00TD02A Fortegnsregler_v2 - itnett/FTD02H-N GitHub Wiki

Fortegnsregler for Multiplikasjon og Divisjon Generelle regler Multiplikasjon Positive tall $\cdot$ Positive tall = Positivt resultat

$+ \cdot + = +$ Eksempel: $2 \cdot 3 = 6$ Negative tall $\cdot$ Negative tall = Positivt resultat

$- \cdot - = +$ Eksempel: $(-2) \cdot (-3) = 6$ Positive tall $\cdot$ Negative tall = Negativt resultat

$+ \cdot - = -$ Eksempel: $2 \cdot (-3) = -6$ Negative tall $\cdot$ Positive tall = Negativt resultat

$- \cdot + = -$ Eksempel: $(-2) \cdot 3 = -6$ Divisjon Positive tall $\div$ Positive tall = Positivt resultat

$+ \div + = +$ Eksempel: $6 \div 3 = 2$ Negative tall $\div$ Negative tall = Positivt resultat

$- \div - = +$ Eksempel: $(-6) \div (-3) = 2$ Positive tall $\div$ Negative tall = Negativt resultat

$+ \div - = -$ Eksempel: $6 \div (-3) = -2$ Negative tall $\div$ Positive tall = Negativt resultat

$- \div + = -$ Eksempel: $(-6) \div 3 = -2$ Eksempler Eksempel 1 $-1 \cdot 3 = -3$

Her har vi et negativt tall multiplisert med et positivt tall, som gir et negativt resultat.

Eksempel 2 $-2 \cdot (-3) = +6$

Her har vi to negative tall som multipliseres med hverandre, noe som gir et positivt resultat.

Eksempel 3 $-2 \cdot (-3) \cdot (-4) = -24$

Først, $-2 \cdot (-3) = +6$. To negative tall gir et positivt resultat. Så, $+6 \cdot (-4) = -24$. Et positivt tall multiplisert med et negativt tall gir et negativt resultat. Eksempel 4 $-2 \cdot (-3) + 2 \cdot (-5) - 4 \cdot (-6)$

Først, $-2 \cdot (-3) = +6$ Deretter, $2 \cdot (-5) = -10$ Til slutt, $-4 \cdot (-6) = +24$ Summen blir:

$6 - 10 + 24 = 20$

Sammendrag Når to tall med samme fortegn multipliseres eller divideres, blir resultatet positivt. Når to tall med ulike fortegn multipliseres eller divideres, blir resultatet negativt. Innholdsfortegnelse - Forelesningsvideoer Kapittel 1 - Tallregning 1.1 Ledd og faktorer 1.2 Fortegnsregler 1.3 Regnerekkefølge 1.4 Parenteser 1.5 Bokstavregning 1.6 Faktorisering av heltall 1.7 Desimaltall, prosent, brøk Kapittel 2 - Brøk 2.1 Brøkregning regler 2.2 Forklare deling av brøk 2.3 Brøk eksempel 2.4 Brøkregning Blandet tall 2.5 Rasjonale uttrykk Kapittel 3 - Ligninger 3.1 Ligninger teori 3.2 Ligninger eks 1-2 3.3 Ligninger eks 3-4 3.4 Kryssmultiplisering Kapittel 4 - Formelregning 4.1 Formelregning teori 4.2 Formelregning eks.1 4.3 Formelregning eks.2 4.4 Formelregning eks.3 4.5 Formelregning eks.4 4.6 Formelregning eks.5 4.7 Formelregning eks.6 4.8 Formelregning eks.7 Matematikk Selvstudium Oppgaver Tallregning og algebra Oppgave 1: Regn ut både med og uten kalkulator a) $3 \cdot 2 + 4$

Multiplikasjon først: $3 \cdot 2 = 6$ Deretter addisjon: $6 + 4 = 10$ b) $4 + 3 \cdot 2$

Multiplikasjon først: $3 \cdot 2 = 6$ Deretter addisjon: $4 + 6 = 10$ c) $3 \cdot (-2) + 4$

Multiplikasjon først: $3 \cdot (-2) = -6$ Deretter addisjon: $-6 + 4 = -2$ d) $4 + 3 \cdot (-2)$

Multiplikasjon først: $3 \cdot (-2) = -6$ Deretter addisjon: $4 + (-6) = -2$ e) $2 \cdot 3^2 + 4$

Eksponent først: $3^2 = 9$ Multiplikasjon: $2 \cdot 9 = 18$ Addisjon: $18 + 4 = 22$ f) $2 \cdot (-3)^2 + 4$

Eksponent først: $(-3)^2 = 9$ Multiplikasjon: $2 \cdot 9 = 18$ Addisjon: $18 + 4 = 22$ g) $(-3) \cdot (-2) - 7$

Multiplikasjon først: $(-3) \cdot (-2) = 6$ Subtraksjon: $6 - 7 = -1$ h) $(-3) \cdot (-2)^3 - 7$

Eksponent først: $(-2)^3 = -8$ Multiplikasjon: $(-3) \cdot -8 = 24$ Subtraksjon: $24 - 7 = 17$ i) $(2)^3 - 1$

Eksponent først: $2^3 = 8$ Subtraksjon: $8 - 1 = 7$ j) $(-2)^3 - 1$

Eksponent først: $(-2)^3 = -8$ Subtraksjon: $-8 - 1 = -9$ k) $-2^3 - 1$

Eksponent først: $2^3 = 8$ Negativ: $-8$ Subtraksjon: $-8 - 1 = -9$ l) $-(-2)^3 - 1$

Eksponent først: $(-2)^3 = -8$ Negativ til positiv: $-(-8) = 8$ Subtraksjon: $8 - 1 = 7$ Oppgave 2: Forkort brøkene både med og uten kalkulator a) $\frac{3}{6}$

Finn felles faktor: 3. Del både teller og nevner på 3: $\frac{3 \div 3}{6 \div 3} = \frac{1}{2}$. b) $\frac{4}{24}$

Finn felles faktor: 4. Del både teller og nevner på 4: $\frac{4 \div 4}{24 \div 4} = \frac{1}{6}$. c) $\frac{18}{27}$

Finn felles faktor: 9. Del både teller og nevner på 9: $\frac{18 \div 9}{27 \div 9} = \frac{2}{3}$. d) $\frac{45}{165}$

Finn felles faktor: 15. Del både teller og nevner på 15: $\frac{45 \div 15}{165 \div 15} = \frac{3}{11}$. e) $\frac{315}{420}$

Finn felles faktor: 105. Del både teller og nevner på 105: $\frac{315 \div 105}{420 \div 105} = \frac{3}{4}$. Oppgave 3: Regn ut både med og uten kalkulator a) $\frac{1}{6} + \frac{2}{3}$

Finn fellesnevner: 6. Skriv om: $\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$. Legg sammen: $\frac{1}{6} + \frac{4}{6} = \frac{5}{6}$. b) $\frac{3}{4} - \frac{3}{8}$

Finn fellesnevner: 8. Skriv om: $\frac{3}{4} = \frac{6}{8}$. Trekk fra: $\frac{6}{8} - \frac{3}{8} = \frac{3}{8}$. c) $3 + \frac{5}{6}$

Skriv om 3: $\frac{18}{6}$. Legg sammen: $\frac{18}{6} + \frac{5}{6} = $\frac{23}{6}$. d) $\frac{1}{4} + \frac{2}{3}$

Finn fellesnevner: 12. Skriv om: $\frac{1}{4} = \frac{3}{12}$ og $\frac{2}{3} = \frac{8}{12}$. Legg sammen: $\frac{3}{12} + \frac{8}{12} = \frac{11}{12}$. e) $\frac{5}{6} \cdot \frac{2}{15}$

Multipliser tellere: $5 \cdot 2 = 10$. Multipliser nevnere: $6 \cdot 15 = 90$. Forkort: $\frac{10}{90} = \frac{1}{9}$. f) $5 \cdot \frac{2}{3}$

Multipliser telleren med 5: $5 \cdot 2 = 10$. Skriv om: $\frac{10}{3}$. g) $\frac{1}{12} \div \frac{2}{3}$

Snu den andre brøken og multipliser: $\frac{1}{12} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{24}$. Forkort: $\frac{3}{24} = \frac{1}{8}$. h) $5 \div \frac{2}{3}$

Snu den andre brøken og multipliser: $5 \cdot \frac{3}{2} = \frac{15}{2}$. Oppgave 4: Regn ut både med og uten kalkulator a) $2 \left( \frac{1}{4} - \frac{3}{8} \right)$

Finn fellesnevner: 8. Skriv om: $\frac{1}{4} = \frac{2}{8}$. Trekk fra: $\frac{2}{8} - \frac{3}{8} = -\frac{1}{8}$. Multipliser med 2: $2 \cdot -\frac{1}{8} = -\frac{2}{8} = -\frac{1}{4}$. b) $\left( \frac{3}{4} - \frac{1}{5} \right) \cdot \frac{5}{4}$

Finn fellesnevner: 20. Skriv om: $\frac{3}{4} = \frac{15}{20}$ og $\frac{1}{5} = \frac{4}{20}$. Trekk fra: $\frac{15}{20} - \frac{4}{20} = \frac{11}{20}$. Multipliser: $\frac{11}{20} \cdot \frac{5}{4} = \frac{55}{80} = \frac{11}{16}$. c) $\left( 1 - \frac{5}{6} \right) \left( \frac{5}{6} + \frac{1}{3} \right)$

Skriv om: $1 - \frac{5}{6} = \frac{6}{6} - \frac{5}{6} = \frac{1}{6}$. Skriv om: $\frac{5}{6} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6} + \frac{2}{6} = \frac{7}{6}$. Multipliser: $\frac{1}{6} \cdot \frac{7}{6} = \frac{7}{36}$. Oppgave 5: Skriv enklere a) $3a + 5a - b$

Kombiner like termer: $8a - b$. b) $3a + 4a - b + 5b - 7a$

Kombiner like termer: $0a + 4b = 4b$. c) $6a + 2(5a + b) - 3b$

Distribuer: $6a + 10a + 2b - 3b = 16a - b$. d) $a^2 + 4b - 5a^2 - 5a + 8a^2 + b$

Kombiner like termer: $4a^2 - 5a + 5b$. e) $xy + 5x - xy + x^2 - 2y - x^2$

Kombiner like termer: $5x - 2y$. f) $3a + 5a - b$

Kombiner like termer: $8a - b$. g) $3(ab + b) + 2(a - b)$

Distribuer: $3ab + 3b + 2a - 2b = 3ab + 2a + b$. h) $3(ab - b) - 2(a - b)$

Distribuer: $3ab - 3b - 2a + 2b = 3ab - a - b$. i) $-(ab + b) - (a - b)$

Distribuer: $-ab - b - a + b = -ab - a$. j) $3(ab + b) - (a - b)^2$

Distribuer: $3ab + 3b - (a^2 - 2ab + b^2) = 3ab + 3b - a^2 + 2ab - b^2 = 5ab + 3b - a^2 - b^2$. Oppgave 6: Skriv enklere a) $x^6 + x^3$

Kombiner like termer: $x^6 + x^3$. b) $\frac{3}{4a} - \frac{3}{8a}$

Finn fellesnevner: $8a$. Skriv om: $\frac{3}{4a} = \frac{6}{8a}$. Trekk fra: $\frac{6}{8a} - \frac{3}{8a} = \frac{3}{8a}$. c) $\frac{3}{x} + \frac{1}{2x} + \frac{2}{3x}$

Finn fellesnevner: $6x$. Skriv om: $\frac{3}{x} = \frac{18}{6x}$, $\frac{1}{2x} = \frac{3}{6x}$, $\frac{2}{3x} = \frac{4}{6x}$. Legg sammen: $\frac{18}{6x} + \frac{3}{6x} + \frac{4}{6x} = \frac{25}{6x}$. d) $\frac{9a^4 \cdot 2}{3a}$

Multipliser tellere: $9a^4 \cdot 2 = 18a^4$. Dividere: $\frac{18a^4}{3a} = 6a^3$. e) $\frac{5x^2}{6y} \cdot \frac{3y^2}{15x}$

Multipliser tellere: $5x^2 \cdot 3y^2 = 15x^2y^2$. Multipliser nevnere: $6y \cdot 15x = 90xy$. Forkort: $\frac{15x^2y^2}{90xy} = \frac{x}{6}$. f) $\frac{5a}{6} \div \frac{15a}{3}$

Snu den andre brøken og multipliser: $\frac{5a}{6} \cdot \frac{3}{15a} = \frac{5a \cdot 3}{6 \cdot 15a} = \frac{15a}{90a} = \frac{1}{6}$. g) $x^{12} \div 3x$

Dividere: $x^{12} \div 3x = \frac{x^{12}}{3x} = \frac{x^{11}}{3}$. Likninger og formler Oppgave 7: Løs likningene a) $2x = 18$

Del begge sider med 2: $x = 9$. b) $\frac{2}{3}x = 10$

Multipliser begge sider med $\frac{3}{2}$: $x = 15$. c) $3x = \frac{1}{6}$

Del begge sider med 3: $x = \frac{1}{18}$. d) $\frac{1}{4}x = \frac{3}{2}$

Multipliser begge sider med 4: $x = 6$. e) $\frac{3}{5} = \frac{3x}{2}$

Multipliser begge sider med $\frac{2}{3}$: $x = \frac{2}{5}$. f) $2x - 3 = 11$

Legg til 3 på begge sider: $2x = 14$. Del med 2: $x = 7$. g) $3a + 4 = a + 12$

Trekk a fra begge sider: $2a + 4 = 12$. Trekk 4 fra begge sider: $2a = 8$. Del med 2: $a = 4$. h) $x - 3 = -3x - 7$

Legg til 3x på begge sider: $4x - 3 = -7$. Legg til 3 på begge sider: $4x = -4$. Del med 4: $x = -1$. i) $11a = 2(5a + 1) - 3a$

Distribuer: $11a = 10a + 2 - 3a$. Kombiner like termer: $11a = 7a + 2$. Trekk 7a fra begge sider: $4a = 2$. Del med 4: $a = \frac{1}{2}$. j) $2(x - 4) = 3(5 - 2x)$

Distribuer: $2x - 8 = 15 - 6x$. Legg til 6x på begge sider: $8x - 8 = 15$. Legg til 8 på begge sider: $8x = 23$. Del med 8: $x = \frac{23}{8}$. k) $0.01(x + 45) = 0.003(x - 30)$

Distribuer: $0.01x + 0.45 = 0.003x - 0.09$. Trekk 0.003x fra begge sider: $0.007x + 0.45 = -0.09$. Trekk 0.45 fra begge sider: $0.007x = -0.54$. Del med 0.007: $x = -77.14$. Oppgave 8: Løs likningene a) $\frac{5}{6}x + 2 = \frac{1}{3}x - \frac{1}{6}$

Multipliser begge sider med 6 for å fjerne brøkene: $5x + 12 = 2x - 1$. Trekk 2x fra begge sider: $3x + 12 = -1$. Trekk 12 fra begge sider: $3x = -13$. Del med 3: $x = -\frac{13}{3}$. b) $\frac{3}{x} - 2 = \frac{5}{x}$

Multipliser begge sider med $x$: $3 - 2x = 5$. Trekk 3 fra begge sider: $-2x = 2$. Del med -2: $x = -1$. c) $\frac{x-1}{3} = \frac{2x+1}{4}$

Kryssmultipliser: $4(x - 1) = 3(2x + 1)$. Distribuer: $4x - 4 = 6x + 3$. Trekk 4x fra begge sider: $-4 = 2x + 3$. Trekk 3 fra begge sider: $-7 = 2x$. Del med 2: $x = -\frac{7}{2}$. d) $\frac{x-1}{3} + 1 = \frac{2x+1}{4}$

Multipliser begge sider med 12 for å fjerne brøkene: $4(x - 1) + 12 = 3(2x + 1)$. Distribuer: $4x - 4 + 12 = 6x + 3$. Kombiner like termer: $4x + 8 = 6x + 3$. Trekk 4x fra begge sider: $8 = 2x + 3$. Trekk 3 fra begge sider: $5 = 2x$. Del med 2: $x = \frac{5}{2}$. Oppgave 9: Løs med hensyn på de ukjente a) $G = m \cdot g \quad m=?, \quad g=?$

For $m$: $m = \frac{G}{g}$. For $g$: $g = \frac{G}{m}$. b) $F = k \cdot x \quad k=?, \quad x=?$

For $k$: $k = \frac{F}{x}$. For $x$: $x = \frac{F}{k}$. c) $Q = s \cdot m \quad m=?, \quad s=?$

For $m$: $m = \frac{Q}{s}$. For $s$: $s = \frac{Q}{m}$. d) $C = c \cdot m \quad m=?, \quad c=?$

For $m$: $m = \frac{C}{c}$. For $c$: $c = \frac{C}{m}$. e) $W = P \cdot t \quad P=?, \quad t=?$

For $P$: $P = \frac{W}{t}$. For $t$: $t = \frac{W}{P}$. f) $v = \frac{s}{t} \quad s=?, \quad t=?$

For $s$: $s = v \cdot t$. For $t$: $t = \frac{s}{v}$. g) $\rho = \frac{m}{V} \quad m=?, \quad V=?$

For $m$: $m = \rho \cdot V$. For $V$: $V = \frac{m}{\rho}$. h) $R=?, \quad U=?$

For $R$: $R = \frac{U}{I}$. For $U$: $U = R \cdot I$. i) $E_p = m \cdot g \cdot h \quad m=?, \quad g=?, \quad h=?$

For $m$: $m = \frac{E_p}{g \cdot h}$. For $g$: $g = \frac{E_p}{m \cdot h}$. For $h$: $h = \frac{E_p}{m \cdot g}$. j) $E_k = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 \quad m=?, \quad v=?$

For $m$: $m = \frac{2E_k}{v^2}$. For $v$: $v = \sqrt{\frac{2E_k}{m}}$. k) $E_p = \frac{1}{2} \cdot k \cdot x^2 \quad k=?, \quad x=?$

For $k$: $k = \frac{2E_p}{x^2}$. For $x$: $x = \sqrt{\frac{2E_p}{k}}$. l) $W = F \cdot s \cdot \cos \alpha \quad F=?, \quad s=?, \quad \cos \alpha=?$

For $F$: $F = \frac{W}{s \cdot \cos \alpha}$. For $s$: $s = \frac{W}{F \cdot \cos \alpha}$. For $\cos \alpha$: $\cos \alpha = \frac{W}{F \cdot s}$. m) $\frac{p_1 \cdot V_1}{T_1} = \frac{p_2 \cdot V_2}{T_2} \quad p_1=?, \quad V_1=?, \quad T_1=?, \quad p_2=?, \quad V_2=?, \quad T_2=?$

For $p_1$: $p_1 = \frac{p_2 \cdot V_2 \cdot T_1}{V_1 \cdot T_2}$. For $V_1$: $V_1 = \frac{p_2 \cdot V_2 \cdot T_1}{p_1 \cdot T_2}$. For $T_1$: $T_1 = \frac{p_1 \cdot V_1 \cdot T_2}{p_2 \cdot V_2}$. For $p_2$: $p_2 = \frac{p_1 \cdot V_1 \cdot T_2}{V_2 \cdot T_1}$. For $V_2$: $V_2 = \frac{p_1 \cdot V_1 \cdot T_2}{p_2 \cdot T_1}$. For $T_2$: $T_2 = \frac{p_2 \cdot V_2 \cdot T_1}{p_1 \cdot V_1}$. Oppgave 1 består av flere uttrykk som skal regnes ut. La oss ta for oss noen av disse og forklare hvordan de løses:

a) $3 \cdot 2 + 4$

Multiplikasjon først: $3 \cdot 2 = 6$ Deretter addisjon: $6 + 4 = 10$ b) $4 + 3 \cdot 2$

Multiplikasjon først: $3 \cdot 2 = 6$ Deretter addisjon: $4 + 6 = 10$ Legg merke til: Selv om rekkefølgen på tallene er byttet om fra oppgave a), blir svaret det samme. Dette er fordi multiplikasjon har høyere prioritet enn addisjon.

c) $3 \cdot (-2) + 4$

Multiplikasjon først: $3 \cdot (-2) = -6$ Deretter addisjon: $-6 + 4 = -2$ d) $4 + 3 \cdot (-2)$

Multiplikasjon først: $3 \cdot (-2) = -6$ Deretter addisjon: $4 + (-6) = -2$ Viktig: Når vi multipliserer et positivt tall med et negativt tall, blir resultatet negativt.

e) $2 \cdot (3/2) + 4$

Parenteser først: $3 / 2 = 1.5$ Multiplikasjon: $2 \cdot 1.5 = 3$ Addisjon: $3 + 4 = 7$ f) $2 \cdot (-3/2) + 4$

Parenteser først: $-3 / 2 = -1.5$ Multiplikasjon: $2 \cdot (-1.5) = -3$ Addisjon: $-3 + 4 = 1$ Innspill: Oppgavene viser viktigheten av å følge regnereglene for å komme frem til riktig svar. Husk at multiplikasjon og divisjon gjøres før addisjon og subtraksjon, med mindre parenteser indikerer noe annet.

g) $(-3) \cdot (-2) - 7$

Multiplikasjon først: $(-3) \cdot (-2) = 6$ Subtraksjon: $6 - 7 = -1$ h) $(-3) \cdot (-2) / (3 - 7)$

Parenteser først: $3 - 7 = -4$ Multiplikasjon: $(-3) \cdot (-2) = 6$ Divisjon: $6 / (-4) = -1.5$ i) $(2)^3 - 1$

Potens først: $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ Subtraksjon: $8 - 1 = 7$ j) $(-2)^3 - 1$

Potens først: $(-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8$ Subtraksjon: $-8 - 1 = -9$ k) $-2^3 - 1$

Potens først: $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ Negativt fortegn: $-8$ Subtraksjon: $-8 - 1 = -9$ l) $-(-2)^3 - 1$

Parentes og potens: $(-2)^3 = -8$ To negative fortegn gir positivt: $-(-8) = 8$ Subtraksjon: $8 - 1 = 7$ Innspill: Oppgavene demonstrerer hvordan negative tall, parenteser og potenser påvirker utregningen. Vær spesielt oppmerksom på forskjellen mellom oppgave j) og k), hvor plasseringen av minustegnet endrer resultatet. Husk også at to negative fortegn multiplisert med hverandre gir et positivt fortegn.

Oppgave 2 handler om å forkorte brøker. Dette betyr å finne et tall som både teller og nevner kan deles på, slik at brøken blir enklere, men beholder samme verdi.

For eksempel:

a) $\frac{3}{6}$ kan forkortes med 3, siden både 3 og 6 kan deles på 3 uten rest. Resultatet blir $\frac{1}{2}$. Oppgave 3 fokuserer på regning med brøker. Her er noen viktige regler å huske på:

Addisjon og subtraksjon av brøker: Brøkene må ha samme nevner. Hvis ikke, må du finne en fellesnevner. Multiplikasjon av brøker: Teller multipliseres med teller, og nevner multipliseres med nevner. Divisjon av brøker: Snu den andre brøken opp ned og multipliser. Oppgave 4 fortsetter med regning av brøker og uttrykk med parenteser. Husk å følge regnereglene, og regn ut det som står i parentesene først.

Oppgave 5 dreier seg om å forenkle algebraiske uttrykk. Her er noen tips:

Samle like termer: Termer med samme bokstav og eksponent kan legges sammen eller trekkes fra hverandre. Multiplikasjon av parenteser: Hvert ledd inne i parentesen må multipliseres med tallet utenfor. Oppgave 6 handler også om å forenkle algebraiske uttrykk, men her er det også brøker involvert. Husk reglene for brøkregning når du forenkler.

Oppgave 7 introduserer likninger. Målet er å finne verdien av den ukjente variabelen (ofte representert med bokstaven x) som gjør at likningen stemmer. Du kan løse likninger ved å utføre samme regneoperasjon på begge sider av likhetstegnet, for eksempel å legge til, trekke fra, multiplisere eller dividere med samme tall.

Oppgave 8 fortsetter med likninger, men nå er den ukjente variabelen i nevneren av en brøk. For å løse slike likninger kan du multiplisere begge sider med variabelen for å få den opp i telleren.

Oppgave 9 handler om å løse formler med hensyn på forskjellige variabler. Dette betyr å isolere en bestemt variabel på den ene siden av likhetstegnet.

Oppgave 10 gir deg formler fra fysikk og ber deg løse dem med hensyn på forskjellige variabler. Prinsippene er de samme som i oppgave 9.

Oppgave 11 presenterer flere formler fra fysikk og ingeniørfag. Oppgaven er igjen å løse formlene med hensyn på ulike variabler.

Oppgave 12 fortsetter med formler fra ingeniørfag, og du skal løse dem med hensyn på forskjellige variabler.

Oppgave 13 handler om prefikser som brukes for å uttrykke store eller små tall. For eksempel betyr kilo (k) 1000, og milli (m) betyr 0.001. Oppgaven ber deg fylle ut en tabell med prefikser og deres betydning.

Oppgave 14 gir deg noen regneoppgaver hvor du skal bruke kalkulator og prefikser for å regne på enklest mulig måte.

La oss sørge for at alle matematiske uttrykk er korrekt formatert med $ for inline-matematikk og $$ for blokkmatematikk.

Fortegnsregler for Multiplikasjon og Divisjon

Generelle regler

Multiplikasjon

  • Positive tall $\cdot$ Positive tall = Positivt resultat

    • $+ \cdot + = +$
    • Eksempel: $2 \cdot 3 = 6$

  • Negative tall $\cdot$ Negative tall = Positivt resultat

    • $- \cdot - = +$
    • Eksempel: $(-2) \cdot (-3) = 6$

  • Positive tall $\cdot$ Negative tall = Negativt resultat

    • $+ \cdot - = -$
    • Eksempel: $2 \cdot (-3) = -6$

  • Negative tall $\cdot$ Positive tall = Negativt resultat

    • $- \cdot + = -$
    • Eksempel: $(-2) \cdot 3 = -6$

Divisjon

  • Positive tall $\div$ Positive tall = Positivt resultat

    • $+ \div + = +$
    • Eksempel: $6 \div 3 = 2$

  • Negative tall $\div$ Negative tall = Positivt resultat

    • $- \div - = +$
    • Eksempel: $(-6) \div (-3) = 2$

  • Positive tall $\div$ Negative tall = Negativt resultat

    • $+ \div - = -$
    • Eksempel: $6 \div (-3) = -2$

  • Negative tall $\div$ Positive tall = Negativt resultat

    • $- \div + = -$
    • Eksempel: $(-6) \div 3 = -2$

Eksempler

Eksempel 1

$-1 \cdot 3 = -3$

Her har vi et negativt tall multiplisert med et positivt tall, som gir et negativt resultat.

Eksempel 2

$-2 \cdot (-3) = +6$

Her har vi to negative tall som multipliseres med hverandre, noe som gir et positivt resultat.

Eksempel 3

$-2 \cdot (-3) \cdot (-4) = -24$

  • Først, $-2 \cdot (-3) = +6$. To negative tall gir et positivt resultat.
  • Så, $+6 \cdot (-4) = -24$. Et positivt tall multiplisert med et negativt tall gir et negativt resultat.

Eksempel 4

$-2 \cdot (-3) + 2 \cdot (-5) - 4 \cdot (-6)$

  • Først, $-2 \cdot (-3) = +6$
  • Deretter, $2 \cdot (-5) = -10$
  • Til slutt, $-4 \cdot (-6) = +24$

Summen blir:

$6 - 10 + 24 = 20$

Sammendrag

  • Når to tall med samme fortegn multipliseres eller divideres, blir resultatet positivt.
  • Når to tall med ulike fortegn multipliseres eller divideres, blir resultatet negativt.

Innholdsfortegnelse - Forelesningsvideoer

Kapittel 1 - Tallregning

1.1 Ledd og faktorer

1.2 Fortegnsregler

1.3 Regnerekkefølge

1.4 Parenteser

1.5 Bokstavregning

1.6 Faktorisering av heltall

1.7 Desimaltall, prosent, brøk

Kapittel 2 - Brøk

2.1 Brøkregning regler

2.2 Forklare deling av brøk

2.3 Brøk eksempel

2.4 Brøkregning Blandet tall

2.5 Rasjonale uttrykk

Kapittel 3 - Ligninger

3.1 Ligninger teori

3.2 Ligninger eks 1-2

3.3 Ligninger eks 3-4

3.4 Kryssmultiplisering

Kapittel 4 - Formelregning

4.1 Formelregning teori

4.2 Formelregning eks.1

4.3 Formelregning eks.2

4.4 Formelregning eks.3

4.5 Formelregning eks.4

4.6 Formelregning eks.5

4.7 Formelregning eks.6

4.8 Formelregning eks.7

Matematikk Selvstudium

Oppgaver

Tallregning og algebra

Oppgave 1: Regn ut både med og uten kalkulator

a) $3 \cdot 2 + 4$

  1. Multiplikasjon først: $3 \cdot 2 = 6$
  2. Deretter addisjon: $6 + 4 = 10$

b) $4 + 3 \cdot 2$

  1. Multiplikasjon først: $3 \cdot 2 = 6$
  2. Deretter addisjon: $4 + 6 = 10$

c) $3 \cdot (-2) + 4$

  1. Multiplikasjon først: $3 \cdot (-2) = -6$
  2. Deretter addisjon: $-6 + 4 = -2$

d) $4 + 3 \cdot (-2)$

  1. Multiplikasjon først: $3 \cdot (-2) = -6$
  2. Deretter addisjon: $4 + (-6) = -2$

e) $2 \cdot 3^2 + 4$

  1. Eksponent først: $3^2 = 9$
  2. Multiplikasjon: $2 \cdot 9 = 18$
  3. Addisjon: $18 + 4 = 22$

f) $2 \cdot (-3)^2 + 4$

  1. Eksponent først: $(-3)^2 = 9$
  2. Multiplikasjon: $2 \cdot 9 = 18$
  3. Addisjon: $18 + 4 = 22$

g) $(-3) \cdot (-2) - 7$

  1. Multiplikasjon først: $(-3) \cdot (-2) = 6$
  2. Subtraksjon: $6 - 7 = -1$

h) $(-3) \cdot (-2)^3 - 7$

  1. Eksponent først: $(-2)^3 = -8$
  2. Multiplikasjon: $(-3) \cdot -8 = 24$
  3. Subtraksjon: $24 - 7 = 17$

i) $(2)^3 - 1$

  1. Eksponent først: $2^3 = 8$
  2. Subtraksjon: $8 - 1 = 7$

j) $(-2)^3 - 1$

  1. Eksponent først: $(-2)^3 = -8$
  2. Subtraksjon: $-8 - 1 = -9$

k) $-2^3 - 1$

  1. Eksponent først: $2^3 = 8$
  2. Negativ: $-8$
  3. Subtraksjon: $-8 - 1 = -9$

l) $-(-2)^3 - 1$

  1. Eksponent først: $(-2)^3 = -8$
  2. Negativ til positiv: $-(-8) = 8$
  3. Subtraksjon: $8 - 1 = 7$

Oppgave 2: Forkort brøkene både med og uten kalkulator

a) $\frac{3}{6}$

  1. Finn felles faktor: 3.
  2. Del både teller og nevner på 3: $\frac{3 \div 3}{6 \div 3} = \frac{1}{2}$.

b) $\frac{4}{24}$

  1. Finn felles faktor: 4.
  2. Del både teller og nevner på 4: $\frac{4 \div 4}{24 \div 4} = \frac{1}{6}$.

c) $\frac{18}{27}$

  1. Finn felles faktor: 9.
  2. Del både teller og nevner på 9: $\frac{18 \div 9}{27 \div 9} = \frac{2}{3}$.

d) $\frac{45}{165}$

  1. Finn felles faktor: 15.
  2. Del både teller og nevner på 15: $\frac{45 \div 15}{165 \div 15} = \frac{3}{11}$.

e) $\frac{315}{420}$

  1. Finn felles faktor: 105.
  2. Del både teller og nevner på 105: $\frac{315 \div 105}{420 \div 105} = \frac{3}{4}$.

Oppgave 3: Regn ut både med og uten kalkulator

a) $\frac{1}{6} + \frac{2}{3}$

  1. Finn fellesnevner: 6.
  2. Skriv om: $\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$.
  3. Legg sammen: $\frac{1}{6} + \frac{4}{6} = \frac{5}{6}$.

b) $\frac{3}{4} - \frac{3}{8}$

  1. Finn fellesnevner: 8.
  2. Skriv om: $\frac{3}{4} = \frac{6}{8}$.
  3. Trekk fra: $\frac{6}{8} - \frac{3}{8} = \frac{3}{8}$.

c) $3 + \frac{5}{6}$

  1. Skriv om 3: $\frac{18}{6}$.
  2. Legg sammen: $\frac{18}{6} + \frac{5}{6} = $\frac{23}{6}$.

d) $\frac{1}{4} + \frac{2}{3}$

  1. Finn fellesnevner: 12.
  2. Skriv om: $\frac{1}{4} = \frac{3}{12}$ og $\frac{2}{3} = \frac{8}{12}$.
  3. Legg sammen: $\frac{3}{12} + \frac{8}{12} = \frac{11}{12}$.

e) $\frac{5}{6} \cdot \frac{2}{15}$

  1. Multipliser tellere: $5 \cdot 2 = 10$.
  2. Multipliser nevnere: $6 \cdot 15 = 90$.
  3. Forkort: $\frac{10}{90} = \frac{1}{9}$.

f) $5 \cdot \frac{2}{3}$

  1. Multipliser telleren med 5: $5 \cdot 2 = 10$.
  2. Skriv om: $\frac{10}{3}$.

g) $\frac{1}{12} \div \frac{2}{3}$

  1. Snu den andre brøken og multipliser: $\frac{1}{12} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{24}$.
  2. Forkort: $\frac{3}{24} = \frac{1}{8}$.

h) $5 \div \frac{2}{3}$

  1. Snu den andre brøken og multipliser: $5 \cdot \frac{3}{2} = \frac{15}{2}$.

Oppgave 4: Regn ut både med og uten kalkulator

a) $2 \left( \frac{1}{4} - \frac{3}{8} \right)$

  1. Finn fellesnevner: 8.
  2. Skriv om: $\frac{1}{4} = \frac{2}{8}$.
  3. Trekk fra: $\frac{2}{8} - \frac{3}{8} = -\frac{1}{8}$.
  4. Multipliser med 2: $2 \cdot -\frac{1}{8} = -\frac{2}{8} = -\frac{1}{4}$.

b) $\left( \frac{3}{4} - \frac{1}{5} \right) \cdot \frac{5}{4}$

  1. Finn fellesnevner: 20.
  2. Skriv om: $\frac{3}{4} = \frac{15}{20}$ og $\frac{1}{5} = \frac{4}{20}$.
  3. Trekk fra: $\frac{15}{20} - \frac{4}{20} = \frac{11}{20}$.
  4. Multipliser: $\frac{11}{20} \cdot \frac{5}{4} = \frac{55}{80} = \frac{11}{16}$.

c) $\left( 1 - \frac{5}{6} \right) \left( \frac{5}{6} + \frac{1}{3} \right)$

  1. Skriv om: $1 - \frac{5}{6} = \frac{6}{6} - \frac{5}{6} = \frac{1}{6}$.
  2. Skriv om: $\frac{5}{6} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6} + \frac{2}{6} = \frac{7}{6}$.
  3. Multipliser: $\frac{1}{6} \cdot \frac{7}{6} = \frac{7}{36}$.

Oppgave 5: Skriv enklere

a) $3a + 5a - b$

  1. Kombiner like termer: $8a - b$.

b) $3a + 4a - b + 5b - 7a$

  1. Kombiner like termer: $0a + 4b = 4b$.

c) $6a + 2(5a + b) - 3b$

  1. Distribuer: $6a + 10a + 2b - 3b = 16a - b$.

d) $a^2 + 4b - 5a^2 - 5a + 8a^2 + b$

  1. Kombiner like termer: $4a^2 - 5a + 5b$.

e) $xy + 5x - xy + x^2 - 2y - x^2$

  1. Kombiner like termer: $5x - 2y$.

f) $3a + 5a - b$

  1. Kombiner like termer: $8a - b$.

g) $3(ab + b) + 2(a - b)$

  1. Distribuer: $3ab + 3b + 2a - 2b = 3ab + 2a + b$.

h) $3(ab - b) - 2(a - b)$

  1. Distribuer: $3ab - 3b - 2a + 2b = 3ab - a - b$.

i) $-(ab + b) - (a - b)$

  1. Distribuer: $-ab - b - a + b = -ab - a$.

j) $3(ab + b) - (a - b)^2$

  1. Distribuer: $3ab + 3b - (a^2 - 2ab + b^2) = 3ab + 3b - a^2 + 2ab - b^2 = 5ab + 3b - a^2 - b^2$.

Oppgave 6: Skriv enklere

a) $x^6 + x^3$

  1. Kombiner like termer: $x^6 + x^3$.

b) $\frac{3}{4a} - \frac{3}{8a}$

  1. Finn fellesnevner: $8a$.
  2. Skriv om: $\frac{3}{4a} = \frac{6}{8a}$.
  3. Trekk fra: $\frac{6}{8a} - \frac{3}{8a} = \frac{3}{8a}$.

c) $\frac{3}{x} + \frac{1}{2x} + \frac{2}{3x}$

  1. Finn fellesnevner: $6x$.
  2. Skriv om: $\frac{3}{x} = \frac{18}{6x}$, $\frac{1}{2x} = \frac{3}{6x}$, $\frac{2}{3x} = \frac{4}{6x}$.
  3. Legg sammen: $\frac{18}{6x} + \frac{3}{6x} + \frac{4}{6x} = \frac{25}{6x}$.

d) $\frac{9a^4 \cdot 2}{3a}$

  1. Multipliser tellere: $9a^4 \cdot 2 = 18a^4$.
  2. Dividere: $\frac{18a^4}{3a} = 6a^3$.

e) $\frac{5x^2}{6y} \cdot \frac{3y^2}{15x}$

  1. Multipliser tellere: $5x^2 \cdot 3y^2 = 15x^2y^2$.
  2. Multipliser nevnere: $6y \cdot 15x = 90xy$.
  3. Forkort: $\frac{15x^2y^2}{90xy} = \frac{x}{6}$.

f) $\frac{5a}{6} \div \frac{15a}{3}$

  1. Snu den andre brøken og multipliser: $\frac{5a}{6} \cdot \frac{3}{15a} = \frac{5a \cdot 3}{6 \cdot 15a} = \frac{15a}{90a} = \frac{

1}{6}$.

g) $x^{12} \div 3x$

  1. Dividere: $x^{12} \div 3x = \frac{x^{12}}{3x} = \frac{x^{11}}{3}$.

Likninger og formler

Oppgave 7: Løs likningene

a) $2x = 18$

  1. Del begge sider med 2: $x = 9$.

b) $\frac{2}{3}x = 10$

  1. Multipliser begge sider med $\frac{3}{2}$: $x = 15$.

c) $3x = \frac{1}{6}$

  1. Del begge sider med 3: $x = \frac{1}{18}$.

d) $\frac{1}{4}x = \frac{3}{2}$

  1. Multipliser begge sider med 4: $x = 6$.

e) $\frac{3}{5} = \frac{3x}{2}$

  1. Multipliser begge sider med $\frac{2}{3}$: $x = \frac{2}{5}$.

f) $2x - 3 = 11$

  1. Legg til 3 på begge sider: $2x = 14$.
  2. Del med 2: $x = 7$.

g) $3a + 4 = a + 12$

  1. Trekk a fra begge sider: $2a + 4 = 12$.
  2. Trekk 4 fra begge sider: $2a = 8$.
  3. Del med 2: $a = 4$.

h) $x - 3 = -3x - 7$

  1. Legg til 3x på begge sider: $4x - 3 = -7$.
  2. Legg til 3 på begge sider: $4x = -4$.
  3. Del med 4: $x = -1$.

i) $11a = 2(5a + 1) - 3a$

  1. Distribuer: $11a = 10a + 2 - 3a$.
  2. Kombiner like termer: $11a = 7a + 2$.
  3. Trekk 7a fra begge sider: $4a = 2$.
  4. Del med 4: $a = \frac{1}{2}$.

j) $2(x - 4) = 3(5 - 2x)$

  1. Distribuer: $2x - 8 = 15 - 6x$.
  2. Legg til 6x på begge sider: $8x - 8 = 15$.
  3. Legg til 8 på begge sider: $8x = 23$.
  4. Del med 8: $x = \frac{23}{8}$.

k) $0.01(x + 45) = 0.003(x - 30)$

  1. Distribuer: $0.01x + 0.45 = 0.003x - 0.09$.
  2. Trekk 0.003x fra begge sider: $0.007x + 0.45 = -0.09$.
  3. Trekk 0.45 fra begge sider: $0.007x = -0.54$.
  4. Del med 0.007: $x = -77.14$.

Oppgave 8: Løs likningene

a) $\frac{5}{6}x + 2 = \frac{1}{3}x - \frac{1}{6}$

  1. Multipliser begge sider med 6 for å fjerne brøkene: $5x + 12 = 2x - 1$.
  2. Trekk 2x fra begge sider: $3x + 12 = -1$.
  3. Trekk 12 fra begge sider: $3x = -13$.
  4. Del med 3: $x = -\frac{13}{3}$.

b) $\frac{3}{x} - 2 = \frac{5}{x}$

  1. Multipliser begge sider med $x$: $3 - 2x = 5$.
  2. Trekk 3 fra begge sider: $-2x = 2$.
  3. Del med -2: $x = -1$.

c) $\frac{x-1}{3} = \frac{2x+1}{4}$

  1. Kryssmultipliser: $4(x - 1) = 3(2x + 1)$.
  2. Distribuer: $4x - 4 = 6x + 3$.
  3. Trekk 4x fra begge sider: $-4 = 2x + 3$.
  4. Trekk 3 fra begge sider: $-7 = 2x$.
  5. Del med 2: $x = -\frac{7}{2}$.

d) $\frac{x-1}{3} + 1 = \frac{2x+1}{4}$

  1. Multipliser begge sider med 12 for å fjerne brøkene: $4(x - 1) + 12 = 3(2x + 1)$.
  2. Distribuer: $4x - 4 + 12 = 6x + 3$.
  3. Kombiner like termer: $4x + 8 = 6x + 3$.
  4. Trekk 4x fra begge sider: $8 = 2x + 3$.
  5. Trekk 3 fra begge sider: $5 = 2x$.
  6. Del med 2: $x = \frac{5}{2}$.

Oppgave 9: Løs med hensyn på de ukjente

a) $G = m \cdot g \quad m=?, \quad g=?$

  1. For $m$: $m = \frac{G}{g}$.
  2. For $g$: $g = \frac{G}{m}$.

b) $F = k \cdot x \quad k=?, \quad x=?$

  1. For $k$: $k = \frac{F}{x}$.
  2. For $x$: $x = \frac{F}{k}$.

c) $Q = s \cdot m \quad m=?, \quad s=?$

  1. For $m$: $m = \frac{Q}{s}$.
  2. For $s$: $s = \frac{Q}{m}$.

d) $C = c \cdot m \quad m=?, \quad c=?$

  1. For $m$: $m = \frac{C}{c}$.
  2. For $c$: $c = \frac{C}{m}$.

e) $W = P \cdot t \quad P=?, \quad t=?$

  1. For $P$: $P = \frac{W}{t}$.
  2. For $t$: $t = \frac{W}{P}$.

f) $v = \frac{s}{t} \quad s=?, \quad t=?$

  1. For $s$: $s = v \cdot t$.
  2. For $t$: $t = \frac{s}{v}$.

g) $\rho = \frac{m}{V} \quad m=?, \quad V=?$

  1. For $m$: $m = \rho \cdot V$.
  2. For $V$: $V = \frac{m}{\rho}$.

h) $R=?, \quad U=?$

  1. For $R$: $R = \frac{U}{I}$.
  2. For $U$: $U = R \cdot I$.

i) $E_p = m \cdot g \cdot h \quad m=?, \quad g=?, \quad h=?$

  1. For $m$: $m = \frac{E_p}{g \cdot h}$.
  2. For $g$: $g = \frac{E_p}{m \cdot h}$.
  3. For $h$: $h = \frac{E_p}{m \cdot g}$.

j) $E_k = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 \quad m=?, \quad v=?$

  1. For $m$: $m = \frac{2E_k}{v^2}$.
  2. For $v$: $v = \sqrt{\frac{2E_k}{m}}$.

k) $E_p = \frac{1}{2} \cdot k \cdot x^2 \quad k=?, \quad x=?$

  1. For $k$: $k = \frac{2E_p}{x^2}$.
  2. For $x$: $x = \sqrt{\frac{2E_p}{k}}$.

l) $W = F \cdot s \cdot \cos \alpha \quad F=?, \quad s=?, \quad \cos \alpha=?$

  1. For $F$: $F = \frac{W}{s \cdot \cos \alpha}$.
  2. For $s$: $s = \frac{W}{F \cdot \cos \alpha}$.
  3. For $\cos \alpha$: $\cos \alpha = \frac{W}{F \cdot s}$.

m)

$\frac{p_1 \cdot V_1}{T_1} = \frac{p_2 \cdot V_2}{T_2} \quad p_1=?, \quad V_1=?, \quad T_1=?, \quad p_2=?, \quad V_2=?, \quad T_2=?$

  1. For $p_1$: $p_1 = \frac{p_2 \cdot V_2 \cdot T_1}{V_1 \cdot T_2}$.
  2. For $V_1$: $V_1 = \frac{p_2 \cdot V_2 \cdot T_1}{p_1 \cdot T_2}$.
  3. For $T_1$: $T_1 = \frac{p_1 \cdot V_1 \cdot T_2}{p_2 \cdot V_2}$.
  4. For $p_2$: $p_2 = \frac{p_1 \cdot V_1 \cdot T_2}{V_2 \cdot T_1}$.
  5. For $V_2$: $V_2 = \frac{p_1 \cdot V_1 \cdot T_2}{p_2 \cdot T_1}$.
  6. For $T_2$: $T_2 = \frac{p_2 \cdot V_2 \cdot T_1}{p_1 \cdot V_1}$.

Oppgave 1 består av flere uttrykk som skal regnes ut. La oss ta for oss noen av disse og forklare hvordan de løses:

a) $3 \cdot 2 + 4$

  • Multiplikasjon først: $3 \cdot 2 = 6$
  • Deretter addisjon: $6 + 4 = 10$

b) $4 + 3 \cdot 2$

  • Multiplikasjon først: $3 \cdot 2 = 6$
  • Deretter addisjon: $4 + 6 = 10$

Legg merke til: Selv om rekkefølgen på tallene er byttet om fra oppgave a), blir svaret det samme. Dette er fordi multiplikasjon har høyere prioritet enn addisjon.

c) $3 \cdot (-2) + 4$

  • Multiplikasjon først: $3 \cdot (-2) = -6$
  • Deretter addisjon: $-6 + 4 = -2$

d) $4 + 3 \cdot (-2)$

  • Multiplikasjon først: $3 \cdot (-2) = -6$
  • Deretter addisjon: $4 + (-6) = -2$

Viktig: Når vi multipliserer et positivt tall med et negativt tall, blir resultatet negativt.

e) $2 \cdot (3/2) + 4$

  • Parenteser først: $3 / 2 = 1.5$
  • Multiplikasjon: $2 \cdot 1.5 = 3$
  • Addisjon: $3 + 4 = 7$

f) $2 \cdot (-3/2) + 4$

  • Parenteser først: $-3 / 2 = -1.5$
  • Multiplikasjon: $2 \cdot (-1.5) = -3$
  • Addisjon: $-3 + 4 = 1$

Innspill: Oppgavene viser viktigheten av å følge regnereglene for å komme frem til riktig svar. Husk at multiplikasjon og divisjon gjøres før addisjon og subtraksjon, med mindre parenteser indikerer noe annet.

g) $(-3) \cdot (-2) - 7$

  • Multiplikasjon først: $(-3) \cdot (-2) = 6$
  • Subtraksjon: $6 - 7 = -1$

h) $(-3) \cdot (-2) / (3 - 7)$

  • Parenteser først: $3 - 7 = -4$
  • Multiplikasjon: $(-3) \cdot (-2) = 6$
  • Divisjon: $6 / (-4) = -1.5$

i) $(2)^3 - 1$

  • Potens først: $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$
  • Subtraksjon: $8 - 1 = 7$

j) $(-2)^3 - 1$

  • Potens først: $(-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8$
  • Subtraksjon: $-8 - 1 = -9$

k) $-2^3 - 1$

  • Potens først: $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$
  • Negativt fortegn: $-8$
  • Subtraksjon: $-8 - 1 = -9$

l) $-(-2)^3 - 1$

  • Parentes og potens: $(-2)^3 = -8$
  • To negative fortegn gir positivt: $-(-8) = 8$
  • Subtraksjon: $8 - 1 = 7$

Innspill: Oppgavene demonstrerer hvordan negative tall, parenteser og potenser påvirker utregningen. Vær spesielt oppmerksom på forskjellen mellom oppgave j) og k), hvor plasseringen av minustegnet endrer resultatet. Husk også at to negative fortegn multiplisert med hverandre gir et positivt fortegn.

Oppgave 2 handler om å forkorte brøker. Dette betyr å finne et tall som både teller og nevner kan deles på, slik at brøken blir enklere, men beholder samme verdi.

For eksempel:

  • a) $\frac{3}{6}$ kan forkortes med 3, siden både 3 og 6 kan deles på 3 uten rest. Resultatet blir $\frac{1}{2}$.

Oppgave 3 fokuserer på regning med brøker. Her er noen viktige regler å huske på:

  • Addisjon og subtraksjon av brøker: Brøkene må ha samme nevner. Hvis ikke, må du finne en fellesnevner.
  • Multiplikasjon av brøker: Teller multipliseres med teller, og nevner multipliseres med nevner.
  • Divisjon av brøker: Snu den andre brøken opp ned og multipliser.

Oppgave 4 fortsetter med regning av brøker og uttrykk med parenteser. Husk å følge regnereglene, og regn ut det som står i parentesene først.

Oppgave 5 dreier seg om å forenkle algebraiske uttrykk. Her er noen tips:

  • Samle like termer: Termer med samme bokstav og eksponent kan legges sammen eller trekkes fra hverandre.
  • Multiplikasjon av parenteser: Hvert ledd inne i parentesen må multipliseres med tallet utenfor.

Oppgave 6 handler også om å forenkle algebraiske uttrykk, men her er det også brøker involvert. Husk reglene for brøkregning når du forenkler.

Oppgave 7 introduserer likninger. Målet er å finne verdien av den ukjente variabelen (ofte representert med bokstaven x) som gjør at likningen stemmer. Du kan løse likninger ved å utføre samme regneoperasjon på begge sider av likhetstegnet, for eksempel å legge til, trekke fra, multiplisere eller dividere med samme tall.

Oppgave 8 fortsetter med likninger, men nå er den ukjente variabelen i nevneren av en brøk. For å løse slike likninger kan du multiplisere begge sider med variabelen for å få den opp i telleren.

Oppgave 9 handler om å løse formler med hensyn på forskjellige variabler. Dette betyr å isolere en bestemt variabel på den ene siden av likhetstegnet.

Oppgave 10 gir deg formler fra fysikk og ber deg løse dem med hensyn på forskjellige variabler. Prinsippene er de samme som i oppgave 9.

Oppgave 11 presenterer flere formler fra fysikk og ingeniørfag. Oppgaven er igjen å løse formlene med hensyn på ulike variabler.

Oppgave 12 fortsetter med formler fra ingeniørfag, og du skal løse dem med hensyn på forskjellige variabler.

Oppgave 13 handler om prefikser som brukes for å uttrykke store eller små tall. For eksempel betyr kilo (k) 1000, og milli (m) betyr 0.001. Oppgaven ber deg fylle ut en tabell med prefikser og deres betydning.

Oppgave 14 gir deg noen regneoppgaver hvor du skal bruke kalkulator og prefikser

for å regne på enklest mulig måte.

Her er en detaljert veiledning for å løse oppgavene fra PDF-filen, formatert for GitHub Wiki:

Tallregning og algebra

Oppgave 1: Regn ut både med og uten kalkulator

a) (3 \cdot 2 + 4)

  1. Multiplikasjon først: (3 \cdot 2 = 6)
  2. Deretter addisjon: (6 + 4 = 10)

b) (4 + 3 \cdot 2)

  1. Multiplikasjon først: (3 \cdot 2 = 6)
  2. Deretter addisjon: (4 + 6 = 10)

c) (3 \cdot (-2) + 4)

  1. Multiplikasjon først: (3 \cdot (-2) = -6)
  2. Deretter addisjon: (-6 + 4 = -2)

d) (4 + 3 \cdot (-2))

  1. Multiplikasjon først: (3 \cdot (-2) = -6)
  2. Deretter addisjon: (4 + (-6) = -2)

e) (2 \cdot 3^2 + 4)

  1. Eksponent først: (3^2 = 9)
  2. Multiplikasjon: (2 \cdot 9 = 18)
  3. Addisjon: (18 + 4 = 22)

f) (2 \cdot (-3)^2 + 4)

  1. Eksponent først: ((-3)^2 = 9)
  2. Multiplikasjon: (2 \cdot 9 = 18)
  3. Addisjon: (18 + 4 = 22)

g) ((-3) \cdot (-2) - 7)

  1. Multiplikasjon først: ((-3) \cdot (-2) = 6)
  2. Subtraksjon: (6 - 7 = -1)

h) ((-3) \cdot (-2)^3 - 7)

  1. Eksponent først: ((-2)^3 = -8)
  2. Multiplikasjon: ((-3) \cdot -8 = 24)
  3. Subtraksjon: (24 - 7 = 17)

i) ((2)^3 - 1)

  1. Eksponent først: (2^3 = 8)
  2. Subtraksjon: (8 - 1 = 7)

j) (((-2)^3 - 1)

  1. Eksponent først: ((-2)^3 = -8)
  2. Subtraksjon: (-8 - 1 = -9)

k) (-2^3 - 1)

  1. Eksponent først: (2^3 = 8)
  2. Multipliser (-2) og (8) for å få (-8).
  3. Trekk fra (1) for å få svaret: (-8 - 1 = -9).

l) (-(-2)^3 - 1)

  1. Beregn ((-2)^3) for å få (-8).
  2. Multipliser (-1) og (-8) for å få (8).
  3. Trekk fra (1) for å få svaret: (8 - 1 = 7).

Oppgave 2: Forkort brøkene både med og uten kalkulator

a) (\frac{3}{6})

  1. Finn felles faktor: 3.
  2. Del både teller og nevner på 3: (\frac{3 \div 3}{6 \div 3} = \frac{1}{2}).

b) (\frac{4}{24})

  1. Finn felles faktor: 4.
  2. Del både teller og nevner på 4: (\frac{4 \div 4}{24 \div 4} = \frac{1}{6}).

c) (\frac{18}{27})

  1. Finn felles faktor: 9.
  2. Del både teller og nevner på 9: (\frac{18 \div 9}{27 \div 9} = \frac{2}{3}).

d) (\frac{45}{165})

  1. Finn felles faktor: 15.
  2. Del både teller og nevner på 15: (\frac{45 \div 15}{165 \div 15} = \frac{3}{11}).

e) (\frac{315}{420})

  1. Finn felles faktor: 105.
  2. Del både teller og nevner på 105: (\frac{315 \div 105}{420 \div 105} = \frac{3}{4}).

Oppgave 3: Regn ut både med og uten kalkulator

a) (\frac{1}{6} + (\frac{2}{3})

  1. Finn fellesnevner: 6.
  2. Skriv om: (\frac{2}{3} = (\frac{4}{6}).
  3. Legg sammen: (\frac{1}{6} + (\frac{4}{6} = (\frac{5}{6}).

b) (\frac{3}{4} - (\frac{3}{8})

  1. Finn fellesnevner: 8.
  2. Skriv om: (\frac{3}{4} = (\frac{6}{8}).
  3. Trekk fra: (\frac{6}{8} - (\frac{3}{8} = (\frac{3}{8}).

c) (3 + (\frac{5}{6})

  1. Skriv om 3: (\frac{18}{6}).
  2. Legg sammen: (\frac{18}{6} + (\frac{5}{6} = (\frac{23}{6}).

d) (\frac{1}{4} + (\frac{2}{3})

  1. Finn fellesnevner: 12.
  2. Skriv om: (\frac{1}{4} = (\frac{3}{12}) og (\frac{2}{3} = (\frac{8}{12}).
  3. Legg sammen: (\frac{3}{12} + (\frac{8}{12} = (\frac{11}{12}).

e) (\frac{5}{6} \cdot (\frac{2}{15})

  1. Multipliser tellere: (5 \cdot 2 = 10).
  2. Multipliser nevnere: (6 \cdot 15 = 90).
  3. Forkort: (\frac{10}{90} = (\frac{1}{9}).

f) (5 \cdot (\frac{2}{3})

  1. Multipliser telleren med 5: (5 \cdot 2 = 10).
  2. Skriv om: (\frac{10}{3}).

g) (\frac{1}{12} \div (\frac{2}{3})

  1. Snu den andre brøken og multipliser: (\frac{1}{12} \cdot (\frac{3}{2} = (\frac{3}{24}).
  2. Forkort: (\frac{3}{24}) til (\frac{1}{8}).

h) (5 \div (\frac{2}{3})

  1. Snu den andre brøken og multipliser: (5 \cdot (\frac{3}{2} = (\frac{15}{2}).

Oppgave 4: Regn ut både med og uten kalkulator

a) (2 \left( (\frac{1}{4} - (\frac{3}{8}\right))

  1. Finn fellesnevner: 8.
  2. Skriv om: (\frac{1}{4} = (\frac{2}{8}).
  3. Trekk fra: (\frac{2}{8} - (\frac{3}{8} = -(\frac{1}{8}).
  4. Multipliser med 2: (2 \cdot -(\frac{1}{8} = -(\frac{2}{8} = -(\frac{1}{4}).

b) (\left( (\frac{3}{4} - (\frac{1}{5}\right) \cdot (\frac{5}{4})

  1. Finn fellesnevner: 20.
  2. Skriv om: (\frac{3}{4} = (\frac{15}{20}) og (\frac{1}{5} = (\frac{4}{20}).
  3. Trekk fra: (\frac{15}{20} - (\frac{4}{20} = (\frac{11

}{20}). 4. Multipliser: (\frac{11}{20} \cdot (\frac{5}{4} = (\frac{55}{80} = (\frac{11}{16}).

Example 1

$-1 \cdot 3 = -3$

Summary

  • Positive times positive is positive.
  • Negative times negative is positive.
  • Positive times negative is negative.

Tallregning og algebra

Oppgave 1: Regn ut både med og uten kalkulator

a) $3 \cdot 2 + 4$

  1. Multiplikasjon først: $3 \cdot 2 = 6$
  2. Deretter addisjon: $6 + 4 = 10$

b) $4 + 3 \cdot 2$

  1. Multiplikasjon først: $3 \cdot 2 = 6$
  2. Deretter addisjon: $4 + 6 = 10$

c) $3 \cdot (-2) + 4$

  1. Multiplikasjon først: $3 \cdot (-2) = -6$
  2. Deretter addisjon: $-6 + 4 = -2$

d) $4 + 3 \cdot (-2)$

  1. Multiplikasjon først: $3 \cdot (-2) = -6$
  2. Deretter addisjon: $4 + (-6) = -2$

e) $2 \cdot 3^2 + 4$

  1. Eksponent først: $3^2 = 9$
  2. Multiplikasjon: $2 \cdot 9 = 18$
  3. Addisjon: $18 + 4 = 22$

f) $2 \cdot (-3)^2 + 4$

  1. Eksponent først: $(-3)^2 = 9$
  2. Multiplikasjon: $2 \cdot 9 = 18$
  3. Addisjon: $18 + 4 = 22$

g) $(-3) \cdot (-2) - 7$

  1. Multiplikasjon først: $(-3) \cdot (-2) = 6$
  2. Subtraksjon: $6 - 7 = -1$

h) $(-3) \cdot (-2)^3 - 7$

  1. Eksponent først: $(-2)^3 = -8$
  2. Multiplikasjon: $(-3) \cdot -8 = 24$
  3. Subtraksjon: $24 - 7 = 17$

i) $(2)^3 - 1$

  1. Eksponent først: $2^3 = 8$
  2. Subtraksjon: $8 - 1 = 7$

j) $(-2)^3 - 1$

  1. Eksponent først: $(-2)^3 = -8$
  2. Subtraksjon: $-8 - 1 = -9$

k) $-2^3 - 1$

  1. Eksponent først: $2^3 = 8$
  2. Negativ: $-8$
  3. Subtraksjon: $-8 - 1 = -9$

l) $-(-2)^3 - 1$

  1. Eksponent først: $(-2)^3 = -8$
  2. Negativ til positiv: $-(-8) = 8$
  3. Subtraksjon: $8 - 1 = 7$

Oppgave 2: Forkort brøkene både med og uten kalkulator

a) $\frac{3}{6}$

  1. Finn felles faktor: 3.
  2. Del både teller og nevner på 3: $\frac{3 \div 3}{6 \div 3} = \frac{1}{2}$.

b) $\frac{4}{24}$

  1. Finn felles faktor: 4.
  2. Del både teller og nevner på 4: $\frac{4 \div 4}{24 \div 4} = $\frac{1}{6}$.

c) $\frac{18}{27}$

  1. Finn felles faktor: 9.
  2. Del både teller og nevner på 9: $\frac{18 \div 9}{27 \div 9} = \frac{2}{3}$.

d) $\frac{45}{165}$

  1. Finn felles faktor: 15.
  2. Del både teller og nevner på 15: $\frac{45 \div 15}{165 \div 15} = $\frac{3}{11}$.

e) $\frac{315}{420}$

  1. Finn felles faktor: 105.
  2. Del både teller og nevner på 105: $\frac{315 \div 105}{420 \div 105} = $\frac{3}{4}$.

Oppgave 3: Regn ut både med og uten kalkulator

a) $\frac{1}{6} + \frac{2}{3}$

  1. Finn fellesnevner: 6.
  2. Skriv om: $\frac{2}{3} = $\frac{4}{6}$.
  3. Legg sammen: $\frac{1}{6} + $\frac{4}{6} = \frac{5}{6}$.

b) $\frac{3}{4} - (\frac{3}{8}$