📘 Grunnleggende matematikk: Videre steg

17. Hva er algebra? 🤓

Algebra er et område innen matematikk som handler om å finne ukjente tall. Det vi gjør i algebra, er å bruke bokstaver, som $x$ og $y$, for å representere tall vi ikke vet verdien på ennå. Disse bokstavene kalles variabler.

17.1 Likninger i algebra

En likning er et matematisk uttrykk som sier at to ting er like. Likningen kan ha en variabel som vi ønsker å finne.

Eksempel på en enkel likning:

$x + 3 = 7$

For å finne ut hva $x$ er, må vi "løse" likningen. Vi trekker først 3 fra begge sider:

$x + 3 - 3 = 7 - 3$

Da får vi: $x = 4$

Dette betyr at $x$ er 4. Vi har løst likningen!

---

17.2 Algebraiske uttrykk

Et algebraisk uttrykk er som en likning, men uten et likhetstegn. Det er et uttrykk med variabler som kan forenkles eller omformes.

Eksempel:

$2x + 3x$

Her har vi to ledd som inneholder variabelen $x$. Vi kan forenkle uttrykket ved å legge sammen koeffisientene (tallene foran $x$):

$2x + 3x = 5x$

Nå har vi forenklet uttrykket til $5x$.

---

18. Hvordan løse mer komplekse likninger 🧮

Når vi jobber med mer komplekse likninger, må vi kanskje gjøre flere steg for å finne ut hva variabelen er. Vi skal se på eksempler hvor vi både ganger, deler, legger til og trekker fra.

Eksempel 1:

$2x + 3 = 11$

Her vil vi først trekke 3 fra begge sider: $2x + 3 - 3 = 11 - 3$

Dette gir: $2x = 8$

Så deler vi begge sider på 2 for å finne $x$: $\frac{2x}{2} = \frac{8}{2}$

Dette gir: $x = 4$

Eksempel 2:

$3(x - 2) = 9$

Først bruker vi distribusjon (ganger tallet utenfor parentesen med alt inni parentesen): $3 \times x - 3 \times 2 = 9$

Dette gir: $3x - 6 = 9$

Så legger vi 6 til begge sider: $3x - 6 + 6 = 9 + 6$

Dette gir: $3x = 15$

Til slutt deler vi begge sider på 3 for å finne $x$: $\frac{3x}{3} = \frac{15}{3}$

Dette gir: $x = 5$

---

19. Ulikheter: Når ting ikke er like ⚖️

En ulikhet er som en likning, men i stedet for at to ting er like, sier vi at en ting er større eller mindre enn noe annet. Ulikheter bruker symbolene:

• $>$ betyr "større enn".
• $<$ betyr "mindre enn".
• $\geq$ betyr "større enn eller lik".
• $\leq$ betyr "mindre enn eller lik".

Eksempel på en ulikhet:

$x + 3 > 7$

For å løse denne ulikheten, trekker vi 3 fra begge sider: $x + 3 - 3 > 7 - 3$

Dette gir: $x > 4$

Dette betyr at $x$ må være større enn 4 for at ulikheten skal være sann.

---

20. Funksjoner: Hva er det, og hvordan fungerer de? 📈

En funksjon er som en maskin. Du setter inn en verdi, og funksjonen gjør noe med den verdien og gir deg et resultat tilbake. Vi skriver en funksjon slik:

$f(x) = 2x + 3$

Dette betyr at funksjonen tar en verdi for $x$, ganger den med 2, og legger til 3.

Eksempel:

Hvis vi setter inn $x = 1$ i funksjonen, får vi: $f(1) = 2(1) + 3 = 2 + 3 = 5$

Så, $f(1) = 5$. Det betyr at når vi setter inn $1$, gir funksjonen oss $5$ tilbake.

---

21. Grafene til funksjoner 📊

Funksjoner kan også tegnes som grafer på en koordinatplan. Koordinatplanen har to akser:

• x-aksen (horisontal linje) viser verdien vi setter inn.
• y-aksen (vertikal linje) viser verdien vi får ut.

Eksempel på en lineær funksjon:

$f(x) = 2x + 1$

Hvis vi setter inn flere verdier av $x$ og regner ut funksjonen, kan vi tegne en rett linje på grafen.

• Når $x = 0$, er $f(0) = 2(0) + 1 = 1$.
• Når $x = 1$, er $f(1) = 2(1) + 1 = 3$.
• Når $x = -1$, er $f(-1) = 2(-1) + 1 = -1$.

Vi kan nå tegne punktene $(0, 1)$, $(1, 3)$, og $(-1, -1)$ på en graf, og se at de lager en rett linje.

---