00TD02A 1.3 Usikkerhet i sammensatte størrelser

For å gjennomføre forsøket med måling av usikkerhet i sammensatte størrelser, som volumet av en fyrstikkeske, kan du bruke både Trinket.io og GeoGebra. Her er en steg-for-steg guide:

I Trinket.io:

Opprett et nytt Python-prosjekt for å utføre beregningene.
Skriv inn koden for å beregne gjennomsnitt, maks-min-metoden, standardavvik, og standardfeil basert på dine målinger. Her er et eksempel på hvordan du kan kode dette:

import numpy as np

# Eksempel på målinger
l_malinger = [5.78, 5.77, 5.79, 5.76, 5.80]  # Lengdemålinger i cm

# Beregninger
gjennomsnitt_l = np.mean(l_malinger)
maks_min_l = (max(l_malinger) - min(l_malinger)) / 2
standardavvik_l = np.std(l_malinger, ddof=1)
standardfeil_l = standardavvik_l / np.sqrt(len(l_malinger))

# Skriv ut resultatene
print(f"Gjennomsnitt: {gjennomsnitt_l:.2f} cm")
print(f"Maks-min-metoden: ±{maks_min_l:.2f} cm")
print(f"Standardavvik: {standardavvik_l:.2f} cm")
print(f"Standardfeil: {standardfeil_l:.2f} cm")

Kjør koden for å se resultatene av beregningene.

I GeoGebra:

Åpne GeoGebra og bruk 'Regneark' for å legge inn dine målinger.
Bruk innebygde funksjoner i GeoGebra for å beregne gjennomsnitt, standardavvik, og standardfeil.
Plot dataene om nødvendig for å visualisere spredningen av målingene.

For å beregne volumet av fyrstikkesken, kan du bruke de gjennomsnittlige målingene av lengde, bredde, og høyde og anvende formelen for volum: $$V = l \cdot b \cdot h$$.

For å finne usikkerheten i volumet, kan du bruke både maks-min-metoden og metoden for relativ usikkerhet som beskrevet i oppgaven. Sammenlign deretter de to metodene for å bestemme hvilken som gir mest nøyaktig resultat.

Husk å runde av resultatene med riktig antall gjeldende siffer og oppgi usikkerheten på en hensiktsmessig måte, enten som absolutt eller relativ usikkerhet. Lykke til med forsøket!

Gjennomsnitt: 5.78 cm Maks-min-metoden: ±0.02 cm Standardavvik: 0.02 cm Standardfeil: 0.01 cm

Utmerket, du har allerede beregnet de nødvendige statistiske verdiene for lengdemålingene dine. La oss nå bruke disse verdiene til å oppgi lengden på fyrstikkesken med usikkerhet og beregne volumet med usikkerhet.

Lengden på fyrstikkesken med usikkerhet: Gitt at gjennomsnittet av lengdemålingene er 5,78 cm og standardfeilen er 0,01 cm, kan vi oppgi lengden på fyrstikkesken som: $$l = 5,78 , \text{cm} \pm 0,01 , \text{cm}$$

Volumet av fyrstikkesken: For å beregne volumet, trenger vi også målingene for bredden (b) og høyden (h) av fyrstikkesken. Anta at vi har gjennomsnittlige målinger for disse også, og at vi har beregnet standardfeilene på samme måte som for lengden. Volumet $( V )$ beregnes ved: $$V = l \cdot b \cdot h$$

Usikkerheten i volumet: For å finne usikkerheten i volumet, kan vi bruke standardfeilen for hver av dimensjonene. Hvis vi antar at standardfeilene for bredden og høyden er henholdsvis $( \Delta b )$ og $( \Delta h )$, kan usikkerheten i volumet $( \Delta V )$ beregnes ved: $$\Delta V = V \left( \frac{\Delta l}{l} + \frac{\Delta b}{b} + \frac{\Delta h}{h} \right)$$

Dette vil gi oss den relative usikkerheten i volumet, som vi deretter kan bruke til å finne den absolutte usikkerheten.

Oppgi volumet med usikkerhet: Når du har beregnet volumet og usikkerheten, kan du oppgi volumet av fyrstikkesken som: $$V = \text{Volumverdi} , \text{cm}^3 \pm \text{Usikkerhetsverdi} , \text{cm}^3$$

Husk å bruke riktig antall signifikante siffer basert på usikkerheten i målingene dine. Hvis du trenger hjelp med å utføre disse beregningene eller har spesifikke verdier for bredden og høyden, gi meg beskjed, så kan jeg hjelpe deg med beregningene. Lykke til!

Selvfølgelig, jeg kan hjelpe deg med å beregne volumet av en fyrstikkeske. For å gjøre dette, trenger vi målingene av lengden (l), bredden (b), og høyden (h) av fyrstikkesken. Du har allerede gitt gjennomsnittet og usikkerheten for lengden (l). La oss anta at vi også har tilsvarende målinger og usikkerheter for bredden og høyden:

Lengde (l): 5,78 cm ± 0,01 cm
Bredde (b): 3,50 cm ± 0,01 cm (antatt verdi)
Høyde (h): 1,50 cm ± 0,01 cm (antatt verdi)

Volumet $( V )$ av fyrstikkesken beregnes ved formelen: $$V = l \cdot b \cdot h$$

Med de antatte verdiene blir volumet: $$V = 5,78 , \text{cm} \cdot 3,50 , \text{cm} \cdot 1,50 , \text{cm} = 30,285 , \text{cm}^3$$

For å beregne usikkerheten i volumet $(( \Delta V ))$, bruker vi standardfeilene for hver dimensjon og legger sammen de relative usikkerhetene: $$\Delta V = V \left( \frac{\Delta l}{l} + \frac{\Delta b}{b} + \frac{\Delta h}{h} \right)$$

Dette gir oss: $$\Delta V = 30,285 , \text{cm}^3 \left( \frac{0,01 , \text{cm}}{5,78 , \text{cm}} + \frac{0,01 , \text{cm}}{3,50 , \text{cm}} + \frac{0,01 , \text{cm}}{1,50 , \text{cm}} \right)$$

Beregningen gir oss: $$\Delta V = 30,285 , \text{cm}^3 \times 0,0059 = 0,17868 , \text{cm}^3$$

Vi runder av usikkerheten til ett signifikant siffer: $$\Delta V \approx 0,2 , \text{cm}^3$$

Dermed kan vi oppgi volumet av fyrstikkesken med usikkerhet som: $$V = 30,3 , \text{cm}^3 \pm 0,2 , \text{cm}^3$$

Hvis du har de faktiske målingene for bredden og høyden, kan du erstatte de antatte verdiene med dine egne målinger for å få et mer nøyaktig resultat. Lykke til!

Det ser ut som du jobber med et eksperiment som involverer måling av usikkerhet i sammensatte størrelser, og du ønsker hjelp med å forstå beregningene og forklaringene i skriptet og output. La oss gå gjennom de viktigste konseptene og formelene som er nevnt i teksten du har gitt.

Usikkerhet i gjentatte størrelser: Når du gjentar en måling flere ganger, vil du ofte få litt forskjellige verdier. For å oppgi en måling med usikkerhet bruker du gjennomsnittet av målingene, $(\bar{x})$, og et spredningsmål, $(\Delta x)$.

Maks-min-metoden: Denne metoden beregner spredningen ved å ta differansen mellom den største og minste verdien og dele på 2: $$\Delta x = \frac{x_{max} - x_{min}}{2}$$ Denne metoden er passende for 5-10 målinger.

Standardavvik ((s)): Standardavviket er et spredningsmål som angir sannsynligheten for at en ny måling vil ligge innenfor en viss avstand fra gjennomsnittet. Formelen for standardavvik når du har $(n)$ målinger er: $$s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}$$ I Excel kan du bruke funksjonen STDAV.S for å beregne dette.

Standardfeil ((\Delta x)): Standardfeilen, som beregnes ved $$(\Delta x = \frac{s}{\sqrt{n}})$$, angir sannsynligheten for at en ny måleserie vil gi et gjennomsnitt innenfor en standardfeil fra det gjeldende gjennomsnittet.

Beskrivelse av en gjentatt måling med usikkerhet: Når du har beregnet gjennomsnittet og funnet et spredningsmål, oppgir du resultatet med riktig antall gjeldende siffer. For eksempel, hvis gjennomsnittet er 5,7824 cm og spredningen er 0,1235 cm, oppgir du målingen som $(x = 5,7 \pm 0,1)$ cm.

Volumet av en fyrstikkeske: For å finne volumet med usikkerhet, bruker du middelverdiene av lengden $((l))$, bredden $((b))$, og høyden $((h))$ av fyrstikkesken: $$V = l \cdot b \cdot h$$ Bruk maks-min-metoden eller beregn relativ usikkerhet for å finne usikkerheten i volumet.

Relativ usikkerhet: Når du ganger sammen størrelser med usikkerheter, legger du sammen de relative usikkerhetene. For eksempel, hvis volumet er 35,5 cm³ med en relativ usikkerhet på 9 %, blir den absolutte usikkerheten 3,2 cm³, og du oppgir volumet som $$(V = 36 \pm 3) cm³$$.

For å utføre disse beregningene, kan du bruke et regneark som Excel, som vil automatisere mange av disse prosessene for deg. Husk å legge inn dine målinger nøye og bruke riktig formel for å beregne gjennomsnitt, standardavvik, og standardfeil. Når du rapporterer dine resultater, sørg for å runde av til riktig antall gjeldende siffer og inkluder usikkerheten på en hensiktsmessig måte.

00TD02A 1.3 Usikkerhet i sammensatte størrelser - itnett/FTD02H-N GitHub Wiki