00TD02A_Flight_Handout_v2_Page4_MarDown - itnett/FTD02H-N GitHub Wiki
Her er fortsettelsen av notatene i markdown-format med LaTeX-uttrykk inkludert uten mellomrom i $$.
Trigonometri og Geometri
Areal, omkrets, volum og overflate
Areal
Formler: $$ \begin{align*} &\text{Rektangel: }A= l \times b \ &\text{Sirkel: }A= \pi r^2 \ &\text{Trekant: }A= \frac{1}{2} \times b \times h \end{align*} $$
Omkrets
Formler: $$ \begin{align*} &\text{Rektangel: }O= 2l + 2b \ &\text{Sirkel: }O= 2\pi r \end{align*} $$
Volum
Formler: $$ \begin{align*} &\text{Prisme: }V= l \times b \times h \ &\text{Kule: }V= \frac{4}{3} \pi r^3 \end{align*} $$
Overflate
Formler: $$ \begin{align*} &\text{Kule: }A= 4\pi r^2 \end{align*} $$
Øvingsoppgaver:
| Oppgave | Løsning | Svar |
|---|---|---|
| Areal av rektangel:$$l=5, b=3$$ | ||
| Omkrets av sirkel:$$r=4$$ | ||
| Volum av prisme:$$l=2, b=3, h=4$$ | ||
| Overflate av kule:$$r=3$$ |
Pytagoras’ setning
Formel: $$a^2 + b^2 = c^2$$
Eksempel: $$\text{For en rettvinklet trekant med }a= 3\text{ og }b= 4, \text{ er }c= \sqrt{3^2 + 4^2}= 5$$
Øvingsoppgaver:
| Oppgave | Løsning | Svar |
|---|---|---|
| $$a=6, b=8, c=?$$ | ||
| $$a=5, c=13, b=?$$ |
Trigonometri i rettvinklede trekanter
Formler: $$ \begin{align*} &\sin \theta = \frac{\text{motstående}}{\text{hypotenuse}} \ &\cos \theta = \frac{\text{hosliggende}}{\text{hypotenuse}} \ &\tan \theta = \frac{\text{motstående}}{\text{hosliggende}} \end{align*} $$
Eksempler: $$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}, \quad \cos 60^\circ = \frac{1}{2}, \quad \tan 45^\circ = 1$$
Øvingsoppgaver:
| Oppgave | Løsning | Svar |
|---|---|---|
| $$\sin \theta = \frac{3}{5}, \theta = ?$$ | ||
| $$\cos \theta = \frac{4}{5}, \theta = ?$$ |
Vektorer i planet
Grunnleggende vektorbegreper
En vektor $$\mathbf{v}$$ kan representeres som: $$\mathbf{v}= \begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix}$$
Regning med vektorer
Addisjon:
$$\mathbf{u} + \mathbf{v}= \begin{pmatrix} u_x \ u_y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} v_x \ v_y \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} u_x + v_x \ u_y + v_y \end{pmatrix}$$
Skalar multiplikasjon:
$$k \mathbf{v}= k \begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} kx \ ky \end{pmatrix}$$
Øvingsoppgaver:
| Oppgave | Løsning | Svar |
|---|---|---|
| $$\mathbf{u}= \begin{pmatrix} 1 \ 2 \end{pmatrix}, \mathbf{v}= \begin{pmatrix} 3 \ 4 \end{pmatrix}, \mathbf{u} + \mathbf{v}= ?$$ | ||
| $$k= 2, \mathbf{v}= \begin{pmatrix} 3 \ 4 \end{pmatrix}, k \mathbf{v}= ?$$ |
Funksjoner
Rette linjer
Formel for en rett linje: $$y= mx + b$$ hvor $$m$$ er stigningstallet og $$b$$ er skjæringspunktet med y-aksen.
Eksempler: $$y= 2x + 3$$
Øvingsoppgaver:
| Oppgave | Løsning | Svar |
|---|---|---|
| Finn stigningstallet og skjæringspunktet for linjen $$y= 4x + 1$$ | ||
| Finn stigningstallet og skjæringspunktet for linjen $$y= -x + 5$$ |
Polynomfunksjoner
Generell form: $$P(x)= a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0$$
Eksempel: $$P(x)= 2x^3 - 3x^2 + x - 5$$
Øvingsoppgaver:
| Oppgave | Løsning | Svar |
|---|---|---|
| Finn røttene til polynomet $$x^2 - 4x + 4$$ | ||
| Finn verdien av polynomet $$2x^3 - 3x^2 + x - 5$$ for $$x= 2$$ |
Eksponentialfunksjoner
Generell form: $$f(x)= a \cdot b^x$$ hvor $$a$$ er startverdien og $$b$$ er vekstfaktoren.
Eksempel: $$f(x)= 3 \cdot 2^x$$
Øvingsoppgaver:
| Oppgave | Løsning | Svar |
|---|---|---|
| Finn verdien av funksjonen $$2 \cdot 3^x$$ for $$x= 4$$ | ||
| Finn vekstfaktoren for funksjonen $$5 \cdot 4^x$$ |
Derivasjon av Polynomfunksjoner
Grunnleggende derivasjonsregler:
$$\frac{d}{dx} \left( x^n \right)= nx^{n-1}$$
Eksempler: $$ \begin{align*} &\frac{d}{dx} \left( x^3 \right)= 3x^2 \ &\frac{d}{dx} \left( 5x^2 \right)= 10x \end{align*} $$
Øvingsoppgaver:
| Oppgave | Løsning | Svar |
|---|---|---|
| Deriver funksjonen $$3x^2 - 2x + 1$$ | ||
| Deriver funksjonen $$4x^3 - 3x^2 + 2x - 1$$ |
Regresjon ved hjelp av digitale hjelpemidler
Introduksjon til regresjon:
- Brukes til å finne sammenhengen mellom variabler.
Eksempel:
- Lineær regresjon: Finne den beste rette linjen som passer til dataene.
Øvingsoppgaver:
| Oppgave | Løsning | Svar |
|---|---|---|
| Utfør lineær regresjon på datasettet $$(1,2), (2,4), (3,6)$$ og finn ligningen | ||
| Utfør kvadratisk regresjon på datasettet $$(1,1), (2,4), (3,9)$$ og finn ligningen |
Innledende emner i fysikk
Anvende SI-systemet og dekadiske prefikser
Grunnleggende enheter:
- Meter (m) for lengde
- Kilogram (kg) for masse
- Sekund (s) for tid
Dekadiske prefikser:
- Kilo (k) = $$10^3$$
- Mega (M) = $$10^6$$
- Giga (G) = $$10^9$$
Begrepene masse, tyngde og massetetthet
- Masse (m): Mengde stoff i et objekt, måles i kilogram (kg).
- Tyngde (W): Kraft som virker på en masse
, $$W= mg$$ hvor $$g= 9.81 , \text{m/s}^2$$.
- Massetetthet ($$\rho$$): Masse per volumenhet, $$\rho= \frac{m}{V}$$.
Eksempler:
- En gjenstand med masse 10 kg har en tyngde på $$10 \times 9.81= 98.1 , \text{N}$$.
Øvingsoppgaver:
| Oppgave | Løsning | Svar |
|---|---|---|
| Finn tyngden til en gjenstand med masse 15 kg | ||
| Finn massetettheten til en gjenstand med masse 10 kg og volum 2 m³ |
Kraft og rettlinjet bevegelse
Anvende Newtons lover
- Newtons første lov (treghetsloven): En gjenstand i ro vil forbli i ro, og en gjenstand i bevegelse vil fortsette i bevegelse med konstant fart langs en rett linje, med mindre den påvirkes av en netto kraft.
- Newtons andre lov (bevegelsesloven): Summen av kreftene (F) som virker på en gjenstand er lik massen (m) ganger akselerasjonen (a), $$F= ma$$.
- Newtons tredje lov (aksjon-reaksjon): For hver kraft som virker på en gjenstand, er det en like stor og motsatt rettet kraft som virker tilbake.
Regne med bevegelseslikninger
Konstant fart:
$$v= \frac{s}{t}$$
Konstant akselerasjon:
$$ \begin{align*} v= u + at \ s= ut + \frac{1}{2}at^2 \ v^2= u^2 + 2as \end{align*} $$
Eksempler:
- En bil som akselererer fra 0 til 20 m/s i løpet av 5 sekunder har en akselerasjon på: $$a= \frac{v - u}{t}= \frac{20 - 0}{5}= 4 , \text{m/s}^2$$
Øvingsoppgaver:
| Oppgave | Løsning | Svar |
|---|---|---|
| En bil kjører med en konstant fart på 60 km/t i 2 timer. Hvor langt kjører den? | ||
| En gjenstand akselererer fra 0 til 10 m/s på 2 sekunder. Hva er akselerasjonen? |
Energi
Beregne arbeid, effekt og virkningsgrad
Arbeid:
$$W= F \cdot d$$ hvor $$F$$ er kraften og $$d$$ er distansen.
Effekt:
$$P= \frac{W}{t}$$ hvor $$W$$ er arbeid og $$t$$ er tid.
Virkningsgrad:
$$\eta= \frac{P_{ut}}{P_{inn}} \times 100%$$
Eksempler:
- En kraft på 10 N som beveger en gjenstand 5 meter utfører et arbeid på: $$W= 10 \cdot 5= 50 , \text{J}$$
Øvingsoppgaver:
| Oppgave | Løsning | Svar |
|---|---|---|
| Beregn arbeidet utført ved å flytte en gjenstand 20 meter med en kraft på 15 N | ||
| Beregn effekten hvis 200 J arbeid utføres på 4 sekunder |
Beregne kinetisk og potensiell energi
Kinetisk energi:
$$E_k= \frac{1}{2}mv^2$$
Potensiell energi:
$$E_p= mgh$$
Eksempler:
- En gjenstand med masse 5 kg som beveger seg med en fart på 3 m/s har en kinetisk energi på: $$E_k= \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 3^2= 22.5 , \text{J}$$
Øvingsoppgaver:
| Oppgave | Løsning | Svar |
|---|---|---|
| Beregn den kinetiske energien til en gjenstand med masse 10 kg og fart 4 m/s | ||
| Beregn den potensielle energien til en gjenstand med masse 2 kg hevet 10 meter over bakken |
Anvende energibevaring
Loven om energibevaring sier at energi ikke kan skapes eller ødelegges, bare omformes fra en form til en annen.
Eksempler:
- En pendel har maksimal potensiell energi på toppunktet og maksimal kinetisk energi på bunnpunktet.
Øvingsoppgaver:
| Oppgave | Løsning | Svar |
|---|---|---|
| Beskriv energiforvandlingen i en pendel | ||
| En ball med masse 1 kg slippes fra en høyde på 5 meter. Beregn dens fart når den treffer bakken. |
Termodynamikkens første lov
Termodynamikkens første lov (energibevaring) kan uttrykkes som: $$\Delta U= Q - W$$ hvor $$\Delta U$$ er endringen i intern energi, $$Q$$ er varmen tilført systemet, og $$W$$ er arbeidet utført av systemet.
Eksempler:
- Hvis 100 J varme tilføres et system og systemet utfører 40 J arbeid, er endringen i intern energi: $$\Delta U= 100 - 40= 60 , \text{J}$$
Øvingsoppgaver:
| Oppgave | Løsning | Svar |
|---|---|---|
| Et system mottar 200 J varme og utfører 50 J arbeid. Hva er endringen i intern energi? | ||
| Beregn endringen i intern energi hvis et system utfører 30 J arbeid og mottar 100 J varme |
Fortsettelsen kan inkludere temaer som studieretningsspesifikke emner i matematikk og fysikk, tallsystemer og algoritmisk tenking, oppsummering og ekstra øvingsoppgaver. Her har du en solid grunnlag for de første sidene, og du kan fortsette å legge til flere seksjoner i samme stil.