La oss se på hvordan man løser likningssett med to ukjente ved hjelp av forskjellige metoder. Vi skal gå gjennom metoder som substitusjon, eliminasjon, og matriser.

Likningssett med to ukjente

Et likningssett med to ukjente består av to likninger som involverer to ukjente. Generelt har vi: $$ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $$

Her er (a_1), (b_1), (c_1), (a_2), (b_2), og (c_2) konstanter, og (x) og (y) er de ukjente.

Metode 1: Substitusjon

Substitusjonsmetoden innebærer å løse en av likningene for en av de ukjente, og deretter erstatte denne verdien i den andre likningen.

Eksempel:

Løs følgende likningssett ved substitusjon: $$ \begin{cases} 2x + 3y = 6 \ x - y = 1 \end{cases} $$

1. Løs den andre likningen for (x): $$ x = y + 1 $$

2. Erstatt (x) i den første likningen: $$ 2(y + 1) + 3y = 6 $$ $$ 2y + 2 + 3y = 6 $$ $$ 5y + 2 = 6 $$

3. Løs for (y): $$ 5y = 4 $$ $$ y = \frac{4}{5} $$

4. Erstatt verdien av (y) tilbake i uttrykket for (x): $$ x = \frac{4}{5} + 1 $$ $$ x = \frac{4}{5} + \frac{5}{5} = \frac{9}{5} $$

Dermed er løsningen: $$ x = \frac{9}{5}, \quad y = \frac{4}{5} $$

Metode 2: Eliminasjon

Eliminasjonsmetoden innebærer å legge sammen eller trekke fra de to likningene for å eliminere en av de ukjente.

Eksempel:

Løs følgende likningssett ved eliminasjon: $$ \begin{cases} 3x + 2y = 11 \ 2x - y = 1 \end{cases} $$

1. Multipliser den andre likningen med 2 for å matche koeffisienten til (y): $$ 2(2x - y) = 2(1) $$ $$ 4x - 2y = 2 $$

2. Legg sammen de to likningene for å eliminere (y): $$ \begin{cases} 3x + 2y = 11 \ 4x - 2y = 2 \end{cases} $$ $$ 3x + 4x + 2y - 2y = 11 + 2 $$ $$ 7x = 13 $$ $$ x = \frac{13}{7} $$

3. Erstatt (x) tilbake i en av de opprinnelige likningene: $$ 2x - y = 1 $$ $$ 2\left(\frac{13}{7}\right) - y = 1 $$ $$ \frac{26}{7} - y = 1 $$ $$ -y = 1 - \frac{26}{7} $$ $$ -y = \frac{7}{7} - \frac{26}{7} $$ $$ -y = -\frac{19}{7} $$ $$ y = \frac{19}{7} $$

Dermed er løsningen: $$ x = \frac{13}{7}, \quad y = \frac{19}{7} $$

Metode 3: Matrisemetoden

Matrisemetoden innebærer å skrive likningssettet som en matrise og bruke matriseoperasjoner for å finne løsningen.

Eksempel:

Løs følgende likningssett ved matrisemetoden: $$ \begin{cases} x + 2y = 5 \ 3x + 4y = 11 \end{cases} $$

1. Skriv likningssettet som en matrise: $$ \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix}

   \begin{pmatrix} 5 \ 11 \end{pmatrix} $$

2. Beregn den inverse matrisen: $$ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{pmatrix} $$ $$ A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \text{adj}(A) $$ $$ \text{det}(A) = (1 \cdot 4 - 2 \cdot 3) = 4 - 6 = -2 $$ $$ \text{adj}(A) = \begin{pmatrix} 4 & -2 \ -3 & 1 \end{pmatrix} $$ $$ A^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} 4 & -2 \ -3 & 1 \end{pmatrix} $$ $$ A^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix} $$

3. Løs for (\mathbf{x}): $$ \mathbf{x} = A^{-1} \mathbf{b} $$ $$ \begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 \ 11 \end{pmatrix} $$ $$ = \begin{pmatrix} -2 \cdot 5 + 1 \cdot 11 \ \frac{3}{2} \cdot 5 - \frac{1}{2} \cdot 11 \end{pmatrix} $$ $$ = \begin{pmatrix} -10 + 11 \ \frac{15}{2} - \frac{11}{2} \end{pmatrix} $$ $$ = \begin{pmatrix} 1 \ 2 \end{pmatrix} $$

Dermed er løsningen: $$ x = 1, \quad y = 2 $$

Oppsummering

Vi har sett på tre forskjellige metoder for å løse likningssett med to ukjente:

1. Substitusjonsmetoden: Løse en av likningene for en av de ukjente og deretter erstatte denne verdien i den andre likningen.
2. Eliminasjonsmetoden: Legge sammen eller trekke fra de to likningene for å eliminere en av de ukjente.
3. Matrisemetoden: Skrive likningssettet som en matrise og bruke matriseoperasjoner for å finne løsningen.

Disse metodene kan anvendes avhengig av hvilken metode som er mest hensiktsmessig for det spesifikke likningssettet.