Forkurs i Matematikk ‐ Akedemisk _negative tall - itnett/FTD02H-N GitHub Wiki

  1. Multiplikasjon av to positive tall:

$$2 \cdot 3 = 3 + 3 = 6$$

  • Dette er en vanlig multiplikasjon av to positive tall. $2$ ganger $3$ er lik $6$.
  1. Multiplikasjon av et positivt tall med et negativt tall:

$$2 \cdot (-3) = -3 + (-3) = -3 - 3 = -6$$

  • $2 \cdot (-3)$ betyr at vi tar $-3$ to ganger.
  • $-3 + (-3)$ er lik $-6$.
  1. Multiplikasjon av et negativt tall med et positivt tall:

$$(-3) \cdot 2 = - (2 + 2 + 2) = -2 - 2 - 2 = -6$$

  • $(-3) \cdot 2$ betyr at vi tar $2$ tre ganger, men siden $-3$ er negativ, legger vi til et negativt fortegn.
  • $- (2 + 2 + 2)$ er lik $-6$.
  1. Multiplikasjon av to negative tall:

$$(-2) \cdot (-3) = - (-3 + (-3)) = - (-3 - 3) = -(-6) = 6$$

  • $(-2) \cdot (-3)$ betyr at vi tar $-3$ to ganger, men siden begge tallene er negative, blir resultatet positivt.
  • $- (-3 + (-3)) = - (-6)$ som er lik $6$.

Selvfølgelig! La oss gå gjennom forskjellige operasjoner med negative tall, inkludert addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon, med grundige forklaringer for hvert nivå.

Addisjon av negative tall

  1. Addisjon av to negative tall:

    • $$-2 + (-3) = -(2 + 3) = -5$$
    • Når vi legger sammen to negative tall, legger vi absoluttverdiene sammen og beholder det negative tegnet.

  2. Addisjon av et positivt og et negativt tall:

    • $$3 + (-4) = 3 - 4 = -1$$
    • Når vi legger sammen et positivt og et negativt tall, subtraherer vi absoluttverdien av det negative tallet fra det positive tallet og beholder fortegnet til det største tallet.

Subtraksjon av negative tall

  1. Subtraksjon av et negativt tall fra et negativt tall:

    • $$-5 - (-3) = -5 + 3 = -2$$
    • Når vi subtraherer et negativt tall, er det som å legge til det positive av det tallet.

  2. Subtraksjon av et positivt tall fra et negativt tall:

    • $$-4 - 2 = -(4 + 2) = -6$$
    • Når vi subtraherer et positivt tall fra et negativt tall, legger vi absoluttverdien av det positive tallet til absoluttverdien av det negative tallet og beholder det negative tegnet.

Multiplikasjon av negative tall

  1. Multiplikasjon av et positivt tall og et negativt tall:

    • $$2 \cdot (-3) = -3 + (-3) = -3 - 3 = -6$$
    • $$2 \cdot (-3)$$ betyr at vi tar $$-3$$ to ganger. Resultatet er negativt.

  2. Multiplikasjon av to negative tall:

    • $$(-2) \cdot (-3) = - (-3 + (-3)) = - (-3 - 3) = -(-6) = 6$$
    • $$(-2) \cdot (-3)$$ betyr at vi tar $$-3$$ to ganger, men siden begge tallene er negative, blir resultatet positivt.

Divisjon av negative tall

  1. Divisjon av et negativt tall med et positivt tall:

    • $$\frac{-6}{3} = -2$$
    • Når vi deler et negativt tall med et positivt tall, deler vi absoluttverdiene og resultatet er negativt.

  2. Divisjon av to negative tall:

    • $$\frac{-6}{-2} = 3$$
    • Når vi deler to negative tall, deler vi absoluttverdiene og resultatet er positivt.

Oppsummering av regler for negative tall

  1. Addisjon:

    • To negative tall: Legg absoluttverdiene sammen, resultatet er negativt.
      • $$-a + (-b) = -(a + b)$$
    • Et positivt og et negativt tall: Subtraher absoluttverdiene, behold fortegnet til det største tallet.
      • $$a + (-b) = a - b$$ (hvis (a > b))
      • $$-a + b = b - a$$ (hvis (b > a))

  2. Subtraksjon:

    • Subtraksjon av et negativt tall: Legg til det positive av tallet.
      • $$a - (-b) = a + b$$
    • Subtraksjon av et positivt tall fra et negativt tall: Legg absoluttverdiene sammen, resultatet er negativt.
      • $$-a - b = -(a + b)$$

  3. Multiplikasjon:

    • Et positivt og et negativt tall: Resultatet er negativt.
      • $$a \cdot (-b) = - (a \cdot b)$$
    • To negative tall: Resultatet er positivt.
      • $$(-a) \cdot (-b) = a \cdot b$$

  4. Divisjon:

    • Et negativt tall med et positivt tall: Resultatet er negativt.
      • $$\frac{-a}{b} = - \left(\frac{a}{b}\right)$$
    • To negative tall: Resultatet er positivt.
      • $$\frac{-a}{-b} = \frac{a}{b}$$

Typer Tall

Naturlige Tall ($\mathbb{N}$)

Definisjon: Naturlige tall er de positive hele tallene som begynner fra 1. Eksempel: $1, 2, 3, 4, \ldots$

Hele Tall ($\mathbb{Z}$)

Definisjon: Hele tall inkluderer alle positive og negative hele tall, samt null. Eksempel: $\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots$

Rasjonale Tall ($\mathbb{Q}$)

Definisjon: Rasjonale tall er tall som kan uttrykkes som en brøk av to hele tall, hvor nevneren ikke er null. Eksempel: $\frac{1}{2}, -\frac{3}{4}, 0, 5, -2$

Irrasjonale Tall

Definisjon: Irrasjonale tall er tall som ikke kan uttrykkes som en brøk av to hele tall. De har uendelige, ikke-repeterende desimaler. Eksempel: $\sqrt{2}, \pi, e$

Reelle Tall ($\mathbb{R}$)

Definisjon: Reelle tall inkluderer alle rasjonale og irrasjonale tall. Det dekker alle tall på den kontinuerlige tallinjen. Eksempel: $0, -5, \frac{1}{3}, \sqrt{2}, \pi, -\frac{22}{7}$

Negative og Positive Tall

Negative Tall

Definisjon: Negative tall er alle tall mindre enn null. Eksempel: $-1, -2.5, -\frac{3}{4}, -\sqrt{2}$

Positive Tall

Definisjon: Positive tall er alle tall større enn null. Eksempel: $1, 2.5, \frac{3}{4}, \sqrt{2}$

Hele Tall og Deres Kategorier

  1. Naturlige Tall ($\mathbb{N}$)

    • $1, 2, 3, 4, \ldots$

  2. Null (0)

    • $0$ regnes ofte som et naturlig tall, men ikke alltid. Det er imidlertid et helt tall.

  3. Positive Hele Tall ($\mathbb{Z}^+$)

    • $1, 2, 3, 4, \ldots$

  4. Negative Hele Tall ($\mathbb{Z}^-$)

    • $-1, -2, -3, -4, \ldots$

  5. Rasjonale Tall ($\mathbb{Q}$)

    • Positive: $\frac{1}{2}, 2.5, \frac{3}{4}, \ldots$
    • Negative: $-\frac{1}{2}, -2.5, -\frac{3}{4}, \ldots$

  6. Irrasjonale Tall

    • Positive: $\sqrt{2}, \pi, e, \ldots$
    • Negative: $-\sqrt{2}, -\pi, -e, \ldots$

Tall på en Tallinje

For å visualisere tall på en tallinje, kan vi se på tallinjen som dekker alle hele, rasjonale og irrasjonale tall:

$$ \ldots -5 \quad -4 \quad -3 \quad -2 \quad -1 \quad 0 \quad 1 \quad 2 \quad 3 \quad 4 \quad 5 \ldots $$

Oppsummering av Regler for Negative Tall

Addisjon

  • To negative tall: Legg absoluttverdiene sammen, resultatet er negativt. $$-a + (-b) = -(a + b)$$

  • Et positivt og et negativt tall: Subtraher absoluttverdiene, behold fortegnet til det største tallet. $$a + (-b) = a - b$$ (hvis $a > b$) $$-a + b = b - a$$ (hvis $b > a$)

Subtraksjon

  • Subtraksjon av et negativt tall: Legg til det positive av tallet. $$a - (-b) = a + b$$

  • Subtraksjon av et positivt tall fra et negativt tall: Legg absoluttverdiene sammen, resultatet er negativt. $$-a - b = -(a + b)$$

Multiplikasjon

  • Et positivt og et negativt tall: Resultatet er negativt. $$a \cdot (-b) = -(a \cdot b)$$

  • To negative tall: Resultatet er positivt. $$(-a) \cdot (-b) = a \cdot b$$

Divisjon

  • Et negativt tall med et positivt tall: Resultatet er negativt. $$\frac{-a}{b} = -\left( \frac{a}{b} \right)$$

  • To negative tall: Resultatet er positivt. $$\frac{-a}{-b} = \frac{a}{b}$$

Addisjon

  • To negative tall: Legg absoluttverdiene sammen, resultatet er negativt. $$-a + (-b) = -(a + b)$$

  • Et positivt og et negativt tall: Subtraher absoluttverdiene, behold fortegnet til det største tallet. $$a + (-b) = a - b$$ (hvis (a > b)) $$-a + b = b - a$$ (hvis (b > a))

Subtraksjon

  • Subtraksjon av et negativt tall: Legg til det positive av tallet. $$a - (-b) = a + b$$

  • Subtraksjon av et positivt tall fra et negativt tall: Legg absoluttverdiene sammen, resultatet er negativt. $$-a - b = -(a + b)$$

Multiplikasjon

  • Et positivt og et negativt tall: Resultatet er negativt. $$a \cdot (-b) = - (a \cdot b)$$

  • To negative tall: Resultatet er positivt. $$(-a) \cdot (-b) = a \cdot b$$

Divisjon

  • Et negativt tall med et positivt tall: Resultatet er negativt. $$\frac{-a}{b} = - \left(\frac{a}{b}\right)$$

  • To negative tall: Resultatet er positivt. $$\frac{-a}{-b} = \frac{a}{b}$$