Forkurs i Matematikk ‐ Akedemisk - itnett/FTD02H-N GitHub Wiki

Oppsummering og innledning

https://akademiskapp.cdu.no/?produuid=1

Denne plattformen er utformet for å hjelpe studenter med å mestre grunnleggende matematiske konsepter og ferdigheter. Med en strukturert tilnærming som inkluderer teori, oppgaver og videoer, gir den en omfattende læringsopplevelse.

Sentrale begreper og temaer

  1. Grunnleggende regneregler

    • Positive og negative heltall
    • De fire regneartene: addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon

  2. Regning med negative tall

    • Operasjoner med negative tall i addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon

  3. Bokstavregning

    • Introduksjon til hvordan bokstaver kan representere tall og faktorisering

  4. Potenser, kvadratrøtter og regnerekkefølge

    • Grunntall og eksponent
    • Regneregler for potenser og kvadratrøtter
    • Regnerekkefølge og bruk av parenteser

  5. Brøkregning, desimaltall og prosent

    • Grunnleggende brøkregning, desimaltall og prosentregning
    • Forkorting, utviding, og operasjoner med brøker

  6. Likninger, formler og funksjoner

    • Løsning av likninger
    • Forståelse av formler og enheter
    • Introduksjon til funksjoner

  7. Geometri

    • Vinkler, areal, trekanter, firkanter, sirkler og tredimensjonale former
    • Beregning av volum og overflateareal

Grunnleggende regneregler

  1. Positive og negative heltall

    • Teori: Positive heltall er tall større enn null, mens negative heltall er tall mindre enn null.
    • Praktisk:
      • Positivt tall: $$5$$
      • Negativt tall: $$-3$$
      • Regneeksempel: $$5 + (-3) = 2$$

  2. De fire regneartene

    • Addisjon
      • Teori: Å legge sammen to tall.
      • Praktisk: $$3 + 4 = 7$$
    • Subtraksjon
      • Teori: Å trekke ett tall fra et annet.
      • Praktisk: $$7 - 2 = 5$$
    • Multiplikasjon
      • Teori: Å gange to tall.
      • Praktisk: $$3 \times 4 = 12$$
    • Divisjon
      • Teori: Å dele ett tall med et annet.
      • Praktisk: $$12 \div 3 = 4$$

Regning med negative tall

  1. Addisjon og subtraksjon med negative tall

    • Teori: Samme regler som for positive tall, men man må ta hensyn til fortegnet.
    • Praktisk:
      • $$-3 + 5 = 2$$
      • $$-3 - 5 = -8$$

  2. Multiplikasjon med negative tall

    • Teori: Produktet av to tall med ulikt fortegn er negativt, mens produktet av to tall med samme fortegn er positivt.
    • Praktisk:
      • $$-3 \times 4 = -12$$
      • $$-3 \times -4 = 12$$

  3. Divisjon med negative tall

    • Teori: Samme regler som for multiplikasjon.
    • Praktisk:
      • $$-12 \div 4 = -3$$
      • $$12 \div -3 = 4$$

Bokstavregning

  1. Bokstaver kan representere tall
    • Teori: Bokstaver brukes som symboler for tall, spesielt i algebra.
    • Praktisk:
      • $$x + 2 = 5$$
      • Løsning: $$x = 3$$

Faktorisering

  1. Faktorisering
    • Teori: Å dele opp et tall i mindre faktorer som kan multipliseres sammen for å få det opprinnelige tallet.
    • Praktisk:
      • $$12 = 2 \times 2 \times 3$$

Potenser, kvadratrøtter og regnerekkefølge

  1. Grunntall og eksponent

    • Teori: Potensiering er en måte å multiplisere et tall med seg selv flere ganger. Grunntallet er tallet som multipliseres, og eksponenten er antallet ganger det multipliseres.
    • Praktisk:
      • $$2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$$

  2. Potenser med negativt grunntall eller ikke-positiv eksponent

    • Teori: Negativt grunntall kan gi positiv eller negativ potens avhengig av eksponenten. En negativ eksponent betyr at vi tar den inverse.
    • Praktisk:
      • $$(-2)^3 = -8$$
      • $$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$$

  3. Kvadratrøtter

    • Teori: Kvadratroten av et tall er et tall som, når det multipliseres med seg selv, gir det opprinnelige tallet.
    • Praktisk:
      • $$\sqrt{16} = 4$$

  4. Regnerekkefølge og parenteser

    • Teori: Regnerekkefølgen (PEMDAS/BODMAS) dikterer at operasjoner skal utføres i denne rekkefølgen: Parenteser, Eksponenter, Multiplikasjon/Divisjon, Addisjon/Subtraksjon.
    • Praktisk:
      • $$2 + 3 \times (2^2) = 2 + 3 \times 4 = 2 + 12 = 14$$

Brøkregning, desimaltall og prosent

  1. Brøk

    • Teori: En brøk består av en teller (øverst) og en nevner (nederst).
    • Praktisk:
      • $$\frac{3}{4}$$

  2. Addisjon og subtraksjon av brøk

    • Teori: For å addere eller subtrahere brøker, må de ha samme nevner.
    • Praktisk:
      • $$\frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{3}{4}$$

  3. Multiplikasjon og divisjon av brøk

    • Teori: Multipliser tellerne med hverandre og nevnerne med hverandre for multiplikasjon. For divisjon, multipliser med den inverse.
    • Praktisk:
      • $$\frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$$
      • $$\frac{2}{3} \div \frac{3}{4} = \frac{2}{3} \times \frac{4}{3} = \frac{8}{9}$$

  4. Desimaltall

    • Teori: Desimaltall er tall som har en desimaldel.
    • Praktisk:
      • $$0.75$$

  5. Prosentregning

    • Teori: Prosent betyr "per hundre" og brukes til å uttrykke andeler.
    • Praktisk:
      • $$50%$$ av $$200$$ er $$200 \times 0.50 = 100$$

Likninger, formler og funksjoner

  1. Likninger

    • Teori: En likning er et matematisk utsagn der to uttrykk er like.
    • Praktisk:
      • $$x + 3 = 7$$
      • Løsning: $$x = 4$$

  2. Formler og enheter

    • Teori: En formel er et matematisk uttrykk som beskriver en sammenheng. Enheter brukes til å måle størrelser.
    • Praktisk:
      • Omkrets av en sirkel: $$O = 2\pi r$$

  3. Funksjoner

    • Teori: En funksjon er en regel som assosierer hvert element i en mengde med ett og bare ett element i en annen mengde.
    • Praktisk:
      • $$f(x) = x^2$$

Geometri

  1. Vinkler

    • Teori: Vinkler måles i grader.
    • Praktisk:
      • En rett vinkel er $$90$$ grader.

  2. Areal

    • Teori: Arealet er størrelsen på en flate.
    • Praktisk:
      • Areal av et rektangel: $$A = l \times b$$

  3. Trekanter

    • Teori: Trekanter er figurer med tre sider og tre vinkler.
    • Praktisk:
      • Vinkelsummen i en trekant er $$180$$ grader.

  4. Firkanter

    • Teori: Firkanter er figurer med fire sider.
    • Praktisk:
      • Areal av et kvadrat: $$A = s^2$$

  5. Sirkler

    • Teori: En sirkel er en lukket kurve der alle punkter er like langt fra sentrum.
    • Praktisk:
      • Areal av en sirkel: $$A = \pi r^2$$

  6. Tredimensjonale former

    • Teori: Volumet av en tredimensjonal form er rommet den opptar.
    • Praktisk:
      • Volum av en kube: $$V = s^3$$

Denne innføringen dekker de teoretiske og praktiske aspektene av de viktigste temaene i matematikken som er nødvendige for en solid forståelse.

Test https://cdn.sanity.io/files/0fsa2a83/production/c45b7800eb05f48d9df3f3158ad5fff7b6880f33.pdf

+++ La oss gå gjennom alle oppgavene igjen med fullstendig utregning, detaljerte forklaringer, og bruke $$ for å formatere alle LaTeX-uttrykk.

Regnerekkefølge

a) $(3 \cdot 4 - 8 \div 2 + 1)$

  1. Først utfører vi multiplikasjon og divisjon (i henhold til regnerekkefølgen): $$3 \cdot 4 = 12$$ $$8 \div 2 = 4$$

  2. Deretter utfører vi addisjon og subtraksjon i den rekkefølgen de opptrer fra venstre til høyre: $$12 - 4 + 1 = 8 + 1 = 9$$

Så, svaret er: $$9$$

b) $((5 + 2) - 1 + 6 - 2)$

  1. Utfør operasjonen innenfor parentesen: $$(5 + 2) = 7$$

  2. Utfør de resterende operasjonene fra venstre til høyre: $$7 - 1 + 6 - 2 = 6 + 6 - 2 = 12 - 2 = 10$$

Så, svaret er: $$10$$

c) $((-2) \cdot (-4) - 3 \cdot (-3))$

  1. Utfør multiplikasjonene: $$(-2) \cdot (-4) = 8$$ $$3 \cdot (-3) = -9$$

  2. Subtraher resultatene: $$8 - (-9) = 8 + 9 = 17$$

Så, svaret er: $$17$$

Brøkregning

a) $(\frac{2}{3} + \frac{1}{6})$

  1. Finn fellesnevneren: $$\text{Fellesnevner} = 6$$

  2. Omskriv brøkene: $$\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$$

  3. Legg sammen brøkene: $$\frac{4}{6} + \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$$

Så, svaret er: $$\frac{5}{6}$$

b) $(\frac{3}{4} - \frac{1}{2})$

  1. Finn fellesnevneren: $$\text{Fellesnevner} = 4$$

  2. Omskriv brøkene: $$\frac{1}{2} = \frac{2}{4}$$

  3. Subtraher brøkene: $$\frac{3}{4} - \frac{2}{4} = \frac{1}{4}$$

Så, svaret er: $$\frac{1}{4}$$

c) $(\frac{5}{8} \cdot \frac{2}{3})$

  1. Multipliser tellerne og nevnerne: $$\frac{5 \cdot 2}{8 \cdot 3} = \frac{10}{24}$$

  2. Forkort brøken: $$\frac{10}{24} = \frac{5}{12}$$

Så, svaret er: $$\frac{5}{12}$$

d) $(2 \div \frac{4}{5})$

  1. Divisjon med en brøk innebærer multiplikasjon med den inverse brøken: $$2 \cdot \frac{5}{4} = \frac{10}{4}$$

  2. Forkort brøken: $$\frac{10}{4} = \frac{5}{2} = 2.5$$

Så, svaret er: $$2.5$$

Likninger

a) $(3x - 9 = 0)$

  1. Legg til 9 på begge sider av likningen: $$3x - 9 + 9 = 0 + 9$$ $$3x = 9$$

  2. Del begge sider på 3: $$\frac{3x}{3} = \frac{9}{3}$$ $$x = 3$$

Så, løsningen er: a) $(x = 3)$

b) $(x + 4 = 5x - 2)$

  1. Flytt alle x-termer til en side og konstante termer til den andre: $$x - 5x = -2 - 4$$ $$-4x = -6$$

  2. Del begge sider på -4: $$\frac{-4x}{-4} = \frac{-6}{-4}$$ $$x = \frac{3}{2}$$

Så, løsningen er: b) $(x = \frac{3}{2})$

c) $(-7 = \frac{x}{3} + 11)$

  1. Trekk 11 fra begge sider: $$-7 - 11 = \frac{x}{3} + 11 - 11$$ $$-18 = \frac{x}{3}$$

  2. Multipliser begge sider med 3: $$-18 \cdot 3 = x$$ $$x = -54$$

Så, løsningen er: c) $(x = -54)$

Geometri

a) Legg sammen $(32 , \text{dm} + 420 , \text{cm} + 0.003 , \text{mil})$. Gi svaret i meter.

  1. Konverter enhetene til meter: $$32 , \text{dm} = 3.2 , \text{m}$$ $$420 , \text{cm} = 4.2 , \text{m}$$ $$0.003 , \text{mil} = 3 , \text{m}$$

  2. Legg sammen: $$3.2 , \text{m} + 4.2 , \text{m} + 3 , \text{m} = 10.4 , \text{m}$$

Så, svaret er: $$10.4 , \text{m}$$

b) Bestem omkretsen til en likesidet trekant der hver side er 32 cm.

  1. Omkretsen til en likesidet trekant er summen av alle sidene: $$3 \times 32 , \text{cm} = 96 , \text{cm}$$

Så, svaret er: $$96 , \text{cm}$$

c) Et rør har indre diameter 1 meter og lengde 135 meter. Bestem det indre volumet av røret.

  1. Bruk formelen for volumet av en sylinder: $$V = \pi \cdot (0.5)^2 \cdot 135$$
  2. Diameteren er 1 meter, så radiusen er $$( r = 0.5 , \text{m} )$$.
  3. Høyden $( h )$ er lengden på røret, som er 135 meter.
  4. Beregn volumet: $$V = \pi \cdot (0.5)^2 \cdot 135$$ $$V = \pi \cdot 0.25 \cdot 135$$ $$V = \pi \cdot 33.75$$ $$V \approx 106.03 , \text{m}^3$$

Så, svaret er omtrent: $$106 , \text{m}^3$$

Fasit

Regnerekkefølge:

  • a) 9
  • b) 10
  • c) 17

Brøk:

  • a) $(\frac{5}{6})$
  • b) $(\frac{1}{4})$
  • c) $(\frac{5}{12})$
  • d) $2.5$

Likninger:

  • a) $(x = 3)$
  • b) $(x = \frac{3}{2})$
  • c) $(x = -54)$

Geometri:

  • a) 10.4 m
  • b) 96 cm
  • c) 106 m³

+++

Her er tabellen med LaTeX-uttrykkene korrekt innrammet med $$ for bruk i GitHub Markdown.

Eksempel Trinn 1 Trinn 2 Trinn 3 Trinn 4 Trinn 5 Resultat
$$3 + 4 \cdot 2$$ Multiplikasjon: $$4 \cdot 2 = 8$$ Addisjon: $$3 + 8 = 11$$ $$11$$
$$(2 + 3) \cdot 4$$ Parenteser: $$2 + 3 = 5$$ Multiplikasjon: $$5 \cdot 4 = 20$$ $$20$$
$$5^2 + 3 \cdot 2$$ Eksponenter: $$5^2 = 25$$ Multiplikasjon: $$3 \cdot 2 = 6$$ Addisjon: $$25 + 6 = 31$$ $$31$$
$$6 + 3 \cdot (2 + 1)$$ Parenteser: $$2 + 1 = 3$$ Multiplikasjon: $$3 \cdot 3 = 9$$ Addisjon: $$6 + 9 = 15$$ $$15$$
$$(2 + 3) \cdot 4^2$$ Parenteser: $$2 + 3 = 5$$ Eksponenter: $$4^2 = 16$$ Multiplikasjon: $$5 \cdot 16 = 80$$ $$80$$
$$8 \div 2 \cdot 4$$ Divisjon: $$8 \div 2 = 4$$ Multiplikasjon: $$4 \cdot 4 = 16$$ $$16$$
$$10 - 3 \cdot 2^2$$ Eksponenter: $$2^2 = 4$$ Multiplikasjon: $$3 \cdot 4 = 12$$ Subtraksjon: $$10 - 12 = -2$$ $$-2$$
$$3 + 4 \cdot 2 - 5$$ Multiplikasjon: $$4 \cdot 2 = 8$$ Addisjon: $$3 + 8 = 11$$ Subtraksjon: $$11 - 5 = 6$$ $$6$$
$$(5 + 3) \div (2 - 1)$$ Parenteser: $$5 + 3 = 8$$ Parenteser: $$2 - 1 = 1$$ Divisjon: $$8 \div 1 = 8$$ $$8$$
$$(6 - 2)^2 + 4 \cdot 3$$ Parenteser: $$6 - 2 = 4$$ Eksponenter: $$4^2 = 16$$ Multiplikasjon: $$4 \cdot 3 = 12$$ Addisjon: $$16 + 12 = 28$$ $$28$$
$$3 \cdot 2 + 4) \div 2 - 1$$ Multiplikasjon: $$3 \cdot 2 = 6$$ Parenteser: $$6 + 4 = 10$$ Divisjon: $$10 \div 2 = 5$$ Subtraksjon: $$5 - 1 = 4$$ $$4$$
$$8 + (3 \cdot (2 + 4)) \div 3$$ Innerste parenteser: $$2 + 4 = 6$$ Multiplikasjon: $$3 \cdot 6 = 18$$ Divisjon: $$18 \div 3 = 6$$ Addisjon: $$8 + 6 = 14$$ $$14$$
$$2 \cdot (3 + 5)^2 \div 4 - 1$$ Parenteser: $$3 + 5 = 8$$ Eksponenter: $$8^2 = 64$$ Multiplikasjon: $$2 \cdot 64 = 128$$ Divisjon: $$128 \div 4 = 32$$ Subtraksjon: $$32 - 1 = 31$$ $$31$$

Denne tabellen viser hvordan du systematisk bryter ned hvert trinn i regneprosessen ved hjelp av PEMDAS-reglene. Hver rad gir et eksempel og demonstrerer hvordan du løser det trinn for trinn, fra de enkleste til de mer avanserte problemene.

Her er en tabell som viser utregningene fullstendig, med variasjoner fra enkle til avanserte eksempler, alle i samsvar med PEMDAS-reglene og formatert med LaTeX.

Eksempel Trinn 1 Trinn 2 Trinn 3 Trinn 4 Trinn 5 Resultat
$$3 + 4 \cdot 2$$ Multiplikasjon: $$4 \cdot 2 = 8$$ Addisjon: $$3 + 8 = 11$$ $$11$$
$$(2 + 3) \cdot 4$$ Parenteser: $$2 + 3 = 5$$ Multiplikasjon: $$5 \cdot 4 = 20$$ $$20$$
$$5^2 + 3 \cdot 2$$ Eksponenter: $$5^2 = 25$$ Multiplikasjon: $$3 \cdot 2 = 6$$ Addisjon: $$25 + 6 = 31$$ $$31$$
$$6 + 3 \cdot (2 + 1)$$ Parenteser: $$2 + 1 = 3$$ Multiplikasjon: $$3 \cdot 3 = 9$$ Addisjon: $$6 + 9 = 15$$ $$15$$
$$(2 + 3) \cdot 4^2$$ Parenteser: $$2 + 3 = 5$$ Eksponenter: $$4^2 = 16$$ Multiplikasjon: $$5 \cdot 16 = 80$$ $$80$$
$$8 \div 2 \cdot 4$$ Divisjon: $$8 \div 2 = 4$$ Multiplikasjon: $$4 \cdot 4 = 16$$ $$16$$
$$10 - 3 \cdot 2^2$$ Eksponenter: $$2^2 = 4$$ Multiplikasjon: $$3 \cdot 4 = 12$$ Subtraksjon: $$10 - 12 = -2$$ $$-2$$
$$3 + 4 \cdot 2 - 5$$ Multiplikasjon: $$4 \cdot 2 = 8$$ Addisjon: $$3 + 8 = 11$$ Subtraksjon: $$11 - 5 = 6$$ $$6$$
$$(5 + 3) \div (2 - 1)$$ Parenteser: $$5 + 3 = 8$$ Parenteser: $$2 - 1 = 1$$ Divisjon: $$8 \div 1 = 8$$ $$8$$
$$(6 - 2)^2 + 4 \cdot 3$$ Parenteser: $$6 - 2 = 4$$ Eksponenter: $$4^2 = 16$$ Multiplikasjon: $$4 \cdot 3 = 12$$ Addisjon: $$16 + 12 = 28$$ $$28$$
$$3 \cdot 2 + 4 \div 2 - 1$$ Multiplikasjon: $$3 \cdot 2 = 6$$ Divisjon: $$4 \div 2 = 2$$ Addisjon: $$6 + 2 = 8$$ Subtraksjon: $$8 - 1 = 7$$ $$7$$
$$8 + (3 \cdot (2 + 4)) \div 3$$ Innerste parenteser: $$2 + 4 = 6$$ Multiplikasjon: $$3 \cdot 6 = 18$$ Divisjon: $$18 \div 3 = 6$$ Addisjon: $$8 + 6 = 14$$ $$14$$
$$2 \cdot (3 + 5)^2 \div 4 - 1$$ Parenteser: $$3 + 5 = 8$$ Eksponenter: $$8^2 = 64$$ Multiplikasjon: $$2 \cdot 64 = 128$$ Divisjon: $$128 \div 4 = 32$$ Subtraksjon: $$32 - 1 = 31$$ $$31$$
$$3 \cdot 4 - 8 \div 2 + 1$$ Multiplikasjon: $$3 \cdot 4 = 12$$ Divisjon: $$8 \div 2 = 4$$ Subtraksjon: $$12 - 4 = 8$$ Addisjon: $$8 + 1 = 9$$ $$9$$
$$5 + 2 \cdot (3 + 4)$$ Parenteser: $$3 + 4 = 7$$ Multiplikasjon: $$2 \cdot 7 = 14$$ Addisjon: $$5 + 14 = 19$$ $$19$$
$$(2 + 3) \cdot (4 + 1)^2$$ Parenteser: $$2 + 3 = 5$$ Parenteser: $$4 + 1 = 5$$ Eksponenter: $$5^2 = 25$$ Multiplikasjon: $$5 \cdot 25 = 125$$ $$125$$
$$6 \div 3 + 4 \cdot 2$$ Divisjon: $$6 \div 3 = 2$$ Multiplikasjon: $$4 \cdot 2 = 8$$ Addisjon: $$2 + 8 = 10$$ $$10$$
$$7 - 2 \cdot (3^2 + 1)$$ Eksponenter: $$3^2 = 9$$ Parenteser: $$9 + 1 = 10$$ Multiplikasjon: $$2 \cdot 10 = 20$$ Subtraksjon: $$7 - 20 = -13$$ $$-13$$
$$4 \cdot (5 + 2) - 3^2 \div 3$$ Parenteser: $$5 + 2 = 7$$ Multiplikasjon: $$4 \cdot 7 = 28$$ Eksponenter: $$3^2 = 9$$ Divisjon: $$9 \div 3 = 3$$ Subtraksjon: $$28 - 3 = 25$$ $$25$$

Denne tabellen viser hvordan vi systematisk bryter ned hvert trinn i regneprosessen ved hjelp av PEMDAS-reglene. Hver rad gir et eksempel og demonstrerer hvordan du løser det trinn for trinn, fra de enkleste til de mer avanserte problemene.