📘 Grunnleggende matematikk: Likninger og ulikheter

32. Førstegradslikninger: Hvordan løser vi dem? 🧠

En førstegradslikning er en likning der den høyeste eksponenten til variabelen er $1$. Målet vårt er å finne verdien av variabelen som gjør likningen sann.

32.1 Eksempel på en førstegradslikning:

$$2x + 3 = 11$$

Her skal vi finne ut hva $x$ er. La oss løse den steg for steg.

1. Trekke fra 3 på begge sider: $$2x = 11 - 3$$ $$2x = 8$$

2. Dele på 2 på begge sider: $$x = \frac{8}{2} = 4$$

Så løsningen på likningen er: $$x = 4$$

---

33. Ulikheter: Hva er forskjellen fra likninger? 🔄

En ulikhet ligner på en likning, men i stedet for et likhetstegn ($=$), bruker vi ulikhetstegn som:

• $>$ (større enn)
• $<$ (mindre enn)
• $\geq$ (større enn eller lik)
• $\leq$ (mindre enn eller lik)

33.1 Eksempel på en ulikhet:

$$2x + 3 > 11$$

Vi løser denne på samme måte som en likning, men må huske på reglene for ulikheter:

1. Trekke fra 3 på begge sider: $$2x > 11 - 3$$ $$2x > 8$$

2. Dele på 2 på begge sider: $$x > \frac{8}{2} = 4$$

Så løsningen på ulikheten er: $$x > 4$$

---

33.2 Viktig regel for ulikheter:

Når vi deler eller multipliserer med et negativt tall, må vi snu ulikhetstegnet.

Eksempel:

$$-2x > 6$$

1. Dele på -2 på begge sider: $$x < \frac{6}{-2}$$ $$x < -3$$

Når vi delte på $-2$, snudde vi ulikhetstegnet fra $>$ til $<$.

---

34. Likningssett med to ukjente: Hva gjør vi da? 🔍

Når vi har to ukjente variabler, som $x$ og $y$, trenger vi to likninger for å finne løsningen.

34.1 Eksempel på et likningssett:

$$ \begin{aligned} x + y &= 7 \ 2x - y &= 3 \end{aligned} $$

Løsning med innsettingsmetoden:

1. Isoler $y$ i den første likningen: $$x + y = 7 \implies y = 7 - x$$

2. Sett inn uttrykket for $y$ i den andre likningen: $$2x - (7 - x) = 3$$ $$2x - 7 + x = 3$$ $$3x - 7 = 3$$

3. Løs for $x$: $$3x = 3 + 7$$ $$3x = 10 \implies x = \frac{10}{3}$$

4. Sett inn verdien av $x$ i uttrykket for $y$: $$y = 7 - \frac{10}{3} = \frac{21}{3} - \frac{10}{3} = \frac{11}{3}$$

Så løsningen er: $$x = \frac{10}{3}, \quad y = \frac{11}{3}$$

---

35. Kvadratlikninger: Hvordan løser vi dem? 🧩

En kvadratlikning er en likning der den høyeste eksponenten til variabelen er $2$.

35.1 Standardform for kvadratlikninger:

En kvadratlikning kan skrives som: $$ax^2 + bx + c = 0$$

35.2 Den generelle løsningen: Kvadratrotformelen

For å løse kvadratlikninger bruker vi kvadratrotformelen: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

---

35.3 Eksempel på en kvadratlikning:

$$2x^2 - 4x - 6 = 0$$

Her er $a = 2$, $b = -4$, og $c = -6$. La oss bruke kvadratrotformelen.

1. Regn ut diskriminanten: $$b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(2)(-6) = 16 + 48 = 64$$

2. Sett inn i kvadratrotformelen: $$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{64}}{2(2)}$$ $$x = \frac{4 \pm 8}{4}$$

3. Regn ut de to løsningene: $$x = \frac{4 + 8}{4} = \frac{12}{4} = 3$$ $$x = \frac{4 - 8}{4} = \frac{-4}{4} = -1$$

Så løsningene er: $$x = 3, \quad x = -1$$

---

Oppsummering 🎯

• Vi har lært hvordan vi løser førstegradslikninger ved å isolere variabelen.
• Ulikheter ligner på likninger, men krever at vi snur ulikhetstegnet når vi deler eller multipliserer med et negativt tall.
• Likningssett med to ukjente løses ved å isolere en variabel og sette inn i den andre likningen.
• Kvadratlikninger løses ved hjelp av kvadratrotformelen, som gir oss to løsninger.

Matematikk er en prosess, og jo mer du øver, jo lettere blir det! Fortsett å jobbe deg gjennom eksemplene, så vil du snart mestre disse konseptene. 👏