📘 Videre med algebra: Faktorisering og geometri

36. Hva er faktorisering? 🔍

Faktorisering betyr å bryte ned et uttrykk til mindre deler som kan multipliseres sammen. Dette er en svært nyttig teknikk for å forenkle algebraiske uttrykk og for å løse likninger.

36.1 Faktorisering med felles faktorer

Når alle ledd i et uttrykk har en felles faktor, kan vi trekke ut denne faktoren. Dette kalles faktorisering med felles faktorer.

Eksempel:

$$6x + 9 = 3(2x + 3)$$

Her har vi faktorisert ut $3$, som er felles faktor for både $6x$ og $9$.

Hvordan du kan teste deg selv:

• Faktoriser uttrykket $4x + 8$. (Svar: $4(x + 2)$.)
• Faktoriser uttrykket $12x^2 + 18x$. (Svar: $6x(2x + 3)$.)

---

37. Kvadratsetningene: Viktige algebraiske identiteter 🔲

Vi har tre kjente kvadratsetninger som er nyttige for å faktorere og forenkle algebraiske uttrykk.

37.1 Den første kvadratsetningen

Den første kvadratsetningen sier: $$ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $$

Eksempel:

$$ (2x + 3)^2 = (2x)^2 + 2(2x)(3) + 3^2 = 4x^2 + 12x + 9 $$

37.2 Den andre kvadratsetningen

Den andre kvadratsetningen sier: $$ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $$

Eksempel:

$$ (2x - 3)^2 = (2x)^2 - 2(2x)(3) + 3^2 = 4x^2 - 12x + 9 $$

37.3 Den tredje kvadratsetningen (konjugatsetningen)

Konjugatsetningen sier: $$ (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 $$

Eksempel:

$$ (x + 5)(x - 5) = x^2 - 25 $$

Hvordan du kan teste deg selv:

• Hva er $ (x + 4)^2 $? (Svar: $x^2 + 8x + 16$.)
• Faktoriser $x^2 - 16$. (Svar: $(x + 4)(x - 4)$.)

---

38. Geometri: Areal og omkrets 📐

Geometri handler om figurer og størrelser i to og tre dimensjoner. Vi skal nå se på noen grunnleggende formler for areal og omkrets av ulike figurer.

38.1 Areal av rektangel

Formelen for arealet av et rektangel er: $$A = l \times b$$ der $l$ er lengden og $b$ er bredden.

Eksempel:

Hvis lengden er $5$ meter og bredden er $3$ meter, er arealet: $$A = 5 \times 3 = 15 , m^2$$

38.2 Omkrets av rektangel

Omkretsen av et rektangel er summen av alle sidene: $$O = 2l + 2b$$

Eksempel:

Med lengde $5$ meter og bredde $3$ meter, er omkretsen: $$O = 2(5) + 2(3) = 10 + 6 = 16 , m$$

Hvordan du kan teste deg selv:

• Hva er arealet av et rektangel med lengde $8$ meter og bredde $2$ meter? (Svar: $A = 8 \times 2 = 16 , m^2$.)
• Hva er omkretsen av et rektangel med lengde $6$ meter og bredde $4$ meter? (Svar: $O = 2(6) + 2(4) = 20 , m$.)

---

39. Geometri: Areal av sirkel 🔵

For sirkler har vi en egen formel for arealet. Den avhenger av radiusen, som er avstanden fra sentrum av sirkelen til kanten.

39.1 Areal av en sirkel

Formelen for arealet av en sirkel er: $$A = \pi r^2$$ der $r$ er radiusen, og $\pi$ er en konstant med verdien omtrent $3.14$.

Eksempel:

Hvis radiusen er $4$ meter, blir arealet: $$A = \pi \times 4^2 = \pi \times 16 \approx 3.14 \times 16 = 50.24 , m^2$$

39.2 Omkretsen av en sirkel

Omkretsen til en sirkel finner vi med formelen: $$O = 2\pi r$$

Eksempel:

Med radius $4$ meter, blir omkretsen: $$O = 2\pi \times 4 \approx 2 \times 3.14 \times 4 = 25.12 , m$$

Hvordan du kan teste deg selv:

• Hva er arealet av en sirkel med radius $3$ meter? (Svar: $A = \pi \times 9 \approx 28.26 , m^2$.)
• Hva er omkretsen av en sirkel med radius $5$ meter? (Svar: $O = 2 \pi \times 5 \approx 31.4 , m$.)

---

40. Volum av tredimensjonale figurer 🔶

I tillegg til areal (i to dimensjoner), må vi også kunne beregne volum for tredimensjonale figurer. Volumet er hvor mye plass en figur tar opp.

40.1 Volum av en kube

Formelen for volumet av en kube (der alle sidene er like lange) er: $$V = s^3$$ der $s$ er lengden av en side.

Eksempel:

Hvis hver side er $2$ meter, blir volumet: $$V = 2^3 = 8 , m^3$$

40.2 Volum av et rektangulært prisme

Formelen for volumet av et rektangulært prisme (en boksform) er: $$V = l \times b \times h$$ der $l$ er lengden, $b$ er bredden, og $h$ er høyden.

Eksempel:

Hvis lengden er $5$ meter, bredden er $3$ meter, og høyden er $2$ meter, blir volumet: $$V = 5 \times 3 \times 2 = 30 , m^3$$

Hvordan du kan teste deg selv:

• Hva er volumet av en kube med sider $4$ meter? (Svar: $V = 4^3 = 64 , m^3$.)
• Hva er volumet av et prisme med lengde $6$ meter, bredde $2$ meter og høyde $3$ meter? (Svar: $V = 6 \times 2 \times 3 = 36 , m^3$.)

---

Oppsummering 🎯

• Vi har lært om faktorisering, der vi bryter ned algebraiske uttrykk ved å trekke ut felles faktorer.
• Vi har gått gjennom de tre kvadratsetningene, som hjelper oss med å forenkle algebraiske uttrykk og faktorere dem.
• Innen geometri har vi lært å beregne areal og omkrets for rektangler og sirkler.
• Vi har også introdusert volum for tredimensjonale figurer som kuber og rektangulære prismer.

Øvelse er nøkkelen til å mestre både algebra og geometri! Ta deg tid til å jobbe med disse konseptene, og test deg selv på eksemplene vi har gått gjennom. 👏