00TD02A 1.1 Matematisk modellering - itnett/FTD02H-N GitHub Wiki

00TD02A 1.1 Matematisk modellering (Ergo Fysikk Forkurs)

For å hjelpe deg med å bruke Trinket.io for å løse oppgaven om den matematiske modelleringen av en planpendel, kan vi starte med å definere pendelens bevegelsesligning og deretter bruke Python for å simulere pendelens svingninger. Her er et eksempel på hvordan du kan gjøre dette:

  1. Definer pendelens bevegelsesligning: En planpendel kan beskrives med følgende ligning for små svingninger: $$\theta(t) = \theta_0 \cos(\sqrt{\frac{g}{l}} t)$$ hvor:

    • $( \theta(t) )$ er vinkelutslaget som funksjon av tid $( t )$
    • $( \theta_0 )$ er det maksimale vinkelutslaget $(amplituden)$
    • $( g )$ er tyngdeakselerasjonen $(( 9.81 , m/s^2 ))$
    • $( l )$ er lengden av snoren

  2. Implementer koden i Python: Du kan bruke VPython i Trinket for å visualisere pendelens bevegelse. Her er et grunnleggende eksempel på Python-kode som du kan tilpasse og kjøre i Trinket.io:

from vpython import *

# Definer konstanter
g = 9.81  # Tyngdeakselerasjonen i m/s^2
l = 1.0   # Lengden av pendelen i meter
theta_0 = 0.2  # Maksimalt vinkelutslag i radianer

# Opprett en pendel
pendel = simple_sphere(pos=vector(l*sin(theta_0), -l*cos(theta_0), 0), radius=0.05)

# Tidsvariabler
t = 0
dt = 0.01

# Animasjonsløkke
while True:
    rate(100)  # Oppdateringshastighet
    theta = theta_0 * cos(sqrt(g/l) * t)
    pendel.pos = vector(l*sin(theta), -l*cos(theta), 0)
    t += dt

  1. Utfør eksperimentene: Når du har implementert koden, kan du utføre eksperimentene ved å endre variablene ( m ), ( l ), og ( A ) for å se hvordan de påvirker svingetiden ( T ). Husk at massen ( m ) ikke påvirker svingetiden for en ideell planpendel.

  2. Analyser resultatene: Bruk grafisk fremstilling og regresjonsanalyse i Trinket for å undersøke sammenhengen mellom svingetiden og de ulike variablene. Dette vil hjelpe deg med å bekrefte eller avkrefte dine hypoteser.

Ved å følge disse trinnene, kan du bruke Trinket.io til å modellere og analysere pendelens bevegelse og få en dypere forståelse av de fysiske prinsippene som styrer den. Lykke til med eksperimentet!

Kilde: Samtale med Copilot, 10.6.2024 (1) 3D modeling of a swinging pendulum using VPython Trinket. https://medium.com/@dkoulialias/3d-modeling-of-a-swinging-pendulum-using-vpython-trinket-03cabe624bc6. (2) Your Python Trinket. https://trinket.io/python. (3) Trinket. https://trinket.io/.

Det ser ut til at du har støtt på en feil fordi vpython-modulen ikke er installert i ditt Python-miljø. Trinket.io støtter ikke vpython, så du må bruke et annet bibliotek for visualisering eller simulering av pendelen.

For å løse oppgaven din på Trinket.io, kan vi bruke standard Python-kode med Turtle-grafikk, som er støttet av Trinket for å visualisere pendelens bevegelse. Her er et eksempel på hvordan du kan gjøre dette:

import turtle
import math

# Definer konstanter
g = 9.81  # Tyngdeakselerasjonen i m/s^2
l = 1.0   # Lengden av pendelen i meter
theta_0 = 0.2  # Maksimalt vinkelutslag i radianer

# Opprett skjerm og pendel
skjerm = turtle.Screen()
pendel = turtle.Turtle()

# Funksjon for å oppdatere pendelens posisjon
def oppdater_pendel(t):
    theta = theta_0 * math.cos(math.sqrt(g/l) * t)
    x = l * math.sin(theta)
    y = -l * math.cos(theta)
    pendel.goto(x, y)

# Initialiser pendelen
pendel.penup()
oppdater_pendel(0)
pendel.pendown()

# Tidsvariabler
t = 0
dt = 0.01

# Animasjonsløkke
while True:
    oppdater_pendel(t)
    t += dt

# Lukk vinduet når du er ferdig
skjerm.mainloop()

Denne koden vil opprette en enkel animasjon av en pendel ved hjelp av Turtle-grafikk. Du kan justere variablene $g$, $l$, og $theta_0$ for å se hvordan de påvirker pendelens bevegelse. For å utføre eksperimentene dine, kan du legge til kode for å måle svingetiden og plotte resultatene.

Husk at Turtle-grafikk kan være treg, så for mer nøyaktige og effektive simuleringer kan det være lurt å bruke et annet programmeringsmiljø som støtter vpython eller lignende biblioteker. Lykke til med forsøket ditt!

Feilmeldingen du ser indikerer at Python prøver å åpne et grafisk vindu, men miljøet der koden kjører har ikke tilgang til en skjerm. Dette er typisk for serverbaserte miljøer som Trinket.io, som ikke støtter grafiske biblioteker som krever en skjerm, slik som turtle med standardinnstillinger.

For å løse matematiske modelleringsoppgaver på Trinket.io, kan vi bruke kode som ikke krever grafisk visning. I stedet kan vi fokusere på beregninger og logikk for å modellere pendelens svingetid. Her er et eksempel på hvordan du kan implementere dette i Python uten grafisk visning:

import math

# Definer konstanter
g = 9.81  # Tyngdeakselerasjonen i m/s^2
l = 1.0   # Lengden av pendelen i meter

# Funksjon for å beregne svingetiden T
def beregn_svingetid(l):
    T = 2 * math.pi * math.sqrt(l / g)
    return T

# Test funksjonen med forskjellige lengder
lengder = [0.5, 1.0, 1.5]  # Eksempellengder i meter
for l in lengder:
    T = beregn_svingetid(l)
    print(f"Lengde: {l} m, Svingetid: {T:.2f} s")

# Legg til kode her for å samle inn data, utføre regresjonsanalyse, etc.

Denne koden definerer en funksjon beregn_svingetid som tar lengden av pendelen som input og returnerer svingetiden basert på formelen for en enkel pendel. Du kan legge til flere funksjoner for å samle inn data, utføre regresjonsanalyse, og teste hypotesene dine.

Hvis du ønsker å visualisere data eller resultater, kan du vurdere å bruke plottebiblioteker som matplotlib, som noen ganger kan fungere i nettbaserte miljøer, eller eksportere dataene til et program som støtter plotting. Husk at Trinket.io har noen begrensninger, så hvis du trenger avanserte visualiseringer, kan det være nødvendig å bruke et annet miljø som støtter vpython eller lignende biblioteker. Lykke til med forsøket ditt!



 Ingen fil valgt Powered by Lengde: 0.5 m, Svingetid: 1.42 s Lengde: 1.0 m, Svingetid: 2.01 s Lengde: 1.5 m, Svingetid: 2.46 s

Flott, det ser ut som du har samlet inn data for svingetiden til en pendel med forskjellige lengder. Basert på de innsamlede dataene, kan vi nå utføre en analyse for å se om det er en lineær sammenheng mellom kvadratet av svingetiden $( T^2 )$ og lengden $( l )$, som forutsagt av den teoretiske modellen $( T^2 = (4\pi^2/g) \cdot l )$.

For å gjøre dette, kan vi først beregne $( T^2 )$ for hver av de målte svingetidene, og deretter plotte disse mot pendellengdene for å se om de danner en rett linje som går gjennom origo. Her er hvordan du kan gjøre dette i Python:

import matplotlib.pyplot as plt

# Innsamlede data
lengder = [0.5, 1.0, 1.5]  # Lengder i meter
svingetider = [1.42, 2.01, 2.46]  # Svingetider i sekunder

# Beregn T^2 for hver svingetid
T_kvadrat = [T**2 for T in svingetider]

# Plot T^2 mot l
plt.plot(lengder, T_kvadrat, 'o', label='Eksperimentelle data')

# Tilpass en rett linje gjennom origo
koeffisienter = np.polyfit(lengder, T_kvadrat, 1)
linje = np.poly1d(koeffisienter)
plt.plot(lengder, linje(lengder), label=f'Lineær tilpasning: y = {koeffisienter[0]:.2f}x + {koeffisienter[1]:.2f}')

# Konfigurer plottet
plt.xlabel('Lengde (m)')
plt.ylabel('T^2 (s^2)')
plt.legend()
plt.title('Sammenhengen mellom T^2 og l')
plt.grid(True)

# Vis plottet
plt.show()

Dette vil gi deg et visuelt bilde av sammenhengen mellom $( T^2 )$ og $( l )$, og du kan bruke linjetilpasningen til å vurdere om dataene støtter den teoretiske modellen. Hvis linjen ikke går gjennom origo, kan det tyde på en systematisk feil i målingene eller at andre faktorer påvirker svingetiden.

Husk at du må ha matplotlib biblioteket installert for å kjøre denne koden. Hvis du bruker Trinket.io, kan det hende du må eksportere dataene til et annet miljø som støtter plotting, siden Trinket.io har begrensninger på grafisk visning.

Håper dette hjelper deg med å analysere dataene dine! Lykke til videre med forsøket.

Selvfølgelig, jeg kan hjelpe deg med å forstå konseptene og hvordan du kan gjøre dette i GeoGebra.

Konseptene: En planpendel er et enkelt fysisk system der et lodd av masse $( m )$ er festet til enden av en snor og kan svinge fritt i et vertikalt plan. Svingetiden $( T )$ er tiden det tar for pendelen å svinge fra ett ytterpunkt til det andre og tilbake igjen.

Svingetiden $( T )$ avhenger av:

  1. Lengden på snoren $( l )$
  2. Tyngdens akselerasjon $( g )$, som er konstant på et gitt sted
  3. Amplituden $( A )$, men kun for små amplituder (vinkler mindre enn ca. 15 grader)

Matematisk modellering: For små svingninger er svingetiden $( T )$ uavhengig av massen $( m )$ og amplituden $( A )$, og er gitt ved formelen: $$[ T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} ]$$ Her er $( g )$ tyngdens akselerasjon $(ca. ( 9.81 m/s^2 )$ på jordens overflate), og $( l )$ er lengden av snoren.

I GeoGebra:

  1. Åpne GeoGebra og velg 'Spreadsheet' og 'Graphics' visning.
  2. Skriv inn de målte verdiene for $( l )$ i en kolonne i regnearket.
  3. Skriv inn de tilsvarende verdiene for $( T^2 )$ i neste kolonne.
  4. Bruk 'Regression Analysis' verktøyet for å finne en lineær sammenheng mellom $( l )$ og $( T^2 )$.
  5. Hvis hypotesen stemmer, bør grafen av $( T^2 )$ mot $( l )$ være en rett linje som går gjennom origo.

Linearisering av måledata: For å teste hypotesen $( T = a\sqrt{l} )$, kan du plotte $( T^2 )$ mot $( l )$ og se etter en lineær sammenheng. Hvis du finner at $( T^2 )$ er proporsjonal med $( l )$, støtter det hypotesen.

Vurdering av måledata: Det er viktig å vurdere om funksjonen du finner er meningsfull og om den passer med de fysiske lovene. Hvis linjen ikke går gjennom origo, kan det tyde på systematiske feil i målingene eller i måten lengden på pendelen ble målt.

Hvis du trenger mer detaljert veiledning trinn for trinn i GeoGebra, gi meg beskjed, så kan jeg gi deg en detaljert prosedyre. Lykke til med forsøket!

For å lage tabellene som beskrevet i oppgaven din og forklare prosessene, kan vi følge disse trinnene i GeoGebra:

  1. Åpne GeoGebra: Start med å åpne GeoGebra og velg 'Regneark' og 'Grafikk' visning.

  2. Opprette tabeller: I regnearket, skriv inn de målte verdiene for pendellengden $( l )$ i den første kolonnen. I den andre kolonnen, skriv inn de tilsvarende verdiene for kvadratet av svingetiden $( T^2 )$.

  3. Utføre regresjonsanalyse: Bruk 'Regresjonsanalyse' verktøyet i GeoGebra for å finne en lineær sammenheng mellom pendellengden $( l )$ og $( T^2 )$. Hvis hypotesen din er korrekt, bør grafen av $( T^2 )$ mot $( l )$ være en rett linje som går gjennom origo $(0,0)$.

  4. Linearisering av måledata: For å teste hypotesen $( T = a\sqrt{l} )$, plotter du $( T^2 )$ mot $( l )$ og ser etter en lineær sammenheng. Hvis du finner at $( T^2 )$ er proporsjonal med $( l )$, støtter det hypotesen.

  5. Vurdering av måledata: Vurder om funksjonen du finner er meningsfull og om den passer med de fysiske lovene. Hvis linjen ikke går gjennom origo, kan det tyde på systematiske feil i målingene eller i måten lengden på pendelen ble målt.

Her er et eksempel på hvordan du kan sette opp tabellen i GeoGebra:

| Lengde (l) | Svingetid (T) | T^2       |
|------------|---------------|-----------|
| 0.5        | 1.42          | 2.0164    |
| 1.0        | 2.01          | 4.0401    |
| 1.5        | 2.46          | 6.0516    |

Og så kan du bruke 'Regresjonsanalyse' verktøyet for å plotte disse dataene og finne den beste tilpassede linjen.

Husk at GeoGebra er et kraftig verktøy som kan hjelpe deg med å visualisere og analysere dataene dine. Ved å følge disse trinnene, kan du utforske de matematiske sammenhengene i ditt fysiske eksperiment. Lykke til!

Kilde: Samtale med Copilot, 10.6.2024 (1) simple pendulum – GeoGebra. https://www.geogebra.org/m/HrnNWHte. (2) Pendulum Lab – GeoGebra. https://www.geogebra.org/m/gxeDgRdS. (3) undefined. http://www.esperimentifisica.cloud/phisics_laboratory/pendulum/pendulum.html. (4) undefined. https://phet.colorado.edu.