00TD02A_Comprehensive Mathematical Rules and Formulas - itnett/FTD02H-N GitHub Wiki
Her er en utvidet tabell med de matematiske reglene og konseptene fra de provided dokumentene, inkludert forklaringer for både voksne og 8-åringer, samt LaTeX-formler.
Comprehensive Mathematical Rules and Formulas
| Category | Rule | Explanation | Explanation for an 8-year-old | LaTeX Formula |
|---|---|---|---|---|
| Potenser | Potens med en potens som grunntall | Når vi har en potens med en potens som grunntall, bruker vi regelen som sier vi multipliserer eksponentene. Dette er nyttig for å forenkle uttrykk med flere nivåer av eksponenter. | Når vi har et tall som er opphøyd til en annen potens, ganger vi tallene sammen. | $$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$ |
| Potenser | Potens av et produkt | En potens av et produkt er lik produktet av hver faktor opphøyd til potensen. | Hvis vi har to tall som er ganget sammen og så opphøyd til en eksponent, kan vi opphøye hvert tall til eksponenten først og så gange dem sammen. | $$(ab)^n = a^n \cdot b^n$$ |
| Potenser | Potens av en brøk | En potens av en brøk er lik brøken der teller og nevner er opphøyd til potensen. | Hvis vi har en brøk som er opphøyd til en eksponent, kan vi opphøye både telleren og nevneren til eksponenten. | $$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$$ |
| Potenser | Potens av en sum | Potensen av en sum kan ikke fordeles. | Vi kan ikke bare opphøye hvert tall inni en sum til en eksponent. | $$(a + b)^n \neq a^n + b^n$$ |
| Algebra | Distribusjonsregelen (distributive property) | Når vi distribuerer en faktor over en sum eller differens, ganger vi faktoren med hver term inne i parentesen. | Hvis vi har en sum inni en parentes og ganger med noe utenfor, må vi gange hvert tall inni med tallet utenfor. | $$a(b + c) = ab + ac$$ |
| Algebra | Sammentrekning (factoring out) | Når vi har like faktorer i hvert ledd av en sum, kan vi trekke dem ut. | Hvis vi har noe som er det samme i to deler av et regnestykke, kan vi sette det utenfor parentes. | $$ab + ac = a(b + c)$$ |
| Brøkregning | Addisjon og subtraksjon av brøker | For å legge sammen eller trekke fra brøker, må de ha samme nevner. | Hvis vi skal legge sammen eller trekke fra brøker, må vi først gjøre nevnerne like. | $$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}$$ $$\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad - bc}{bd}$$ |
| Brøkregning | Multiplikasjon av brøker | For å multiplisere brøker, multipliserer vi tellerne og nevnerne. | Hvis vi ganger brøker, ganger vi toppen med toppen og bunnen med bunnen. | $$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$$ |
| Brøkregning | Divisjon av brøker | For å dele brøker, ganger vi med den omvendte brøken. | Hvis vi skal dele brøker, snur vi den andre brøken opp ned og ganger. | $$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}$$ |
| Likninger | Førstegradslikninger | En likning der den ukjente er opphøyd til 1. | En gåte der vi bare trenger å finne ut hva et tall er. | $$ax + b = 0$$ |
| Likninger | Andregradslikninger | En likning der den ukjente er opphøyd til 2. | En gåte der vi må finne ut hva et tall er når det er opphøyd til 2. | $$ax^2 + bx + c = 0$$ |
| Likninger | Kvadratsetningene | Spesielle faktoriseringer for kvadrat. | Regler for hvordan vi ganger ut eller trekker sammen kvadrater. | $$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$ $$(a - b)^2 = a^2 - 2ab - b^2$$ $$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$$ |
| Trigonometri | Sinus, cosinus, tangens | Forhold mellom sidene i en rettvinklet trekant. | Hvordan vi finner lengder eller vinkler i trekanter ved hjelp av forhold. | $$\sin(\theta) = \frac{motstående}{hypotenuse}$$ $$\cos(\theta) = \frac{hosliggende}{hypotenuse}$$ $$\tan(\theta) = \frac{motstående}{hosliggende}$$ |
| Logaritmer | Grunnleggende logaritmer | Logaritmer hjelper oss å finne eksponenten som gir oss et tall. | Logaritmer forteller oss hvor mange ganger vi må gange et tall for å få et annet tall. | $$\log_b(a) = c \implies b^c = a$$ |
| Logaritmer | Logaritmeregler | Logaritmer har spesifikke regler for operasjoner. | Regler for hvordan vi kan legge sammen, trekke fra, gange eller dele logaritmer. | $$\log_b(xy) = \log_b(x) + \log_b(y)$$ $$\log_b\left(\frac{x}{y}\right) = \log_b(x) - \log_b(y)$$ $$\log_b(x^y) = y \log_b(x)$$ |
| Grenseverdier | Grenseverdi | Verdien en funksjon nærmer seg når variabelen nærmer seg et bestemt punkt. | Hva som skjer med et tall når vi kommer veldig nær et annet tall. | $$\lim_{{x \to a}} f(x) = L$$ |
| Grenseverdier | Ensidige grenser | Grenser fra bare én retning (venstre eller høyre). | Hva som skjer når vi kommer veldig nær et tall fra én bestemt side. | $$\lim_{{x \to a^-}} f(x) = L$$ $$\lim_{{x \to a^+}} f(x) = L$$ |
| Grenseverdier | Uendelig grense | Grensen til en funksjon når variabelen går mot uendelig. | Hva som skjer med en funksjon når vi går veldig langt bort. | $$\lim_{{x \to \infty}} f(x) = L$$ $$\lim_{{x \to -\infty}} f(x) = L$$ |
| Derivasjon | Derivasjon av polynom | Prosessen med å finne funksjonens stigning ved ethvert punkt. | Hvordan vi finner ut hvor bratt en kurve er ved å se på endringer. | $$\frac{d}{dx}[x^n] = nx^{n-1}$$ |
| Derivasjon | Produktregelen | Regel for derivasjon av produktet av to funksjoner. | Hvordan vi finner stigningen når vi ganger sammen to ting som forandrer seg. | $$\frac{d}{dx}[uv] = u'v + uv'$$ |
| Derivasjon | Kvotientregelen | Regel for derivasjon av kvotienten av to funksjoner. | Hvordan vi finner stigningen når vi deler to ting som forandrer seg. | $$\frac{d}{dx}\left[\frac{u}{v}\right] = \frac{u'v - uv'}{v^2}$$ |
| Derivasjon | Kjerneregelen | Regel for derivasjon av sammensatte funksjoner. | Hvordan vi finner stigningen for en ting som forandrer seg inni en annen ting. | $$\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x))g'(x)$$ |
| Integrasjon | Grunnleggende integral | Prosessen med å finne arealet under en kurve. | Hvordan vi finner hvor mye plass som er under en kurve. | $$\int x^n , dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$$ |
| Integrasjon | Delvis integrasjon | Integrasjonsmetode som bruker produktregelen baklengs. | Hvordan vi finner arealet når vi har to ting som er ganget sammen. | $$\int u , dv = uv - \int v , du$$ |
| Integrasjon | Substitusjon | Integrasjonsmetode som bruker kjerneregelen baklengs. | Hvordan vi forenkler integrering ved å bytte ut deler av uttrykket. | $$\int f(g(x))g'(x) , dx = \int f(u) , du$$ |
| Trigonometri | Identiteter | Grunnleggende trigonometriske identiteter for å forenkle uttrykk. | Spesielle regler for hvordan vi kan forenkle trigonometriske uttrykk. | $$\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$$ $$1 + \tan^2(x) = \sec^2(x)$$ $$\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$$ $$\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)$$ |
Dette dekker et bredt spekter av matematiske konsepter og regler fra de ulike dokumentene du har lastet opp. Hvis du har spesifikke sider eller flere regler du vil ha med, kan jeg gjerne legge til disse også.
Her er en strukturert oversikt over reglene og formlene fra dokumentet "Common Derivatives and Integrals" med forklaringer til både voksne og 8-åringer, samt LaTeX-formler.
Common Derivatives and Integrals
Derivatives
| Category | Rule | Explanation | Explanation for an 8-year-old | LaTeX Formula |
|---|---|---|---|---|
| Basic Properties | Konstant multiplikasjon | Derivert av en funksjon multiplisert med en konstant er konstanten multiplisert med den deriverte av funksjonen. | Når vi har et tall foran en funksjon, tar vi den deriverte av funksjonen og ganger med tallet. | $$\frac{d}{dx} [cf(x)] = c f'(x)$$ |
| Basic Properties | Sum/Differens regel | Derivert av summen eller differensen av to funksjoner er summen eller differensen av deres deriverte. | Når vi legger sammen eller trekker fra to funksjoner, tar vi den deriverte av hver og legger sammen eller trekker fra. | $$\frac{d}{dx} [f(x) \pm g(x)] = f'(x) \pm g'(x)$$ |
| Basic Properties | Potensregel | Derivert av en potensfunksjon er eksponenten multiplisert med funksjonen opphøyd til eksponenten minus én. | Når vi har et tall opphøyd i et annet tall, tar vi ned eksponenten og trekker én fra eksponenten. | $$\frac{d}{dx} [x^n] = nx^{n-1}$$ |
| Basic Properties | Konstantfunksjon | Derivert av en konstant er null. | Når vi har et tall alene, er den deriverte null. | $$\frac{d}{dx} [c] = 0$$ |
| Basic Properties | Produktregel | Derivert av et produkt av to funksjoner er produktet av den første funksjonen og den deriverte av den andre, pluss produktet av den andre funksjonen og den deriverte av den første. | Når vi ganger to ting sammen, tar vi den deriverte av hver og legger sammen produktene. | $$\frac{d}{dx} [f(x) \cdot g(x)] = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$$ |
| Basic Properties | Kjerneregel | Derivert av en funksjon inni en annen funksjon er den deriverte av den ytre funksjonen evaluert ved den indre funksjonen multiplisert med den deriverte av den indre funksjonen. | Når vi har en funksjon inni en annen, tar vi den deriverte av utsiden og ganger med den deriverte av innsiden. | $$\frac{d}{dx} [f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$ |
| Trigonometriske funksjoner | Derivert av sinus | Derivert av sinus er cosinus. | Når vi har sinus, blir den deriverte cosinus. | $$\frac{d}{dx} [\sin(x)] = \cos(x)$$ |
| Trigonometriske funksjoner | Derivert av cosinus | Derivert av cosinus er negativ sinus. | Når vi har cosinus, blir den deriverte negativ sinus. | $$\frac{d}{dx} [\cos(x)] = -\sin(x)$$ |
| Trigonometriske funksjoner | Derivert av tangens | Derivert av tangens er secant kvadrert. | Når vi har tangens, blir den deriverte secant kvadrert. | $$\frac{d}{dx} [\tan(x)] = \sec^2(x)$$ |
| Trigonometriske funksjoner | Derivert av secant | Derivert av secant er secant multiplisert med tangens. | Når vi har secant, blir den deriverte secant ganger tangens. | $$\frac{d}{dx} [\sec(x)] = \sec(x) \cdot \tan(x)$$ |
| Trigonometriske funksjoner | Derivert av cosecant | Derivert av cosecant er negativ cosecant multiplisert med cotangent. | Når vi har cosecant, blir den deriverte negativ cosecant ganger cotangent. | $$\frac{d}{dx} [\csc(x)] = -\csc(x) \cdot \cot(x)$$ |
| Trigonometriske funksjoner | Derivert av cotangent | Derivert av cotangent er negativ cosecant kvadrert. | Når vi har cotangent, blir den deriverte negativ cosecant kvadrert. | $$\frac{d}{dx} [\cot(x)] = -\csc^2(x)$$ |
| Inverse trigonometriske funksjoner | Derivert av arcsin | Derivert av arcsin er en delt på kvadratroten av én minus x kvadrert. | Når vi har arcsin, blir den deriverte en delt på kvadratroten av én minus x kvadrert. | $$\frac{d}{dx} [\sin^{-1}(x)] = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$$ |
| Inverse trigonometriske funksjoner | Derivert av arccos | Derivert av arccos er negativ en delt på kvadratroten av én minus x kvadrert. | Når vi har arccos, blir den deriverte negativ en delt på kvadratroten av én minus x kvadrert. | $$\frac{d}{dx} [\cos^{-1}(x)] = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$$ |
| Inverse trigonometriske funksjoner | Derivert av arctan | Derivert av arctan er en delt på en pluss x kvadrert. | Når vi har arctan, blir den deriverte en delt på en pluss x kvadrert. | $$\frac{d}{dx} [\tan^{-1}(x)] = \frac{1}{1 + x^2}$$ |
| Eksponentielle funksjoner | Derivert av eksponentialfunksjon | Derivert av eksponentialfunksjon er funksjonen multiplisert med den naturlige logaritmen av basen. | Når vi har en eksponentialfunksjon, blir den deriverte funksjonen selv ganger logaritmen av basen. | $$\frac{d}{dx} [a^x] = a^x \ln(a)$$ |
| Logaritmiske funksjoner | Derivert av naturlig logaritme | Derivert av naturlig logaritme er en delt på x. | Når vi har en naturlig logaritme, blir den deriverte en delt på x. | $$\frac{d}{dx} [\ln(x)] = \frac{1}{x}$$ |
Integrals
| Category | Rule | Explanation | Explanation for an 8-year-old | LaTeX Formula |
|---|---|---|---|---|
| Basic Properties | Konstant multiplikasjon | Integral av en funksjon multiplisert med en konstant er konstanten multiplisert med integralet av funksjonen. | Når vi har et tall foran en funksjon, tar vi integralet av funksjonen og ganger med tallet. | $$\int cf(x) , dx = c \int f(x) , dx$$ |
| Basic Properties | Sum/Differens regel | Integral av summen eller differensen av to funksjoner er summen eller differensen av deres integraler. | Når vi legger sammen eller trekker fra to funksjoner, tar vi integralet av hver og legger sammen eller trekker fra. | $$\int [f(x) \pm g(x)] , dx = \int f(x) , dx \pm \int g(x) , dx$$ |
| Polynomials | Integral av polynom | Integral av et polynom er polynomet opphøyd til en høyere eksponent delt på den nye eksponenten, pluss en konstant. | Når vi har et polynom, legger vi til én til eksponenten, deler på den nye eksponenten og legger til en konstant. | $$\int x^n , dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$$ |
| Trigonometriske funksjoner | Integral av cosinus | Integral av cosinus er sinus pluss en konstant. | Når vi har cosinus, blir integralet sinus pluss en konstant. | $$\int \cos(x) , dx = \sin(x) + C$$ |
| Trigonometriske funksjoner | Integral av sinus | Integral av sinus er negativ cosinus pluss en konstant. | Når vi har sinus, blir integralet negativ cosinus pluss en konstant. | $$\int \sin(x) , dx = -\cos(x) + C$$ |
| Integral av secant kvadrert | Integral av secant kvadrert er tangens pluss en konstant. | Når vi har secant kvadrert, blir integralet tangens pluss en konstant. | $$\int \sec^2(x) , dx = \tan(x) + C$$ | |
| Trigonometriske funksjoner | Integral av cosecant cotangent | Integral av cosecant cotangent er negativ cosecant pluss en konstant. | Når vi har cosecant cotangent, blir integralet negativ cosecant pluss en konstant. | $$\int \csc(x) \cot(x) , dx = -\csc(x) + C$$ |
| Trigonometriske funksjoner | Integral av cosecant kvadrert | Integral av cosecant kvadrert er negativ cotangent pluss en konstant. | Når vi har cosecant kvadrert, blir integralet negativ cotangent pluss en konstant. | $$\int \csc^2(x) , dx = -\cot(x) + C$$ |
| Eksponentialfunksjoner | Integral av eksponentialfunksjon | Integral av eksponentialfunksjon er funksjonen selv delt på den naturlige logaritmen av basen pluss en konstant. | Når vi har en eksponentialfunksjon, blir integralet funksjonen selv delt på logaritmen av basen pluss en konstant. | $$\int a^x , dx = \frac{a^x}{\ln(a)} + C$$ |
| Logaritmiske funksjoner | Integral av naturlig logaritme | Integral av naturlig logaritme er produktet av funksjonen og logaritmen minus funksjonen selv pluss en konstant. | Når vi har en naturlig logaritme, blir integralet produktet av funksjonen og logaritmen minus funksjonen selv pluss en konstant. | $$\int \ln(x) , dx = x \ln(x) - x + C$$ |
Denne oversikten dekker de viktigste derivater og integraler fra dokumentet "Common Derivatives and Integrals". Hvis du har flere spesifikke regler eller konsepter du vil inkludere fra andre dokumenter, kan vi fortsette på samme måte.