00TD02A_Common Derivatives and Integrals - itnett/FTD02H-N GitHub Wiki

Comprehensive Mathematical Rules and Formulas from "Common Derivatives and Integrals"

Derivatives

Category	Rule	Explanation	Explanation for an 8-year-old	LaTeX Formula
Basic Properties	Konstant multiplikasjon	Derivert av en funksjon multiplisert med en konstant er konstanten multiplisert med den deriverte av funksjonen.	Når vi har et tall foran en funksjon, tar vi den deriverte av funksjonen og ganger med tallet.	$$\frac{d}{dx} [cf(x)] = c f'(x)$$
Basic Properties	Sum/Differens regel	Derivert av summen eller differensen av to funksjoner er summen eller differensen av deres deriverte.	Når vi legger sammen eller trekker fra to funksjoner, tar vi den deriverte av hver og legger sammen eller trekker fra.	$$\frac{d}{dx} [f(x) \pm g(x)] = f'(x) \pm g'(x)$$
Basic Properties	Potensregel	Derivert av en potensfunksjon er eksponenten multiplisert med funksjonen opphøyd til eksponenten minus én.	Når vi har et tall opphøyd i et annet tall, tar vi ned eksponenten og trekker én fra eksponenten.	$$\frac{d}{dx} [x^n] = nx^{n-1}$$
Basic Properties	Konstantfunksjon	Derivert av en konstant er null.	Når vi har et tall alene, er den deriverte null.	$$\frac{d}{dx} [c] = 0$$
Basic Properties	Produktregel	Derivert av et produkt av to funksjoner er produktet av den første funksjonen og den deriverte av den andre, pluss produktet av den andre funksjonen og den deriverte av den første.	Når vi ganger to ting sammen, tar vi den deriverte av hver og legger sammen produktene.	$$\frac{d}{dx} [f(x) \cdot g(x)] = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$$
Basic Properties	Kjerneregel	Derivert av en funksjon inni en annen funksjon er den deriverte av den ytre funksjonen evaluert ved den indre funksjonen multiplisert med den deriverte av den indre funksjonen.	Når vi har en funksjon inni en annen, tar vi den deriverte av utsiden og ganger med den deriverte av innsiden.	$$\frac{d}{dx} [f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$
Trigonometriske funksjoner	Derivert av sinus	Derivert av sinus er cosinus.	Når vi har sinus, blir den deriverte cosinus.	$$\frac{d}{dx} [\sin(x)] = \cos(x)$$
Trigonometriske funksjoner	Derivert av cosinus	Derivert av cosinus er negativ sinus.	Når vi har cosinus, blir den deriverte negativ sinus.	$$\frac{d}{dx} [\cos(x)] = -\sin(x)$$
Trigonometriske funksjoner	Derivert av tangens	Derivert av tangens er secant kvadrert.	Når vi har tangens, blir den deriverte secant kvadrert.	$$\frac{d}{dx} [\tan(x)] = \sec^2(x)$$
Trigonometriske funksjoner	Derivert av secant	Derivert av secant er secant multiplisert med tangens.	Når vi har secant, blir den deriverte secant ganger tangens.	$$\frac{d}{dx} [\sec(x)] = \sec(x) \cdot \tan(x)$$
Trigonometriske funksjoner	Derivert av cosecant	Derivert av cosecant er negativ cosecant multiplisert med cotangent.	Når vi har cosecant, blir den deriverte negativ cosecant ganger cotangent.	$$\frac{d}{dx} [\csc(x)] = -\csc(x) \cdot \cot(x)$$
Trigonometriske funksjoner	Derivert av cotangent	Derivert av cotangent er negativ cosecant kvadrert.	Når vi har cotangent, blir den deriverte negativ cosecant kvadrert.	$$\frac{d}{dx} [\cot(x)] = -\csc^2(x)$$
Inverse trigonometriske funksjoner	Derivert av arcsin	Derivert av arcsin er en delt på kvadratroten av én minus x kvadrert.	Når vi har arcsin, blir den deriverte en delt på kvadratroten av én minus x kvadrert.	$$\frac{d}{dx} [\sin^{-1}(x)] = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$$
Inverse trigonometriske funksjoner	Derivert av arccos	Derivert av arccos er negativ en delt på kvadratroten av én minus x kvadrert.	Når vi har arccos, blir den deriverte negativ en delt på kvadratroten av én minus x kvadrert.	$$\frac{d}{dx} [\cos^{-1}(x)] = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$$
Inverse trigonometriske funksjoner	Derivert av arctan	Derivert av arctan er en delt på en pluss x kvadrert.	Når vi har arctan, blir den deriverte en delt på en pluss x kvadrert.	$$\frac{d}{dx} [\tan^{-1}(x)] = \frac{1}{1 + x^2}$$
Eksponentielle funksjoner	Derivert av eksponentialfunksjon	Derivert av eksponentialfunksjon er funksjonen multiplisert med den naturlige logaritmen av basen.	Når vi har en eksponentialfunksjon, blir den deriverte funksjonen selv ganger logaritmen av basen.	$$\frac{d}{dx} [a^x] = a^x \ln(a)$$
Logaritmiske funksjoner	Derivert av naturlig logaritme	Derivert av naturlig logaritme er en delt på x.	Når vi har en naturlig logaritme, blir den deriverte en delt på x.	$$\frac{d}{dx} [\ln(x)] = \frac{1}{x}$$

Integrals

Category	Rule	Explanation	Explanation for an 8-year-old	LaTeX Formula
Basic Properties	Konstant multiplikasjon	Integral av en funksjon multiplisert med en konstant er konstanten multiplisert med integralet av funksjonen.	Når vi har et tall foran en funksjon, tar vi integralet av funksjonen og ganger med tallet.	$$\int cf(x) , dx = c \int f(x) , dx$$
Basic Properties	Sum/Differens regel	Integral av summen eller differensen av to funksjoner er summen eller differensen av deres integraler.	Når vi legger sammen eller trekker fra to funksjoner, tar vi integralet av hver og legger sammen eller trekker fra.	$$\int [f(x) \pm g(x)] , dx = \int f(x) , dx \pm \int g(x) , dx$$
Polynomials	Integral av polynom	Integral av et polynom er polynomet opphøyd til en høyere eksponent delt på den nye eksponenten, pluss en konstant.	Når vi har et polynom, legger vi til én til eksponenten, deler på den nye eksponenten og legger til en konstant.	$$\int x^n , dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$$
Trigonometriske funksjoner	Integral av cosinus	Integral av cosinus er sinus pluss en konstant.	Når vi har cosinus, blir integralet sinus pluss en konstant.	$$\int \cos(x) , dx = \sin(x) + C$$
Trigonometriske funksjoner	Integral av sinus	Integral av sinus er negativ cosinus pluss en konstant.	Når vi har sinus, blir integralet negativ cosinus pluss en konstant.	$$\int \sin(x) , dx = -\cos(x) + C$$
Trigonometriske funksjoner	Integral av secant kvadrert	Integral av secant kvadrert er tangens pluss en konstant.	Når vi har secant kvadrert, blir integralet tangens pluss en konstant.	$$\int \sec^2(x) , dx = \tan(x) +C$$
Trigonometriske funksjoner	Integral av cosecant cotangent	Integral av cosecant cotangent er negativ cosecant pluss en konstant.	Når vi har cosecant cotangent, blir integralet negativ cosecant pluss en konstant.	$$\int \csc(x) \cot(x) , dx = -\csc(x) + C$$
Trigonometriske funksjoner	Integral av cosecant kvadrert	Integral av cosecant kvadrert er negativ cotangent pluss en konstant.	Når vi har cosecant kvadrert, blir integralet negativ cotangent pluss en konstant.	$$\int \csc^2(x) , dx = -\cot(x) + C$$
Eksponentialfunksjoner	Integral av eksponentialfunksjon	Integral av eksponentialfunksjon er funksjonen selv delt på den naturlige logaritmen av basen pluss en konstant.	Når vi har en eksponentialfunksjon, blir integralet funksjonen selv delt på logaritmen av basen pluss en konstant.	$$\int a^x , dx = \frac{a^x}{\ln(a)} + C$$
Logaritmiske funksjoner	Integral av naturlig logaritme	Integral av naturlig logaritme er produktet av funksjonen og logaritmen minus funksjonen selv pluss en konstant.	Når vi har en naturlig logaritme, blir integralet produktet av funksjonen og logaritmen minus funksjonen selv pluss en konstant.	$$\int \ln(x) , dx = x \ln(x) - x + C$$

Hvis du trenger å inkludere flere formler eller flere detaljer fra de andre dokumentene, kan vi fortsette på denne måten.