Sekvenser og Serier Cheat Sheet - itnett/FTD02H-N GitHub Wiki

Selvfølgelig, her er en oppdatert versjon av cheat sheet med LaTeX formler omkranset av $ og $$ for å sikre korrekt rendering i dokumenter:

AS og A-Level Matematikk Cheat Sheet

Viktige definisjoner

  • Sekvens: En liste med termer. For eksempel: $(3, 6, 9, 12, 15, \ldots)$
  • Serie: Summen av en liste med termer. For eksempel: $(3 + 6 + 9 + 12 + 15 + \ldots)$

En sekvens har termer som er adskilt med komma, mens en serie legger sammen alle termer.

Typer sekvenser

  • Økende sekvens: Hver term er større enn den forrige. For eksempel: $(4, 9, 14, 19, \ldots)$
  • Avtagende sekvens: Hver term er mindre enn den forrige. For eksempel: $(5, 4, 3, 2, 1, \ldots)$
  • Periodisk sekvens: Termene gjentas i en syklus, $(u_{n+k} = u_n)$ for noen $(k)$, som kalles sekvensens orden. For eksempel: $(-3, 1, -3, 1, -3, \ldots)$ har orden 2.

Aritmetiske sekvenser og serier

En aritmetisk sekvens har en konstant differanse mellom hver term: $$a, a + d, a + 2d, a + 3d, \ldots$$ Hvor $(a)$ er den første termen og $(d)$ er den konstante differansen.

  • n-te term: $$u_n = a + (n - 1)d$$

  • Sum av de første (n) termene: $$S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$$ eller $$S_n = \frac{n}{2} (a + l)$$ Hvor (l) er den siste termen.

Geometriske sekvenser og serier

En geometrisk sekvens har et konstant forhold mellom hver term: $$a, ar, ar^2, ar^3, \ldots$$ Hvor (a) er den første termen og (r) er det konstante forholdet.

  • n-te term: $$u_n = ar^{n-1}$$

  • Sum av de første (n) termene: $$S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$$ eller $$S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$$ (gitt at (r \neq 1)).

  • Sum til uendelig (bare for konvergerende sekvenser hvor (|r| < 1)): $$S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}$$

Rekursive relasjoner

En rekursiv relasjon definerer en sekvens hvor hver term er gitt som en funksjon av den forrige: $$u_{n+1} = u_n + 4, \quad u_1 = 1$$ Representerer en aritmetisk sekvens med første term 1 og konstant differanse 4.

Sigma Notasjon

Når serier er gitt i sigma notasjon, kan det være nyttig å skrive ut de første termene for å analysere serien: $$\sum_{r=1}^{20} (7 - 2r) = 5 + 3 + 1 - 1 + \ldots$$ Dette representerer en aritmetisk serie med første term 5 og konstant differanse -2.

Eksempeloppgaver

  1. Aritmetisk serie: Bevis at summen av de første (n) termene av en aritmetisk serie er $$S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d].$$

    • Start med å skrive ut summen normalt og omvendt: $$S_n = a + (a + d) + (a + 2d) + \ldots + (a + (n - 1)d)$$ $$S_n = (a + (n - 1)d) + (a + (n - 2)d) + \ldots + (a + d) + a$$
    • Legg sammen de to uttrykkene og forenkle: $$2S_n = n(2a + (n - 1)d) \implies S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$$

  2. Geometrisk serie: Bevis at summen av de første (n) termene av en geometrisk serie er $$S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}.$$

    • Start med å skrive summen normalt: $$S_n = a + ar + ar^2 + \ldots + ar^{n-1}$$
    • Multipliser summen med (r) og trekk fra: $$rS_n = ar + ar^2 + ar^3 + \ldots + ar^n$$ $$S_n - rS_n = a - ar^n \implies S_n(1 - r) = a(1 - r^n) \implies S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$$

Denne cheat sheet dekker de grunnleggende konseptene i sekvenser og serier, og gir eksempler på hvordan de kan brukes i praksis. Bruk denne som en rask referanse for å hjelpe med A-Level matematikkoppgaver.