📘 Grunnleggende matematikk: Algebra og likninger videre

22. Ligningssett: To ukjente variabler 🧩

Nå skal vi lære om ligningssett, som er to (eller flere) likninger vi må løse samtidig. Når vi har flere variabler, som $x$ og $y$, må vi bruke begge likningene til å finne verdiene for begge variablene.

22.1 Hva er et ligningssett?

Et ligningssett består av to eller flere likninger som har de samme variablene, og vi må finne ut hvilke verdier for variablene som gjør begge likningene sanne samtidig.

Eksempel på et ligningssett:

[ \begin{aligned} x + y &= 10 \ 2x - y &= 4 \end{aligned} ]

For å løse dette må vi finne verdiene for både $x$ og $y$.

---

22.2 Løse ligningssett med innsettingsmetoden

En metode for å løse ligningssett er innsettingsmetoden. Her prøver vi først å isolere en av variablene i den ene likningen, og deretter setter vi denne variabelen inn i den andre likningen.

Trinn-for-trinn eksempel:

Ligningssett: [ \begin{aligned} x + y &= 10 \ 2x - y &= 4 \end{aligned} ]

1. Isoler $y$ i den første likningen: [ x + y = 10 \implies y = 10 - x ]

2. Sett inn uttrykket for $y$ i den andre likningen: [ 2x - (10 - x) = 4 ]

3. Løs denne likningen: [ 2x - 10 + x = 4 \implies 3x - 10 = 4 ] [ 3x = 14 \implies x = \frac{14}{3} ]

4. Sett verdien av $x$ inn i uttrykket for $y$: [ y = 10 - \frac{14}{3} = \frac{30}{3} - \frac{14}{3} = \frac{16}{3} ]

Så løsningen på ligningssettet er: [ x = \frac{14}{3}, \quad y = \frac{16}{3} ]

---

22.3 Løse ligningssett med addisjonsmetoden

En annen metode for å løse ligningssett er addisjonsmetoden. Her legger vi sammen eller trekker fra de to likningene for å eliminere en av variablene.

Trinn-for-trinn eksempel:

Ligningssett: [ \begin{aligned} x + y &= 10 \ 2x - y &= 4 \end{aligned} ]

1. Legg sammen de to likningene: [ (x + y) + (2x - y) = 10 + 4 ] Dette gir oss: [ 3x = 14 \implies x = \frac{14}{3} ]

2. Sett inn verdien av $x$ i den første likningen: [ x + y = 10 \implies \frac{14}{3} + y = 10 ] [ y = 10 - \frac{14}{3} = \frac{30}{3} - \frac{14}{3} = \frac{16}{3} ]

Så løsningen på ligningssettet er: [ x = \frac{14}{3}, \quad y = \frac{16}{3} ]

---

23. Algebraiske uttrykk: Forenkling og utvidelse 🛠️

Når vi jobber med algebra, vil vi ofte måtte forenkle eller utvide uttrykk. Dette gjør vi for å gjøre uttrykkene enklere å jobbe med.

23.1 Forenkling av algebraiske uttrykk

Forenkling betyr å kombinere like ledd og gjøre uttrykket kortere.

Eksempel:

$2x + 3x = 5x$

Her har vi kombinert $2x$ og $3x$ fordi de er like ledd.

Eksempel med flere ledd:

$4x + 2 - 3x + 5 = (4x - 3x) + (2 + 5) = x + 7$

---

23.2 Utvidelse av algebraiske uttrykk

Utvidelse betyr at vi "sprer ut" et uttrykk ved å bruke fordelingsregelen (distributiv lov).

Eksempel:

$2(x + 3) = 2 \times x + 2 \times 3 = 2x + 6$

Vi har "utvidet" uttrykket ved å bruke $2$ på både $x$ og $3$.

---

24. Bruk av faktorisering i algebra 🔄

Faktorisering handler om å finne felles faktorer i et uttrykk og trekke dem ut. Dette gjør uttrykket enklere og hjelper oss å løse likninger.

24.1 Faktorisering med felles faktorer

Når vi ser at alle leddene i et uttrykk har en felles faktor, kan vi faktorere ut denne faktoren.

Eksempel:

$6x + 9 = 3(2x + 3)$

Her har vi faktorert ut 3 fordi både $6x$ og $9$ kan deles på 3.

---

25. Kvadratsetningene: En spesiell type faktorisering 🔲

Kvadratsetningene er spesielle regler som hjelper oss å faktorere uttrykk som ser ut som kvadrater.

25.1 Den første kvadratsetningen

Den første kvadratsetningen sier: [ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 ]

Eksempel:

[ (2x + 3)^2 = (2x)^2 + 2(2x)(3) + 3^2 = 4x^2 + 12x + 9 ]

25.2 Den andre kvadratsetningen

Den andre kvadratsetningen sier: [ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 ]

Eksempel:

[ (2x - 3)^2 = (2x)^2 - 2(2x)(3) + 3^2 = 4x^2 - 12x + 9 ]

---

26. Algebra i hverdagen 🏠

Algebra hjelper oss i mange praktiske situasjoner. Her er noen eksempler:

• Bygging og konstruksjon: Når man skal regne ut areal eller volum av et rom eller en bygning, bruker man algebra.

  Eksempel:

  Hvis lengden på et rom er $l$, bredden er $b$, og høyden er $h$, så er volumet av rommet: [ V = l \times b \times h ]

• Finans: Algebra brukes i budsjettering, sparing og investering. Hvis du sparer penger i banken med en fast rente, kan du bruke algebra for å regne ut hvor mye du vil ha spart over tid.

  Eksempel:

  Hvis du setter inn $P$ kr til en rente $r$ i $t$ år, vil pengene vokse til: [ A = P(1 + r)^t ]

---

Oppsummering 🎯

• Vi har lært om ligningssett og to metoder for å løse dem: innsettingsmetoden og addisjonsmetoden.
• Vi har sett hvordan vi forenkler og utvider algebraiske uttrykk.
• Vi har lært om faktorisering, inkludert kvadratsetningene.
• Vi har også sett hvordan algebra kan brukes i praktiske situasjoner som bygging og finans.

Algebra er et svært nyttig verktøy som gjør det enklere å løse problemer både i matematikk og i hverdagen. Fortsett å øve på disse teknikkene, så vil de bli enda enklere å forstå og bruke! 👏