English: Geometry

Ableitungen werden als dx/du und d²x/du² geschrieben. Indizes sind Punktnummern (Q_k, x_N) oder Bezeichner (x_LE, x_norm).

Die starre Lage des Teils (Abschnitt 3.9, src/geom/part.js) dreht das Ergebnis der Schritte 3 und 4 für die Schritte 5 bis 7.

Eingabe: Profilpunkte in Selig-Reihenfolge (obere Endleiste → Profilnase → untere Endleiste), die die Plausibilitätsprüfungen bestehen (Dateiformate). Ein Fehler der Plausibilitätsprüfungen, eine sich selbst überschneidende Kurve (Abschnitt 1.4) oder ein Rücklauf in x (Abschnitt 1.5) blockiert den Flügelaufbau, Warnungen nicht. Die Plausibilitätsprüfungen entfernen zuerst aufeinanderfolgende Punkte, die näher als 1e-9 des x-Bereichs beieinander liegen (Info duplicates): Ihre Parameter u_k (Abschnitt 1.2) können auf denselben Wert gerundet werden und machen das lineare Gleichungssystem singulär.

• Profilnase der Datei P: der Dateipunkt mit dem größten Abstand zur Endleistenmitte (Mittel aus erstem und letztem Punkt). Quadrierte Abstände, die relativ höchstens 1e-15 unter dem größten liegen, gelten als gleich; dann gilt der Punkt mit kleinerem x, sodass jede Skalierung derselben Kontur denselben Punkt wählt.
• Nur Verschiebung und gleichmäßige Skalierung. Das Profil wird nicht gedreht.

c_file = x_max − x_min
x_norm = (x − x_min) / c_file
z_norm = (z − z_P)  / c_file

• Geneigte Profile: Die Linie von P zur Endleistenmitte behält ihren Winkel. Über 0,5° melden die Plausibilitätsprüfungen die Warnung rotated. Die Schränkung bezieht sich dann auf die x-Achse der Datei.

d_k = |Q_k − Q_(k−1)|^e          e = 1 (Sehnenlänge), e = 0.5 (Zentripetal)
u_0 = 0,  u_k = u_(k−1) + d_k / Σ d,  u_n = 1
Gleichabständig:  u_k = k / n
Knoten:   U_(j+p) = (u_j + … + u_(j+p−1)) / p,   j = 1 … n − p,   je p + 1 Endknoten bei 0 und bei 1

Der Schnittursprung ist der Punkt der Kurve mit minimalem x: u_LE mit dx/du(u_LE) = 0.

Eine kubische Kurve kann zwischen Dateipunkten, die jede Plausibilitätsprüfung bestehen, eine Schleife bilden, z. B. hinter der Endleiste einer grob aufgelösten Datei. Dieselbe Prüfung läuft für jede Profilkurve und für die Flächenzeilen (Abschnitt 4).

Die Profilvorschau führt die Prüfung der Profilkurve und die Prüfung auf Rücklauf in x (Abschnitt 1.5) mit der Parametrisierung des Projekts aus (Einstellungen > Parametrisierung der Profile) und meldet einen Befund als Fehler curve-shape. Eine gescheiterte Interpolation (Abschnitt 1.2) ist ebenfalls Fehler curve-shape. Die Vorschau zeigt dann Hinzufügen nicht möglich (Fehler) (Cannot add (errors)) statt Zum Projekt hinzufügen (Add to project).

Die Neuabtastung aus Abschnitt 2 löst x(u) = Zielwert je Profilseite. Eine Profilseite, die in x zurückläuft, hat mehrere Lösungen; die Neuabtastung verliert den zurücklaufenden Teil.

Jedes Profil wird an denselben N + 1 Tiefenanteilen je Profilseite abgetastet. Die Verteilung ist kosinusförmig: am feinsten an Nasen- und Endleiste.

s_k = (1 − cos(π k / N)) / 2          k = 0 … N

Je Profilseite wird u aus x(u) = Zielwert auf dem Kurvenast bestimmt:

Oberseite:  Zielwert = x_LE + s_k (x(0) − x_LE)     u in [0, u_LE]
Unterseite: Zielwert = x_LE + s_k (x(1) − x_LE)     u in [u_LE, 1]

• k = 0 ist die Profilnase der Kurve, k = N der Kurvenendpunkt. Beide werden ohne Lösen übernommen.
• Ergebnis: 2N + 1 Punkte. Index 0 … N: Oberseite Endleiste → Nase. Index N … 2N: Unterseite Nase → Endleiste. Die Profilnase hat den Index N.

Einheitstiefe (unitChord in src/geom/wing.js):

x_TE,mid = (x_0 + x_2N) / 2
c_curve  = x_TE,mid − x_N
x_unit   = (x − x_N) / c_curve
z_unit   = (z − z_N) / c_curve

Ergebnis: Die NURBS-Profilnase liegt bei (0, 0), die Endleistenmitte bei x_unit = 1.

Einschränkung: x(u) muss von der Profilnase zu jedem Endleistenendpunkt monoton steigen. Ein Rücklauf über 1e-4 der Profiltiefe ist ein Fehler (Abschnitt 1.5). Bei einem kleineren Rücklauf liefert der Löser für die betroffenen Stationen eine von mehreren Lösungen. Die Warnung non-monotonic der Plausibilitätsprüfungen prüft nur die Dateipunkte (x-Abnahme > 1e-6 der Profiltiefe zwischen benachbarten Punkten einer Profilseite), nicht die Kurve. Der Fehler folds der Plausibilitätsprüfungen weist ein Profil ab, dessen Ober- oder Unterseite an mehr als 50 Punkten in x zurückläuft: „Die Oberseite läuft an … Punkten in x zurück; die Grenze liegt bei 50.“ (Unterseite ebenso).

Jede Größe f eines Schnitts (x, z, Profiltiefe, Schränkung und die 2N + 1 Konturpunkte) wird entlang der Spannweite interpoliert. Linear und Gerade Felder bilden eine gewichtete Summe mit Gewichten w_i(y):

f(y) = Σ_i w_i(y) f_i          Σ_i w_i(y) = 1

• y außerhalb von [y_root, y_tip] wird auf den Bereich begrenzt.

• Linear überblendet das normierte Profil, die Profiltiefe und die Schränkung getrennt: In der Mitte zwischen zwei Schnitten ist die Station das überblendete Profil, skaliert mit der überblendeten Profiltiefe und gedreht um die überblendete Schränkung. Ändert sich die Profiltiefe zusammen mit dem Profil oder der Schränkung, biegt das Produkt das Feld, und die zusätzlichen Stationen aus Abschnitt 3.2 lassen die Fläche der Biegung folgen.

• Gerade Felder (Straight panels) verbinden die Punkte gleichen Profiltiefenanteils zweier benachbarter Schnitte mit geraden Linien, wie XFLR5 seine Felder baut:

  S(u_j, v) = (1 − t) P_j(y_i) + t P_j(y_(i+1))          t = (y − y_i) / (y_(i+1) − y_i)
  

  P_j(y_i) ist Punkt j des Schnitts i, im Raum platziert, in der Ebene des Schnitts (Abschnitt 3.8). Mit Schnittebenen Auf Gehrung ist das die Fläche von XFLR5; mit Schnittebenen Senkrecht sind die Schnitte quer zu einem Feld mit V-Form dünner (Abschnitt 3.8). Beispiel: NACA 0014 bei 400 mm Profiltiefe und NACA 0008 bei 100 mm Profiltiefe, 100 mm voneinander entfernt. In der Mitte ergeben Gerade Felder eine Dicke von 32,0 mm (der Mittelwert von 56 mm und 8 mm), Linear 27,5 mm (11 % von 250 mm), und die Fläche bei Linear liegt bis zu 2,3 mm neben den geraden Linien (3,1 mm bei einer Schränkung von −3° am Rand). Gemessen an der STL-Datei, die der Code von XFLR5 6.62 schreibt: Das Randfeld von UltraStick120.xfl (NACA 0014 bei 406,4 mm bis zu einer Profiltiefe von 12,7 mm, 101,6 mm lang): Jeder Eckpunkt von XFLR5 liegt innerhalb von 0,04 mm der mit Gerade Felder gebauten Fläche (in der Mitte 100,03 % der Dicke von XFLR5) und bis zu 4,17 mm neben der mit Linear gebauten (69,75 %).

• Gerade Felder mit eingeschalteter Leitkurve stoppen den Aufbau: „Gerade Felder folgen keinen Leitkurven: die Leitkurven in der Registerkarte Grundriss ausschalten oder Einstellungen > Interpolation in Spannweitenrichtung auf „Linear“ oder „Glatt“ setzen.“

• Glatt (Smooth), Konstruktion (src/geom/spanwise.js), für jeden interpolierten Wert f mit den Schnittwerten f_i bei y_i, den Feldlängen h_i = y_(i+1) − y_i und den Sekanten d_i = (f_(i+1) − f_i) / h_i:

  1. Natürlicher kubischer Spline durch die Schnittwerte (zweite Ableitung 0 an Wurzel und Rand): Ein Tridiagonalsystem der Größe Schnitte − 2 (Thomas-Algorithmus, ohne Pivotsuche; das System ist diagonaldominant) liefert die zweiten Ableitungen D_i, eine rechte Seite je Wert. Steigung am Schnitt i: m_i = d_i − h_i (2 D_i + D_(i+1)) / 6; am Randschnitt m = d + h (D_(n−2) + 2 D_(n−1)) / 6 des letzten Feldes.

  2. Begrenzung (Fritsch und Carlson, 1980): m_i = 0, wo die Sekanten der beiden Felder am Schnitt i verschiedene Vorzeichen haben oder eine von ihnen 0 ist; sonst wird |m_i| auf 3 · min(|d_(i−1)|, |d_i|) begrenzt. Wurzel- und Randschnitt haben ein Feld. Eine übergelaufene Steigung (NaN, keine Zahl) wird 0.

  3. Im Feld i, mit t = (y − y_i) / h_i:

     f(y) = f_i H00(t) + f_(i+1) H01(t) + h_i m_i H10(t) + h_i m_(i+1) H11(t)
     H00 = (1 − t)² (1 + 2t)   H01 = t² (3 − 2t)   H10 = t (1 − t)²   H11 = −t² (1 − t)
     

  Liegen beide Steigungen eines Feldes zwischen dem 0- und dem 3-Fachen seiner Sekante, ist das kubische Polynom im Feld monoton und bleibt zwischen den beiden Schnittwerten. Die Steigung ist an den Schnitten stetig (C1). Wo die Steigungen des Splines die Grenzen schon einhalten, gleicht die Interpolation dem natürlichen kubischen Spline. n Schnitte mit m Werten: einmal O(n · m) Rechenschritte, dann O(m) je Spannweitenposition aus den beiden benachbarten Schnitten.

• Glatt, Profilform: Für jede Tiefenstation k interpoliert Glatt den Mittelwert (P_(N−k) + P_(N+k)) / 2 und die Differenz P_(N−k) − P_(N+k) des oberen und des unteren Punkts (Abschnitt 3.6: Dicke t_k), nicht die beiden Punkte einzeln. Die Dicke des interpolierten Profils bleibt zwischen den Dicken der beiden Schnitte des Feldes.

• Glatt, Folgen: x der Profilnase, Profiltiefe, z, Schränkung, Mittellinie und Dicke bleiben in jedem Feld innerhalb der Werte seiner beiden Schnitte. Ein Schnitt, an dem ein Wert ein lokales Maximum oder Minimum hat (die Profiltiefe eines gekrümmten Grundrisses, x einer gewellten Kante), erhält dort die Steigung 0. Ein Feld zwischen zwei gleichen Werten bleibt konstant, z. B. ein Profil, das von der Wurzel bis zum nächsten Schnitt gleich bleibt. Ein Profilwechsel, ein Tiefensprung oder ein Schränkungssprung zwischen zwei Schnitten im Abstand 0,5 mm, wie der XFLR5-Import sie legt (Schnitt um min(0,5 mm, 1/4 des Feldes) verschoben), findet innerhalb dieser 0,5 mm statt. Zum Vergleich: Der natürliche kubische Spline durch 250, 250, 200 und 150 mm Profiltiefe bei y = 0, 300, 300,5 und 600 mm erreicht 6 018,68 mm bei y = 173,4 mm.

• Glatt gegen den natürlichen kubischen Spline durch dieselben Schnitte, größter Abstand der Stationspunkte beider Flächen (Stationen je Feld 8, Schnittebenen Senkrecht): Vorlagen des Assistenten mit 2 Schnitten (Trainer, Sportmodell (Sport), Delta-Jet (Delta jet), Brettnurflügel (Plank), Leitwerk (Tail surface)) 0 mm (Hutfunktionen); Segelflugmodell (Glider) und Doppeldelta (Double delta) 0 mm (ein Profil; Segelflugmodell mit Ebenen Auf Gehrung 0,07 mm); Pfeilnurflügel (Swept flying wing) 0,07 mm (das Profil des Wurzelfeldes, von der Wurzel bis Schnitt 2 gleich); Hochleistungssegler (Sailplane) 2,55 mm (Profiltiefe des Wurzelfeldes: Der Spline erreicht 210,85 mm über der Wurzeltiefe von 210 mm, die Interpolation bleibt höchstens bei ihr); Batwing 14,53 mm (Profiltiefe bei y = 267 mm: Der Spline erreicht 614,49 mm zwischen Schnitten mit 581,9 und 606,9 mm). XFLR5- und flow5-Testdateien (test/fixtures/), Flächen mit 3 oder mehr Schnitten: 0,95 bis 1,58 mm (Fixture A und B, basic.fl5 1,47 mm), Rascal110.xfl 1,36 mm (Flügel) und 5,74 mm (Höhenleitwerk), UltraStick25e 115,37 mm (Flügel; der Spline erreicht bei y = 484,8 mm eine Profiltiefe von 369,92 mm zwischen Schnitten mit 260,35 und 250,82 mm, die Interpolation 257,20 mm) und 85,15 mm (Höhenleitwerk).

Der Randschnitt ist die letzte Station. Anzahl der Stationen: D · K + (Schnitte − 1 − D) + 1, dazu die zusätzlichen Stationen unten (Linear und Glatt; Gerade Felder fügen keine hinzu). D ist die Anzahl der Felder mit K Stationen: Schnitte − 1 (alle Felder) mit eingeschalteter Leitkurve oder mit Glatt; sonst die Felder mit Linear zwischen Gehrungsebenen verschiedener Neigung. Beispiele: Entwurfstyp Segelflugmodell (Glider), 3 Schnitte, K = 8: 17 Stationen; Entwurfstyp Sportmodell (Sport) (2 Schnitte, 1,5° V-Form, Auf Gehrung): 9 Stationen.

In einem Feld mit Linear zwischen Gehrungsebenen trägt jede Zwischenstation das überblendete Profil in ihrer eigenen Ebene (Neigung und Dickenstreckung aus Abschnitt 3.8), wie mit einer Leitkurve. Mit einer Station je Feld wäre die Fläche die Regelfläche von Gerade Felder. Die beiden unterscheiden sich, wo sich die Profiltiefe zusammen mit dem Profil oder der Schränkung ändert: Beim Entwurfstyp Sportmodell (MH 32 bei 240 mm und bei 144 mm, −1° Schränkung am Rand) liegt die Regelfläche bis zu 0,314 mm neben der Fläche bei Linear, und das Volumen unterscheidet sich um 0,09 %. Derzeitige Einschränkung: Jeder Unterschied der Neigung schaltet ein Feld bei Linear von einer Station auf K Stationen um. NACA 2412 bei 300 mm Profiltiefe bis NACA 0009 bei 100 mm Profiltiefe, −4° Schränkung, 600 mm langes Feld: Eine V-Form von 1e-6° statt 0° verschiebt die Fläche um bis zu 0,17 mm und ändert das Volumen um 0,25 %.

y_(i,k) = y_i + (y_(i+1) − y_i) (1 − cos(π k / K)) / 2          k = 0 … K − 1

Unterscheidbare Spannweitenanteile: a < b sind unterscheidbar, wenn b − a > max(4 ε · max(|a|, |b|), 2^-1021), ε = 2^-52 (paramsApart in src/geom/nurbs.js). Zwei nicht unterscheidbare Schnitte sind ein Fehler; eine Zwischenstation, die von der letzten behaltenen Station oder vom Rand nicht unterscheidbar ist, entfällt; Leitkurven im Modus „Durch Punkte“ wenden dieselbe Regel auf das normierte y ihrer Punkte an.

Flächengitter (loftGrid in src/model/budget.js): Stationen mal Konturpunkte vor dem Einfügen zusätzlicher Stationen, (D · K + (Schnitte − 1 − D) + 1) · (2N + 1) Punkte. Mit D = 0 (Linear ohne Leitkurve und ohne Felder zwischen Gehrungsebenen verschiedener Neigung, und Gerade Felder) gilt K_set = 1. Die Grenzen gelten in jedem Modus.

Zusätzliche Stationen (Linear und Glatt): Die Fläche verläuft nur durch die Stationen. Zwischen den Stationen kann sie von der vorgesehenen Fläche abweichen, auch durch Schränkung. Gerade Felder überspringen den Vergleich: Die geraden Linien zwischen den Schnitten sind die vorgesehene Fläche, und es wird keine Station hinzugefügt. Nach der Flächenanpassung (Abschnitt 4) vergleicht der Aufbau Flächenpunkte mit den Punkten einer bei y platzierten Station (Abschnitte 3.4, 3.7, 3.8), im Raum (probe in src/geom/wing.js).

Derselbe Vergleich liefert die Profiltiefe und die örtliche Dicke der angepassten Fläche (Abschnitt 3.6).

Beispiel: Entwurfstyp Pfeilnurflügel (Swept flying wing) mit 3 Schnitten, Linear und Schränkung am Rand −4°: 2 zusätzliche Stationen bei y = 150,0 mm und y = 450,0 mm. Derselbe Entwurfstyp mit Schränkung am Rand 0°: keine zusätzliche Station.

Spitze elliptische Flügelenden: Im Assistenten stehen Grundriss (Planform) auf Elliptisch (mit Leitkurven) (Elliptic (guide curves)) und Flügelende (Tip) auf Spitz (Maßstab 1/200) (Pointed (1/200 scale)). Jeder der 6 Entwurfstypen mit geradem oder elliptischem Grundriss (Trainer, Sportmodell, Segelflugmodell, Pfeilnurflügel, Brettnurflügel, Leitwerk) ergibt 5 bis 9 zusätzliche Stationen. Größte Abweichung an den Prüfpositionen: 0,077 mm (Leitwerk (Tail surface)) bis 0,371 mm (Pfeilnurflügel), unter der Toleranz; keine Warnung. Nasenlinie und Endlinie enden ein Viertel und drei Viertel der Randtiefe um die Pfeillinie, sodass der Randschnitt seinen Viertelpunkt auf dieser Linie behält. Innerhalb von 2 mm vor dem Flügelende weichen x von Nasen- und Endleiste der Fläche höchstens 0,044 mm (Pfeilnurflügel; 2001 Spannweitenpositionen) vom vorgesehenen Grundriss ab; die übrigen Konturpunkte dort sind nicht gemessen, und die Warnung erfasst diese Positionen nicht.

Nasenlinie (Nasenleiste) und Endlinie (Endleiste): ebene B-Spline-Kurven in der Grundrissebene (x, y), Punkte P_0 … P_n.

Bedingungen (Verletzung = Fehler, keine Fläche):

• mindestens 2 Punkte, alle Werte endlich
• y von Punkt zu Punkt streng steigend
• y(t) nicht fallend, geprüft an 401 Parametern mit Toleranz 1e-9 mm
• x jedes Kontrollpunkts der Kurve innerhalb von ±1 200 000 mm (LIMITS.maxExtent); bei Durch Punkte sind das die Kontrollpunkte, die die Interpolation berechnet. Ein B-Spline liegt in der konvexen Hülle seiner Kontrollpunkte, daher bleibt die ganze Kurve in dieser Grenze. Meldung: „Nasenlinie: Die Kurve durch die Punkte erreicht x = … mm, jenseits von ±1.200.000 mm; die Punkte in y gleichmäßiger verteilen oder den Modus ‚Kontrollpunkte‘ verwenden.“ (Endlinie: „Endlinie: …“)

Mit Durch Punkte ist y(t) linear in t, weil ein Spline lineare Funktionen exakt wiedergibt.

Abbildung auf die Spannweite: Der y-Bereich der Leitkurve [y_first, y_last] wird linear auf [y_root, y_tip] gestreckt.

f   = clamp((y − y_root) / (y_tip − y_root), 0, 1)
t   = Lösung von (y(t) − y_first) / (y_last − y_first) = f
      (Löser aus Abschnitt 2 auf dem normierten y, bis das t-Intervall höchstens 1e-15 breit ist)
x   = x(t)

Auf Schnitte zurücksetzen (Reset to sections) setzt die Punkte der Leitkurve auf die Kanten der Schnitte:

Eine ausgeschaltete Leitkurve ohne Bearbeitung folgt diesen Punkten (Dateiformate, Abschnitt guides.nose, guides.end). x eines Leitkurvenpunkts ist auf ±1 100 000 mm begrenzt (LIMITS.maxGuideCoordinate): x eines Schnitts bis 1 000 000 mm plus eine Profiltiefe bis 100 000 mm.

Registerkarte Grundriss, Entwurfstyp Segelflugmodell. Bedienelemente: Benutzerhandbuch, Abschnitt Grundriss.

z und Schränkung werden immer interpoliert.

Spitzes Flügelende:

c_tip = max(r · c(y_prev), 1 mm)

Beispiel: Entwurfstyp Segelflugmodell (Leitkurven enden 90 mm voneinander entfernt) mit Flügelende = Spitz (Pointed): c_tip = 1 mm, Randtiefe 90 mm, Warnung „Spitzes Flügelende: Nasenlinie und Endlinie enden 90,0 mm voneinander entfernt, daher beträgt die Randtiefe 90,0 mm statt 1,00 mm“.

Prüfpositionen y:

• jede Station aus Abschnitt 3.2
• 257 gleichmäßig verteilte Positionen: y_root + (y_tip − y_root) k / 256, k = 0 … 256
• y jedes Kontrollpunkts einer Leitkurve und des Kurvenpunkts an jedem Knoten, linear auf [y_root, y_tip] abgebildet

Dicke an einer Prüfposition als Anteil der Profiltiefe (oberer minus unterer Punkt an derselben Tiefenstation):

t_k = z_unit,(N−k) − z_unit,(N+k)          k = 1 … N − 1

Tiefenstationen hinter 99 % der Profiltiefe (s_k > 0,99): Ein negatives t_k mit einem Betrag bis min(1e-4, 0,1 mm / c) zählt als 0. Die neu abgetastete Endleiste eines spitz auslaufenden Profils kann in einer Kreuzungsschleife liegen, die die Kurvenprüfung aus Abschnitt 1.4 zulässt (Schleifen mit einer mittleren Breite bis 5e-4 der Profiltiefe, höchstens 0,1 mm).

Positionen der angepassten Fläche: die Prüfpositionen und die Viertelpunkte 0,25, 0,5 und 0,75 jedes Stationsintervalls nach der letzten Anpassung (Abschnitt 3.2).

Örtliche Dicke der angepassten Fläche bei y, für die verglichenen Tiefenstationen k aus Abschnitt 3.2: die Flächenpunkte S(u_(N−k), v) und S(u_(N+k), v), zurückgerechnet in das System mit Einheitstiefe der Station bei y (Verschiebung, Neigung, Tiefenmaßstab, Schränkung und Dickenstreckung rückgängig gemacht), oberes z minus unteres z.

Prüfungen in der Reihenfolge des Codes. Jede Zeile ist ein Fehler; es wird keine Fläche aufgebaut.

Je Station, nach der Interpolation:

Änderung der Endleistendicke: Die Oberseite verschiebt sich um die halbe Änderung nach oben, die Unterseite nach unten. Das Gewicht steigt linear von 0 an der Profilnase auf 1 an der Endleiste; die Profilnase bleibt an ihrem Ort.

δ = (g − g_current) / 2
w = clamp((x − x_LE) / (x_TE,branch − x_LE), 0, 1)
Oberseite:  z ← z + δ w
Unterseite: z ← z − δ w

Eine negative Dicke nach dieser Änderung ist ein Fehler beim Aufbau (Abschnitt 3.6).

Topologie der Endleiste über alle Stationen:

Punkt mit Einheitstiefe (x_unit, z_unit) aus Abschnitt 2, Schränkung θ, Drehpunkt f_pivot, Neigung φ und Dickenstreckung m der Schnittebene. Die Schränkung dreht das Profil in seiner Ebene um den Drehpunkt (f_pivot, 0); die Dickenstreckung skaliert seine Dicke vor der Schränkung.

dx  = x_unit − f_pivot
r_x =  dx cos θ + m z_unit sin θ
r_z = −dx sin θ + m z_unit cos θ
X = x_LE + c (f_pivot + r_x)
Y = y − c r_z sin φ
Z = z + c r_z cos φ

Die Schnittebene verläuft durch die Schnittposition (y, z), die die ungeschränkte Profilnase, der Drehpunkt und die Endleiste gemeinsam haben. Ihre Aufwärtsrichtung ist (0, −sin φ, cos φ), ihre Normale (0, cos φ, sin φ). Mit φ = 0 und m = 1 liegt der Schnitt in der Ebene Y = y.

Einstellungen (Settings) > Schnittebenen (Section planes) (settings.sectionPlanes, src/geom/planes.js):

• Stationen zwischen Schnitten: φ wird wie die Schränkung überblendet (Abschnitt 3.1). Linear: m = 1 / cos(φ − δ) mit δ des Feldes der Station. Glatt: φ folgt der formerhaltenden kubischen Kurve durch die Neigungen der Schnitte, und δ ist die V-Form der überblendeten Bezugslinie an der Station, atan(dz/dy) der kubischen Kurve durch die Schnittpositionen z; m = 1 / cos(φ − δ). An einem Schnitt ist δ die Steigung der kubischen Kurve dort, nicht die V-Form eines Feldes, daher weicht die Dickenstreckung an den Schnitten von Linear ab. Gespeicherte Feldwinkel addieren ihren Unterschied zur V-Form ihres Feldes zu δ, entlang der Spannweite wie die Neigungen überblendet (an einem Schnitt der Mittelwert der beiden benachbarten Felder, an Wurzel und Rand der Wert seines einen Feldes; ein Feld schmaler als 1 mm in y trägt nichts bei), sodass δ stetig bleibt. Ein Feld schmaler als 1 mm in y nimmt den Winkel, den seine beiden Schnitte teilen (kurze Felder, unten), wie bei Linear. Die Prüfung „Schnittebenen, Drehung“ nimmt δ allein aus den Schnittpositionen.
• Dicke quer zu einem Feld, mit Glatt quer zur überblendeten Bezugslinie: m cos(φ − δ) = 1 der Profildicke mit Auf Gehrung, cos δ mit Senkrecht. 35°-V-Leitwerk: Die senkrechten Schnitte haben quer zum Feld 81,9 % der Dicke; die Wurzel auf Gehrung trägt das Profil auf das 1,221-Fache gestreckt.
• Die Schränkung dreht das Profil um die Normale seiner Ebene, wie in XFLR5 und flow5. Entlang x gesehen trifft ein um φ geneigter Schnitt mit der Schränkung θ die Anströmung unter atan(tan θ cos φ): 1,64° bei 2° Schränkung und 35°.
• Die Wurzelebene ist in beiden Modi senkrecht, daher treffen sich die beiden Hälften in der Ebene y = 0.
• Glatt verschiebt einen Flügel mit V-Form gegenüber Linear, wo die kubische Kurve die Bezugslinie biegt; die Vorlagen des Assistenten mit Glatt verschieben sich um bis zu 1,8 mm gegenüber senkrechten Ebenen (Hochleistungssegler, 10° V-Form außen). An der Wurzel bleibt die Ebene senkrecht, während die kubische Kurve sie bis zu 3-mal so steil wie das erste Feld verlassen kann (Abschnitt 3.1); die Prüfung „Schnittebenen, glatte Dickenstreckung“ (Abschnitt 3.6) stoppt dort eine Dickenstreckung über 2.
• Feldwinkel: Ein Schnitt kann den Winkel des Feldes zum nächsten Schnitt speichern (Spalte Feldwinkel (Panel angle) der Registerkarte Schnitte, sichtbar mit Auf Gehrung; panelAngle in der Projektdatei, Grad, innerhalb von ±89,9999°). Die Ebenen verwenden ihn als δ dieses Feldes, für die Neigungen und für die Dickenstreckung. Leer: δ aus den Schnittpositionen; das Feld zeigt ihn als „auto …“. Der Randschnitt hat kein Feld. Der XFLR5-Import speichert die V-Formen von XFLR5 (unten).
• Die Ebenen folgen den Schnittpositionen. Ein in z verschobener Schnitt ändert die Neigung seiner Ebene und der Ebenen seiner Nachbarn. Ein gespeicherter Feldwinkel bleibt, wenn ein Schnitt verschoben wird. Ein in der Mitte eines Feldes eingefügter Schnitt übernimmt den Feldwinkel, den das Feld speichert.
• Kurze Felder: Ein Feld, das in y weniger als 1 mm breit ist (SHORT_PANEL in src/geom/planes.js), gilt als kein Feld. Die Schnitte an seinen Enden teilen sich eine Ebene: die winkelhalbierende Ebene der Felder um es herum; vor dem ersten Feld die senkrechte Ebene, nach dem letzten Feld die Ebene rechtwinklig zu ihm. Ihre Dickenstreckung bezieht sich auf diese Felder. XFLR5 überspringt Felder, die entlang der Spannweite kürzer als 0,1 mm sind, auf dieselbe Weise. Derzeitige Einschränkung: Ein Feld von 0,1 mm bis 1 mm Länge in einer XFLR5-Datei ist in XFLR5 ein Feld, in Wingdesigner keines; seine beiden Schnitte liegen in einer Ebene.
• Grenzen: Dickenstreckung höchstens 2 und keine Faltung zwischen benachbarten Ebenen (Abschnitt 3.6).
• Projektdateien des Formats Version 1 enthalten keine Einstellung der Schnittebenen und öffnen mit Senkrecht (Dateiformate).

Schnitte aus einem XFLR5-Import. XFLR5 ist ein Programm zur Analyse von Profilen und Flügeln. Der Import setzt Drehpunkt der Schränkung (Anteil der Profiltiefe) (f_pivot) auf 0,25, den Punkt, um den XFLR5 einen Schnitt schränkt, Interpolation in Spannweitenrichtung auf Gerade Felder, die Bauweise der Felder von XFLR5 (Abschnitt 3.1), und Schnittebenen auf Auf Gehrung, die Ebenen von XFLR5. Ein Teil, dessen Gehrungsebenen sich falten würden, wird mit Schnittebenen Senkrecht importiert. Der Einstellwinkel des Flügels im XFLR5-Flugzeug wird zum Einstellwinkel des Teils um den Ursprung des Flügels (Abschnitt 3.9). Außerdem wendet er eine Regel der Profillage an. XFLR5 zeichnet die Koordinaten eines Profils, wie sie sind; der Aufbau legt die Profilnase der Kurve (Abschnitt 1.3) auf den Schnittursprung und skaliert das Profil auf die Profiltiefe 1 (Abschnitt 2). Sind die Koordinaten bekannt, die XFLR5 verwendet hat (ein Profil der .xfl-Datei, eine hochgeladene .dat-Datei, ein NACA-Schnitt), verschiebt und skaliert der Import den Schnitt um den Unterschied, sodass das Profil dort liegt, wo XFLR5 es zeichnet. Jeder Unterschied wird angewendet; der Bericht nennt die über 0,1 % der Profiltiefe. Die Verschiebung dreht ein Feld, dessen beide Schnitte sich verschieden verschieben (zwei Profile oder ein Profil mit zwei Schränkungen). Ein solcher Schnitt speichert die V-Form von XFLR5 als seinen Feldwinkel, wenn sie um mehr als 0,001° von der V-Form der verschobenen Schnitte abweicht; so bleiben die Ebenen und Dickenstreckungen die von XFLR5. Schnitte mit einem Bibliotheksprofil oder einem anderen Profil des aktuellen Projekts behalten die Werte der Datei. Wie der Import die Schnitte, den Drehpunkt und die Interpolation setzt, mit Regeln und Formeln: Dateiformate, Abschnitt XFLR5-Import, Unterabschnitt Abbildung auf Schnitte.

Einstellungen > Einstellwinkel des Teils (°, positiv = Nasenleiste hoch) (Part tilt; t, settings.partTilt) und Rollwinkel des Teils (°, positiv = rechter Randbogen hoch) (Part roll; r, settings.partRoll) drehen den ganzen Halbflügel als starren Körper (src/geom/part.js). Beide liegen innerhalb von ±180°, Vorgabe 0°. Die Abschnitte 3.1 bis 3.8, die Fläche aus Abschnitt 4 und die Prüfungen beim Aufbau arbeiten im Koordinatensystem des Teils; die Transformation T wirkt auf die angepasste Fläche.

Drehpunkt P = (P_x, P_y, P_z): settings.partPivot, wenn gespeichert (der XFLR5- und der flow5-Import speichern den Ursprung des Flügels mit P_y = 0), sonst die Nasenleiste (x, y, z) des Wurzelschnitts. Einstellungen nennt ihn unter den beiden Feldern.

erst der Rollwinkel r um die x-Achse durch P:
  x1 = x − P_x
  y1 = (y − P_y) cos r − (z − P_z) sin r
  z1 = (y − P_y) sin r + (z − P_z) cos r
dann der Einstellwinkel t um die y-Achse durch P:
  X = x1 cos t + z1 sin t + P_x
  Y = y1 + P_y
  Z = −x1 sin t + z1 cos t + P_z

T(p) = M (p − P) + P      M = | cos t    sin t sin r    sin t cos r |
                              | 0        cos r          −sin r      |
                              | −sin t   cos t sin r    cos t cos r |

• Vorzeichen: Ein positiver Einstellwinkel hebt die Nasenleiste (ein Punkt vor dem Drehpunkt, x < P_x, wandert nach oben); ein positiver Rollwinkel hebt den rechten Randbogen (ein Punkt außerhalb des Drehpunkts, y > P_y, wandert nach oben).
• Richtungen (Normalen von Ebenen, die Bezugsrichtung x einer Abschlussfläche) drehen sich nur mit M.
• Linke Hälfte, nach Linke Hälfte (Left half; settings.leftHalf), mit S(x, y, z) = (x, −y, z):
  • "mirror" (Vorgabe): S(T(p)), das Spiegelbild der gedrehten rechten Hälfte an der Ebene y = 0.
  • "turned": T(S(p)), das Spiegelbild der ungedrehten rechten Hälfte, mit ihr gedreht: Der ganze Flügel dreht sich als ein Körper, so wie flow5 einen zweiseitigen Flügel um seinen Rollwinkel Rx_angle dreht. Die linke Hälfte rollt dann in die andere Richtung als mit "mirror"; der flow5-Import setzt "turned" für einen gerollten zweiseitigen Flügel (Dateiformate, Abschnitt flow5-Import).
  • Bei r = 0 stimmen beide überein: Eine Drehung um die y-Achse erhält die Ebene y = 0.
  • Eine gerollte Wurzel liegt nicht in der Ebene y = 0, daher fügen die Dreiecksnetze die Hälften nicht zusammen (Abschnitt 5).
  • Spannweite (Kennwerte): 2 |y| des gedrehten rechten Randbogens mit "mirror"; der Abstand in y der gedrehten Randbögen mit "turned".
• Der flow5-Import speichert Ry_angle als t und Rx_angle als r: flow5 dreht einen Flügel erst um x, dann um y, beide um den Ursprung des Flügels, mit denselben Vorzeichen.
• Ausdehnung: Nach der Anpassung muss jeder mit T gedrehte Kontrollpunkt (mit Linke Hälfte "turned" auch jeder Kontrollpunkt der linken Hälfte, T(S(p))) in x, y und z innerhalb von ±1 200 000 mm liegen (LIMITS.maxExtent); die Fläche liegt in der konvexen Hülle ihrer Kontrollpunkte. Sonst bricht der Aufbau ab mit: Das gedrehte Teil reicht bis x = … mm, y = … mm, z = … mm, außerhalb von ±1.200.000 mm; Einstellwinkel oder Rollwinkel des Teils verkleinern oder das Teil näher an seinen Drehpunkt legen.
• Gedreht: die 3D-Ansicht (partMatrix in src/ui/viewer3d.js), die Dreiecksnetze für STL und 3MF (Abschnitt 5), die STEP-Volumenkörper (Abschnitt 6) und die Positionen der Kennwerte (Abschnitt 7). Im Koordinatensystem des Teils: die Tabelle der Registerkarte Schnitte, die Registerkarte Grundriss, die Projektdatei und die Schaumkerne (Abschnitt 8).
• Eine Drehung um y erhält Ebenen y = konst. Mit Schnittebenen Senkrecht baut ein in die Schnittwerte eingerechneter Einstellwinkel (jeder Drehpunkt der Schränkung um P gedreht, t zu jeder Schränkung addiert) dasselbe Teil wie der starre Einstellwinkel: innerhalb von 1e-6 mm in den Unit-Tests der Aktualisierung von Dateien der Version 2 (Dateiformate, Abschnitt Projekt-JSON). Mit Ebenen Auf Gehrung dreht nur der starre Einstellwinkel die Ebenen mit dem Teil, wie XFLR5.

Tensorprodukt-B-Spline-Fläche S(u, v) durch das Stationsgitter Q (2N + 1 Punkte je Station).

Mit Glatt haben die Stationswerte an den Schnitten eine stetige Steigung (Abschnitt 3.1); jedes Feld wird trotzdem für sich interpoliert, daher ist die Fläche dort C0. Eine Interpolation über alle Stationen schwingt neben einem kurzen Feld mit schneller Änderung aus: NACA 2415 auf NACA 2408 zwischen Schnitten im Abstand 0,5 mm neben einem 300 mm langen Feld stülpt diese Fläche um (örtliche Dicke −34,5 % der Profiltiefe bei y = 304,9 mm, Stationen je Feld 8).

Ablauf:

1. Jede Stationszeile entlang u interpolieren (eine Band-LU-Zerlegung gilt für alle Zeilen). Bei geschlossener Endleiste (closedTE) hat die Zeile zusätzlich vorgegebene Endableitungen: die Sekanten D_0 = (Q_1 − Q_0) / u_1 und D_2N = (Q_2N − Q_(2N−1)) / (1 − u_(2N−1)) zur ersten Profilstation (secantEndInterpolation in src/geom/nurbs.js; The NURBS Book, Abschnitt 9.2.2, Gl. 9.21).
2. Jede Spalte der erhaltenen Kontrollpunkte entlang v interpolieren (Band-LU, Abschnitt 1.2).
3. y der Kontrollpunkte bei v = 0 auf y_root setzen und die Kontrollpunkte bei v = 1 auf die Randebene projizieren (y = y_tip bei φ = 0). Das entfernt Rundungsfehler des Lösers: Die Zeilen an Wurzel und Rand liegen in ihren Ebenen (15 STEP-Fälle: innerhalb von 3e-13 mm, Abschnitt 6).

Endtangenten an einer geschlossenen Endleiste: Ohne vorgegebene Endableitungen nimmt jedes Ende seine Tangente aus der Krümmung der Zeile weiter innen. An einer spitz auslaufenden Endleiste (Dicke und Keilwinkel an der Endleiste 0) ist die erste Profilstation, bei N = 60 um 6,85e-4 der Profiltiefe von der Endleiste entfernt, nur 9e-6 bis 5e-5 der Profiltiefe dick, und die Endtangente der Oberseite kann dann unter der der Unterseite liegen. Beispiel cusped-closed (Abschnitt 6), Wurzeltiefe 240 mm: Die erste Profilstation liegt 0,164 mm vor der Endleiste und ist 0,0022 mm dick, die Steigungen der Sekanten zu ihr sind 0,7063 (oben) und 0,6928 (unten). Freie Enden ergeben Endsteigungen von 0,6962 und 0,7088: Die Oberseite liegt bis 0,046 mm vor der Endleiste unter der Unterseite (1,2e-4 mm tief), und der Umriss der Wurzelfläche schneidet sich selbst. Sekanten als Endtangenten ergeben 0,7063 und 0,6928 und keine Überschneidung. Eine Endleiste mit Spalt behält freie Enden.

Eigenschaften:

• S verläuft durch jeden Stationspunkt: S(u_j, v_k) = Q_(j,k).
• Die Isokurve u = u_LE verläuft durch die Profilnase jeder Station.
• Kontrollpunkte je Halbflügel: (2N + 1) × Stationen; (2N + 3) × Stationen bei geschlossener Endleiste.
• Die Flächenzeilen an jedem Schnitt, in der Mitte zwischen benachbarten Schnitten und in der Mitte zwischen den Stationen der 64 breitesten Stationsintervalle werden auf Selbstüberschneidung geprüft (Abschnitt 1.4).

Entwurfstyp Pfeilnurflügel (Swept flying wing) mit 3 Schnitten, 2 zusätzlichen Stationen, Linear und ohne Leitkurve, angezeigt mit Einstellungen (Settings) > NURBS-Kontrollnetz zeigen (Show NURBS control net). Die 121 Netzlinien entlang der Spannweite liegen in diesem Maßstab so dicht, dass sie als Schattierung erscheinen.

Dreiecksnetze für den Export als STL (Stereolithografie) und 3MF (3D Manufacturing Format) und für die 3D-Ansicht.

d = Wert von Netzdichte (STL, 3MF) (Mesh density (STL, 3MF)): 1 bei Normal, 2 bei Fein (4-fache Dreiecksanzahl) (Fine (4x triangles)). Die 3D-Ansicht tastet mit d = 1 ab. Die Anzahlen unten gelten für die Exportnetze.

Anzahlen je Halbflügel (n_u = 2N · d, V = Anzahl der Abtastwerte in v):

Beispiel: Entwurfstyp Sportmodell (Sport), N = 60, d = 1, offene Endleiste: Schnittebenen Auf Gehrung (9 Stationen, Grad 3 entlang v, V = 25): 3025 Eckpunkte, 6046 Dreiecke je Halbflügel; Senkrecht (2 Stationen, Grad 1, V = 2): 242 Eckpunkte, 480 Dreiecke.

• Orientierung: Jedes Dreieck zeigt nach außen (Normale S_v × S_u).
• Abschlussflächen: Die Konturen an Wurzel und Rand werden in der Ebene ihres Schnitts trianguliert (x und die Aufwärtsrichtung seiner Neigung φ; die x-z-Ebene bei φ = 0). Oberer Punkt k bildet ein Paar mit unterem Punkt k (dieselbe Tiefenstation): 2 Dreiecke je Stationsintervall, lineare Laufzeit.
• Andere Diagonale: Läuft ein Dreieck eines Vierecks nicht gegen den Uhrzeigersinn, verwendet das Viereck seine andere Diagonale (verfeinerte Tiefenstationen bilden keine genauen Paare). Mit nur einer Diagonale fällt eine Abschlussfläche bei Fein (Fine) mit geschlossener Endleiste (NACA 4415, 200 Tiefenstationen je Profilseite) auf Ear Clipping zurück: 2,2 s.
• Rückfall für Abschlussflächen: Ear Clipping (Abschneiden von Ohren). Er greift, wenn ein Viereck mit keiner der beiden Diagonalen nur Dreiecke gegen den Uhrzeigersinn ergibt. Er greift auch, wenn die Dreiecksflächen um mehr als 1e-9 (relativ) von der Konturfläche abweichen. Beide Flächen werden relativ zu einem Eckpunkt der Kontur summiert, sodass ein Flügel 1 000 000 mm vom Ursprung entfernt die Streifen behält.
• Lage des Teils (Abschnitt 3.9): Die Eckpunkte des Halbflügels werden vor der Spiegelung mit T gedreht.
• Linker Halbflügel: y → −y, Umlaufsinn der Dreiecke umgekehrt. Mit Linke Hälfte "turned" und einem Rollwinkel des Teils kommt die Spiegelung zuerst, und T dreht die gespiegelten Eckpunkte (Abschnitt 3.9).

Datei im Format STEP nach ISO 10303 (ISO: International Organization for Standardization), Schema AP214 (Application Protocol 214). Jeder Halbflügel ist ein MANIFOLD_SOLID_BREP (Volumenkörper in Randdarstellung, boundary representation) mit einer CLOSED_SHELL. Namen der Volumenkörper: <name> right, <name> left. Kopfdaten, Einheiten und Toleranz: Dateiformate.

Lage des Teils (Abschnitt 3.9): Jeder Punkt (Kontrollpunkte von Flächen und Kurven, Eckpunkte, die Ursprünge der Ebenen der Abschlussflächen) wird mit T gedreht, jede Richtung (Normalen der Abschlussflächen und Bezugsrichtungen) mit M; die linke Hälfte wird nach der Drehung gespiegelt, mit Linke Hälfte "turned" davor (Abschnitt 3.9); danach dreht die Fusion-360-Korrektur die Achsen. Lage und Drehung sind Rotationen und erhalten die Orientierungsflags. Die Tabellen unten geben die Normalen im Koordinatensystem des Teils an.

Teilung: Die Fläche wird bei u_LE durch Knoteneinfügen (A5.1) bis zur Vielfachheit 3 in jeder v-Spalte geteilt. Ein Teilungsparameter näher als 1e-10 an einem vorhandenen Knoten wird auf diesen Knoten gesetzt. Beide Teile erhalten auf [0, 1] normierte Knotenvektoren.

Flächen (Topologie) des rechten Halbflügels; (+) = Kante in eigener Richtung, (−) = umgekehrt:

• Geschlossene Endleiste: Obere und untere Endleiste sind eine Kante mit 2 gemeinsamen Knoten (Topologie).
• Kanten einer B-Spline-Fläche: die exakte Rand-Isokurve dieser Fläche (erste oder letzte Kontrollpunktzeile oder -spalte).
• Typ der Kantenkurven: B_SPLINE_CURVE_WITH_KNOTS. Wurzellinie und Randlinie haben den Grad 1.

Orientierungsflags:

Lage des Teils: Punkte und Richtungen der rechten Hälfte drehen sich mit T und M, die der linken Hälfte mit S ∘ T oder T ∘ S (Linke Hälfte, Abschnitt 3.9). Die Flags bleiben wie in der Tabelle: Die Spiegelung kehrt die Orientierung um, die Drehung erhält sie.

Prüfung: scripts/validate_step.py liest die von scripts/export-step-cases.mjs geschriebenen Dateien mit OpenCascade. Fälle: die 15 Fälle aus test/step-cases.js, 1 davon mit geschlossener, spitz auslaufender Endleiste (cusped-closed, Abschnitt 4), 6 davon mit Schnittebenen Auf Gehrung (ein 35°-V-Leitwerk mit Gerade Felder, einmal ohne und einmal mit Fusion-360-Korrektur (Y nach oben) geschrieben, ein Möwenflügel mit 15°/−5° mit Linear und mit Glatt, ein Profilwechsel mit Gerade Felder: zwei Schnitte 0,5 mm auseinander in y in einer Ebene zwischen Feldern mit 0° und 10°, das äußere Feld mit einem gespeicherten Feldwinkel von 10,5°, und part-tilt-roll: der Möwenflügel mit Einstellwinkel des Teils 8° und Rollwinkel des Teils 12° um den Drehpunkt (50, 0, −20) mm). Bei part-tilt-roll sind beide Volumenkörper gültig und geschlossen, das Volumen liegt innerhalb von 3,2e-5 des Netzvolumens und die Kanten der Abschlussflächen innerhalb von 1,9e-13 mm von ihren Ebenen.

Fusion-360-Korrektur des Exports (Dateiformate, Abschnitt „Körper je Datei“): Jeder Punkt und jede Richtung des Teils wird als (x, z, −y) geschrieben. Die Drehung ist eine Rotation, daher bleiben die Orientierungsflags.

Bestehenskriterien je Datei:

• Lesestatus IFSelect_RetDone
• Anzahl der Volumenkörper = erwartete Anzahl: 2; root-offset-half (Nur rechte Hälfte): 1
• je Volumenkörper: BRepCheck_Analyzer meldet ihn gültig
• je Volumenkörper: Hülle geschlossen (keine freien Kanten, keine fehlerhafte Orientierung)
• je Volumenkörper: Volumen > 0
• je Volumenkörper: Abweichung zum Netzvolumen ≤ 5e-4 (relativ) bei Verfeinerung u × 4 und v × 8
• je Volumenkörper: Jede Kante einer ebenen Fläche (der Abschlussflächen) liegt innerhalb von 1e-6 mm in ihrer Ebene, abgetastet an 51 Punkten je Kante. Eine senkrecht geschriebene Randfläche am Möwenflügel mit 15°/−5° liegt 0,67 mm neben ihren Kanten und ändert das Volumen nur um 0,0475 %, unter der Volumentoleranz.

MAC: mittlere aerodynamische Flügeltiefe (mean aerodynamic chord). Die Integrale verwenden den vorgesehenen Grundriss: x_LE(y) und c(y) aus Abschnitt 3.4, einschließlich Leitkurven und Mindesttiefe eines spitzen Flügelendes (planformAt in src/geom/wing.js). Quadratur: 5-Punkt-Gauß- Legendre, exakt für Polynome bis Grad 9, auf jedem Intervall [y_a, y_b] zwischen benachbarten Teilungspunkten. Teilungspunkte: Wurzel, Rand, die Schnitte und für jede eingeschaltete Leitkurve jeder Knoten und jeder Kontrollpunkt, auf die Spannweite des Flügels abgebildet (planformBreaks in src/geom/wing.js). Stationen sind keine Teilungspunkte: Der vorgesehene Grundriss knickt dort nicht, und die Teilung an 139 994 Stationen (20 000 Schnitte, Leitkurven mit 20 000 Punkten) dauerte 27 s. Ein Intervall wird halbiert, solange die beiden Hälften eines der 4 Integrale um mehr als 1e-10 seines Maßstabs ändern, höchstens 12-mal (REL_TOLERANCE, MAX_DEPTH in src/geom/stats.js).

S_half   = ∫ c dy
MAC      = ∫ c² dy     / S_half
y_MAC    = ∫ c y dy    / S_half
x_LE,MAC = ∫ c x_LE dy / S_half
x_25     = x_LE,MAC + 0.25 · MAC
b        = 2 · y_tip           (Koordinatensystem des Teils; gedrehtes Teil: unten)
S        = 2 · S_half
AR       = b² / S

∫ f dy   ≈ Σ_intervals (Δy / 2) Σ_i w_i f(y_a + (1 + t_i) Δy / 2)
t_i      = 0, ±0.538469310105683, ±0.906179845938664
w_i      = 0.568888888888889, 0.478628670499366, 0.236926885056189

halbiere [a, b], solange |I_left + I_right − I_whole| > 1e-10 · max(s, 1) · (b − a) bei einem Integral,
                   höchstens 12-mal
s        = c_max, c_max², c_max · y_max, c_max · max(|x_LE| + c)   (je Integral, über die Stationen)

Ein gedrehtes Teil (Abschnitt 3.9) ergibt die Positionen in den Achsen des Flugzeugs: Die Profilnase der MAC und der Punkt bei 25 % MAC drehen sich mit dem Teil, in der Höhe z der Stationen. S, MAC, Wurzel- und Randtiefe und die Quadratur bleiben im Koordinatensystem des Teils.

z_MAC              = z bei y_MAC, linear zwischen benachbarten Stationen
y_MAC', x_LE,MAC'  = Y und X von T(x_LE,MAC, y_MAC, z_MAC)
x_25'              = X von T(x_LE,MAC + 0.25 · MAC, y_MAC, z_MAC)
b                  = 2 · Y von T(x_LE, y, z der Randstation)
AR                 = b² / S

• Mit einem Rollwinkel gilt b = 2 · |(y_tip − P_y) cos r − (z_tip − P_z) sin r + P_y|: Ein Rollwinkel, der den Rand hebt, verkürzt die Spannweite; über 90° liegt der rechte Rand bei y < 0, und die Ränder bleiben 2 |y| auseinander; z. B. 30° am Beispielflügel der Unit-Tests. Ein Einstellwinkel erhält b (Y = y ohne Rollwinkel).
• Lage der MAC zeigt y_MAC' und x_LE,MAC', 25 % MAC (geometrischer Bezugspunkt) zeigt x_25'.

Quadraturfehler gegenüber der Mittelpunktregel mit 200 000 Intervallen (Abweichungen dieser Größe liegen innerhalb des Fehlers der Mittelpunktregel selbst):

• b: Spannweite, S: Flügelfläche, AR (aspect ratio): Streckung. b, S und AR gelten für beide Halbflügel.
• MAC, y_MAC und x_LE,MAC beziehen sich auf einen Halbflügel.
• Mit y_root > 0 enthält b die Lücke 2 · y_root in der Mitte, S nicht.
• Gespiegelte Hälfte zeigen (y < 0) (Show mirrored half (y < 0)) ändert nur die Darstellung, nicht die Kennwerte.
• x_25 ist ein geometrischer Bezugspunkt, keine Berechnung von Neutralpunkt oder Schwerpunkt.
• Ein Aufbauergebnis ohne planformAt fällt auf die Trapezregel über die Stationen zurück; buildWing setzt planformAt immer.

Beispiel: Entwurfstyp Segelflugmodell (Flügelende = Flach, N = 60, K = 8): Spannweite 2.000,0 mm, Flügelfläche 33,73 dm², Streckung 11,86, Mittlere aerodynamische Flügeltiefe (MAC) 174,2 mm, Lage der MAC y 450,6 mm, Profilnase x 6,5 mm, 25 % MAC (geometrischer Bezugspunkt) x 50,0 mm, Wurzel- / Randtiefe 200,0 / 90,0 mm, NURBS-Fläche Grad 3 x 3, 121 x 17 Kontrollpunkte, Endleiste offen.

Der Schaumschnitt-Assistent (Benutzerhandbuch, Abschnitt Schaumschnitt) teilt den Halbflügel in Segmente. Jedes Segment ist ein Schaumkern. Ein Heißdraht schneidet ihn als Regelfläche: gerade Linien zwischen zwei Endprofilen. Code: src/geom/foam.js. Die Kerne liegen im Koordinatensystem des Teils: Einstellwinkel des Teils und Rollwinkel des Teils (Abschnitt 3.9) ändern sie nicht.

Ein Schnitt ist eine Spannweitenposition y in mm. Wurzel und Rand sind die Enden; die Schnitte liegen dazwischen. Ein Schnitt in diesem Abschnitt trennt zwei Kerne; die Schnitte des Projekts heißen hier Profilschnitte.

z_ref(y)  = z der Stationen, linear in y dazwischen
α         = atan2(z_ref(y_b) − z_ref(y_a), y_b − y_a)       Achswinkel des Segments (°)
a         = (0, cos α, sin α)                               Achsrichtung
up        = (0, −sin α, cos α)                              Aufwärtsrichtung der Endflächen

y_a und y_b sind der innere und der äußere Schnitt. Ohne V-Form ist α = 0, a = (0, 1, 0) und up = (0, 0, 1).

Die Stoßebene an einem Schnitt ist die Ebene, in der zwei Kerne aneinanderstoßen oder ein Kern an Wurzel oder Rand endet:

n         = (0, cos φ, sin φ)                    Normale einer Schnittebene
n         = (a_k + a_(k+1)) / |a_k + a_(k+1)|    Winkelhalbierende der Segmente k und k + 1
q(u)      = Punkt der Flügelfläche in der Stoßebene, für jedes u der Fläche
d_in      = min über u von q_in(u) · a            innere Endfläche  {p : p · a = d_in}
d_out     = max über u von q_out(u) · a           äußere Endfläche  {p : p · a = d_out}
L_core    = d_out − d_in                          Kernlänge entlang der Achse

• Die Endflächen stehen rechtwinklig zur Achse und sind parallel: die Flächen eines Blocks, wie ihn ein Heißdrahtschneider schneidet.
• Jede Endfläche liegt dort, wo der kürzeste Kern endet, der das Stoßprofil q abdeckt. Der Kern ist dann mindestens so lang wie das Flügelsegment, und Schleifen bringt seine Endfläche auf die Stoßebene.
• Punkte des Flügels jenseits des Segmentendes stammen aus der Segmentfläche, gerade entlang ihrer Endtangente in v fortgesetzt. Ein Kern übernimmt über einen Knick der V-Form hinweg nicht die Form seines Nachbarn.

Keil zwischen Endfläche und Stoßebene:

Winkel    = acos |n · a|                                     (°); kein Keil unter 0.001°
Tiefe     = max über u von q(u) · a − min über u von q(u) · a   (mm, entlang der Achse)
Seite     = Oberseite oder Unterseite: wo q am weitesten von der Endfläche entfernt liegt

P(u)       = Punkt der Segmentfläche in der Endfläche {p : p · a = d}, für jedes u der Fläche
x          = P_x − x_0
h          = P · up − h_0
(x_0, h_0) = kleinstes x und kleinstes P · up über beide Endprofile des Segments

• u durchläuft die Flächenparameter des Aufbaus (2N + 1 Werte, 121 bei N = 60): obere Endleiste, Profilnase, untere Endleiste.
• Punkt i des inneren und Punkt i des äußeren Profils liegen auf einer Geraden der Regelfläche des Kerns. Ein Schneideprogramm, das beide Drahtenden von Punkt zu Punkt mit gleichem Index führt, schneidet den Kern als Regelfläche.
• Der Ursprung (x, h) = (0, 0) ist die vordere untere Ecke des kleinsten Blocks, der beide Profile enthält.
• Je Endprofil: LE = Punkt bei u_LE; TE = Mitte zwischen erstem und letztem Punkt; Profiltiefe = |TE − LE|; Anstellwinkel = atan2(h_LE − h_TE, x_TE − x_LE), positiv Nase hoch.
• Nullstellensuche je u: Die Spaltenkurve C_u(v) = Σ N_i(u) P_ij ist eine B-Spline-Kurve in v; Regula falsi mit Bisektionsschritten (solveMonotonic) auf 1e-10 mm in p · a. Außerhalb von [v_a, v_b] liefert die fortgesetzte Gerade den Punkt in einem Schritt.

Ein gerades Feld aus einem Profil bei 10° V-Form:

Der Kern als Regelfläche wird in Ebenen parallel zu den Endflächen mit dem Flügel verglichen: in 7 Ebenen bei s = 1/8 … 7/8 der Kernlänge und in je einer Ebene durch jede Station des Lofts innerhalb des Segments, wo eine Leitkurve oder Glatt den Flügel zwischen den 7 Ebenen biegen kann. Jede Station liegt in einem Segment, daher begrenzt die Grenze von 5 000 000 Gitterpunkten des Lofts auch die Ebenen. Die nächste Kante von W_s zu R_s(u) wird vom selben Index u aus gesucht, in einem Fenster, das sich verdoppelt, solange die nächste Kante an seinem Rand liegt.

d_s        = d_in + s · (d_out − d_in)
R_s(u)     = (1 − s) · A(u) + s · B(u)       Kern als Regelfläche: A, B inneres und äußeres Endprofil
W_s        = geschlossenes Polygon der Segmentfläche in der Ebene p · a = d_s, an jedem u
Abweichung = max über s und u des Abstands von R_s(u) zu W_s     (mm)

• Ein Feld mit Linear zwischen Schnittebenen Auf Gehrung verschiedener Neigung (mit V-Form mindestens das Wurzelfeld) erhält Stationen zwischen seinen Profilschnitten (Abschnitt 3.2). Seine Fläche folgt dann c(y) · Profil(y), gedreht um die Schränkung θ(y): Jeder Faktor ist linear in y, ihr Produkt nicht. Der Kern als Regelfläche verfehlt sie, wo sich die Profiltiefe zusammen mit dem Profil oder der Schränkung ändert: 0,314 mm beim Sportmodell (MH 32 an beiden Enden, Schränkung 0 bis −1°); bis zu 0,25 mm beim Grundriss des Sportmodells ohne Schränkung mit NACA 2412 an der Wurzel und NACA 2410 am Rand; das Sportmodell ohne Schränkung weicht 0 mm ab. Hat die Fläche Stationen nur an den Profilschnitten, ergeben Zuspitzung und Schränkung keine Abweichung: Das Sportmodell mit Ebenen Senkrecht weicht 0 mm ab.
• Die Abweichung fällt mit dem Quadrat der Segmentlänge: Ein halbierter Kern weicht etwa 1/4 so weit ab.
• Teilen (Segmente über der Grenze teilen (Split segments over the limit)): Jedes Segment von 10 mm oder mehr über der Grenze wird in der Mitte (in y) geteilt, und die ganze Menge wird neu berechnet; das wiederholt sich, bis kein solches Segment übrig ist oder 200 Segmente erreicht sind. Ein Segment unter 10 mm wird nicht geteilt.
• Zeit in Node.js 24 auf einem Server-Prozessor mit 2,1 GHz: 5 bis 19 ms für den Vorschlag der 6 Entwurfstypen mit geradem oder elliptischem Grundriss des Assistenten, etwa 1 s für 200 Segmente des Segelflugmodells.

src/model/winglet.js fügt das Winglet als Schnitte an; der Loft behandelt sie wie jedes andere Feld. Eingang: der Randschnitt T (y_T, z_T, x_T, Tiefe c_T, Schränkung t_T), der Winkel a0 des letzten Feldes (sein gespeicherter Feldwinkel, sonst atan2(z_T − z_P, y_T − y_P) mit P dem Schnitt vor T) und die Parameter Höhe H, Neigung a1, Radius R, Pfeilung Λ, Anteil der Spitzentiefe k, Anstellung τ.

turn  = a1 − a0                          (Grad)
n     = ceil(|turn| / 15°)               Bogenschritte; 0 bei R = 0
L_arc = R · |turn| · π/180               muss kürzer als H sein
σ     = sign(turn)

Bogenschnitt j = 1 … n:   b_j = a0 + turn · j / n,   s_j = L_arc · j / n
  y_j = y_T + σ · R · (sin b_j − sin a0)
  z_j = z_T + σ · R · (cos a0 − cos b_j)

Wingletspitze:            s = H
  y = y_n + (H − L_arc) · cos a1,   z = z_n + (H − L_arc) · sin a1      (y_0 = y_T, z_0 = z_T)

bei Länge s:   x = x_T + s · tan Λ,   Tiefe = c_T + (k · c_T − c_T) · s / H,   Schränkung = t_T + τ · s / H

• Der Bogen berührt das letzte Feld in T tangential. Mit R = 0 knickt die Bezugslinie in T.
• Die Werte werden auf 0,01 mm und 0,01° gerundet. Ein Bogenschnitt, der in y weniger als 1 mm (SHORT_PANEL) vom Schnitt davor oder von der Wingletspitze entfernt liegt, entfällt.
• Die Neigung bleibt innerhalb ±89°: y ist der Spannweitenparameter des Lofts, jedes Feld muss in y fortschreiten. Ein Feld, das in y weniger als 1 mm reicht, wird abgelehnt.
• Die Schnittebenen sind die winkelhalbierenden Ebenen Auf Gehrung aus Abschnitt 3.8, senkrecht zur Bezugslinie. Mit Senkrechten Ebenen (y = konstant) wäre ein Feld mit der Neigung a quer zum Feld cos a so dick, 0,26-mal bei 75°; der Dialog verlangt Auf Gehrung.
• Leitkurven halten x und die Tiefe als Funktionen von y zwischen Wurzel und Rand; sie würden sich über das Winglet dehnen, deshalb verlangt der Dialog sie ausgeschaltet. Ein spitzes Flügelende (Abschnitt 3.5) würde das Profil der Wingletspitze verkleinern; der Dialog verlangt ein flaches Flügelende.
• Vorgabe des Radius 0,3 c_T: Bei engerem Radius faltet ein etwa 25 % dickes Profil die Fläche auf der Innenseite des Bogens. Geprüft: Der Flügel Sport mit Neigung −89°, −45°, 0°, 45°, 75°, 89° und Radius 0, 0,3 und 0,6 c_T baut mit Linear ohne Fehler; mit Glatt alle bis auf 2: Bei ±89° mit 0,3 c_T biegt die kubische Kurve die Bezugslinie dort, wo der Bogen in das gerade Stück übergeht, und die Prüfung „Schnittebenen, Drehung“ (Abschnitt 3.6) stoppt den Aufbau. Jeder andere Entwurfstyp mit flachem Flügelende und ausgeschalteten Leitkurven baut mit dem Vorgabe-Winglet einen geschlossenen Flügel, mit Linear und Glatt. Batwing endet spitz (Tiefe unter 1 mm bei flachem Flügelende) und wird abgelehnt.