00TD02A Trigonometriske Integraler - itnett/FTD02H-N GitHub Wiki

Norske og Engelske Forklaringer

Trigonometriske Integraler

Norsk: Se etter måter å forenkle brøken på. Husk forskjellige måter å skrive trigonometriske verdier på, og utnytt egenskapene som er gitt i formelarket. Se også om du kan omskrive noe inne i integralet til noe som har en enklere antiderivativ.

Engelsk: Look to simplify the fraction. Remember different ways to write trig values, taking advantage of properties provided on the formula sheet. Also, look to see if you can rewrite something inside the integral to something that has an easier antiderivative.

Uekte Integraler

Norsk: Tre typer uekte integraler. Type 1: Integrer fra 1 til uendelig/-uendelig. Type 2: integrer fra 0 til 1. Type 3: Kombinasjon av begge. Type 1 konvergerer når P (1/x^p) er større enn en (P > 1). Divergerer for P <= 1. Type 2 konvergerer når P < 1, og divergerer for P >= 1. Se etter endring av grenser under u-substitusjon og separering av integraler hvis det er et ikke-kontinuerlig punkt. For Type 1, ta grensen når t -> uendelig, og erstatt uendelig grense med t.

Engelsk: Three Types of Improper Integrals. Type 1: Integrate from 1 to infinity/-infinity. Type 2: integrate from 0 to 1. Type 3: Combination of both. Type 1 converges when the P (1/x^p) is greater than one. (P > 1). Diverges for P <= 1. Type 2 converges when P < 1, and diverges for P >= 1. Look for changing bounds during u-substitution and separating integrals if there is a non-continuous point. For Type 1 take the limit as t->inf, and replace the inf bound with t.

Partielle Brøker

Norsk: Bruk konstant over ikke-lineær funksjon, (x-1)^2 er ikke ikke-lineær, bare flere så inkluder alle multipler. Lineære funksjoner har en teller av Bx+C. Når du bruker en annen teknikk, distribuer og forenkle alle termene, og ha x^2 (A+B) hvis Ax^2 og Bx^2 er de eneste termene som inkluderer x^2. Så A+B = koeffisienten av x^2 i telleren gitt. Se etter snarveier for å ta antiderivativ av logger.

Engelsk: Use constant over non-linear function, (x-1)^2 is not non-linear, just multiple so include all multiples. Linear functions have a numerator of Bx+C. When using other technique, distribute and simplify all of the terms, then have x^2 (A+B) if Ax^2 and Bx^2 are the only terms including x^2. So A+B = coefficient of x^2 in numerator provided. Look for shortcuts for taking antiderivative of logs.

Trigonometrisk Substitusjon

Norsk: Bruk formelen for å bestemme hvilken type trigonometrisk substitusjon vi gjør, bestemme en a og bruke den til å beregne x og dx. Deretter substituerer du alt tilbake i det opprinnelige integralet. Nå har du et trigonometrisk integral og referer tilbake til dem. Engelsk: Use the formula to determine which type of Trig Sub we are doing, determining an a and using that to calculate x and dx. Then substitute everything back into the original integral. Now you have a Trig Integrals and refer back to them.

Integrasjon ved Deling

Norsk: Formel gitt, bruk ILATE for å velge U. Evaluer alle x’er hvis det er et bestemt integral med grenser. Se etter Ln(x) og multiplikasjon inne i integraler for å utføre.

Engelsk: Formula Provided, use ILATE to choose U. Evaluate all x’s if it is a definite integral with bounds. Look for Ln(x) and multiplication inside integrals to execute.

Potensserier (Konvergens)

Norsk: Først beregn forholdstesten ved å gjøre (a_n+1)/1 * 1/(a_n). Hold, Bytt, Snu. Etter beregning fjerner du konstantene (termer uten en n) og beregner grensen. Distribuer de gjenværende termene, og bruk denne funksjonen til å bestemme radius. Sett funksjonen større enn -1 og mindre enn 1. Løs deretter for x. Termen som ikke inkluderer sentrum er radius. Manuell sjekk endepunktene for konvergensintervallet. Engelsk: First compute the ratio test by doing (a_n+1)/1 * 1/(a_n). Keep Change Flip. After computing remove the constants (terms without an n) and compute the limit. Distribute the remaining terms, and use this function to determine the radius. Set the function greater than -1 and less than 1. Then solve for x. The term not including the center is the radius. Manual check the end points for the interval of convergence.

Potensserier (Representasjon)

Norsk: Manipuler til formen (a/1-r). Deretter substituerer du inn i den geometriske serien og forenkler. Hvis du får en x-verdi i telleren, separer i to funksjoner og fullfør ekspansjonen på en, og multipliser deretter med telleren. Hvis du får flere av x i nevneren, faktorer ut koeffisienten, men la den være i r av formelen a/1-r. Hvis nevneren forenkles, utfør PFD og gjør ekspansjonen av begge. Engelsk: Manipulate into the form (a/1-r). Then substitute into the Geometric Series and simplify. If given an x-value in the numerator, separate into two functions and complete expansion on one and then multiply by numerator. If given multiple of x in the denominator, factor out the coefficient but leave it in the r of the formula a/1-r. If the denominator simplifies, perform PFD and do expansion of both.

Buelengde

Norsk: Identifiser hvilken formel du skal bruke basert på x eller y integrasjon. Hvis du får x-verdier, vil du mest sannsynlig gjøre x-integrasjon med x-grenser. Y-verdier vil gjøre y-integrasjon med y-grenser. Bruk lignende integralteknikker som referert til i andre seksjoner for å løse.

Engelsk: Identify which formula to use based on x or y integration. If you are given x values then you will most likely be doing x-integration with x bounds. Y values will be doing y-integration with y bounds. Use similar integral techniques referred to in other sections to solve.

Areal Mellom Kurver

Norsk: Identifiser om du gjør x- eller y-integrasjon. Hvis du gjør x-integrasjon, er grensene i x, og du tar vertikale snitt (Øvre - Nedre) for høyden din. Hvis du gjør y-integrasjon, er grensene i y, og du tar horisontale snitt (Høyre - Venstre) for høyden din. Den større (Øvre/Høyre) blir f(x), og den mindre (Nedre/Venstre) blir g(x). Engelsk: Identify if you are doing x or y integration. If you are doing x integration then the bounds are in x and you take Vertical Slices (Upper – Lower) for your height. If you are doing y integration then the bounds are in y and you take Horizontal Slices (Rightmost – Leftmost) for your height. The larger (Upper/Rightmost) becomes f(x) and smaller (Lower/Leftmost) becomes g(x).

Volum: X-akse (Y=?)

Norsk: Ved rotasjon rundt en horisontal akse, bruk disk/washer-metoden (vertikale snitt og dx). Der radius er funksjonen, og hvis det er vaskemaskin, gjør (Øvre^2 - Nedre^2). Radius blir (bundet - funksjon) hvis den er over x-aksen. Engelsk: Rotating around a horizontal axis look to do disk/washer method (vertical slices & dx). Where the radius is the function and if its washer do the (Upper^2 - Lower^2). Radius becomes (bounded - function) if it is above the x-axis.

Volum: Y-akse (X=?)

Norsk: Vertikal rotasjonsakse, bruk sylinderskall-metoden. Høyden er den gitte funksjonen, eller hvis den er bundet, er det (bundet - funksjon). Radius er avstanden fra rotasjonsaksen. Så hvis det er y-aksen, er radius x, hvis det er en annen x-verdi, blir det (bundet - x).

Engelsk: Vertical axis of rotation, use the cylinder shell method. The height is the function given, or if its bounded it is (bounded - function). The radius is the distance from the axis of rotation. So if it is Y-axis, radius is

x, if it is a different x-value, it becomes (bounded - x).

Overflateareal - Om x-aksen

Norsk: Hvis du får y i form av x og i et område av x-verdier, bruk Alternativ X1. Her kan vi sette inn i formelen og bruke grenser i form av x. Hvis du får x i form av y og i et område av y-verdier, bruk Alternativ X2, sett inn funksjonen g(y) og gjør y-integrasjon, med y-verdi grenser. Se etter u-sub og multipliser to radikaler for å forenkle. Vær oppmerksom på grensene og forenklingen. Engelsk: If you are given y in terms of x and in a range of x-values use Alternate X1. Here we can substitute into the formula and use bounds in terms of x. If you are given x in terms of y and a range of y-values use Alternate X2, substituting in the function g(y) and doing y-integration, with y-value bounds. Look for u-sub and multiplying two radicals to simplify. Pay attention to the bounds and simplification.

Overflateareal - Om y-aksen

Norsk: Hvis du får y i form av x og i et område av x-verdier, bruk Alternativ Y1. Her kan vi sette inn i formelen og følge metodene for overflateareal som er nevnt tidligere. Hvis du får x i form av y og i et område av y-verdier, bruk Alternativ Y2, sett inn funksjonen g(y) og gjør y-integrasjon.

Engelsk: If you are given y in terms of x and in a range of x-values use Alternate Y1. Here we can substitute into the formula and follow the methods of Surface Area listed previously. If you are given x in terms of y and a range of y-values use Alternate Y2, substituting in the function g(y) and doing y-integration.

Arbeid: Pumping av Væske

Norsk: Lag en linje ved siden av tanken hvor det øverste punktet er 0 og avtar nedover. Avstanden vannet må reise er nå x, og grensene våre er hvor vi må reise fra. Hvis det er fra hele tanken, gå fra topp til bunn, men hvis det er 1 mindre enn full, gå fra 1 til høyden. Bruk likningen av kraft og det volumet for hver form. Radius er halvparten av diameteren. Sett inn og ta ut konstantene og løs. Hvis en kjegle, kan det hende du må bruke lignende trekanter, se etter formel. Engelsk: Create a line next to tank having the upmost point being 0 and decreasing downward. The distance the water must travel is now x, and our bounds are where we need to travel from. If it is from the entire tank go from top to bottom, however if it is 1 less than full, go from 1 to the height. Use the equation of force and that Volume for each shape. The radius is half of the diameter. Plug in and take constants out and solve. If a cone, you may have to use similar triangles, look for formula.

Arbeid: Løfte Kjede

Norsk: Løfte kabelen til toppen, finn kraften i vekt av kabel/­lengde av kabel. Kraften blir det svaret * x (avstand). Grensene for integralet er avstanden fra toppen til bunnen. Svar i ft/lbs. Hvis bare trekker halvparten av tauet til toppen, ta integralet fra 0 til halv ved bruk av normal funksjon, men legg deretter til integralet fra halv til bunn, og erstatt halvnummeret for avstanden (x) i formelen.

Engelsk: Lifting cable to top, Find the Force in weight of cable/­length of cable. The force becomes that answer * x (distance). The bounds of the integral is the distance from the top to the bottom. Answer in ft/lbs. If only pulling half the rope to the top, take the integral from 0 to half using normal function, but then add the integral from half to the bottom, and substitute the half number for the distance (x) in the formula.

Arbeid: Fjær

Norsk: Kraften som kreves for å opprettholde en fjær er f(x) = kx. Hvis gitt en kraft i N, finn avstanden fra normal høyde til ny lengde i meter. F(avstand) = kraft i N., avstandK = kraft, løs for k. Sett k tilbake i f(x) = kx. Beregn integralet fra de ønskede avstandene for utført arbeid i meter. Sluttresultat i J. Engelsk: The force required to maintain a spring is f(x) = kx. If given a force in N, find the distance from normal height to new length in meters. F(distance) = force in N., distanceK = force, solve for k. Substitute k back into f(x) = kx. Compute the integral from the desired distances of work done in meters. Final answer in J.

Parametrisk

Norsk: Bruk de multiple ligningene for parametrisk. Grensene er i form av t. Finn tangent: Ta deriverte av x(t) og y(t) og ha y'(t) som teller og x'(t) som nevner. Det er vår m (stigning). Hvis gitt en t-verdi, sett inn i x(t) og y(t) for å få punktkoordinater. Å sette t inn i m vil gi deg stigningen ved et punkt. Horisontal er teller = 0. Vertikal er nevner = 0. Pass på at punktet ikke er udefinert, hvis det er, ta grense og gjør L'Hopitals.

Engelsk: Use the multiple equations for parametric. Bounds are in terms of t. Find tangent: Take derivative of x(t) and y(t) and have y'(t) as numerator and x'(t) as denominator. That is our m (slope). If given a t value plug into x(t) and y(t) to get point coordinates. Substituting t into m will give you slope at a point. Horizontal is numerator = 0. Vertical is denominator = 0. Make sure the point is not undefined, if it is take limit and do L'Hopitals.

Polar: Areal

Norsk: Hvis de spør om areal av sirkel og ikke den andre sirkelen. Ett integral vil være fra skjæringspunktet til neste skjæringspunkt, følge polarkurven. Og deretter trekke fra integralet av sirkel ikke inkludert fra skjæringspunktet til verdien av sitt neste skjæringspunkt. For eksempel, sin ved null er pi og cos ved null er pi/2. Hvis de spør om arealet mellom, ta integralet fra det lavere skjæringspunktet og gå til skjæringspunktet og legg til integralene slik at du bare har det mindre arealet. Hvis det er en kurve som løkker seg selv, finn arealet av den øvre halvdelen og trekk fra når det løkker tilbake. Deretter multipliser med 2.

Engelsk: If they are asking for area of circle and not the other circle. One integral would be from the point of intersection to the next point of intersection, following the polar curve. And then subtracting the integral of circle not included from the point of intersection to the value of its next point of intersection. Ex) sin at zero is pi and cos at zero is pi/2. If they are asking for the area in between take the integral from the lower point of intersection and go to the point of intersection and add the integrals so you just have the smaller area. If it is a curve that loops itself, find the area of the top half and subtract when it loops back. Then multiply by 2.

Polar: Tangentlinje

Norsk: Gitt en r-funksjon, bestem vinkelen hvor punktene skjærer (tangent oppstår). Først, ta den deriverte av r-funksjonen, r'(x). Deretter sett vinkelen inn i r-funksjonen for å bestemme variabelen r. Bruk x=rcos(theta) og y=rsin(theta) sett inn variabelen r og vinkelen. Dette vil gi x,y koordinater for y-y1=m(x-x1). Nå løs for m. M=(r'(x)sin(theta) + rcos(theta)) / (r'(x)cos(theta) - rsin(theta)). Nå sett inn våre termer og løs for m. Sett inn i formelen.

Engelsk: Given an r function, determine the angle where the points intersect (tangent occurs). First, take the derivative of the r function, r'(x). Then substitute the angle into our r function to determine the variable r. Using x=rcos(theta) and y=rsin(theta) substitute in the variable r and the angle. These will give the x,y coordinates for the y-y1=m(x-x1). Now solve for m. $M=(r'(x)sin(theta) + rcos(theta)) / (r'(x)cos(theta) - rsin(theta))$. Now plug in our terms and solve for m. Enter into formula.