00TD02A_Premium_v3 - itnett/FTD02H-N GitHub Wiki

Trigonometriske Funksjoner

Trigonometriske funksjoner beskriver forholdet mellom vinkler og sider i en rettvinklet trekant. De viktigste trigonometriske funksjonene er sinus (sin), cosinus (cos) og tangens (tan).

Enhetssirkelen

En enhetssirkel er en sirkel med radius 1, som brukes til å definere og visualisere trigonometriske funksjoner. Vinkler måles mot klokken fra den positive x-aksen.

Sinus (sin): For en vinkel $( v )$, er $( \sin v )$ lik y-koordinaten til punktet der vinkelbeinet skjærer enhetssirkelen.
Cosinus (cos): For en vinkel $( v )$, er $( \cos v )$ lik x-koordinaten til punktet der vinkelbeinet skjærer enhetssirkelen.
Tangens (tan): For en vinkel $( v )$, er $( \tan v )$ lik forholdet mellom $( \sin v )$ og $( \cos v ) ( ( \tan v = \frac{\sin v}{\cos v} ) )$.

Periodiske Funksjoner

Sinus, cosinus og tangens er periodiske funksjoner, som betyr at verdiene deres gjentar seg i et regelmessig mønster.

Amplitude: Høyden til en bølge i en periodisk funksjon.
Likevektslinje: Den horisontale linjen som en periodisk funksjon svinger rundt.
Periode: Lengden av ett komplett svingeforløp i en periodisk funksjon.
Harmonisk Svingning: En svingning som kan beskrives med en sinus- eller cosinusfunksjon.
Vinkelmåler: Et instrument for å måle vinkler.

Trigonometri i Trekanter

Rettvinklet Trekant

En trekant med en vinkel på 90 grader.

Hypotenus: Den lengste siden i en rettvinklet trekant, som ligger motsatt den rette vinkelen.
Katet: De to kortere sidene i en rettvinklet trekant, som ligger inntil den rette vinkelen.

Sinus, Cosinus og Tangens i Rettvinklede Trekanter

$$( \sin v = \frac{\text{motstående katet}}{\text{hypotenus}} )$$
$$( \cos v = \frac{\text{hosliggende katet}}{\text{hypotenus}} )$$
$$( \tan v = \frac{\text{motstående katet}}{\text{hosliggende katet}} )$$

Sinussetningen og Cosinussetningen

Sinussetningen: Forholdet mellom sinus til en vinkel og lengden av den motstående siden er det samme for alle tre vinkler i en trekant.
Cosinussetningen: Kvadratet av en side i en trekant er lik summen av kvadratene av de to andre sidene minus det dobbelte produktet av disse sidene og cosinus til vinkelen mellom dem.
Arealsetningen: Arealet av en trekant er lik halvparten av produktet av to sider og sinus til vinkelen mellom dem.

Normalfordeling

En normalfordeling er en kontinuerlig sannsynlighetsfordeling som er symmetrisk rundt gjennomsnittet og karakterisert av sin klokkeform.

Standardavvik: Et mål på spredningen av en normalfordeling.
Z-skår: Antall standardavvik en verdi ligger fra gjennomsnittet i en normalfordeling.

Kombinatorikk og Sannsynlighet

Produktregelen: Hvis vi har $( m )$ måter å gjøre én ting på og $( n )$ måter å gjøre en annen ting på, kan vi gjøre begge tingene på $( m \times n )$ måter.
Permutasjon: En ordnet rekkefølge av elementer. Antall permutasjoner av $( n )$ elementer er $( n! ) ( ( n ) fakultet)$.
Kombinasjon: Et utvalg av elementer der rekkefølgen ikke spiller noen rolle. Antall kombinasjoner av $( k )$ elementer fra en mengde på $( n )$ elementer er gitt av binomialkoeffisienten.

Følger og Rekker

Tallfølge: En ordnet liste av tall.
Rekke: Summen av leddene i en tallfølge.
Aritmetisk Følge: En tallfølge der differansen mellom to påfølgende ledd er konstant.
Geometrisk Følge: En tallfølge der forholdet mellom to påfølgende ledd er konstant.
Konvergens: En rekke konvergerer hvis summen nærmer seg en bestemt verdi når vi tar med flere og flere ledd.
Divergens: En rekke divergerer hvis summen ikke nærmer seg noen bestemt verdi.

Finansmatematikk

Rente: Prisen for å låne penger eller belønningen for å spare penger.
Rentefot: Renten oppgitt i prosent per år.
Terminrente: Renten som betales eller mottas i hver termin (for eksempel, hver måned eller hvert år).
Effektiv Rente: Den årlige renten som tar hensyn til rentesrente (det vil si, renter på renter).
Nåverdi: Verdien i dag av et fremtidig beløp, diskontert med en passende rente.
Annuitet: En serie like store beløp som betales eller mottas med jevne mellomrom.
Annuitetslån: Et lån der låntager betaler like store beløp hver termin.
Serielån: Et lån der avdragene er like store hver termin, men rentene avtar etter hvert som lånet nedbetales.

Funksjoner

Funksjon: En regel som tilordner hver verdi i en mengde (definisjonsmengden) nøyaktig én verdi i en annen mengde (verdimengden).
Graf: En visuell representasjon av en funksjon, der x-aksen representerer definisjonsmengden og y-aksen representerer verdimengden.
Kontinuitet: En funksjon er kontinuerlig hvis grafen ikke har noen "hull" eller "hopp".
Grenseverdi: Verdien en funksjon nærmer seg når den uavhengige variabelen nærmer seg en bestemt verdi.
Deriverbarhet: En funksjon er deriverbar hvis den har en derivert i et gitt punkt.
Derivert: Et mål på hvor raskt en funksjon endrer seg i et gitt punkt. Geometrisk sett er den deriverte lik stigningstallet til tangenten til grafen i punktet.
Annengradslikninger: Likninger der den høyeste potensen av variabelen er 2.
Nullpunkter: Verdiene av variabelen som gjør at funksjonen blir null.
Faktorisering: Å skrive et uttrykk som et produkt av flere faktorer.
ABC-formelen: En formel for å finne løsningene til en annengradslikning.

Differensiallikninger

Differensiallikning: En likning som inneholder en funksjon og dens deriverte.
Orden: Den høyeste deriverte i en differensiallikning bestemmer likningens orden.
Løsning: En funksjon som tilfredsstiller differensiallikningen.
Separable Differensiallikninger: Likninger der vi kan skille variablene på hver sin side av likhetstegnet.
Initialbetingelse: En betingelse som hjelper oss med å finne en bestemt løsning blant flere mulige.
Eksponentiell Vekst og Nedbrytning: Prosesser der endringen er proporsjonal med mengden som er til stede.
Logistisk Vekst: En modell som beskriver vekst med begrensninger.

Funksjoner av Flere Variabler

Funksjon av to variabler: En funksjon som tar to inputverdier (x og y) og gir én outputverdi (z).
Grafisk Fremstilling: Kan visualiseres som en flate i et tredimensjonalt koordinatsystem.
Nivåkurver: Kurver som viser punkter med samme funksjonsverdi.
Partiell Derivert: Den deriverte av en funksjon med flere variabler med hensyn på én variabel, mens de andre holdes konstante.
Gradient: En vektor som peker i retningen av den største stigningen til en funksjon.
Kritiske Punkter: Punkter der gradienten er null eller udefinert.
Lokale Ekstremalpunkter: Toppunkter eller bunnpunkter

i et begrenset område rundt punktet.

Sadelpunkter: Kritiske punkter som ikke er lokale ekstremalpunkter.
Lagranges Multiplikatormetode: En metode for å finne ekstremalpunkter under en bibetingelse.

Integrasjon

Integral: Det motsatte av derivasjon. Brukes til å finne arealet under en kurve.
Ubestemt Integral: Integralet av en funksjon uten bestemte grenser.
Bestemt Integral: Integralet av en funksjon mellom to bestemte grenser.
Integrasjonsregler: Regler for å integrere ulike typer funksjoner.
Substitusjonsmetoden: En metode for å forenkle integraler ved å erstatte en variabel med en annen.
Delvis Integrasjon: En metode for å integrere produkter av funksjoner.
Numerisk Integrasjon: Metoder for å tilnærme integraler ved hjelp av beregninger.
Volum av Omdreiningslegemer: Kan beregnes ved hjelp av integrasjon.

Sannsynlighetsfordelinger

Sannsynlighetsfordeling: En funksjon som beskriver sannsynligheten for ulike utfall av et tilfeldig forsøk.
Diskret Sannsynlighetsfordeling: En fordeling der utfallene er tellbare.
Kontinuerlig Sannsynlighetsfordeling: En fordeling der utfallene kan ta alle verdier innenfor et intervall.
Kumulativ Fordelingsfunksjon: En funksjon som gir sannsynligheten for at en stokastisk variabel er mindre enn eller lik en gitt verdi.
Forventningsverdi: Gjennomsnittet av de mulige verdiene til en stokastisk variabel, vektet med sannsynligheten for hver verdi.
Varians og Standardavvik: Mål på spredningen til en stokastisk variabel.

Geometri

Formlikhet: To figurer er formlike hvis de har samme form, men ikke nødvendigvis samme størrelse. Samsvarende vinkler er like, og forholdet mellom samsvarende sider er konstant.

Trekanter

Vinkelsummen i en trekant er alltid 180°.
To trekanter er formlike hvis to vinkler i den ene er lik to vinkler i den andre.
Pytagoras' læresetning gjelder for rettvinklede trekanter: $( a^2 + b^2 = c^2 )$, der $( c )$ er hypotenusen.

Målestokk

Forholdet mellom en lengde på et kart eller en modell og den tilsvarende lengden i virkeligheten.

Areal og Volum

Areal måles i kvadratiske enheter (cm², m², etc.).
Volum måles i kubiske enheter (cm³, m³, etc.).
1 liter (L) er lik 1 kubikkdesimeter (dm³).

Sannsynlighet

Utfallsrom: Mengden av alle mulige utfall i et tilfeldig forsøk.
Hendelse: En delmengde av utfallsrommet (for eksempel, å få en sekser når du kaster en terning).
Uniform Sannsynlighet: Når alle utfall i utfallsrommet er like sannsynlige.
Sannsynlighet for en Hendelse: Antall gunstige utfall delt på totalt antall mulige utfall.
Venndiagram: En grafisk fremstilling som viser forholdet mellom ulike hendelser.
Komplementære Hendelser: To hendelser som til sammen utgjør hele utfallsrommet (for eksempel, å få en sekser og å ikke få en sekser når du kaster en terning).
Addisjonssetningen: Sannsynligheten for at A eller B inntreffer, er lik sannsynligheten for A pluss sannsynligheten for B minus sannsynligheten for at både A og B inntreffer.
Uavhengige Hendelser: Hendelser som ikke påvirker hverandre.
Produktsetningen: Sannsynligheten for at både A og B inntreffer, er lik sannsynligheten for A ganget med sannsynligheten for B (gjelder kun for uavhengige hendelser).
Betinget Sannsynlighet: Sannsynligheten for en hendelse gitt at en annen hendelse har inntruffet.
Produktsetningen for Avhengige Hendelser: Sannsynligheten for at både A og B inntreffer, er lik sannsynligheten for A ganget med sannsynligheten for B gitt at A har inntruffet.
Bayes' Setning: En formel for å beregne betinget sannsynlighet.
Krysstabell: En tabell som viser frekvensen av ulike kombinasjoner av hendelser.
Stokastisk Variabel: En variabel som beskriver utfallet av et tilfeldig forsøk.
Forventningsverdi: Gjennomsnittet av de mulige verdiene til en stokastisk variabel, vektet med sannsynligheten for hver verdi.
Varians og Standardavvik: Mål på spredningen til en stokastisk variabel.
Binomisk Fordeling: En sannsynlighetsfordeling som beskriver antall suksesser i en serie uavhengige forsøk med to mulige utfall (suksess eller fiasko).
Normalfordeling: En kontinuerlig sannsynlighetsfordeling som er symmetrisk rundt gjennomsnittet og karakterisert av sin klokkeform.
Hypotesetesting: En metode for å avgjøre om en antagelse (hypotese) om en populasjon er sannsynlig basert på et utvalg.
Nullhypotese (H0): Hypotesen som testes (vanligvis en antagelse om ingen effekt eller forskjell).
Alternativ Hypotese (H1): Hypotesen som støttes hvis nullhypotesen forkastes.
Signifikansnivå: Sannsynligheten for å feilaktig forkaste nullhypotesen når den faktisk er sann.
Kritisk Verdi: En verdi som brukes til å avgjøre om et testresultat er signifikant.
P-verdi: Sannsynligheten for å observere et testresultat som er minst like ekstremt som det observerte, gitt at nullhypotesen er sann.

Algebra

Variabler: Bokstaver som representerer tall som kan variere.
Regneregler: Regler for å manipulere algebraiske uttrykk, inkludert forenkling og løsning av ligninger.
Formler: Likninger som beskriver forholdet mellom ulike variabler.
Proporsjonalitet: To størrelser er proporsjonale hvis forholdet mellom dem er konstant (for eksempel, hvis du dobler den ene, dobles den andre også).
Omvendt Proporsjonalitet: Når den ene størrelsen øker, minker den andre proporsjonalt (for eksempel, hvis du dobler den ene, halveres den andre).

Potenser og Røtter

Potens: Angir hvor mange ganger et tall multipliseres med seg selv (for eksempel, $( 2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8 )$).
Regneregler for Potenser: Regler for å kombinere og forenkle uttrykk med potenser.
Standardform: En måte å skrive svært store eller små tall på (for eksempel, $( 3,2 \times 10^5 )$).
Kvadratrot: Det tallet som, ganget med seg selv, gir det opprinnelige tallet (for eksempel, kvadratroten av 9 er 3).
Tredjerot: Det tallet som, ganget med seg selv tre ganger, gir det opprinnelige tallet (for eksempel, tredjeroten av 8 er 2).

Funksjoner

Funksjon: En sammenheng mellom to mengder, der hver verdi i den første mengden (x) tilsvarer nøyaktig én verdi i den andre mengden (y).
Definisjonsmengde: Alle mulige x-verdier for en funksjon.
Verdimengde: Alle mulige y-verdier for en funksjon.
Nullpunkt: Der funksjonen krysser x-aksen (det vil si hvor y = 0).
Ekstremalpunkt: Høydepunktet (toppunkt) eller lavpunktet (bunnpunkt) til en funksjon.

Lineære Funksjoner

Lineær Funksjon: En funksjon der grafen er en rett linje.
Likning: $( y = ax + b )$, der $( a )$ er stigningstallet (hvor bratt linjen er) og $( b )$ er konstantleddet (der linjen krysser y-aksen).
Stigningstall: Beskriver hvor mye y endres når x endres med én enhet.
Lineær Vekst: En situasjon der noe øker eller minker med en konstant mengde over tid.

Annengradsfunksjoner og Polynomer

Annengradsfunksjon: En funksjon der grafen er en parabel (en U-formet kurve).
Likning: $( y = ax^2 + bx + c )$
Polynom: Et algebraisk uttrykk med flere ledd (for eksempel, $( 3x^2 - 5x + 2 ))$.
Polynomfunksjon: En funksjon der funksjonsuttrykket er et polynom.

Eksponential- og Potensfunksjoner

Eksponentialfunksjon: En funksjon der noe vokser eller minker med en konstant prosent over tid.
Likning: $( y = a \cdot k^x )$, der $( a )$ er startverdien og $( k )$ er vekstfaktoren.
Potensfunksjon: En funksjon der variabelen er opphøyd i en potens (for eksempel, $( y = x^2 )$).

Trigonometri

Sinus, Cosinus, Tangens: Trigonometriske funksjoner som beskriver forholdet mellom sider og vinkler i en rettvinklet trekant.
Sinussetningen og Cosinussetningen: Formler som brukes til å løse trekanter når vi kjenner visse sider og vinkler.

Statistikk

Datamateriale: En samling av observasjoner eller målinger.
Frekvens: Hvor ofte en bestemt observasjonsverdi forekommer i datamaterialet.
Diagrammer og Tabeller: Ulike måter å visualisere og organisere datamateriale på.
Sentralmål: Tall som beskriver sentrum av et datasett (for eksempel, gjennomsnitt, median, typetall).
Spredningsmål: Tall som beskriver hvor spredt datasettet er (for eksempel, variasjonsbredde, standardavvik).

Formlikhet og Målestokk

Formlike Figurer: Figurer med samme form, men ikke nødvendigvis samme størrelse.
Målestokk: Forholdet mellom en lengde på en modell og den tilsvarende lengden i virkeligheten.

Økonomi

Prisindeks: Viser hvordan priser endrer seg over tid i forhold til et basisår.
KPI (Konsumprisindeks): En vanlig prisindeks som måler endringer i priser på varer og tjenester som forbrukere kjøper.
Kroneverdi: Hvor mye én krone er verdt i forhold til et basisår.
Reallønn: Lønnen justert for inflasjon (det vil si, endringer i prisnivået).
Renter: Kostnaden for å låne penger eller belønningen for å spare penger.
Lån og Kredittkort: Ulike måter å låne penger på.
Merverdiavgift (MVA): En avgift som legges på varer og tjenester.

Dette avslutter kapittelet om trigonometriske funksjoner, algebra, sannsynlighet og økonomi. Neste kapittel vil gå i dybden på hvordan vi kan anvende disse konseptene i praktiske situasjoner og løse komplekse matematiske og fysikkproblemer.

Anvendelse av Matematiske og Fysiske Konsepter i Praktiske Situasjoner

I dette kapittelet vil vi utforske hvordan vi kan bruke de matematiske og fysiske konseptene vi har lært for å løse praktiske problemer. Vi vil se på konkrete eksempler og anvendelser som viser relevansen av disse konseptene i hverdagen, i arbeidslivet og i videre studier.

Bruk av Algebra i Hverdagen

Algebraiske prinsipper kan brukes til å løse en rekke problemer som vi møter daglig. La oss se på noen eksempler:

Budsjettering og Økonomisk Planlegging
- Anta at du har en månedlig inntekt og faste utgifter som husleie, strøm, mat og transport. Vi kan bruke algebra til å sette opp en ligning som hjelper deg å finne ut hvor mye penger du har igjen etter å ha betalt alle utgiftene.
- Eksempel: $( \text{Inntekt} - \text{Utgifter} = \text{Sparingsbeløp} )$.
Matlaging og Oppskrifter
- Når du lager mat, kan algebra hjelpe deg med å justere oppskrifter. Hvis du har en oppskrift som gir 4 porsjoner, men du trenger 6 porsjoner, kan du bruke proporsjonalitet til å finne ut hvor mye av hver ingrediens du trenger.
- Eksempel: $( \text{Ny mengde} = \text{Opprinnelig mengde} \times \frac{\text{Antall porsjoner du trenger}}{\text{Opprinnelig antall porsjoner}} )$.

Trigonometri i Bygg og Konstruksjon

Trigonometriske funksjoner er svært nyttige i bygg og konstruksjon:

Bestemme Høyder og Avstander
- Ved å bruke trigonometriske funksjoner som sinus, cosinus og tangens kan vi beregne høyder og avstander som er vanskelig å måle direkte.
- Eksempel: For å finne høyden på en bygning, kan du måle avstanden fra bygningen og vinkelen mellom bakken og toppen av bygningen, og bruke tangens til å beregne høyden.
Takvinkler og Rafter
- Når du bygger et tak, er det viktig å vite vinklene og lengdene på rafterne. Trigonometri kan hjelpe deg å finne disse verdiene.
- Eksempel: Hvis du kjenner vinkelen på taket og lengden på bygningen, kan du bruke sinus- og cosinusfunksjoner til å finne lengden på rafterne.

Statistikk i Dataanalyse

Statistiske metoder er uunnværlige i dataanalyse og forskning:

Analysering av Forskningsdata
- Statistikk brukes til å samle inn, analysere og tolke data. Gjennomsnitt, median og standardavvik er grunnleggende verktøy for å beskrive datasett.
- Eksempel: Hvis du forsker på effekten av en ny medisin, kan du bruke statistiske metoder for å sammenligne resultatene fra en testgruppe og en kontrollgruppe.
Markedsanalyse
- Bedrifter bruker statistikk til å analysere markedsdata, identifisere trender og ta strategiske beslutninger.
- Eksempel: Ved å samle inn data om kundeatferd, kan bedrifter bruke statistiske metoder for å forutsi fremtidig etterspørsel og optimalisere lagerbeholdningen.

Differensiallikninger i Fysikk og Ingeniørfag

Differensiallikninger er fundamentale i modellering av fysiske systemer:

Bevegelseslikninger
- Newtons lover om bevegelse kan uttrykkes som differensiallikninger. Disse likningene beskriver hvordan et objekts posisjon, hastighet og akselerasjon endres over tid.
- Eksempel: En fallende gjenstands bevegelse under tyngdekraften kan modelleres ved hjelp av differensiallikninger.
Elektriske Kretser
- Differensiallikninger brukes til å modellere elektriske kretser. De beskriver hvordan spenning og strøm endres over tid i en krets.
- Eksempel: En RLC-krets (resistor, induktor, kondensator) kan analyseres ved hjelp av differensiallikninger for å finne strømmen som funksjon av tiden.

Bruk av Finansmatematikk i Personlig Økonomi

Finansmatematikk er avgjørende for personlig økonomisk planlegging:

Låneberegning
- Når du tar opp et lån, er det viktig å forstå hvordan renter beregnes og hvordan tilbakebetalingen vil se ut over tid.
- Eksempel: For et annuitetslån kan du bruke formelen for å beregne terminbeløpet og hvordan dette beløpet er sammensatt av renter og avdrag.
Investeringer
- Ved å bruke konsepter som nåverdi og effektiv rente, kan du vurdere ulike investeringsalternativer og finne ut hvilken som gir best avkastning.
- Eksempel: Hvis du vurderer å investere i aksjer eller obligasjoner, kan du bruke nåverdi for å sammenligne fremtidige utbetalinger med dagens investering.

Oppsummering og Gjennomgang

Vi har sett på hvordan algebra, trigonometri, statistikk, differensiallikninger og finansmatematikk kan anvendes i praktiske situasjoner. For å sikre at du har forstått disse konseptene og kan anvende dem selv, la oss gå gjennom noen oppgaver:

Oppgave om Budsjettering
- Sett opp et budsjett for en måned, og bruk algebra til å finne ut hvor mye du kan spare.
Oppgave om Bygg og Konstruksjon
- Beregn høyden på et bygg ved å måle avstand og vinkel, og bruk trigonometriske funksjoner for å finne svaret.
Oppgave om Statistikk
- Analyser et datasett og beregn gjennomsnitt, median og standardavvik.
Oppgave om Differensiallikninger
- Løs en enkel differensiallikning som beskriver bevegelsen til en fallende gjenstand.
Oppgave om Finansmatematikk
- Beregn terminbeløpet for et annuitetslån med en gitt rente og løpetid.

Dette avslutter kapittelet om anvendelse av matematiske og fysiske konsepter i praktiske situasjoner. Ved å forstå og anvende disse konseptene, vil du være godt forberedt på å møte og løse komplekse problemer i både hverdagen og arbeidslivet.