00TD02A_Premium_v2 - itnett/FTD02H-N GitHub Wiki

Algebra

Variabler

Variabler er bokstaver som representerer tall som kan variere.

$$ 3x + 5 = 11 $$

Eksempel: Hvis $( x = 2 )$, så $( 3(2) + 5 = 11 )$.

Regneregler for algebraiske uttrykk

For å forenkle algebraiske uttrykk, bruk følgende regler:

Parenteser: $( a(b + c) = ab + ac )$
Samle like termer: $( 3x + 4x = 7x )$

Proporsjonalitet

To størrelser er proporsjonale hvis forholdet mellom dem er konstant.

$$ y = kx $$

Eksempel: Hvis $( y = 3x )$ og $( x = 4 )$, så er $( y = 3 \cdot 4 = 12 )$.

Omvendt proporsjonalitet

To størrelser er omvendt proporsjonale hvis produktet av dem er konstant.

$$ xy = k $$

Eksempel: Hvis $( x = 2 )$ og $( y = 6 )$, så er $( 2 \cdot 6 = 12 )$.

Potenser og røtter

Potens

En potens angir hvor mange ganger et tall multipliseres med seg selv.

$$ 2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 $$

Regneregler for potenser

$$ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $$

Eksempel: $$( 2^3 \cdot 2^2 = 2^{3+2} = 2^5 = 32 )$$.

Kvadratrot

Kvadratroten av et tall er det tallet som ganget med seg selv gir det opprinnelige tallet.

$$ \sqrt{9} = 3 $$

Tredjerot

Tredjeroten av et tall er det tallet som ganget med seg selv tre ganger gir det opprinnelige tallet.

$$ \sqrt[3]{8} = 2 $$

Funksjoner

Definisjon av funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to mengder der hver verdi av $( x )$ tilsvarer én verdi av $( y )$.

$$ f(x) = 2x + 1 $$

Nullpunkt

Nullpunktet til en funksjon er der funksjonen krysser x-aksen.

$$ f(x) = 0 \quad \Rightarrow \quad 2x + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{1}{2} $$

Lineære funksjoner

Likning for en lineær funksjon

$$ y = ax + b $$

Eksempel: ( y = 3x - 2 ).

Stigningstall

Stigningstallet beskriver hvor mye $( y )$ endres når $( x )$ endres med én enhet.

$$ a = \frac{\Delta y}{\Delta x} $$

Eksempel: For punktene (1, 2) og (3, 6) er $( a = \frac{6 - 2}{3 - 1} = 2 )$.

Annengradsfunksjoner og polynomer

Annengradsfunksjon

$$ y = ax^2 + bx + c $$

Eksempel: ( y = x^2 + 4x - 5 ).

Polynom

Et polynom er et algebraisk uttrykk med flere ledd.

$$ 3x^2 - 5x + 2 $$

Eksponential- og potensfunksjoner

Eksponentialfunksjon

$$ y = a \cdot k^x $$

Eksempel: $( y = 2 \cdot 3^x )$.

Potensfunksjon

$$ y = x^2 $$

Trigonometri

Sinus, Cosinus, Tangens

Trigonometriske funksjoner for en rettvinklet trekant.

$$ \sin \theta = \frac{\text{motstående katet}}{\text{hypotenus}}, \quad \cos \theta = \frac{\text{hosliggende katet}}{\text{hypotenus}}, \quad \tan \theta = \frac{\text{motstående katet}}{\text{hosliggende katet}} $$

Eksempel: For en trekant med hypotenus 5, motstående katet 3, og hosliggende katet 4, er $( \sin \theta = \frac{3}{5} ), ( \cos \theta = \frac{4}{5} ), ( \tan \theta = \frac{3}{4} )$.

Statistikk

Sentralmål

Gjennomsnitt, median og typetall.

$$ \text{Gjennomsnitt} = \frac{\sum \text{observasjoner}}{n} $$

Eksempel: For observasjonene 1, 2, 3, 4, 5 er gjennomsnittet $( \frac{1+2+3+4+5}{5} = 3 )$.

Økonomi

Renter

$$ A = P \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt} $$

Eksempel: Hvis du setter inn 1000 kr til 5% årlig rente sammensatt månedlig i 10 år, blir beløpet:

$$ A = 1000 \left(1 + \frac{0.05}{12}\right)^{12 \cdot 10} \approx 1647.01 $$

Geometri

Pytagoras' læresetning

$$ a^2 + b^2 = c^2 $$

Eksempel: For en trekant med sider 3, 4 og hypotenus 5:

$$ 3^2 + 4^2 = 5^2 \quad \Rightarrow \quad 9 + 16 = 25 $$

Sannsynlighet

Sannsynlighet for en hendelse

$$ P(A) = \frac{\text{antall gunstige utfall}}{\text{totalt antall utfall}} $$

Eksempel: Sannsynligheten for å få en sekser når du kaster en terning er $( \frac{1}{6} )$.

Ressurser for utregning og videre læring

Disse lenkene gir deg mulighet til å utføre spesifikke beregninger og utforske videre eksempler.

Komplett oversikt

La oss utvide oversikten til å dekke alle de nevnte emnene fra dokumentene.

Algebra

Variabler

Variabler er bokstaver som representerer tall som kan variere.

$$ 3x + 5 = 11 $$

Eksempel: Hvis $$( x = 2 ), så ( 3(2) + 5 = 11 )$$.

Regneregler for algebraiske uttrykk

For å forenkle algebraiske uttrykk, bruk følgende regler:

Parenteser: ( a(b + c) = ab + ac )
Samle like termer: ( 3x + 4x = 7x )

Proporsjonalitet

To størrelser er proporsjonale hvis forholdet mellom dem er konstant.

$$ y = kx $$

Eksempel: Hvis $( y = 3x )$ og $( x = 4 )$, så er $( y = 3 \cdot 4 = 12 )$.

Omvendt proporsjonalitet

To størrelser er omvendt proporsjonale hvis produktet av dem er konstant.

$$ xy = k $$

Eksempel: Hvis $( x = 2 )$ og $( y = 6 )$, så er $( 2 \cdot 6 = 12 )$.

Potenser og røtter

Potens

En potens angir hvor mange ganger et tall multipliseres med seg selv.

$$ 2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 $$

Regneregler for potenser

$$ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $$

Eksempel: $$( 2^3 \cdot 2^2 = 2^{3+2} = 2^5 = 32 )$$.

Kvadratrot

Kvadratroten av et tall er det tallet som ganget med seg selv gir det opprinnelige tallet.

$$ \sqrt{9} = 3 $$

Tredjerot

Tredjeroten av et tall er det tallet som ganget med seg selv tre ganger gir det opprinnelige tallet.

$$ \sqrt[3]{8} = 2 $$

Funksjoner

Definisjon av funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to

mengder der hver verdi av $( x )$ tilsvarer én verdi av $( y )$.

$$ f(x) = 2x + 1 $$

Nullpunkt

Nullpunktet til en funksjon er der funksjonen krysser x-aksen.

$$ f(x) = 0 \quad \Rightarrow \quad 2x + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{1}{2} $$

Lineære funksjoner

Likning for en lineær funksjon

$$ y = ax + b $$

Eksempel: $$( y = 3x - 2 )$$.

Stigningstall

Stigningstallet beskriver hvor mye $( y )$ endres når $( x )$ endres med én enhet.

$$ a = \frac{\Delta y}{\Delta x} $$

Eksempel: For punktene $(1, 2)$ og $(3, 6)$ er $( a = \frac{6 - 2}{3 - 1} = 2 )$.

Annengradsfunksjoner og polynomer

Annengradsfunksjon

$$ y = ax^2 + bx + c $$

Eksempel: $( y = x^2 + 4x - 5 )$.

Polynom

Et polynom er et algebraisk uttrykk med flere ledd.

$$ 3x^2 - 5x + 2 $$

Eksponential- og potensfunksjoner

Eksponentialfunksjon

$$ y = a \cdot k^x $$

Eksempel: ( y = 2 \cdot 3^x ).

Potensfunksjon

$$ y = x^2 $$

Trigonometri

Sinus, Cosinus, Tangens

Trigonometriske funksjoner for en rettvinklet trekant.

Eksempel: For en trekant med hypotenus 5, motstående katet 3, og hosliggende katet 4, er $( \sin \theta = \frac{3}{5} ), ( \cos \theta = \frac{4}{5} ), ( \tan \theta = \frac{3}{4} )$.

Statistikk

Sentralmål

Gjennomsnitt, median og typetall.

$$ \text{Gjennomsnitt} = \frac{\sum \text{observasjoner}}{n} $$

Eksempel: For observasjonene 1, 2, 3, 4, 5 er gjennomsnittet $( \frac{1+2+3+4+5}{5} = 3 )$.

Økonomi

Renter

$$ A = P \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt} $$

Eksempel: Hvis du setter inn 1000 kr til 5% årlig rente sammensatt månedlig i 10 år, blir beløpet:

$$ A = 1000 \left(1 + \frac{0.05}{12}\right)^{12 \cdot 10} \approx 1647.01 $$

Geometri

Pytagoras' læresetning

$$ a^2 + b^2 = c^2 $$

Eksempel: For en trekant med sider 3, 4 og hypotenus 5:

$$ 3^2 + 4^2 = 5^2 \quad \Rightarrow \quad 9 + 16 = 25 $$

Sannsynlighet

Sannsynlighet for en hendelse

$$ P(A) = \frac{\text{antall gunstige utfall}}{\text{totalt antall utfall}} $$

Eksempel: Sannsynligheten for å få en sekser når du kaster en terning er $( \frac{1}{6} )$.

Matematisk Modellering

Lineær vekst

Når sammenhengen mellom to størrelser $( x )$ og $( y )$ er gitt ved en rett linje i et koordinatsystem.

$$ y = ax + b $$

Eksempel: ( y = 3x + 2 ).

Potensfunksjon

En potensfunksjon er på formen

$$ f(x) = a \cdot x^k $$

Eksempel: ( f(x) = 2x^3 ).

Eksponentialfunksjon

En eksponentialfunksjon er på formen

$$ f(x) = a \cdot k^x $$

Eksempel: ( f(x) = 2 \cdot 3^x ).

Regneregler for likninger og ulikheter

Likninger

For å løse likninger, bruk følgende regler:

Flytt ledd fra en side til den andre ved å skifte fortegn.
Multipliser eller divider med samme tall på begge sider.

Eksempel:

$$ 2x + 3 = 11 \quad \Rightarrow \quad 2x = 11 - 3 \quad \Rightarrow \quad x = 4 $$

Ulikheter

Regneregler for ulikheter er de samme som for likninger, med unntak av at dersom du multipliserer eller dividerer med et negativt tall, må du snu ulikhetstegnet.

Eksempel:

$$ 3x - 4 < 10 \quad \Rightarrow \quad 3x < 14 \quad \Rightarrow \quad x < \frac{14}{3} $$

Prosentregning

Prosent

Prosent betyr hundredeler.

$$ 50% = \frac{50}{100} = 0.5 $$

Vekstfaktor

Vekstfaktoren ved prosentvis økning er

$$ 1 + \frac{p}{100} $$

Eksempel: En økning på 20% gir vekstfaktoren ( 1 + \frac{20}{100} = 1.20 ).

Økonomi

Annuitetslån

Formelen for terminbeløpet for et annuitetslån er:

$$ \text{terminbeløp} = \frac{\text{lånebeløp} \cdot \text{rentefaktor}}{1 - (1 + \text{rentefaktor})^{-n}} $$

Serielån

Formelen for avdragene for et serielån er:

$$ \text{avdrag} = \frac{\text{lånebeløp}}{\text{antall terminer}} $$

Geometri

Areal og volum

Formler for areal og volum for ulike figurer.

Rektangel: $( A = l \cdot b )$
Sirkel: $( A = \pi r^2 )$
Prisme: $( V = G \cdot h )$
Sylinder: $( V = \pi r^2 h )$
Kule: $( V = \frac{4}{3} \pi r^3 )$

Sannsynlighet og statistikk

Uniform sannsynlighet

Når alle utfall er like sannsynlige.

$$ P(A) = \frac{\text{antall gunstige utfall}}{\text{totalt antall utfall}} $$

Kombinatorikk

Antall permutasjoner og kombinasjoner av et sett.

Permutasjoner: $( n! )$
Kombinasjoner: $( \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} )$

Vektorer

Vektorlengde

Lengden av en vektor $( \vec{v} = \langle a, b \rangle )$ er gitt ved:

$$ |\vec{v}| = \sqrt{a^2 + b^2} $$

Skalarprodukt

Skalarproduktet av to vektorer $( \vec{u} ) og ( \vec{v} )$ er:

$$ \vec{u} \cdot \vec{v} = u_x v_x + u_y v_y $$

Kryssprodukt

Kryssproduktet av to vektorer $( \vec{u} )$ og $( \vec{v} )$ er:

$$ \vec{u} \times \vec{v} = \left| \begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ u_x & u_y & u_z \ v_x & v_y & v_z \ \end{array} \right| $$

Integrasjon

Ubestemt integral

Integralet av en funksjon $( f(x) )$ er:

$$ \int f(x) , dx = F(x) + C $$

Bestemt integral

Integralet av en funksjon $( f(x) ) fra ( a ) til ( b )$ er:

$$ \int_a^b f(x) , dx = F(b) - F(a) $$

Ress

urser for utregning og videre læring

Disse lenkene gir deg mulighet til å utføre spesifikke beregninger og utforske videre eksempler.