00TD02A 1P ‐6‐ Algebra_v2 - itnett/FTD02H-N GitHub Wiki

Leksjon 6.1: Figurtall

🧐 Hva er Figurtall?

Figurtall er tall som kan representeres ved hjelp av geometriske figurer. Eksempler inkluderer trekanttall, kvadrattall og pentagontall.

📚 Grunnleggende Konsepter:

  1. Trekanttall:

    • Representeres som en trekant.
    • Formel: $T_n = \frac{n(n + 1)}{2}$, der $n$ er plasseringen i rekken.
    • Eksempel: $T_3 = \frac{3(3 + 1)}{2} = 6$

  2. Kvadrattall:

    • Representeres som et kvadrat.
    • Formel: $Q_n = n^2$
    • Eksempel: $Q_3 = 3^2 = 9$

📝 Øvingsoppgaver:

  • Finn $T_5$ (det 5. trekanttallet).
  • Beregn $Q_4$ (det 4. kvadrattallet).

Utregning av Figurtall på Ulike Måter

1. Lenke til utregning på WolframAlpha

2. Forklaring på hvordan gjøre utregningen i GeoGebra

  • Trekanttall:

    1. Åpne GeoGebra.
    2. Skriv inn formelen for trekanttall i input-feltet: T_n = n * (n + 1) / 2.
    3. Sett verdien av n til 5: T_5 = 5 * (5 + 1) / 2.
    4. GeoGebra vil vise resultatet som 15.

  • Kvadrattall:

    1. Åpne GeoGebra.
    2. Skriv inn formelen for kvadrattall i input-feltet: Q_n = n^2.
    3. Sett verdien av n til 4: Q_4 = 4^2.
    4. GeoGebra vil vise resultatet som 16.

3. Hvordan regne ut på vitenskaplig kalkulator innebygd i Windows

  • Trekanttall:

    1. Åpne Kalkulator-appen i Windows og bytt til vitenskapelig modus.
    2. Skriv inn (5 * (5 + 1)) / 2 og trykk =.
    3. Resultatet vises som 15.

  • Kvadrattall:

    1. Åpne Kalkulator-appen i Windows og bytt til vitenskapelig modus.
    2. Skriv inn 4^2 og trykk =.
    3. Resultatet vises som 16.

4. Hvordan gjøre utregningen på en Casio fx-991CW

  • Trekanttall:

    1. Slå på kalkulatoren og gå til normal kalkulasjonsmodus.
    2. Skriv inn (5 * (5 + 1)) / 2 og trykk =.
    3. Resultatet vises som 15.

  • Kvadrattall:

    1. Slå på kalkulatoren og gå til normal kalkulasjonsmodus.
    2. Skriv inn 4^2 og trykk =.
    3. Resultatet vises som 16.

5. Hvordan regne ut på papir/hode

  • Trekanttall:

    1. Bruk formelen $T_n = \frac{n(n + 1)}{2}$.
    2. For $n = 5$: $T_5 = \frac{5(5 + 1)}{2} = \frac{5 \times 6}{2} = \frac{30}{2} = 15$.

  • Kvadrattall:

    1. Bruk formelen $Q_n = n^2$.
    2. For $n = 4$: $Q_4 = 4^2 = 16$.

Leksjon 6.2: Lage Bokstavuttrykk

🔍 Hva er Bokstavuttrykk?

Bokstavuttrykk er matematiske uttrykk som bruker bokstaver til å representere tall. Disse bokstavene kalles variabler.

📚 Grunnleggende Konsepter:

  1. Variabler:

    • En variabel kan være hvilken som helst bokstav.
    • Eksempel: $x + 3$, der $x$ er variabelen.

  2. Konstanter:

    • Tallene i uttrykket som ikke er variabler.
    • Eksempel: I $x + 3$ er 3 en konstant.

📝 Øvingsoppgaver:

  • Lag et bokstavuttrykk for "fem mer enn et tall".
  • Skriv et uttrykk for "et tall ganger tre".

Leksjon 6.3: Sette Tall inn i Uttrykk

🤔 Hvordan Sette Tall inn i Uttrykk?

Når vi setter tall inn i bokstavuttrykk, erstatter vi variablene med tall og utfører beregningene.

📚 Grunnleggende Konsepter:

  1. Eksempel:

    • Hvis $x = 2$, hva er verdien av $x + 3$?
    • Beregn: $2 + 3 = 5$

  2. Generell Fremgangsmåte:

    • Erstatt hver variabel med det gitte tallet.
    • Utfør de matematiske operasjonene i uttrykket.

📝 Øvingsoppgaver:

  • Hvis $y = 4$, hva er verdien av $2y + 1$?
  • Finn verdien av $3a - 5$ når $a = 7$.

Leksjon 6.4: Trekke Sammen Ledd

🧮 Hvordan Trekke Sammen Ledd?

Når vi trekker sammen ledd, kombinerer vi like ledd for å forenkle uttrykk.

📚 Grunnleggende Konsepter:

  1. Like Ledd:

    • Ledd som har samme variabel med samme eksponent.
    • Eksempel: $3x$ og $5x$ er like ledd, men $3x$ og $3x^2$ er ikke.

  2. Trekke Sammen:

    • Legg til eller trekk fra koeffisientene til de like leddene.
    • Eksempel: $3x + 5x = 8x$

📝 Øvingsoppgaver:

  • Forenkle $4a + 3a$.
  • Hva er $6y - 2y$?

Leksjon 6.5: Løse opp Parenteser

📜 Hvordan Løse opp Parenteser?

Når vi løser opp parenteser, bruker vi distribusjon til å fjerne parentesene og forenkle uttrykket.

📚 Grunnleggende Konsepter:

  1. Distribusjon:

    • Multipliser tallet utenfor parentesene med hvert ledd inne i parentesene.
    • Eksempel: $2(x + 3) = 2 \times x + 2 \times 3 = 2x + 6$

  2. Negative Tall:

    • Hvis det er et negativt tegn foran parentesene, må vi også multiplisere med dette.
    • Eksempel: $-(x - 4) = -x + 4$

📝 Øvingsoppgaver:

  • Løs opp parentesene i $3(a + 2)$.
  • Forenkle $5(2x - 3)$.

Leksjon 6.6: Multiplisere inn i en Parentes

🌟 Hvordan Multiplisere inn i en Parentes?

Multiplikasjon inn i en parentes innebærer å bruke distribusjon for å fordele multiplikasjonen over leddene inni parentesen.

📚 Grunnleggende Konsepter:

  1. Distribusjon:

    • Eksempel: $3(x + 4) = 3 \times x + 3 \times 4 = 3x + 12$

  2. Eksempler med Flere Variabler:

    • Eksempel: $2(a + b) = 2a + 2b$

📝 Øvingsoppgaver:

  • Multipliser inn i parentesen: $4(y + 5)$.
  • Forenkle: $2(m - 3)$.

Leksjon 6.7: Addisjons- og Subtraksjonsmetoden

➕ Hvordan Bruke Addisjons- og Subtraksjonsmetoden?

Denne metoden brukes for å løse likninger med to variabler ved å legge til eller trekke

fra likningene for å eliminere en variabel.

📚 Grunnleggende Konsepter:

  1. Eksempel:

    • Likning 1: $x + y = 10$
    • Likning 2: $x - y = 2$
    • Legg til likningene: $(x + y) + (x - y) = 10 + 2$
    • $2x = 12$
    • $x = 6$

  2. Trinn:

    • Legg til eller trekk fra likningene for å eliminere en variabel.
    • Løs den resulterende likningen.

📝 Øvingsoppgaver:

  • Løs systemet: $2x + y = 7$ og $x - y = 1$.
  • Hva er løsningene for $3a + 2b = 12$ og $a - 2b = 2$?

Leksjon 6.8: Multiplikasjons- og Divisjonsmetoden

✖️ Hvordan Bruke Multiplikasjons- og Divisjonsmetoden?

Denne metoden brukes til å løse likninger ved å multiplisere eller dividere for å få koeffisientene til en av variablene til å bli like.

📚 Grunnleggende Konsepter:

  1. Eksempel:

    • Likning 1: $2x + 3y = 12$
    • Likning 2: $4x - y = 5$
    • Multipliser Likning 2 med 3: $12x - 3y = 15$
    • Legg til Likning 1: $(2x + 3y) + (12x - 3y) = 12 + 15$
    • $14x = 27$
    • $x = \frac{27}{14}$

  2. Trinn:

    • Multipliser eller divider en av likningene slik at koeffisientene til en av variablene blir like.
    • Legg til eller trekk fra likningene for å eliminere en variabel.
    • Løs den resulterende likningen.

📝 Øvingsoppgaver:

  • Løs systemet: $x + 2y = 8$ og $3x - 2y = 4$.
  • Hva er løsningene for $2a + 5b = 20$ og $3a - 5b = 5$?

Leksjon 6.9: Sette Opp og Løse Likninger Selv

📐 Hvordan Sette Opp og Løse Likninger Selv?

Dette innebærer å skrive en likning basert på en tekstbeskrivelse og deretter løse den.

📚 Grunnleggende Konsepter:

  1. Eksempel:

    • Beskrivelse: "Fem ganger et tall minus to er lik 18."
    • Likning: $5x - 2 = 18$
    • Løsning: $5x = 20$, $x = 4$

  2. Trinn:

    • Les problemet nøye og skriv en likning som representerer situasjonen.
    • Løs likningen ved å isolere variabelen.

📝 Øvingsoppgaver:

  • Skriv en likning og løs den: "Summen av tre ganger et tall og syv er 22."
  • Sett opp og løs likningen: "Fjorten mindre enn to ganger et tall er seks."

Leksjon 6.10: Løse Likninger Digitalt

💻 Hvordan Løse Likninger Digitalt?

Bruk digitale verktøy og kalkulatorer for å løse likninger raskt og nøyaktig.

📚 Grunnleggende Konsepter:

  1. Bruk av Kalkulator:

    • Skriv inn likningen i kalkulatoren.
    • Følg instruksjonene for å løse likningen.

  2. Digitale Verktøy:

    • Det finnes mange online verktøy og apper som kan løse likninger.
    • Eksempler: WolframAlpha, Symbolab.

📝 Øvingsoppgaver:

  • Bruk en kalkulator til å løse $3x + 5 = 20$.
  • Finn løsningen for $2x - 4 = 10$ ved å bruke et digitalt verktøy.

Leksjon 6.11: Potenslikninger

🌟 Hvordan Løse Potenslikninger?

Potenslikninger er likninger der variabelen er en eksponent.

📚 Grunnleggende Konsepter:

  1. Eksempel:

    • Likning: $2^x = 16$
    • Skriv 16 som en potens av 2: $2^x = 2^4$
    • Siden basene er like, må eksponentene være like: $x = 4$

  2. Logaritmer:

    • Bruk logaritmer for å løse mer komplekse potenslikninger.
    • Eksempel: $\log_b(a^x) = x \log_b(a)$

📝 Øvingsoppgaver:

  • Løs potenslikningen: $3^x = 27$.
  • Hva er løsningen for $5^x = 125$?

Leksjon 6.12: Ombygging av Formler

🔧 Hvordan Bygge om Formler?

Ombygging av formler innebærer å isolere en bestemt variabel.

📚 Grunnleggende Konsepter:

  1. Eksempel:

    • Formel: $A = \pi r^2$
    • Isoler $r$: $r^2 = \frac{A}{\pi}$, $r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$

  2. Trinn:

    • Utfør de samme operasjonene på begge sider av likningen for å isolere variabelen.
    • Bruk algebraiske regler for å forenkle uttrykket.

📝 Øvingsoppgaver:

  • Isoler $x$ i formelen $y = 3x + 2$.
  • Bygg om formelen $V = lwh$ for å isolere $h$.

Full Forklaring og Fasit

Tabell for Øvingsoppgaver

Oppgave Delvis Utregning Full Utregning Riktig Svar
$2y + 1$ når $y = 4$ $2 \times 4 + 1$ $8 + 1$ $9$
$3a - 5$ når $a = 7$ $3 \times 7 - 5$ $21 - 5$ $16$
$5(x + 2)$ $5 \times x + 5 \times 2$ $5x + 10$ $5x + 10$
$x + y = 10$ og $x - y = 2$ $2x = 12$ $x = 6$ $x = 6$
$2x + 3y = 12$ og $4x - y = 5$ $12x - 3y = 15$ $2x + 12x = 27$ $x = \frac{27}{14}$
$5x - 2 = 18$ $5x = 20$ $x = 4$ $x = 4$

Eksempel Forklaring

  1. Sette Tall inn i Uttrykk:

    • Hvis $y = 4$, hva er verdien av $2y + 1$?
      • Erstatt $y$ med 4: $2 \times 4 + 1 = 8 + 1 = 9$
      • Svar: $9$

  2. Løse Likninger:

    • For likningene $x + y = 10$ og $x - y = 2$:
      • Legg til likningene: $(x + y) + (x - y) = 10 + 2$
      • $2x = 12$
      • Løs for $x$: $x = 6$
      • Svar: $x = 6$

  3. Potenslikninger:

    • For likningen $2^x = 16$:
      • Skriv 16 som en potens av 2: $2^x = 2^4$
      • Siden basene er like, må eksponentene være like: $x = 4$
      • Svar: $4$

Med disse eksemplene og forklaringene, kan du nå øve på algebraiske konsepter og forstå hvordan du kommer frem til riktige svar. Øv gjerne på flere oppgaver for å styrke ferdighetene dine! 📘✨