T[,] source, int[] rowIndexes, int[] columnIndexes, T[,] result = null)
- 返回从当前矩阵中提取的子矩阵。
- 参数:
  - source: 源矩阵。
  - rowIndexes: 行索引数组。
  - columnIndexes: 列索引数组。
  - result: 存储结果的矩阵。
- 返回值: 提取的子矩阵。
public static T[,] Get<T>(this T[,] source, bool[] rowMask, bool[] columnMask, T[,] result = null)
- 返回从当前矩阵中提取的子矩阵。
- 参数:
  - source: 源矩阵。
  - rowMask: 行掩码数组。
  - columnMask: 列掩码数组。
  - result: 存储结果的矩阵。
- 返回值: 提取的子矩阵。
public static T[,] Get<T>(this T[,] source, int[] rowIndexes)
- 返回从当前矩阵中提取的子矩阵。
- 参数:
  - source: 源矩阵。
  - rowIndexes: 行索引数组。
- 返回值: 提取的子矩阵。
public static T[,] Get<T>(this T[,] source, int startRow, int endRow, int[] columnIndexes)
- 返回从当前矩阵中提取的子矩阵。
- 参数:
  - source: 源矩阵。
  - startRow: 起始行索引。
  - endRow: 结束行索引。
  - columnIndexes: 列索引数组。
- 返回值: 提取的子矩阵。
public static T[,] Get<T>(this T[,] source, int[] rowIndexes, int startColumn, int endColumn)
- 返回从当前矩阵中提取的子矩阵。
- 参数:
  - source: 源矩阵。
  - rowIndexes: 行索引数组。
  - startColumn: 起始列索引。
  - endColumn: 结束列索引。
- 返回值: 提取的子矩阵。
public static T[][] Get<T>(this T[][] source, int startRow, int endRow, int startColumn, int endColumn)
- 返回从当前锯齿数组中提取的子数组。
- 参数:
  - source: 源锯齿数组。
  - startRow: 起始行索引。
  - endRow: 结束行索引。
  - startColumn: 起始列索引。
  - endColumn: 结束列索引。
- 返回值: 提取的子数组。
public static T[][] Set<T>(this T[][] destination, int startRow, int endRow, int startColumn, int endColumn, T[][] values)
- 设置矩阵的子矩阵。
- 参数:
  - destination: 目标矩阵。
  - startRow: 起始行索引。
  - endRow: 结束行索引。
  - startColumn: 起始列索引。
  - endColumn: 结束列索引。
  - values: 子矩阵的值。
- 返回值: 设置后的矩阵。
public static T[][] Set<T>(this T[][] values, Func<T, bool> match, T value)
- 设置矩阵中满足条件的元素的值。
- 参数:
  - values: 矩阵。
  - match: 用于确定是否更改元素的函数。
  - value: 要设置的值。
- 返回值: 设置后的矩阵。
public static T[][] Get<T>(this T[][] source, int[] rowIndexes, int[] columnIndexes, bool reuseMemory = false, T[][] result = null)
- 返回从当前锯齿数组中提取的子数组。
- 参数:
  - source: 源锯齿数组。
  - rowIndexes: 行索引数组。
  - columnIndexes: 列索引数组。
  - reuseMemory: 是否重用内存。
  - result: 存储结果的数组。
- 返回值: 提取的子数组。
public static T[][] Get<T>(this T[][] source, bool[] rowMask, bool[] columnMask, bool reuseMemory = false, T[][] result = null)
- 返回从当前锯齿数组中提取的子数组。
- 参数:
  - source: 源锯齿数组。
  - rowMask: 行掩码数组。
  - columnMask: 列掩码数组。
  - reuseMemory: 是否重用内存。
  - result: 存储结果的数组。
- 返回值: 提取的子数组。
public static T[][] Get<T>(this T[][] source, int[] indexes, bool transpose = false)
- 返回从当前锯齿数组中提取的子数组。
- 参数:
  - source: 源锯齿数组。
  - indexes: 索引数组。
  - transpose: 是否转置结果。
- 返回值: 提取的子数组。
public static T[][] Get<T>(this T[][] source, int startRow, int endRow, int[] columnIndexes)
- 返回从当前锯齿数组中提取的子数组。
- 参数:
  - source: 源锯齿数组。
  - startRow: 起始行索引。
  - endRow: 结束行索引。
  - columnIndexes: 列索引数组。
- 返回值: 提取的子数组。
public static T[] Get<T>(this T[] source, int[] indexes, bool inPlace = false)
- 返回从当前向量中提取的子向量。
- 参数:
  - source: 源向量。
  - indexes: 索引数组。
  - inPlace: 是否在原向量上进行操作。
- 返回值: 提取的子向量。
public static T[] Get<T>(this T[] source, IList<int> indexes)
- 返回从当前向量中提取的子向量。
- 参数:
  - source: 源向量。
  - indexes: 索引列表。
- 返回值: 提取的子向量。
public static T[] Get<T>(this T[] source, int startRow, int endRow)
- 返回从当前向量中提取的子向量。
- 参数:
  - source: 源向量。
  - startRow: 起始行索引。
  - endRow: 结束行索引。
- 返回值: 提取的子向量。
public static T Get<T>(this T[] source, int index)
- 返回从当前向量中提取的值。
- 参数:
  - source: 源向量。
  - index: 索引。
- 返回值: 提取的值。
public static List<T> Get<T>(this List<T> source, int[] indexes)
- 返回从当前列表中提取的子列表。
- 参数:
  - source: 源列表。
  - indexes: 索引数组。
- 返回值: 提取的子列表。

11. Rows

public static int Rows<T>(this T[] vector)
- 获取向量的行数。
- 参数:
  - vector: 向量。
- 返回值: 向量的行数。
public static int Rows<T>(this T[,] matrix)
- 获取矩阵的行数。
- 参数:
  - matrix: 矩阵。
- 返回值: 矩阵的行数。

12. Columns

public static int Columns<T>(this T[,] matrix)
- 获取矩阵的列数。
- 参数:
  - matrix: 矩阵。
- 返回值: 矩阵的列数。

13. Count

public static int Count<T>(this T[] data, Func<T, bool> func)
- 获取满足条件的元素数量。
- 参数:
  - data: 数组。
  - func: 条件函数。
- 返回值: 满足条件的元素数量。

14. First

public static int First<T>(this T[] data, Func<T, bool> func)
- 获取第一个满足条件的元素的索引。
- 参数:
  - data: 数组。
  - func: 条件函数。
- 返回值: 第一个满足条件的元素的索引。

15. FirstOrNull

public static int? FirstOrNull<T>(this T[] data, Func<T, bool> func)
- 获取第一个满足条件的元素的索引，如果没有找到则返回 null。
- 参数:
  - data: 数组。
  - func: 条件函数。
- 返回值: 第一个满足条件的元素的索引，如果没有找到则返回 null。

16. IndexOf

public static int IndexOf<T>(this T[] data, T value)
- 搜索指定的值并返回数组中第一次出现的索引。
- 参数:
  - data: 数组。
  - value: 要搜索的值。
- 返回值: 搜索到的值在数组中的索引，如果未找到则返回 -1。

17. Find

public static int[] Find<T>(this T[] data, Func<T, bool> func)
- 获取所有满足条件的元素的索引。
- 参数:
  - data: 数组。
  - func: 条件函数。
- 返回值: 满足条件的元素的索引数组。
public static int[] Find<T>(this T[] data, Func<T, bool> func, bool firstOnly)
- 获取所有满足条件的元素的索引。
- 参数:
  - data: 数组。
  - func: 条件函数。
  - firstOnly: 是否只获取第一个满足条件的元素的索引。
- 返回值: 满足条件的元素的索引数组。
public static int[][] Find<T>(this T[,] data, Func<T, bool> func)
- 获取所有满足条件的元素的索引。
- 参数:
  - data: 二维数组。
  - func: 条件函数。
- 返回值: 满足条件的元素的索引数组。
public static int[][] Find<T>(this T[,] data, Func<T, bool> func, bool firstOnly)
- 获取所有满足条件的元素的索引。
- 参数:
  - data: 二维数组。
  - func: 条件函数。
  - firstOnly: 是否只获取第一个满足条件的元素的索引。
- 返回值: 满足条件的元素的索引数组。

代码示例

以下是一个使用 MatrixHelper 类中多个方法的示例，并在示例中加入了注释：

using System; 
using Vorcyc.Mathematics.LinearAlgebra;

public class MatrixHelperExample 
{ 
    public static void Main() 
    { 
        // 定义二维数组 
        int[,] matrix = new int[,] { { 1, 2, 3 }, { 4, 5, 6 }, { 7, 8, 9 } };

        // 获取矩阵的转置
        int[,] transpose = matrix.Transpose();
        Console.WriteLine("Transpose of matrix:");
        PrintMatrix(transpose);

        // 获取子矩阵
        int[,] subMatrix = matrix.Get(0, 2, 0, 2);
        Console.WriteLine("SubMatrix of matrix:");
        PrintMatrix(subMatrix);

        // 合并两个矩阵
        int[,] concatenatedMatrix = matrix.Concatenate(matrix);
        Console.WriteLine("Concatenated matrix:");
        PrintMatrix(concatenatedMatrix);

        // 获取满足条件的元素的索引
        int[][] indices = matrix.Find(x => x > 5);
        Console.WriteLine("Indices of elements greater than 5:");
        foreach (var index in indices)
        {
            Console.WriteLine($"({index[0]}, {index[1]})");
        }
    }

    private static void PrintMatrix(int[,] matrix)
    {
        for (int i = 0; i < matrix.GetLength(0); i++)
        {
            for (int j = 0; j < matrix.GetLength(1); j++)
            {
                Console.Write(matrix[i, j] + " ");
            }
            Console.WriteLine();
        }
    }
}

Vorcyc.Mathematics.LinearAlgebra.MatrixOperations 类

Vorcyc.Mathematics.LinearAlgebra.MatrixOperations 是一个静态类，提供了执行矩阵运算的静态方法。

方法清单及说明

1. Multiply

public static T[,] Multiply<T>(T[,] a, T[,] b) where T : INumber<T>
- 乘法运算符，用于两个矩阵相乘。
- 参数:
  - a: 第一个矩阵。
  - b: 第二个矩阵。
- 返回值: 两个矩阵的乘积。
- 异常:
  - ArgumentException: 当矩阵的维度不兼容时抛出。
public static float[][] Multiply(float[][] a, float[][] b)
- 乘法运算符，用于两个锯齿数组矩阵相乘。
- 参数:
  - a: 第一个锯齿数组矩阵。
  - b: 第二个锯齿数组矩阵。
- 返回值: 两个锯齿数组矩阵的乘积。
- 异常:
  - ArgumentException: 当矩阵的维度不兼容时抛出。

代码示例

以下是一个使用 MatrixOperations 类中 Multiply 方法的示例，并在示例中加入了注释：

using System; 
using Vorcyc.Mathematics.LinearAlgebra;

public class MatrixOperationsExample 
{ 
    public static void Main() 
    { 
        // 定义两个二维数组矩阵 
        int[,] matrixA = new int[,] { { 1, 2, 3 }, { 4, 5, 6 }, { 7, 8, 9 } };
        int[,] matrixB = new int[,]
        {
            { 9, 8, 7 },
            { 6, 5, 4 },
            { 3, 2, 1 }
        };

        // 矩阵乘法
        int[,] product = MatrixOperations.Multiply(matrixA, matrixB);
        Console.WriteLine("Product of matrixA and matrixB:");
        PrintMatrix(product);

        // 定义两个锯齿数组矩阵
        float[][] jaggedMatrixA = new float[][]
        {
            new float[] { 1.0f, 2.0f, 3.0f },
            new float[] { 4.0f, 5.0f, 6.0f },
            new float[] { 7.0f, 8.0f, 9.0f }
        };

        float[][] jaggedMatrixB = new float[][]
        {
            new float[] { 9.0f, 8.0f, 7.0f },
            new float[] { 6.0f, 5.0f, 4.0f },
            new float[] { 3.0f, 2.0f, 1.0f }
        };

        // 锯齿数组矩阵乘法
        float[][] jaggedProduct = MatrixOperations.Multiply(jaggedMatrixA, jaggedMatrixB);
        Console.WriteLine("Product of jaggedMatrixA and jaggedMatrixB:");
        PrintJaggedMatrix(jaggedProduct);
    }

    private static void PrintMatrix(int[,] matrix)
    {
        for (int i = 0; i < matrix.GetLength(0); i++)
        {
            for (int j = 0; j < matrix.GetLength(1); j++)
            {
                Console.Write(matrix[i, j] + " ");
            }
            Console.WriteLine();
        }
    }

    private static void PrintJaggedMatrix(float[][] matrix)
    {
        for (int i = 0; i < matrix.Length; i++)
        {
            for (int j = 0; j < matrix[i].Length; j++)
            {
                Console.Write(matrix[i][j] + " ");
            }
            Console.WriteLine();
        }
    }
}

Vorcyc.Mathematics.LinearAlgebra.Quaternion<T> 结构

Vorcyc.Mathematics.LinearAlgebra.Quaternion<T> 是一个表示四元数的泛型结构，提供了四元数的基本操作和运算方法。

属性

1. W

public T W { get; }
- 获取四元数的 W 分量。

2. X

public T X { get; }
- 获取四元数的 X 分量。

3. Y

public T Y { get; }
- 获取四元数的 Y 分量。

4. Z

public T Z { get; }
- 获取四元数的 Z 分量。

构造器

1. Quaternion<T>(T w, T x, T y, T z)

public Quaternion<T>(T w, T x, T y, T z)
- 使用指定的分量构造一个四元数。
- 参数:
  - w: W 分量。
  - x: X 分量。
  - y: Y 分量。
  - z: Z 分量。

方法

1. Conjugate

public Quaternion<T> Conjugate()
- 返回四元数的共轭。
- 返回值: 四元数的共轭。

2. Norm

public T Norm()
- 返回四元数的范数（模）。
- 返回值: 四元数的范数。

3. Normalize

public Quaternion<T> Normalize()
- 返回归一化的四元数。
- 返回值: 归一化的四元数。

4. Inverse

public Quaternion<T> Inverse()
- 返回四元数的逆。
- 返回值: 四元数的逆。

运算符

1. 加法运算符

public static Quaternion<T> operator +(Quaternion<T> a, Quaternion<T> b)
- 加法运算符，用于两个四元数相加。
- 参数:
  - a: 第一个四元数。
  - b: 第二个四元数。
- 返回值: 两个四元数的和。

2. 减法运算符

public static Quaternion<T> operator -(Quaternion<T> a, Quaternion<T> b)
- 减法运算符，用于一个四元数减去另一个四元数。
- 参数:
  - a: 第一个四元数。
  - b: 第二个四元数。
- 返回值: 两个四元数的差。

3. 乘法运算符

public static Quaternion<T> operator *(Quaternion<T> a, Quaternion<T> b)
- 乘法运算符，用于两个四元数相乘。
- 参数:
  - a: 第一个四元数。
  - b: 第二个四元数。
- 返回值: 两个四元数的积。

4. 除法运算符

public static Quaternion<T> operator /(Quaternion<T> a, Quaternion<T> b)
- 除法运算符，用于一个四元数除以另一个四元数。
- 参数:
  - a: 第一个四元数。
  - b: 第二个四元数。
- 返回值: 两个四元数的商。

5. 相等运算符

public static bool operator ==(Quaternion<T> left, Quaternion<T> right)
- 相等运算符，用于判断两个四元数是否相等。
- 参数:
  - left: 第一个四元数。
  - right: 第二个四元数。
- 返回值: 如果两个四元数相等，则返回 true；否则返回 false。

6. 不相等运算符

public static bool operator !=(Quaternion<T> left, Quaternion<T> right)
- 不相等运算符，用于判断两个四元数是否不相等。
- 参数:
  - left: 第一个四元数。
  - right: 第二个四元数。
- 返回值: 如果两个四元数不相等，则返回 true；否则返回 false。

重写方法

1. ToString

public override string ToString()
- 返回四元数的字符串表示形式。
- 返回值: 四元数的字符串表示形式。

2. Equals

public override bool Equals(object? obj)
- 判断指定对象是否与当前四元数相等。
- 参数:
  - obj: 要与当前四元数进行比较的对象。
- 返回值: 如果指定对象与当前四元数相等，则返回 true；否则返回 false。

3. GetHashCode

public override int GetHashCode()
- 返回当前四元数的哈希代码。
- 返回值: 当前四元数的哈希代码。

代码示例

以下是一个使用 Quaternion 结构中多个方法的示例，并在示例中加入了注释：

using System; 
using Vorcyc.Mathematics.LinearAlgebra;

public class QuaternionExample 
{ 
    public static void Main() 
    { 
        // 定义四元数 
        Quaternion<double> quaternionA = new Quaternion<double>(1.0, 2.0, 3.0, 4.0); 
        Quaternion<double> quaternionB = new Quaternion<double>(5.0, 6.0, 7.0, 8.0);
        // 四元数加法
        Quaternion<double> sum = quaternionA + quaternionB;
        Console.WriteLine("Sum of quaternionA and quaternionB: " + sum);

        // 四元数减法
        Quaternion<double> difference = quaternionA - quaternionB;
        Console.WriteLine("Difference of quaternionA and quaternionB: " + difference);

        // 四元数乘法
        Quaternion<double> product = quaternionA * quaternionB;
        Console.WriteLine("Product of quaternionA and quaternionB: " + product);

        // 四元数除法
        Quaternion<double> quotient = quaternionA / quaternionB;
        Console.WriteLine("Quotient of quaternionA and quaternionB: " + quotient);

        // 四元数共轭
        Quaternion<double> conjugate = quaternionA.Conjugate();
        Console.WriteLine("Conjugate of quaternionA: " + conjugate);

        // 四元数范数
        double norm = quaternionA.Norm();
        Console.WriteLine("Norm of quaternionA: " + norm);

        // 四元数归一化
        Quaternion<double> normalized = quaternionA.Normalize();
        Console.WriteLine("Normalized quaternionA: " + normalized);

        // 四元数逆
        Quaternion<double> inverse = quaternionA.Inverse();
        Console.WriteLine("Inverse of quaternionA: " + inverse);
    }
}

Vorcyc.Mathematics.LinearAlgebra.TensorFp32 类

Vorcyc.Mathematics.LinearAlgebra.TensorFp32 是一个表示三维张量的类，提供了张量的基本操作和运算方法。

属性

1. Values

public float[] Values { get; }
- 获取张量的值。

2. Width

public int Width { get; }
- 获取张量的宽度。

3. Height

public int Height { get; }
- 获取张量的高度。

4. Depth

public int Depth { get; }
- 获取张量的深度。

构造器

1. TensorFp32(int w, int h, int d)

public TensorFp32(int w, int h, int d)
- 使用指定的大小初始化张量。
- 参数:
  - w: 宽度。
  - h: 高度。
  - d: 深度。

2. TensorFp32(int w, int h, int d, float initialValue)

public TensorFp32(int w, int h, int d, float initialValue)
- 使用指定的大小和初始值初始化张量。
- 参数:
  - w: 宽度。
  - h: 高度。
  - d: 深度。
  - initialValue: 所有元素的初始值。

3. TensorFp32(float[,,] array)

public TensorFp32(float[,,] array)
- 从三维数组初始化张量。
- 参数:
  - array: 用于初始化张量的三维数组。

索引器

1. this[int x, int y, int z]

public ref float this[int x, int y, int z]
- 获取或设置指定坐标的值。
- 参数:
  - x: X 坐标（宽度）。
  - y: Y 坐标（高度）。
  - z: Z 坐标（深度）。
- 返回值: 指定坐标的值。

方法

1. Fill

public void Fill(float value)
- 用指定的值填充张量。
- 参数:
  - value: 用于填充张量的值。

2. Add

public void Add(TensorFp32 other)
- 将另一个张量加到此张量。
- 参数:
  - other: 要加的张量。

3. Subtract

public void Subtract(TensorFp32 other)
- 从此张量中减去另一个张量。
- 参数:
  - other: 要减去的张量。

4. Multiply

public void Multiply(float scalar)
- 将此张量乘以一个标量值。
- 参数:
  - scalar: 要乘以的标量值。

5. Transpose

public TensorFp32 Transpose(int axis1, int axis2)
- 沿指定轴转置张量。
- 参数:
  - axis1: 第一个轴。
  - axis2: 第二个轴。
- 返回值: 转置后的新张量。

6. Sum

public float Sum()
- 计算张量中所有元素的和。
- 返回值: 张量中所有元素的和。

7. Dot

public float Dot(TensorFp32 other)
- 计算两个张量的点积。
- 参数:
  - other: 另一个张量。
- 返回值: 两个张量的点积。

8. Normalize

public void Normalize()
- 归一化张量。

9. Norm

public float Norm()
- 计算张量的范数。
- 返回值: 张量的范数。

10. Slice

public TensorFp32 Slice(int axis, int index)
- 沿指定轴切片张量。
- 参数:
  - axis: 要切片的轴。
  - index: 切片的索引。
- 返回值: 切片后的新张量。

11. Clone

public TensorFp32 Clone()
- 克隆张量。
- 返回值: 一个新的张量，它是当前张量的副本。

运算符

1. 加法运算符

public static TensorFp32 operator +(TensorFp32 a, TensorFp32 b)
- 加法运算符，用于两个张量相加。
- 参数:
  - a: 第一个张量。
  - b: 第二个张量。
- 返回值: 两个张量的和。

2. 减法运算符

public static TensorFp32 operator -(TensorFp32 a, TensorFp32 b)
- 减法运算符，用于一个张量减去另一个张量。
- 参数:
  - a: 第一个张量。
  - b: 第二个张量。
- 返回值: 两个张量的差。

3. 乘法运算符

public static TensorFp32 operator *(TensorFp32 tensor, float scalar)
- 乘法运算符，用于张量乘以一个标量值。
- 参数:
  - tensor: 张量。
  - scalar: 标量值。
- 返回值: 张量乘以标量值的结果。
public static TensorFp32 operator *(float scalar, TensorFp32 tensor)
- 乘法运算符，用于张量乘以一个标量值。
- 参数:
  - scalar: 标量值。
  - tensor: 张量。
- 返回值: 张量乘以标量值的结果。

4. 相等运算符

public static bool operator ==(TensorFp32 a, TensorFp32 b)
- 相等运算符，用于判断两个张量是否相等。
- 参数:
  - a: 第一个张量。
  - b: 第二个张量。
- 返回值: 如果两个张量相等，则返回 true；否则返回 false。

5. 不相等运算符

public static bool operator !=(TensorFp32 a, TensorFp32 b)
- 不相等运算符，用于判断两个张量是否不相等。
- 参数:
  - a: 第一个张量。
  - b: 第二个张量。
- 返回值: 如果两个张量不相等，则返回 true；否则返回 false。

重写方法

1. ToString

public override string ToString()
- 返回张量的字符串表示形式。
- 返回值: 张量的字符串表示形式。

2. Equals

public override bool Equals(object? obj)
- 判断指定对象是否与当前张量相等。
- 参数:
  - obj: 要与当前张量进行比较的对象。
- 返回值: 如果指定对象与当前张量相等，则返回 true；否则返回 false。

3. GetHashCode

public override int GetHashCode()
- 返回当前张量的哈希代码。
- 返回值: 当前张量的哈希代码。

代码示例

以下是一个使用 TensorFp32 类中多个方法的示例，并在示例中加入了注释：

using System; 
using Vorcyc.Mathematics.LinearAlgebra;

public class TensorExample 
{
    public static void Main()
    { 
        // 定义张量 
        TensorFp32 tensorA = new TensorFp32(2, 2, 2, 1.0f); 
        TensorFp32 tensorB = new TensorFp32(new float[,,] { { { 1.0f, 2.0f }, { 3.0f, 4.0f } }, { { 5.0f, 6.0f }, { 7.0f, 8.0f } } });

        // 张量加法
        TensorFp32 sum = tensorA + tensorB;
        Console.WriteLine("Sum of tensorA and tensorB: " + sum);

        // 张量减法
        TensorFp32 difference = tensorA - tensorB;
        Console.WriteLine("Difference of tensorA and tensorB: " + difference);

        // 张量乘法
        TensorFp32 product = tensorA * 2.0f;
        Console.WriteLine("Product of tensorA and scalar: " + product);

        // 张量转置
        TensorFp32 transposed = tensorB.Transpose(0, 1);
        Console.WriteLine("Transposed tensorB: " + transposed);

        // 张量和
        float sumOfElements = tensorB.Sum();
        Console.WriteLine("Sum of elements in tensorB: " + sumOfElements);

        // 张量点积
        float dotProduct = tensorA.Dot(tensorB);
        Console.WriteLine("Dot product of tensorA and tensorB: " + dotProduct);

        // 张量归一化
        tensorB.Normalize();
        Console.WriteLine("Normalized tensorB: " + tensorB);

        // 张量范数
        float norm = tensorB.Norm();
        Console.WriteLine("Norm of tensorB: " + norm);

        // 张量切片
        TensorFp32 slice = tensorB.Slice(0, 1);
        Console.WriteLine("Slice of tensorB along axis 0 at index 1: " + slice);

        // 张量克隆
        TensorFp32 clone = tensorB.Clone();
        Console.WriteLine("Clone of tensorB: " + clone);
    }
}

Vorcyc.Mathematics.LinearAlgebra.TensorFp32<T> 类

Vorcyc.Mathematics.LinearAlgebra.TensorFp32<T> 是一个表示三维张量的泛型类，提供了张量的基本操作和运算方法。

属性

1. Values

public Span<T> Values { get; }
- 获取张量的值。

2. Width

public int Width { get; }
- 获取张量的宽度。

3. Height

public int Height { get; }
- 获取张量的高度。

4. Depth

public int Depth { get; }
- 获取张量的深度。

构造器

1. TensorFp32(int w, int h, int d)

public TensorFp32(int w, int h, int d)
- 使用指定的大小初始化张量。
- 参数:
  - w: 宽度。
  - h: 高度。
  - d: 深度。

2. TensorFp32(int w, int h, int d, T initialValue)

public TensorFp32(int w, int h, int d, T initialValue)
- 使用指定的大小和初始值初始化张量。
- 参数:
  - w: 宽度。
  - h: 高度。
  - d: 深度。
  - initialValue: 所有元素的初始值。

3. TensorFp32(T[,,] array)

public TensorFp32(T[,,] array)
- 从三维数组初始化张量。
- 参数:
  - array: 用于初始化张量的三维数组。

索引器

1. this[int x, int y, int z]

public ref T this[int x, int y, int z]
- 获取或设置指定坐标的值。
- 参数:
  - x: X 坐标（宽度）。
  - y: Y 坐标（高度）。
  - z: Z 坐标（深度）。
- 返回值: 指定坐标的值。

方法

1. Fill

public void Fill(T value)
- 用指定的值填充张量。
- 参数:
  - value: 用于填充张量的值。

2. Add

public void Add(Tensor<T> other)
- 将另一个张量加到此张量。
- 参数:
  - other: 要加的张量。

3. Subtract

public void Subtract(Tensor<T> other)
- 从此张量中减去另一个张量。
- 参数:
  - other: 要减去的张量。

4. Multiply

public void Multiply(T scalar)
- 将此张量乘以一个标量值。
- 参数:
  - scalar: 要乘以的标量值。

5. Transpose

public Tensor<T> Transpose(int axis1, int axis2)
- 沿指定轴转置张量。
- 参数:
  - axis1: 第一个轴。
  - axis2: 第二个轴。
- 返回值: 转置后的新张量。

6. Sum

public T Sum()
- 计算张量中所有元素的和。
- 返回值: 张量中所有元素的和。

7. Dot

public T Dot(Tensor<T> other)
- 计算两个张量的点积。
- 参数:
  - other: 另一个张量。
- 返回值: 两个张量的点积。

8. Normalize

public void Normalize()
- 归一化张量。

9. Norm

public T Norm()
- 计算张量的范数。
- 返回值: 张量的范数。

10. Slice

public Tensor<T> Slice(int axis, int index)
- 沿指定轴切片张量。
- 参数:
  - axis: 要切片的轴。
  - index: 切片的索引。
- 返回值: 切片后的新张量。

11. Clone

public Tensor<T> Clone()
- 克隆张量。
- 返回值: 一个新的张量，它是当前张量的副本。

运算符

1. 加法运算符

public static Tensor<T> operator +(Tensor<T> a, Tensor<T> b)
- 加法运算符，用于两个张量相加。
- 参数:
  - a: 第一个张量。
  - b: 第二个张量。
- 返回值: 两个张量的和。

2. 减法运算符

public static Tensor<T> operator -(Tensor<T> a, Tensor<T> b)
- 减法运算符，用于一个张量减去另一个张量。
- 参数:
  - a: 第一个张量。
  - b: 第二个张量。
- 返回值: 两个张量的差。

3. 乘法运算符

public static Tensor<T> operator *(Tensor<T> tensor, T scalar)
- 乘法运算符，用于张量乘以一个标量值。
- 参数:
  - tensor: 张量。
  - scalar: 标量值。
- 返回值: 张量乘以标量值的结果。
public static Tensor<T> operator *(T scalar, Tensor<T> tensor)
- 乘法运算符，用于张量乘以一个标量值。
- 参数:
  - scalar: 标量值。
  - tensor: 张量。
- 返回值: 张量乘以标量值的结果。

4. 相等运算符

public static bool operator ==(Tensor<T> a, Tensor<T> b)
- 相等运算符，用于判断两个张量是否相等。
- 参数:
  - a: 第一个张量。
  - b: 第二个张量。
- 返回值: 如果两个张量相等，则返回 true；否则返回 false。

5. 不相等运算符

public static bool operator !=(Tensor<T> a, Tensor<T> b)
- 不相等运算符，用于判断两个张量是否不相等。
- 参数:
  - a: 第一个张量。
  - b: 第二个张量。
- 返回值: 如果两个张量不相等，则返回 true；否则返回 false。

重写方法

1. ToString

public override string ToString()
- 返回张量的字符串表示形式。
- 返回值: 张量的字符串表示形式。

2. Equals

public override bool Equals(object? obj)
- 判断指定对象是否与当前张量相等。
- 参数:
  - obj: 要与当前张量进行比较的对象。
- 返回值: 如果指定对象与当前张量相等，则返回 true；否则返回 false。

3. GetHashCode

public override int GetHashCode()
- 返回当前张量的哈希代码。
- 返回值: 当前张量的哈希代码。

代码示例

以下是一个使用 TensorFp32<T> 类中多个方法的示例，并在示例中加入了注释：

using System; 
using Vorcyc.Mathematics.LinearAlgebra;

public class TensorExample 
{ 
    public static void Main() 
    { 
        // 定义张量 
        Tensor<double> tensorA = new Tensor<double>(2, 2, 2, 1.0); 
        Tensor<double> tensorB = new Tensor<double>(new double[,,] { { { 1.0, 2.0 }, { 3.0, 4.0 } }, { { 5.0, 6.0 }, { 7.0, 8.0 } } });

        // 张量加法
        Tensor<double> sum = tensorA + tensorB;
        Console.WriteLine("Sum of tensorA and tensorB: " + sum);

        // 张量减法
        Tensor<double> difference = tensorA - tensorB;
        Console.WriteLine("Difference of tensorA and tensorB: " + difference);

        // 张量乘法
        Tensor<double> product = tensorA * 2.0;
        Console.WriteLine("Product of tensorA and scalar: " + product);

        // 张量转置
        Tensor<double> transposed = tensorB.Transpose(0, 1);
        Console.WriteLine("Transposed tensorB: " + transposed);

        // 张量和
        double sumOfElements = tensorB.Sum();
        Console.WriteLine("Sum of elements in tensorB: " + sumOfElements);

        // 张量点积
        double dotProduct = tensorA.Dot(tensorB);
        Console.WriteLine("Dot product of tensorA and tensorB: " + dotProduct);

        // 张量归一化
        tensorB.Normalize();
        Console.WriteLine("Normalized tensorB: " + tensorB);

        // 张量范数
        double norm = tensorB.Norm();
        Console.WriteLine("Norm of tensorB: " + norm);

        // 张量切片
        Tensor<double> slice = tensorB.Slice(0, 1);
        Console.WriteLine("Slice of tensorB along axis 0 at index 1: " + slice);

        // 张量克隆
        Tensor<double> clone = tensorB.Clone();
        Console.WriteLine("Clone of tensorB: " + clone);
    }
}

Vorcyc.Mathematics.LinearAlgebra.VectorSpan 类

VectorSpan 是静态工具类。数学向量用 ReadOnlySpan<T>、Span<T> 或 T[] 表示，不与 BCL 的 System.Numerics.Vector<T>（SIMD 寄存器）混淆。

方法

public static T Dot<T>(ReadOnlySpan<T> a, ReadOnlySpan<T> b) — 点积
public static T Norm<T>(ReadOnlySpan<T> vector) — 欧几里得范数
public static void Add<T>(ReadOnlySpan<T> a, ReadOnlySpan<T> b, Span<T> result) — 向量加法
public static void Subtract<T>(ReadOnlySpan<T> a, ReadOnlySpan<T> b, Span<T> result) — 向量减法
public static void Scale<T>(ReadOnlySpan<T> vector, T scalar, Span<T> result) — 标量乘法
public static void Normalize<T>(ReadOnlySpan<T> vector, Span<T> result) — 归一化

矩阵与列向量相乘请使用 Matrix<T>.Multiply(ReadOnlySpan<T>) 或 Multiply(vector, result)。

代码示例

using Vorcyc.Mathematics.LinearAlgebra;

double[] a = { 1.0, 2.0, 3.0 };
double[] b = { 4.0, 5.0, 6.0 };
double[] sum = new double[3];
double[] product = new double[2];

VectorSpan.Add(a, b, sum);
double dot = VectorSpan.Dot(a, b);

var matrix = new Matrix<double>(new double[,] { { 1, 2, 3 }, { 4, 5, 6 } });
matrix.Multiply(a, product);

Vorcyc.Mathematics.LinearAlgebra.MatrixDecomposition 类

MatrixDecomposition 提供对称矩阵特征分解与薄 SVD。

小矩阵（min(m,n) ≤ 48 且 m·n ≤ 256）：QR + 单边 Jacobi（对 R）
大矩阵：Golub–Kahan 双对角化 + 隐式 QR（Golub–Reinsch）；未收敛时回退到 k×k Jacobi SVD

方法

SymmetricEigendecomposition<T>(Matrix<T> matrix, T? tolerance = null, int maxIterations = 100) — Jacobi 对称特征分解；特征向量在结果矩阵的列中，按特征值降序排列
SingularValueDecomposition<T>(Matrix<T> matrix, T? tolerance = null) — 薄 SVD：A ≈ U·diag(Σ)·Vᵀ，k = min(m, n)
SingularValueDecomposition<T>(Matrix<T> matrix, T? tolerance, ComputingContext? context, CancellationToken cancellationToken = default) — 同上；Householder 应用与因子合成尊重 ComputingContext；双对角 QR 迭代仍串行（每轮轮询取消）
Pseudoinverse<T>(Matrix<T> matrix, T? tolerance = null) — Moore–Penrose 伪逆 A⁺
Reconstruct<T>(SingularValueDecompositionResult<T> svd) — 由 U、Σ、Vᵀ 重构 A

代码示例

using Vorcyc.Mathematics;
using Vorcyc.Mathematics.LinearAlgebra;

var symmetric = new Matrix<double>(new double[,] { { 2, 1 }, { 1, 2 } });
var eig = MatrixDecomposition.SymmetricEigendecomposition(symmetric);

var design = new Matrix<double>(new double[,]
{
    { 1, 1 },
    { 1, 2 },
    { 1, 3 }
});
var svd = MatrixDecomposition.SingularValueDecomposition(design, tolerance: null, ComputingContext.Parallel);
var x = LinearEquationSolver.SolveLeastSquaresSvd(design, new double[] { 6, 8, 10 });

Vorcyc.Mathematics.LinearAlgebra.MatrixDiagnostics 类

矩阵数值诊断工具。

方法

ConditionNumber<T>(Matrix<T> matrix, T? tolerance = null) — 由薄 SVD 估计 κ₂(A) ≈ σ_max / σ_min
IsIllConditioned<T>(Matrix<T> matrix, T threshold, T? tolerance = null) — 条件数是否超过阈值
IsSymmetric<T>(Matrix<T> matrix, T? tolerance = null) — 方阵是否在容差内对称

Matrix<T> 亦提供同名实例方法：ConditionNumber()、IsIllConditioned(threshold)、IsSymmetric()，以及线性求解：Solve(b)、Solve(b, x)、SolveSymmetricPositiveDefinite(b)、SolveLeastSquares(y)、SolveLeastSquaresSvd(y)、SolveRidgeLeastSquares(y, lambda)。

单精度遗留类型 MatrixFp32（MatrixFp32.cs）提供相同求解/诊断 API，并通过 ToGeneric() / 隐式转换与 Matrix<float> 互操作。

Vorcyc.Mathematics.LinearAlgebra.Tensor4D<T> 类

布局中性的 4 维张量（Dim0–Dim3），连续 Memory<T> 存储。深度学习中的 BatchTensor<T> 将 N→Dim0、H→Dim1、W→Dim2、C→Dim3 映射到同一存储。

要点

Tensor4DShape — 形状与 ElementCount
索引器 [d0, d1, d2, d3] 与 GetLinearIndex
Fill 等批量操作

Vorcyc.Mathematics.LinearAlgebra.TensorOps 类

NHWC 张量布局工具，供卷积 im2col 等路径复用。

方法

ConvolutionSamePadding / ConvolutionOutputSize — 与库内 batch 卷积一致的 padding 与输出尺寸
Im2ColNhwc — NHWC 展开为 (numPatches × patchSize) 列矩阵
Col2ImNhwc — 列矩阵散射回 NHWC 梯度（累加）
GemmTransposeRight — C = A·Bᵀ；提供 Span 版与数组版（大行数时并行）

Module_LinearAlgebra_zh - vorcyc/Vorcyc.Mathematics GitHub Wiki

线性代数模块 - Linear Algebra Module

Vorcyc.Mathematics.LinearAlgebra.BasisTransformation 类

方法清单及说明

1. Transform

代码示例

Vorcyc.Mathematics.LinearAlgebra.LinearEquationSolver 类

方法清单及说明

1. GaussianEliminationSolve

2. LUSolve

3. JacobiSolve

4. GaussSeidelSolve

5. CholeskySolve

6. SolveLeastSquares / SolveRidgeLeastSquares

7. SolveLeastSquaresSvd

代码示例

Vorcyc.Mathematics.LinearAlgebra.MatrixFp32 类

属性

1. Rows

2. Columns

构造器

1. MatrixFp32(int rows, int columns)

2. MatrixFp32(int size)

3. MatrixFp32(float[,] initialValues)

索引器

1. this[int row, int column]

隐式转换

1. 隐式转换为二维数组

2. 隐式转换为锯齿数组

3. 隐式转换为矩阵

运算符

1. 矩阵加法

2. 矩阵减法

3. 矩阵乘法

4. 矩阵与标量乘法

5. 矩阵与标量除法

方法

1. GetRow

2. GetColumn

3. Transpose

4. Determinant

5. Inverse

6. LUDecomposition

7. QRDecomposition

8. CholeskyDecomposition

9. Eye

10. Companion

11. FillRandom

12. Clone

13. ToString

代码示例

Vorcyc.Mathematics.LinearAlgebra.MatrixFp32<T> 类

属性

1. Rows

2. Columns

构造器

1. MatrixFp32(int rows, int columns)

2. MatrixFp32(int size)

3. MatrixFp32(T[,] initialValues)

索引器

1. this[int row, int column]

隐式转换

1. 隐式转换为二维数组

2. 隐式转换为锯齿数组

3. 隐式转换为矩阵

运算符

1. 矩阵加法

2. 矩阵减法

3. 矩阵乘法

4. 矩阵与标量乘法

5. 矩阵与标量除法

方法

1. GetRow

2. GetColumn

3. Transpose

4. Determinant

5. Inverse

6. LUDecomposition

7. QRDecomposition

8. CholeskyDecomposition