00TD02A Mengder_v4 - itnett/FTD02H-N GitHub Wiki
Oversikt over Mengdelære: Uttrykk, Anvendelser og Formler
| Uttrykk/Symbol | Beskrivelse | Anvendelse | Eksempel | Forklaring/Utregning |
|---|---|---|---|---|
| $$\in$$ | Element i | Brukes for å vise at et element tilhører en mengde. | $$x\in A$$ | $$3\in {1,2,3}$$ betyr at 3 er et element i mengden {1, 2, 3}. |
| $$\notin$$ | Ikke element i | Brukes for å vise at et element ikke tilhører en mengde. | $$x\notin A$$ | $$4\notin {1,2,3}$$ betyr at 4 ikke er et element i mengden {1, 2, 3}. |
| $$\subseteq$$ | Delmengde | Brukes for å vise at alle elementer i en mengde også er elementer i en annen mengde. | $$A\subseteq B$$ | $${1,2}\subseteq {1,2,3}$$ betyr at alle elementer i mengden {1, 2} også er elementer i mengden {1, 2, 3}. |
| $$\subset$$ | Ekte delmengde | Brukes for å vise at en mengde er en delmengde av en annen mengde, men ikke lik. | $$A\subset B$$ | $${1,2}\subset {1,2,3}$$ betyr at {1, 2} er en delmengde av {1, 2, 3}, men ikke lik mengden. |
| $$\cup$$ | Union | Brukes for å kombinere to mengder. | $$A\cup B$$ | $${1,2}\cup {2,3}={1,2,3}$$ betyr at unionen av {1, 2} og {2, 3} er {1, 2, 3}. |
| $$\cap$$ | Snitt | Brukes for å finne felles elementer mellom to mengder. | $$A\cap B$$ | $${1,2}\cap {2,3}={2}$$ betyr at snittet av {1, 2} og {2, 3} er {2}. |
| $$\setminus$$ | Differens | Brukes for å finne elementene i en mengde som ikke er i en annen. | $$A\setminus B$$ | $${1,2,3}\setminus {2}={1,3}$$ betyr at differensen mellom {1, 2, 3} og {2} er {1, 3}. |
| $$\emptyset$$ | Tom mengde | En mengde uten elementer. | $$\emptyset$$ eller $${}$$ | $${x\mid x\neq x}=\emptyset$$ betyr at mengden av elementer som ikke er lik seg selv er tom. |
| $$\mathbb{N}$$ | Naturlige tall | Mengden av naturlige tall. | $$\mathbb{N}$$ | $$\mathbb{N}={0,1,2,3,\ldots}$$ |
| $$\mathbb{Z}$$ | Heltall | Mengden av hele tall. | $$\mathbb{Z}$$ | $$\mathbb{Z}={\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots}$$ |
| $$\mathbb{Q}$$ | Rasjonale tall | Mengden av rasjonale tall. | $$\mathbb{Q} = \left{ \frac{m}{n} \mid m, n \in \mathbb{Z}, n \neq 0 \right}$$ | |
| $$\mathbb{R}$$ | Reelle tall | Mengden av reelle tall. | $$\mathbb{R}$$ | $$\mathbb{R} = {x \mid -\infty < x < \infty}$$ |
| $$\mathcal{P}(A)$$ | Potensmengde | Mengden av alle delmengder av en mengde. | $$\mathcal{P}(A)$$ | $$\mathcal{P}({1,2})={\emptyset,{1},{2},{1,2}}$$ |
| $$|A|$$ | Kardinalitet | Antall elementer i en mengde. | $$|A|$$ | Hvis $$A={1,2,3}$$, da $$|A|=3$$. |
| $$\forall$$ | For alle | Brukes i kvantorer for å uttrykke "for alle". | $$\forall x\in \mathbb{N}$$ | $$\forall x\in \mathbb{N},x\geq 0$$ betyr at for alle $$x$$ i mengden av naturlige tall er $$x\geq 0$$. |
| $$\exists$$ | Det finnes | Brukes i kvantorer for å uttrykke "det finnes". | $$\exists x\in \mathbb{N}$$ | $$\exists x\in \mathbb{N},x<0$$ betyr at det finnes et $$x$$ i mengden av naturlige tall som er mindre enn 0. |
| $$\neg$$ | Negasjon | Brukes for å uttrykke negasjonen av en påstand. | $$\neg P$$ | Hvis $$P$$ er "det regner", da er $$\neg P$$ "det regner ikke". |
| $$\implies$$ | Implikasjon | Brukes for å uttrykke at en påstand medfører en annen. | $$P\implies Q$$ | $$P\implies Q$$ betyr "hvis $$P$$, da $$Q$$". |
| $$\iff$$ | Ekvivalens | Brukes for å uttrykke at to påstander er ekvivalente. | $$P\iff Q$$ | $$P\iff Q$$ betyr "P er sann hvis og bare hvis Q er sann". |
Forklaring til en 8-åring
Hva er Mengdelære?
Mengdelære handler om å samle ting i grupper som vi kaller mengder. For eksempel, hvis du har en kasse med leker, er kassen en mengde og lekene er elementene i mengden.
-
Mengder: Tenk på en mengde som en boks hvor du kan legge forskjellige ting.
- Eksempel: Hvis du har en boks med epler og bananer, kan vi si at mengden er: $${\text{epler}, \text{bananer}}$$.
-
Elementer i en Mengde: Tingene inni mengden kalles elementer.
- Eksempel: Hvis du har lekene bamse, bil og dukke, kan vi si at mengden er: $${\text{bamse}, \text{bil}, \text{dukke}}$$.
-
Rekkefølge og Duplikater: I mengdelære er rekkefølgen på tingene og duplikater ikke viktige.
- Eksempel: Mengden $${\text{bamse}, \text{bil}, \text{dukke}}$$ er den samme som $${\text{dukke}, \text{bil}, \text{bamse}}$$ og $${\text{bamse}, \text{bil}, \text{bil}, \text{dukke}}$$.
-
Tom Mengde: En mengde som ikke har noen ting i seg.
- Eksempel: Hvis du har en tom boks, kaller vi den tomme mengden: $$\emptyset$$ eller $${}$$.
Forskjellen på Mengdelære og Fysiske Mengder
Når vi snakker om mengder i mengdelære, mener vi grupper av ting. Dette er forskjellig fra fysiske mengder som liter og kilo, som vi bruker for å måle hvor mye det er av noe, som vann eller epler. Fysiske mengder bruker vi SI-systemet til, som har enheter som:
- Liter (L): For å måle hvor mye vann det er i en flaske.
- Kilo (kg): For å måle hvor tung en pose med epler er.
- Meter (m): For å måle hvor lang en vei er.
Eksempel på Mengdelære med en Familie som Reiser
La oss se på et eksempel med en familie som skal på tur. Vi har fire personer i familien: Trine, Truls, Kari, og Tormod.
1
. Personer i familien: $$P={\text{Trine}, \text{Truls}, \text{Kari}, \text{Tormod}}$$
-
Kofferter:
- Store kofferter: $$K_{\text{stor}}={\text{Kofferter}_1, \text{Kofferter}_2, \text{Kofferter}_3, \text{Kofferter}_4}$$
- Kabinkofferter: $$K_{\text{kabin}}={\text{Kabin}_1, \text{Kabin}_2, \text{Kabin}_3, \text{Kabin}_4}$$
-
Koffertvekter:
- Vekten av store kofferter (25 kg hver): $$W_{\text{stor}}={25,\text{kg}, 25,\text{kg}, 25,\text{kg}, 25,\text{kg}}$$
- Vekten av kabinkofferter (10 kg hver): $$W_{\text{kabin}}={10,\text{kg}, 10,\text{kg}, 10,\text{kg}, 10,\text{kg}}$$
-
Farger på klær:
- Klær med rosa farge: $$F_{\text{rosa}}={\text{Trine}, \text{Kari}}$$
- Klær med andre farger: $$F_{\text{andre}}={\text{Truls}, \text{Tormod}}$$
-
Solkremer:
- Kari har med solkremer med forskjellige solfaktorer: $$S_{\text{Kari}}={25, 30, 50}$$
- Mengde solkremer Kari har: $$M_{\text{solkrem}}={\text{Solkrem}_1, \text{Solkrem}_2, \text{Solkrem}_3}$$
-
Edle dråper (alkohol):
- Tormod har 1 liter med alkohol i kabinkofferten: $$A_{\text{Tormod}}=1,\text{L}$$
-
Ladere:
- Alle har pakket ladere, men med ulik effekt og antall USB-porter: $$L_{\text{ladere}}={\text{Lader}{\text{Trine}}, \text{Lader}{\text{Truls}}, \text{Lader}{\text{Kari}}, \text{Lader}{\text{Tormod}}}$$
- Effekter og antall uttak: $$E_{\text{effekt}}={\text{Effekt}_1, \text{Effekt}_2, \text{Effekt}_3, \text{Effekt}4}$$ $$U{\text{uttak}}={\text{USB}_1, \text{USB}_2, \text{USB}_3, \text{USB}_4}$$
Bruk av Mengder og Formler
-
Samlede vekter av kofferter: $$W_{\text{total}}=\sum W_{\text{stor}} + \sum W_{\text{kabin}}$$ $$W_{\text{total}}=(25\times 4)+(10\times 4)$$ $$W_{\text{total}}=100,\text{kg}+40,\text{kg}$$ $$W_{\text{total}}=140,\text{kg}$$
-
Mengden av personer som har klær med rosa farge: $$F_{\text{rosa}}={\text{Trine}, \text{Kari}}$$
-
Mengden av solkremer med forskjellige solfaktorer som Kari har: $$S_{\text{Kari}}={25, 30, 50}$$
-
Mengden av ladere med deres effekt og antall uttak: $$L_{\text{ladere}}={\text{Lader}{\text{Trine}}, \text{Lader}{\text{Truls}}, \text{Lader}{\text{Kari}}, \text{Lader}{\text{Tormod}}}$$ $$E_{\text{effekt}}={\text{Effekt}_1, \text{Effekt}_2, \text{Effekt}_3, \text{Effekt}4}$$ $$U{\text{uttak}}={\text{USB}_1, \text{USB}_2, \text{USB}_3, \text{USB}_4}$$
Oppsummering
Mengdelære hjelper oss med å organisere og forstå informasjon ved å gruppere ting sammen. I dette eksemplet organiserte vi hva hver person i familien tok med seg på reisen. Vi brukte mengdelære til å sortere kofferter, klær, solkremer, ladere, og til og med alkohol. På denne måten kan vi enkelt se hvem som har hva, og vi kan beregne totalvekten av kofferter eller finne ut hvem som har med rosa klær. Dette viser hvordan mengdelære kan være nyttig i hverdagen for å holde orden på ting.