Logiske Metoder En Introduksjon - itnett/FTD02H-N GitHub Wiki
Logiske Metoder: En Introduksjon
(alt på denne siden er generet med ChatGPT på åpen/delt info f.eks fra her )
Har du tilgang til tibi se her
🎓 Velkommen til denne oversikten over kurset i logiske metoder! Dette kurset gir en dyp forståelse av abstrakt og matematisk tenkning, og dekker et bredt spekter av emner innen logikk og matematikk. La oss starte med en overordnet introduksjon til emnene, samt en forklaring av skillet mellom syntaks og semantikk.
🔍 Skillet mellom Syntaks og Semantikk
Syntaks refererer til reglene og strukturen for hvordan uttrykk er bygget opp i et språk. Det handler om hvordan symboler kan kombineres til gyldige uttrykk.
- Eksempel: I matematikk er ( 2 + 2 ) syntaktisk riktig, mens ( + 2 2 ) ikke er det.
Semantikk handler om meningen bak uttrykkene. Det dreier seg om hva uttrykkene representerer og hvordan de tolkes.
- Eksempel: Uttrykket ( 2 + 2 ) har en semantisk betydning som er lik 4.
Med dette skillet i bakhodet, la oss dykke inn i de forskjellige kapitlene.
📚 Introduksjon til Kurset
Dette kurset er organisert i flere kapitler, hver med sitt eget fokusområde. Nedenfor finner du en liste over kapitlene med lenker til relevante ressurser:
Kapittel 0 – Kunsten å tenke abstrakt og matematisk
Kapittel 1 – Grunnleggende mengdelære
Kapittel 2 – Utsagnslogikk
Kapittel 3 – Semantikk for utsagnslogikk
Kapittel 4 – Utsagnslogiske begreper
Kapittel 5 – Bevis, formodninger og moteksempler
Kapittel 6 – Relasjoner
Kapittel 7 – Funksjoner
Kapittel 8 – Litt mer mengdelære
Kapittel 9 – Tillukninger og induktivt definerte mengder
- Google-søk: Tillukninger og induktivt definerte mengder
- NDLA: Tillukninger og induktivt definerte mengder
Kapittel 10 – Rekursivt definerte funksjoner
Kapittel 11 – Matematisk induksjon
Kapittel 12 – Strukturell induksjon
Kapittel 13 – Førsteordens språk
Kapittel 14 – Representasjon av kvantifiserte utsagn
Kapittel 15 – Tolkning i modeller
Kapittel 16 – Resonnering om modeller
- [Google-søk: Resonnering om modeller](https://www
.google.com/search?q=resonnering+om+modeller)
Kapittel 17 – Abstraksjon med ekvivalenser og partisjoner
- Google-søk: Abstraksjon med ekvivalenser og partisjoner
- NDLA: Abstraksjon med ekvivalenser og partisjoner
Kapittel 18 – Kombinatorikk
Kapittel 19 – Litt mer kombinatorikk
Kapittel 20 – Litt abstrakt algebra
Kapittel 21 – Grafteori
Kapittel 22 – Vandringer i grafer
Kapittel 23 – Formelle språk og grammatikker
Kapittel 24 – Naturlig deduksjon
🌐 Nyttige Lenker og Ressurser
Her er en tabell med nyttige lenker for hvert kapittel:
| Norsk Terminologi | Engelsk Terminologi | Google Søkelink | YouTube Søkelink |
|---|---|---|---|
| Mengdelære | Set Theory | YouTube | |
| Utsagnslogikk | Propositional Logic | YouTube | |
| Relasjoner | Relations | YouTube | |
| Funksjoner | Functions | YouTube | |
| Matematisk induksjon | Mathematical Induction | YouTube |
Dette er bare noen få eksempler. Du kan enkelt tilpasse søk etter spesifikke temaer ved å bruke relevante nøkkelord.
Håper denne oversikten gir en god start på din reise gjennom logiske metoder! 🚀
Logiske Metoder av Roger Antonsen
📚 Boken "Logiske Metoder"
Formål: Boken er ment å legge et solid grunnlag for realfaglige studier og introdusere de viktigste begrepene innen matematikk og realfag. Den er ideell for nybegynnere på universitets- eller høyskolenivå.
Hovedtemaer:
- Mengdelære
- Logikk
- Bevismetoder
- Kombinatorikk
- Grafteori
Kjøp boken: Universitetsforlaget eller Akademika.
📘 Studiebok til "Logiske Metoder"
Innhold:
- Kapittelsammendrag: Kort fortalt, vanlige feil, tips og triks, og test-deg-selv oppgaver.
- Oppgaver: 100 nye oppgaver som går på tvers av lærebokens innhold.
- Løsningsforslag: Til alle oppgaver med oddetall fra læreboken og alle oppgaver i studieboken.
- Ordlistene: 236 viktige ord med engelske oversettelser og definisjoner.
Kjøp studieboken: Universitetsforlaget eller Akademika.
📚 Kursene
Logiske Metoder brukes som pensum i flere kurs:
- IN1150 - Logiske metoder for informatikk ved Universitetet i Oslo.
- TMA4140 - Diskret matematikk ved NTNU.
🌐 Nettkurset
Nettkurset er et supplement til boken og brukes i kurset IN1150 ved Universitetet i Oslo. Prosjektet startet i 2016 og benytter Open edX for interaktivt selvstudium.
Ressurser: Nettkurset
📹 Videoene
Videoforelesninger fra kurset IN1150 er tilgjengelige på YouTube. Disse videoene brukes som grunnlag for nettkursets videoklipp.
Spillelister:
- Forelesninger våren 2021
- Forelesninger høsten 2016
- Forelesninger høsten 2015
- Forelesninger høsten 2014
✏️ Rettelistene
Oversikt over kjente skrivefeil og mangler i boken. For å rapportere nye feil, send en e-post til [email protected].
Rettelister:
- Retteliste for 1. opplag (2014)
- Retteliste for 2. opplag (2015)
- Retteliste for 3. opplag (2018)
- Retteliste for 6. opplag (2021)
- Retteliste for 7. opplag (2023)
- Retteliste for Studiebok 1. opplag (2017)
- Retteliste for Studiebok 2. opplag (2023)
📖 Læringsressurser og Hjemmesider fra Lærere
Norske Nettsteder
Internasjonale Nettsteder
Lærere med Egen Hjemmeside
- Cecilie Lønn: Cecilies Norsk-portal
- Karense: Norwegian Teaching
- Andrew Ng: DeepLearning.AI
- Salman Khan: Khan Academy
Disse ressursene gir et omfattende grunnlag for studier innen matematikk og realfag, og hjelper både studenter og lærere med å navigere komplekse emner med letthet og innsikt.
Inngående Opplæring i Matematiske Grunnbegreper og Bevismetoder
1. Gjennomføre, Forstå og Formalisere Matematiske Resonnementer ved å Anvende Ulike Bevismetoder
Typer av Bevismetoder:
-
Direkte Bevis: Start med antagelsene og bruk logiske trinn for å nå konklusjonen.
- Eksempel: For å bevise at summen av to partall alltid er partall, antag at $a = 2m$ og $b = 2n$ for noen heltall $m$ og $n$. Da er $a + b = 2m + 2n = 2(m + n)$, som er partall.
-
Indirekte Bevis (Kontrapositive): Bevis at negasjonen av konklusjonen fører til negasjonen av antagelsen.
- Eksempel: For å bevise at hvis $n^2$ er partall, så er $n$ partall, kan vi vise kontrapositive: Hvis $n$ ikke er partall, så er $n^2$ ikke partall.
-
Motsigelsesbevis: Anta at konklusjonen er falsk, og vis at dette fører til en selvmotsigelse.
- Eksempel: For å bevise at det er uendelig mange primtall, anta motsatt at det er et endelig antall primtall. Ved å multiplisere disse og legge til én, får vi et nytt tall som ikke kan deles av noen av de kjente primtallene, en selvmotsigelse.
-
Matematisk Induksjon: Brukes for å bevise påstander for alle naturlige tall.
- Eksempel: For å bevise at $1 + 2 + ... + n = \frac{n(n+1)}{2}$, vis at påstanden holder for $n = 1$ (basissteg) og at hvis den holder for $n = k$, så holder den også for $n = k+1$ (induksjonssteg).
2. Grunnleggende Mengdelære: Notasjon og Terminologi
Viktige Begreper:
- Mengde: En samling av distinkte objekter, for eksempel $A = {1, 2, 3}$.
- Element: Et objekt i en mengde, for eksempel $1 \in A$.
- Delmengde: $A \subseteq B$ betyr at alle elementer i $A$ også er i $B$.
- Union og Snitt: Union $A \cup B$ er mengden av alle elementer som er i $A$ eller $B$. Snitt $A \cap B$ er mengden av alle elementer som er i både $A$ og $B$.
- Komplement: Komplementet til $A$ er mengden av alle elementer som ikke er i $A$, vanligvis notert som $A^c$.
- Karteiansk Produkt: Mengden av alle ordnede par fra $A$ og $B$, $A \times B = {(a, b) \mid a \in A, b \in B}$.
3. Grunnleggende Utsagnslogikk og Første-ordens Logikk
Viktige Begreper:
- Valuasjon: En tilordning av sannhetsverdier til utsagn.
- Logisk Ekvivalens: To utsagn er logisk ekvivalente hvis de har samme sannhetsverdi i alle valuasjoner.
- Logisk Konsekvens: Utsagn $B$ er en logisk konsekvens av $A$ hvis $A \rightarrow B$ er en tautologi.
- Gyldighet: Et utsagn er gyldig hvis det er sant under alle valuasjoner.
- Oppfyllbarhet: Et utsagn er oppfyllbart hvis det er sant for minst én valuasjon.
- Falsifiserbarhet: Et utsagn er falsifiserbart hvis det er falskt for minst én valuasjon.
- Kontradiksjon: Et utsagn som er usant under alle valuasjoner.
4. Grunnleggende Matematiske Strukturer
Mengder og Relaterte Strukturer:
- Mengder: Samlinger av objekter.
- Tupler: Ordnet samling av elementer, for eksempel $(a, b)$.
- Relasjoner: En delmengde av et karteiansk produkt, for eksempel $R \subseteq A \times B$.
- Funksjoner: En spesiell type relasjon der hvert element i domenet har nøyaktig ett bilde.
- Ekvivalensklasser: Mengden av elementer som er ekvivalente i henhold til en relasjon.
- Partisjoner: En oppdeling av en mengde i disjunkte delmengder.
- Formler: Strukturer som uttrykker matematiske påstander.
- Strenger og Språk: Sekvenser av symboler og sett av slike sekvenser.
- Grafer: Mengder av noder og kanter.
- Regulære Uttrykk: Notasjon for å beskrive sett av strenger over et alfabet.
5. Induktiv og Rekursiv Definisjon
Induktiv Definisjon:
- Mengder: Definert ved basis og rekursiv regel.
- Eksempel: Naturlige tall: $0 \in \mathbb{N}$, hvis $n \in \mathbb{N}$, da $n+1 \in \mathbb{N}$.
Rekursive Funksjoner:
- Rekursiv Definisjon: Funksjoner definert på grunnlag av sine egne verdier for enklere argumenter.
- Eksempel: Faktorialfunksjonen $n!$: $0! = 1$ og $n! = n \cdot (n-1)!$ for $n > 0$.
Induksjonsbevis:
- Bevis ved Induksjon: Brukes for å bevise påstander om mengder definert ved induksjon.
- Eksempel: For å bevise at $\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}$.
6. Kombinatorikk, Grafteori, Formelle Språk og Logiske Kalkyler
Kombinatorikk:
- Kombinasjoner og Permutasjoner: Antall måter å velge eller ordne elementer.
- Eksempel: $\binom{n}{k}$ er antall kombinasjoner av $n$ elementer tatt $k$ av gangen.
Grafteori:
- Grafer: Består av noder og kanter, brukt til å modellere relasjoner.
- Eksempel: Eulerian og Hamiltonian grafer.
Formelle Språk:
- Formelle Språk: Sett av strenger generert av grammatikker.
- Eksempel: Regulære språk, kontekstfrie språk.
Logiske Kalkyler:
- Proposisjonslogikk: Studerer sannhetsverdien av proposisjoner.
- Predikatlogikk: Utvider proposisjonslogikken med kvantifikatorer og predikater.
Dette gir en omfattende introduksjon til grunnleggende matematiske begreper og bevismetoder. For mer detaljer, anbefales det å studere lærebøker som "Logiske Metoder" av Roger Antonsen og kursmateriell fra relevante universitetskurs.