o1_00TD02A 1.1 Matematisk modellering - itnett/FTD02H-N GitHub Wiki

00TD02A 1.1 Matematisk Modellering (Ergo Fysikk Forkurs)

Introduksjon til Planpendelen

En planpendel er et enkelt fysisk system som består av en masse ( m ) festet til enden av en snor med lengde ( l ), som kan svinge fritt i et vertikalt plan under påvirkning av tyngdekraften. Studiet av pendelbevegelsen gir innsikt i grunnleggende fysiske prinsipper som energi, kraft, og harmoniske svingninger.

Målet med Øvelsen

Formålet med denne øvelsen er å:

  1. Forstå den matematiske modellen som beskriver en planpendel.
  2. Implementere modellen i Python for å simulere pendelens bevegelse.
  3. Analysere hvordan forskjellige parametere påvirker pendelens svingetid ( T ).
  4. Utføre regresjonsanalyse for å bekrefte den teoretiske modellen.

Teoretisk Bakgrunn

Bevegelsesligningen for Planpendelen

For små utslag (vinkler mindre enn ca. 15 grader), kan pendelens bevegelse tilnærmes som en enkel harmonisk svingning. Bevegelsesligningen er gitt ved:

[ \theta(t) = \theta_0 \cos\left( \sqrt{\dfrac{g}{l}} , t \right) ]

hvor:

  • ( \theta(t) ) er vinkelutslaget som funksjon av tiden ( t ).
  • ( \theta_0 ) er maksimal vinkelutslag (amplituden).
  • ( g ) er tyngdeakselerasjonen (( \approx 9.81 , \text{m/s}^2 )).
  • ( l ) er lengden på pendelen.

Svingetiden til Pendelen

Svingetiden ( T ) er tiden det tar for pendelen å fullføre én fullstendig svingning (frem og tilbake). For små utslag er svingetiden gitt ved:

[ T = 2\pi \sqrt{\dfrac{l}{g}} ]

Denne formelen viser at svingetiden ( T ) avhenger av pendellengden ( l ) og tyngdeakselerasjonen ( g ), men er uavhengig av massen ( m ) og amplituden ( \theta_0 ) (for små vinkler).

Implementering i Python uten Grafikk

Siden noen nettbaserte miljøer (som Trinket.io) har begrensninger på grafisk fremstilling, fokuserer vi på den matematiske beregningen av svingetiden.

Beregning av Svingetid

Her er en enkel Python-funksjon som beregner svingetiden basert på pendellengden:

import math

# Tyngdeakselerasjonen
g = 9.81  # m/s^2

def beregn_svingetid(l):
    T = 2 * math.pi * math.sqrt(l / g)
    return T

Eksempel på Bruk

Vi kan beregne svingetiden for forskjellige lengder:

lengder = [0.5, 1.0, 1.5]  # Lengder i meter

print("Lengde (m)   Svingetid (s)")
for l in lengder:
    T = beregn_svingetid(l)
    print(f"{l:<10} {T:.2f}")

Output:

Lengde (m)   Svingetid (s)
0.5          1.42
1.0          2.01
1.5          2.46

Analyse av Data

Forholdet mellom ( T^2 ) og ( l )

Den teoretiske modellen for svingetiden kan omskrives til:

[ T^2 = \left( 2\pi \right)^2 \dfrac{l}{g} = \dfrac{4\pi^2}{g} l ]

Dette viser at kvadratet av svingetiden ( T^2 ) er proporsjonalt med pendellengden ( l ). Vi kan undersøke dette forholdet ved å plotte ( T^2 ) mot ( l ).

Beregning av ( T^2 )

# Beregn T^2 for hver lengde
T_kvadrat = [beregn_svingetid(l)**2 for l in lengder]

print("Lengde (m)   T^2 (s^2)")
for l, T2 in zip(lengder, T_kvadrat):
    print(f"{l:<10} {T2:.2f}")

Output:

Lengde (m)   T^2 (s^2)
0.5          2.02
1.0          4.03
1.5          6.05

Visualisering av Resultater

Siden vi ikke kan bruke grafikk i Trinket.io, kan vi eksportere dataene og bruke et verktøy som GeoGebra eller et annet grafisk program for å plotte ( T^2 ) mot ( l ).

Bruk av GeoGebra for Regresjonsanalyse

  1. Åpne GeoGebra: Gå til GeoGebra og velg Regneark-visning.

  2. Skriv inn Data:

    • I kolonne A, skriv inn lengdene ( l ): 
      A1: 0.5
A2: 1.0
A3: 1.5
    • I kolonne B, skriv inn de beregnede verdiene for ( T^2 ): 
      B1: 2.02
B2: 4.03
B3: 6.05

  3. Plot Dataene:

    • Marker dataene i kolonne A og B.
    • Høyreklikk og velg Lag > Liste over punkter.
    • Punktene vises nå i Grafikk-visningen.

  4. Utfør Regresjonsanalyse:

    • Gå til Verktøy-menyen og velg Beste tilpassede linje.
    • Klikk på punktlisten i Grafikk-visningen.
    • GeoGebra vil vise den beste tilpassede linjen og gi ligningen.

  5. Analyser Resultatene:

    • Ligningen skal være på formen ( T^2 = k \cdot l ).
    • Sammenlign den funne verdien av ( k ) med den teoretiske verdien ( \dfrac{4\pi^2}{g} ).

Beregning av Teoretisk Proporsjonalitetskonstant

Den teoretiske verdien av proporsjonalitetskonstanten ( k ) er:

[ k = \dfrac{4\pi^2}{g} = \dfrac{4\pi^2}{9.81} \approx 4.03 ]

Dette samsvarer med våre beregnede verdier for ( T^2 ) og ( l ).

Konklusjon

Gjennom denne øvelsen har vi:

  • Forstått hvordan svingetiden til en planpendel avhenger av lengden ( l ).
  • Beregnet svingetider for ulike lengder ved hjelp av Python.
  • Analysert dataene og bekreftet at ( T^2 ) er proporsjonalt med ( l ).
  • Bekreftet den teoretiske modellen ved å sammenligne med regresjonsanalysen i GeoGebra.

Videre Utforsking

  • Effekten av Amplituden: For større utslag vil svingetiden avhenge av amplituden. Dette kan utforskes videre ved å inkludere høyere ordens ledd i bevegelsesligningen.
  • Luftmotstand og Friksjon: I virkelige pendler vil luftmotstand og friksjon påvirke bevegelsen. Modellen kan utvides for å inkludere disse faktorene.
  • Programmering av Simulering: I et miljø som støtter grafikk (som VPython), kan du lage en visuell simulering av pendelbevegelsen.

Kilder

Merk: Denne veiledningen er ment for nybegynnere og forsøker å forklare konseptene på en enkel og forståelig måte, samtidig som den opprettholder et høyt faglig nivå. Hvis du har spørsmål eller trenger ytterligere forklaringer, ikke nøl med å spørre!