00TD02A_IntegerExponents_v2 - itnett/FTD02H-N GitHub Wiki
+++
Forenkling av Uttrykk og Eksponentregler
La oss starte med å gå gjennom hvordan vi forenkler uttrykket $((4x^{-4}y^5)^3)$ ved å bruke eksponentregler. Vi tar det steg for steg, og formaterer det med LaTeX slik at det blir klart og lett å følge.
Trinn 1: Utgangspunktet
Vi starter med uttrykket:
$$ (4x^{-4}y^5)^3 $$
Trinn 2: Bruk av Potensregel
Bruk potensregelen for å distribuere eksponenten til hvert element i parentesen. Potensregelen sier at $((a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n)$:
$$ (4x^{-4}y^5)^3 = 4^3 \cdot (x^{-4})^3 \cdot (y^5)^3 $$
Trinn 3: Beregn Individuelle Eksponenter
Hev hver komponent til tredje potens:
$$ 4^3 = 64 $$ $$ (x^{-4})^3 = x^{-12} $$ $$ (y^5)^3 = y^{15} $$
Trinn 4: Kombiner Resultatene
Sett sammen resultatene fra trinn 3:
$$ 64 \cdot x^{-12} \cdot y^{15} $$
Trinn 5: Konverter Negativ Eksponent til Positiv Eksponent
Konverter den negative eksponenten til en positiv eksponent ved å flytte $x^{-12}$ til nevneren:
$$ 64 \cdot \frac{y^{15}}{x^{12}} $$
Dermed er det forenklede uttrykket skrevet med bare positive eksponenter:
$$ 64 \cdot \frac{y^{15}}{x^{12}} $$
Eksempler og Forklaringer
1. Positive Eksponenter
- Regel: $a^n$
- Eksempel: $3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$
- Forklaring: Multipliser tallet med seg selv så mange ganger som eksponenten sier.
2. Negative Eksponenter
- Regel: $a^{-n}$
- Eksempel: $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$
- Forklaring: En negativ eksponent betyr at vi tar den inverse (eller reciproc) av tallet med den positive eksponenten.
3. Null Eksponent
- Regel: $a^0$
- Eksempel: $5^0 = 1$
- Forklaring: Ethvert tall opphøyd i null er 1, gitt at tallet ikke er null.
4. Produktregel
- Regel: $(ab)^n$
- Eksempel: $(2 \times 3)^2 = 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36$
- Forklaring: Eksponenten gjelder for begge faktorene i produktet.
5. Kvotientregel
- Regel: $\left(\frac{a}{b}\right)^n$
- Eksempel: $\left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9}$
- Forklaring: Eksponenten gjelder for både teller og nevner.
6. Sum av Eksponenter med Samme Base
- Regel: $a^{m+n}$
- Eksempel: $2^3 \times 2^2 = 2^{3+2} = 2^5 = 32$
- Forklaring: Når vi multipliserer to potenser med samme base, legger vi til eksponentene.
7. Differens av Eksponenter med Samme Base
- Regel: $a^{m-n}$
- Eksempel: $\frac{2^5}{2^2} = 2^{5-2} = 2^3 = 8$
- Forklaring: Når vi deler to potenser med samme base, trekker vi eksponentene fra hverandre.
8. Potens av en Potens
- Regel: $(a^m)^n$
- Eksempel: $(2^3)^2 = 2^{3 \times 2} = 2^6 = 64$
- Forklaring: Når vi opphøyer en potens til en annen potens, multipliserer vi eksponentene.
9. Kombinasjon av Negative Eksponenter
- Regel: $a^{-m}b^{-n}$
- Eksempel: $2^{-3}3^{-2} = \frac{1}{2^3} \times \frac{1}{3^2} = \frac{1}{8} \times \frac{1}{9} = \frac{1}{72}$
- Forklaring: Hver negative eksponent omdannes til en brøk, og deretter multipliseres de.
Fullstendig Løsning i LaTeX på en Linje
$$(4x^{-4}y^5)^3 = \left(\frac{4 \cdot y^5}{x^4}\right)^3 = \frac{(4 \cdot y^5)^3}{(x^4)^3} = \frac{4^3 \cdot (y^5)^3}{(x^4)^3} = \frac{64 \cdot y^{15}}{x^{12}} = 64 \cdot \frac{y^{15}}{x^{12}}$$
Ved å følge disse trinnene kan vi forenkle komplekse uttrykk ved å bruke eksponentregler, og vi ser tydelig hvordan hvert trinn bygger på det forrige for å nå det endelige resultatet. +++
+++
Potenser: Grunntall og Eksponenter
En potens er en matematisk uttrykksform som består av et grunntall og en eksponent. Potenser brukes ofte for å forenkle skrivingen av store eller små tall, og for å utføre beregninger som involverer gjentatt multiplikasjon.
Grunntall og Eksponent
- Grunntall: Tallet som skal opphøyes. Eksempel: I uttrykket $2^3$, er $2$ grunntallet.
- Eksponent: Tallet som forteller hvor mange ganger grunntallet skal multipliseres med seg selv. Eksempel: I uttrykket $2^3$, er $3$ eksponenten.
Praktiske Eksempler
-
Lysstyrke av en lommelykt:
- Hvis lysstyrken til en lommelykt fordobles hver time, kan vi bruke potens til å beskrive dette.
- Etter 3 timer vil lysstyrken være $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$ ganger sterkere.
-
Kopiere en side med en kopimaskin:
- Hvis du kopierer en side, og deretter kopierer kopien igjen, og så videre, etter $4$ kopier, vil du ha $2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$ sider.
Negative Eksponenter
En negativ eksponent betyr at vi tar den inverse av tallet med den positive eksponenten.
Eksempel:
- Hvis du har en bakteriepopulasjon som halveres hver time, etter $3$ timer vil antall bakterier være $\frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$ av det opprinnelige antallet.
Potens av en Potens
Når vi opphøyer en potens til en annen eksponent, multipliserer vi eksponentene.
Eksempel:
- Hvis du har et sjakkbrett og du legger $2$ riskorn på første felt, $2^2$ på andre felt, $2^3$ på tredje felt, og så videre, etter $2$ felt vil du ha $(2^2)^2 = 2^{2 \times 2} = 2^4 = 16$ riskorn.
Eksponenter i Teller og Nevner
Eksponenter kan også være i teller og nevner av en brøk.
Eksempel:
- Hvis du har $ \frac{2^3}{3^2} = \frac{8}{9}$, betyr dette at du har en mengde som er $8/9$ av en større mengde.
Eksponenter utenfor Parenteser
Når vi har en eksponent utenfor en parentes, hever vi hvert element i parentesen til den eksponenten.
Eksempel:
- Hvis du har $\left(3x^2y^3\right)^2 = 3^2 \cdot (x^2)^2 \cdot (y^3)^2 = 9x^4y^6$, betyr dette at hver del av det opprinnelige uttrykket er opphøyd til eksponenten utenfor parentesen.
Virkelige Ting å Ta og Føle På
-
Penger i en sparekonto:
- Hvis du har $100$ kroner på en sparekonto med $5%$ årlig rente, kan vi bruke potens til å finne ut hvor mye penger du vil ha etter flere år.
- Etter $3$ år vil du ha $100 \times (1 + 0.05)^3 = 100 \times 1.157625 = 115.76$ kroner.
-
Kaffekopper i et kontor:
- Hvis antall kaffekopper dobles hver dag, kan vi bruke potens til å finne ut hvor mange kopper vi har etter en uke.
- Etter $7$ dager vil antall kopper være $2^7 = 128$ kopper.
Oppsummering med LaTeX
Her er en sammenstilling av alle de viktige konseptene:
-
Grunntall og Eksponent:
- $a^n$ hvor $a$ er grunntallet og $n$ er eksponenten.
- Eksempel: $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$
-
Negative Eksponenter:
- $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$
- Eksempel: $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$
-
Potens av en Potens:
- $(a^m)^n = a^{m \times n}$
- Eksempel: $(2^3)^2 = 2^{3 \times 2} = 2^6 = 64$
-
Eksponenter i Teller og Nevner:
- $\frac{a^m}{b^n}$
- Eksempel: $\frac{2^3}{3^2} = \frac{8}{9}$
-
Eksponenter utenfor Parenteser:
- $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$
- Eksempel: $\left(3x^2y^3\right)^2 = 3^2 \cdot (x^2)^2 \cdot (y^3)^2 = 9x^4y^6$
Ved å bruke praktiske eksempler og sammenligne med virkelige ting kan vi lettere forstå hvordan potensregning fungerer og anvendes i dagliglivet. +++
+++
Eksempel: Forenkling av $((4x^{-4}y^5)^3)$
Vi skal forenkle uttrykket $((4x^{-4}y^5)^3)$ ved å gå gjennom hver minste detalj.
| Trinn | Uttrykk | Forklaring |
|---|---|---|
| 1 | ((4x^{-4}y^5)^3) | Start med det opprinnelige uttrykket. |
| 2 | ((4 \cdot x^{-4} \cdot y^5)^3) | Skriv uttrykket uten parentesen rundt grunntallet. |
| 3 | (\left(4 \cdot \frac{1}{x^4} \cdot y^5\right)^3) | Skriv den negative eksponenten (x^{-4}) som en brøk. Husk at (x^{-4} = \frac{1}{x^4}). |
| 4 | (\left(\frac{4 \cdot y^5}{x^4}\right)^3) | Kombiner uttrykket som en brøk. Dette gjøres ved å multiplisere (4) og (y^5) i telleren og (x^4) i nevneren. |
| 5 | (\frac{(4 \cdot y^5)^3}{(x^4)^3}) | Bruk potensregelen (\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}) for å heve både teller og nevner til tredje potens. |
| 6 | (\frac{4^3 \cdot (y^5)^3}{(x^4)^3}) | Anvend eksponenten på hvert element i telleren og nevneren. |
| 7 | (4^3 = 64) | Beregn (4^3). Dette betyr å multiplisere (4) med seg selv tre ganger: (4 \times 4 \times 4 = 64). |
| 8 | ((y^5)^3 = y^{5 \cdot 3} = y^{15}) | Multipliser eksponentene i (y^5) for å få (y^{15}). Når vi har ((a^m)^n), multipliserer vi eksponentene: (m \cdot n). |
| 9 | ((x^4)^3 = x^{4 \cdot 3} = x^{12}) | Multipliser eksponentene i (x^4) for å få (x^{12}). |
| 10 | (\frac{64 \cdot y^{15}}{x^{12}}) | Sett sammen resultatene. Telleren blir (64 \cdot y^{15}) og nevneren blir (x^{12}). |
| 11 | (64 \cdot \frac{y^{15}}{x^{12}}) | Skriv det endelige resultatet på en måte som fremhever den brøkformede delen. |
Praktiske Eksempler og Logisk Forankring
-
Grunntall og Eksponent:
- Når du ser et uttrykk som (2^3), betyr det at tallet (2) (grunntallet) skal multipliseres med seg selv (3) ganger (eksponenten). Dette gir (2 \times 2 \times 2 = 8).
- Eksempel: Hvis du har 2 epler, og antall epler tredobles hver dag, etter 3 dager har du (2^3 = 8) epler.
-
Negative Eksponenter:
- En negativ eksponent betyr at vi tar den inverse av tallet med den positive eksponenten. For eksempel, (x^{-4}) betyr (\frac{1}{x^4}).
- Eksempel: Hvis du har en bakteriepopulasjon som halveres hver time, etter 3 timer vil antall bakterier være (\frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}) av det opprinnelige antallet.
-
Potens av en Potens:
- Når vi opphøyer en potens til en annen eksponent, multipliserer vi eksponentene. For eksempel, ((2^3)^2 = 2^{3 \times 2} = 2^6 = 64).
- Eksempel: Hvis du har en plante som vokser med en faktor på (2^3) hver måned, etter 2 måneder vil vekstfaktoren være ((2^3)^2 = 2^6 = 64) ganger den opprinnelige størrelsen.
-
Eksponenter i Teller og Nevner:
- Eksponenter kan være i teller og nevner av en brøk. For eksempel, (\frac{2^3}{3^2} = \frac{8}{9}).
- Eksempel: Hvis du har 8 sjokolader og deler dem mellom 9 venner, får hver venn (\frac{8}{9}) av en sjokolade.
-
Eksponenter utenfor Parenteser:
- Når vi har en eksponent utenfor en parentes, hever vi hvert element i parentesen til den eksponenten. For eksempel, (\left(3x^2y^3\right)^2 = 3^2 \cdot (x^2)^2 \cdot (y^3)^2 = 9x^4y^6).
- Eksempel: Hvis du har en boks som har (3) rom, hver med (x^2) bøker og (y^3) blyanter, etter å doble boksen (2) ganger, vil du ha (9x^4y^6) enheter totalt.
Sammenstilling av Begrepene
-
Grunntall og Eksponent:
- $a^n$ hvor $a$ er grunntallet og $n$ er eksponenten.
- Eksempel: $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$
-
Negative Eksponenter:
- $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$
- Eksempel: $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$
-
Potens av en Potens:
- $(a^m)^n = a^{m \times n}$
- Eksempel: $(2^3)^2 = 2^{3 \times 2} = 2^6 = 64$
-
Eksponenter i Teller og Nevner:
- $\frac{a^m}{b^n}$
- Eksempel: $\frac{2^3}{3^2} = \frac{8}{9}$
-
Eksponenter utenfor Parenteser:
- $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$
- Eksempel: $\left(3x^2y^3\right)^2 = 3^2 \cdot (x^2)^2 \cdot (y^3)^2 = 9x^4y^6$
Oppsummering
Denne tabellen bryter ned hvert trinn i forenklingen av uttrykket $((4x^{-4}y^5)^3)$, og gir praktiske eksempler og logisk forankring for hvert konsept. Ved å forstå hvert trinn individuelt og hvordan de relaterer til virkelige situasjoner, kan vi lettere navigere gjennom komplekse matematiske uttrykk. Håper dette hjelper deg å få en dypere forståelse av emnet! +++
+++
Eksempel: Forenkling av $$(4x^{-4}y^5)^3$$
Vi skal forenkle uttrykket $$(4x^{-4}y^5)^3$$ ved å gå gjennom hver minste detalj.
| Trinn | Uttrykk | Forklaring | Logisk forklart til 5-åring | Logisk forklart til 45-åring |
|---|---|---|---|---|
| 1 | $$(4x^{-4}y^5)^3$$ | Start med det opprinnelige uttrykket. | Vi begynner med en boks som har tre ting inni: 4, $x^{-4}$, og $y^5$. | Vi starter med et uttrykk som skal opphøyes til tredje potens, inkludert 4, $x^{-4}$, og $y^5$. |
| 2 | $$(4 \cdot x^{-4} \cdot y^5)^3$$ | Skriv uttrykket uten parentesen rundt grunntallet. | Vi tar ut tingene fra boksen. | Vi fjerner parentesene rundt grunntallet, slik at vi kan jobbe med hvert element individuelt. |
| 3 | $$\left(4 \cdot \frac{1}{x^4} \cdot y^5\right)^3$$ | Skriv den negative eksponenten $x^{-4}$ som en brøk. Husk at $x^{-4} = \frac{1}{x^4}$. | Når vi ser et minus foran tallene, betyr det at de går under streken. | Vi skriver negative eksponenter som brøker, fordi $x^{-4}$ betyr det samme som $\frac{1}{x^4}$. |
| 4 | $$\left(\frac{4 \cdot y^5}{x^4}\right)^3$$ | Kombiner uttrykket som en brøk. Dette gjøres ved å multiplisere $4$ og $y^5$ i telleren og $x^4$ i nevneren. | Nå setter vi alle tallene sammen over og under streken. | Vi samler alle elementene i en brøk, med $4$ og $y^5$ i telleren og $x^4$ i nevneren. |
| 5 | $$\frac{(4 \cdot y^5)^3}{(x^4)^3}$$ | Bruk potensregelen $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$ for å heve både teller og nevner til tredje potens. | Vi setter en stor strek utenfor boksen og sier at alt inni må opphøyes til tredje makt. | Vi anvender eksponenten på både telleren og nevneren i brøken. |
| 6 | $$\frac{4^3 \cdot (y^5)^3}{(x^4)^3}$$ | Anvend eksponenten på hvert element i telleren og nevneren. | Nå må vi multiplisere alt inni boksen med seg selv tre ganger. | Vi bruker eksponenten på hvert enkelt element i telleren og nevneren. |
| 7 | $$4^3 = 64$$ | Beregn $4^3$. Dette betyr å multiplisere $4$ med seg selv tre ganger: $4 \times 4 \times 4 = 64$. | Hvis vi har 4 bokser og vi gjør dette tre ganger, får vi 64 bokser. | Vi regner ut $4$ opphøyd i tredje potens ved å multiplisere $4$ med seg selv tre ganger. |
| 8 | $$(y^5)^3 = y^{5 \cdot 3} = y^{15}$$ | Multipliser eksponentene i $y^5$ for å få $y^{15}$. Når vi har $(a^m)^n$, multipliserer vi eksponentene: $m \cdot n$. | Når vi har noe som $y^5$, og vi gjør det tre ganger, får vi $y^{15}$. | Vi multipliserer eksponentene for $y$, fordi $(y^5)^3$ er det samme som $y$ opphøyd i $5 \cdot 3$. |
| 9 | $$(x^4)^3 = x^{4 \cdot 3} = x^{12}$$ | Multipliser eksponentene i $x^4$ for å få $x^{12}$. | Når vi har noe som $x^4$, og vi gjør det tre ganger, får vi $x^{12}$. | Vi multipliserer eksponentene for $x$, fordi $(x^4)^3$ er det samme som $x$ opphøyd i $4 \cdot 3$. |
| 10 | $$\frac{64 \cdot y^{15}}{x^{12}}$$ | Sett sammen resultatene. Telleren blir $64 \cdot y^{15}$ og nevneren blir $x^{12}$. | Nå har vi alle boksene våre satt sammen igjen, med de nye tallene. | Vi kombinerer resultatene fra telleren og nevneren for å få det forenklede uttrykket. |
| 11 | $$64 \cdot \frac{y^{15}}{x^{12}}$$ | Skriv det endelige resultatet på en måte som fremhever den brøkformede delen. | Vi viser hvordan vi deler boksene. | Vi uttrykker resultatet på en måte som viser brøkdelen tydelig. |
Praktiske Eksempler og Logisk Forankring
-
Grunntall og Eksponent:
- Når du ser et uttrykk som $2^3$, betyr det at tallet $2$ (grunntallet) skal multipliseres med seg selv $3$ ganger (eksponenten). Dette gir $2 \times 2 \times 2 = 8$.
- Eksempel: Hvis du har 2 epler, og antall epler tredobles hver dag, etter 3 dager har du $2^3 = 8$ epler.
-
Negative Eksponenter:
- En negativ eksponent betyr at vi tar den inverse av tallet med den positive eksponenten. For eksempel, $x^{-4}$ betyr $\frac{1}{x^4}$.
- Eksempel: Hvis du har en bakteriepopulasjon som halveres hver time, etter 3 timer vil antall bakterier være $\frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$ av det opprinnelige antallet.
-
Potens av en Potens:
- Når vi opphøyer en potens til en annen eksponent, multipliserer vi eksponentene. For eksempel, $(2^3)^2 = 2^{3 \times 2} = 2^6 = 64$.
- Eksempel: Hvis du har en plante som vokser med en faktor på $2^3$ hver måned, etter 2 måneder vil vekstfaktoren være $(2^3)^2 = 2^6 = 64$ ganger den opprinnelige størrelsen.
-
Eksponenter i Teller og Nevner:
- Eksponenter kan være i teller og nevner av en brøk. For eksempel, $\frac{2^3}{3^2} = \frac{8}{9}$.
- Eksempel: Hvis du har 8 sjokolader og deler dem mellom 9 venner, får hver venn $\frac{8}{9}$ av en sjokolade.
-
Eksponenter utenfor Parenteser:
- Når vi har en eksponent utenfor en parentes, hever vi hvert element i parentesen til den eksponenten. For eksempel, $\left(3x^2y^3\right)^2 = 3^2 \cdot (x^2)^2 \cdot (y^3)^2 = 9x^4y^6$.
- Eksempel: Hvis du har en boks som har 3 rom, hver med $x^2$ bøker og $y^3$ blyanter, etter å doble boksen 2 ganger, vil du ha $9x^4y^6$ enheter totalt.
Sammenstilling av Begrepene
-
Grunntall og Eksponent:
- $a^n$ hvor $a$ er grunntallet og $n$ er eksponenten.
- Eksempel: $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$
-
Negative Eksponenter:
- $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$
- Eksempel: $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$
-
Potens av en Potens:
- $(a^m)^n = a^{m \times n}$
- Eksempel: $(2^3)^2 = 2^{3 \times 2} = 2^6 = 64$
-
Eksponenter i Teller og Nevner:
- $\frac{a^m}{b^n}$
- Eksempel: $\frac
{2^3}{3^2} = \frac{8}{9}$
- Eksponenter utenfor Parenteser:
- $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$
- Eksempel: $\left(3x^2y^3\right)^2 = 3^2 \cdot (x^2)^2 \cdot (y^3)^2 = 9x^4y^6$
Oppsummering
Denne tabellen bryter ned hvert trinn i forenklingen av uttrykket $$(4x^{-4}y^5)^3$$, og gir praktiske eksempler og logisk forankring for hvert konsept. Ved å forstå hvert trinn individuelt og hvordan de relaterer til virkelige situasjoner, kan vi lettere navigere gjennom komplekse matematiske uttrykk. Håper dette hjelper deg å få en dypere forståelse av emnet! +++ https://mathsolver.microsoft.com/en/solve-problem/(4x%5E%7B-4%7Dy%5E%7B5%7D)%5E%7B3%7D
kilde mathsolver
+++
Eksempel: Forenkling av $$(4x^{-4}y^5)^3$$
Vi skal forenkle uttrykket $$(4x^{-4}y^5)^3$$ ved å gå gjennom hver minste detalj.
| Trinn | Uttrykk | Forklaring | Logisk forklart til 5-åring | Logisk forklart til 45-åring |
|---|---|---|---|---|
| 1 | $$(4x^{-4}y^5)^3$$ | Start med det opprinnelige uttrykket. | Vi begynner med en boks som har tre ting inni: 4, $x^{-4}$, og $y^5$. | Vi starter med et uttrykk som skal opphøyes til tredje potens, inkludert 4, $x^{-4}$, og $y^5$. |
| 2 | $$(4 \cdot x^{-4} \cdot y^5)^3$$ | Skriv uttrykket uten parentesen rundt grunntallet. | Vi tar ut tingene fra boksen. | Vi fjerner parentesene rundt grunntallet, slik at vi kan jobbe med hvert element individuelt. |
| 3 | $$4^3 \cdot (x^{-4})^3 \cdot (y^5)^3$$ | For å heve produktet av to eller flere tall til en potens, hever du hvert tall til potensen og tar produktet deres. | Vi gjør hvert tall i boksen større tre ganger. | For å heve produktet av to eller flere tall til en potens, hever du hvert tall til potensen og tar produktet deres. |
| 4 | $$64 \cdot (x^{-4})^3 \cdot (y^5)^3$$ | Hev 4 til potensen 3: $4^3 = 64$. | Vi gjør 4 stort tre ganger. | Vi hever 4 til potensen 3, som gir 64. |
| 5 | $$64 \cdot x^{-4 \cdot 3} \cdot y^{5 \cdot 3}$$ | For å heve en potens til en annen potens, multipliserer vi eksponentene. | Vi multipliserer tallene inni boksen. | For å heve en potens til en annen potens, multipliserer vi eksponentene. |
| 6 | $$64 \cdot x^{-12} \cdot y^{15}$$ | Multipliser -4 med 3 og 5 med 3. | Når vi gjør noe tre ganger, blir tallene større. | Vi multipliserer eksponentene: $-4 \cdot 3 = -12$ og $5 \cdot 3 = 15$. |
| 7 | $$\frac{64 \cdot y^{15}}{x^{12}}$$ | Skriv negative eksponenter som brøker: $x^{-12} = \frac{1}{x^{12}}$. | Vi setter tingene som er under streken i en annen boks. | Vi konverterer den negative eksponenten til en positiv eksponent ved å flytte $x^{-12}$ til nevneren. |
Praktiske Eksempler og Logisk Forankring
-
Grunntall og Eksponent:
- Når du ser et uttrykk som $2^3$, betyr det at tallet $2$ (grunntallet) skal multipliseres med seg selv $3$ ganger (eksponenten). Dette gir $2 \times 2 \times 2 = 8$.
- Eksempel: Hvis du har 2 epler, og antall epler tredobles hver dag, etter 3 dager har du $2^3 = 8$ epler.
-
Negative Eksponenter:
- En negativ eksponent betyr at vi tar den inverse av tallet med den positive eksponenten. For eksempel, $x^{-4}$ betyr $\frac{1}{x^4}$.
- Eksempel: Hvis du har en bakteriepopulasjon som halveres hver time, etter 3 timer vil antall bakterier være $\frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$ av det opprinnelige antallet.
-
Potens av en Potens:
- Når vi opphøyer en potens til en annen eksponent, multipliserer vi eksponentene. For eksempel, $(2^3)^2 = 2^{3 \times 2} = 2^6 = 64$.
- Eksempel: Hvis du har en plante som vokser med en faktor på $2^3$ hver måned, etter 2 måneder vil vekstfaktoren være $(2^3)^2 = 2^6 = 64$ ganger den opprinnelige størrelsen.
-
Eksponenter i Teller og Nevner:
- Eksponenter kan være i teller og nevner av en brøk. For eksempel, $\frac{2^3}{3^2} = \frac{8}{9}$.
- Eksempel: Hvis du har 8 sjokolader og deler dem mellom 9 venner, får hver venn $\frac{8}{9}$ av en sjokolade.
-
Eksponenter utenfor Parenteser:
- Når vi har en eksponent utenfor en parentes, hever vi hvert element i parentesen til den eksponenten. For eksempel, $\left(3x^2y^3\right)^2 = 3^2 \cdot (x^2)^2 \cdot (y^3)^2 = 9x^4y^6$.
- Eksempel: Hvis du har en boks som har 3 rom, hver med $x^2$ bøker og $y^3$ blyanter, etter å doble boksen 2 ganger, vil du ha $9x^4y^6$ enheter totalt.
Sammenstilling av Begrepene
-
Grunntall og Eksponent:
- $a^n$ hvor $a$ er grunntallet og $n$ er eksponenten.
- Eksempel: $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$
-
Negative Eksponenter:
- $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$
- Eksempel: $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$
-
Potens av en Potens:
- $(a^m)^n = a^{m \times n}$
- Eksempel: $(2^3)^2 = 2^{3 \times 2} = 2^6 = 64$
-
Eksponenter i Teller og Nevner:
- $\frac{a^m}{b^n}$
- Eksempel: $\frac{2^3}{3^2} = \frac{8}{9}$
-
Eksponenter utenfor Parenteser:
- $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$
- Eksempel: $\left(3x^2y^3\right)^2 = 3^2 \cdot (x^2)^2 \cdot (y^3)^2 = 9x^4y^6$
Oppsummering
Denne tabellen bryter ned hvert trinn i forenklingen av uttrykket $$(4x^{-4}y^5)^3$$, og gir praktiske eksempler og logisk forankring for hvert konsept. Ved å forstå hvert trinn individuelt og hvordan de relaterer til virkelige situasjoner, kan vi lettere navigere gjennom komplekse matematiske uttrykk. Håper dette hjelper deg å få en dypere forståelse av emnet!
Sammenfatning av Løsningsstegene
$$ (4x^{-4}y^5)^3 $$
Bruk reglene for eksponenter til å forenkle uttrykket.
$$ (4x^{-4}y^5)^3 $$
For å heve produktet av to eller flere tall til en potens, hever du hvert tall til potensen og tar produktet deres.
$$ 4^3 (x^{-4})^3 (y^5)^3 $$
Hev 4 til potensen 3.
$$ 64(x^{-4})^3 (y^5)^3 $$
For å heve en potens til en annen potens, multipliser eksponentene.
$$ 64x^{-4 \cdot 3} y^{5 \cdot 3} $$
Multipliser $-4$ med $3$.
$$ 64 \cdot x^{-12} y^{15} $$
Multipliser $5$ med $3$.
$$ 64 \cdot x^{-12} y^{15} $$
Konverter den negative eksponenten til en positiv eksponent ved å flytte $x^{-12}$ til nevneren.
$$ 64 \cdot \frac{y^{15}}{x^{12}} $$
+++