00TD02A‐Wolfram_NO_Ultimate_v1 - itnett/FTD02H-N GitHub Wiki

La oss bruke informasjonen fra Wolfram Alpha for å lage en grundig og lettforståelig forklaring på norsk, optimalisert for visning på GitHub.

Aritmetiske Regler

Addisjon (Pluss)

Addisjon er når vi legger sammen to tall for å få et større tall. La oss se på eksempelet 2 + 3.

Input: 2 + 3
Resultat: 5

Forklaring:

Når vi legger sammen 2 og 3, starter vi på 2 og teller tre skritt fremover. Vi lander da på 5.

Nummerlinje:

0 -- 1 -- 2 -- 3 -- 4 -- 5
                  ↑      ↑
                 start   slutt

Addisjon

Steg-for-steg-løsning:
  1. Start på tallet 2 på nummerlinjen.
  2. Legg til 3 ved å ta tre skritt fremover:
    • 2 + 1 = 3
    • 3 + 1 = 4
    • 4 + 1 = 5
  3. Sluttresultatet er 5.

Illustrasjon:

  • 2 + 3 visualisert med telleobjekter:
    • 🟩🟩 (2)
    • 🟩🟩🟩 (3)
    • =
    • 🟩🟩🟩🟩🟩 (5)
Typiske beregningstider for mennesker:
  • Alder 6: 4.2 sekunder
  • Alder 8: 2.2 sekunder
  • Alder 10: 1.3 sekunder
  • Alder 18: 0.85 sekunder

Ekstra oppgaver:

  • Sum av 2k k^3 fra k=1 til n
  • 2/3 : 3/2

Relaterte lenker:

Subtraksjon (Minus)

Subtraksjon er når vi trekker et tall fra et annet tall. La oss se på eksempelet 5 - 2.

Input: 5 - 2
Resultat: 3

Forklaring:

Når vi trekker 2 fra 5, starter vi på 5 og teller to skritt bakover. Vi lander da på 3.

Nummerlinje:

0 -- 1 -- 2 -- 3 -- 4 -- 5
      ↑           ↑      
     slutt       start

Subtraksjon

Steg-for-steg-løsning:
  1. Start på tallet 5 på nummerlinjen.
  2. Trekk fra 2 ved å ta to skritt bakover:
    • 5 - 1 = 4
    • 4 - 1 = 3
  3. Sluttresultatet er 3.

Illustrasjon:

  • 5 - 2 visualisert med telleobjekter:
    • 🟩🟩🟩🟩🟩 (5)
    • 🟩🟩 (2)
    • =
    • 🟩🟩🟩 (3)
Typiske beregningstider for mennesker:
  • Alder 6: 4.2 sekunder
  • Alder 8: 2.2 sekunder
  • Alder 10: 1.3 sekunder
  • Alder 18: 0.85 sekunder

Relaterte lenker:

Multiplikasjon (Ganging)

Multiplikasjon er når vi ganger et tall med et annet tall. La oss se på eksempelet 4 ganger 3.

Input: 4 * 3
Resultat: 12

Forklaring:

Når vi ganger 4 med 3, legger vi til 4 tre ganger.

Illustrasjon:

  • 4 * 3 visualisert som gjentatt addisjon:
    • 4 + 4 + 4 = 12
Steg-for-steg-løsning:
  1. Start med 4.
  2. Legg til 4 tre ganger:
    • 4 + 4 = 8
    • 8 + 4 = 12
  3. Sluttresultatet er 12.

Illustrasjon:

  • 🟩🟩🟩🟩 (4)
    • ganger 3
    • 🟩🟩🟩🟩🟩🟩🟩🟩🟩🟩🟩🟩 (12)
Typiske beregningstider for mennesker:
  • Alder 6: 4.2 sekunder
  • Alder 8: 2.2 sekunder
  • Alder 10: 1.3 sekunder
  • Alder 18: 0.85 sekunder

Relaterte lenker:

Divisjon (Deling)

Divisjon er når vi deler et tall med et annet tall. La oss se på eksempelet 12 delt på 4.

Input: 12 / 4
Resultat: 3

Forklaring:

Når vi deler 12 med 4, ser vi hvor mange ganger 4 går inn i 12.

Illustrasjon:

  • 12 / 4 visualisert som grupper:
    • 🟩🟩🟩🟩 + 🟩🟩🟩🟩 + 🟩🟩🟩🟩 (12 delt i tre grupper)
Steg-for-steg-løsning:
  1. Start med 12.
  2. Del 12 inn i grupper på 4:
    • 12 / 4 = 3
  3. Sluttresultatet er 3.

Illustrasjon:

  • 🟩🟩🟩🟩🟩🟩🟩🟩🟩🟩🟩🟩 (12)
    • delt på 4
    • 🟩🟩🟩 (3)
Typiske beregningstider for mennesker:
  • Alder 6: 4.2 sekunder
  • Alder 8: 2.2 sekunder
  • Alder 10: 1.3 sekunder
  • Alder 18: 0.85 sekunder

Relaterte lenker:

Brøk og Prosentregning

Forenkling av Brøker

Forenkling av brøker handler om å gjøre brøken så enkel som mulig ved å dele både teller (det øverste tallet) og nevner (det nederste tallet) med deres største felles faktor. La oss se på eksempelet 4/8.

Input: 4/8
Resultat: 1/2

Forklaring:

Når vi forenkler 4/8, finner vi den største felles faktoren (GCF) for 4 og 8, som er 4. Deretter deler vi både teller og nevner med denne faktoren.

Steg-for-steg-løsning:
  1. Identifiser GCF for 4 og 8, som er 4.
  2. Del både teller og nevner med 4:
    • 4 ÷ 4 = 1
    • 8 ÷ 4 = 2
  3. Brøken 4/8 forenkles dermed til 1/2.

Desimalform: 0.5
Prosentform: 50%

Illustrasjoner:

Nummerlinje:

0.35 -- 0.40 -- 0.45 -- 0.50 -- 0.55 -- 0.60 -- 0.65
                      ↑
                    0.5

Kakediagram: En visuell representasjon av brøken 4/8 (eller 1/2) som en sirkel delt i 8 deler, hvor 4 deler er fylt.

Kakediagram

Tape Diagram: En rektangulær illustrasjon som viser 4 av 8 like deler fylt.

1/8 | 1/8 | 1/8 | 1/8 | 1/8 | 1/8 | 1/8 | 1/8
  1    1    1    1

Kontinuerlig Brøkform:

[0; 2]

Flere Eksempler på Brøkforenkling

Eksempel 1: Forenkle 6/9

  1. GCF for 6 og 9 er 3.
  2. Del både teller og nevner med 3:
    • 6 ÷ 3 = 2
    • 9 ÷ 3 = 3
  3. 6/9 forenkles til 2/3.

Desimalform: 0.6667
Prosentform: 66.67%

Relaterte lenker:

Eksempel 2: Forenkle 10/20

  1. GCF for 10 og 20 er 10.
  2. Del både teller og nevner med 10:
    • 10 ÷ 10 = 1
    • 20 ÷ 10 = 2
  3. 10/20 forenkles til 1/2.

Desimalform: 0.5
Prosentform: 50%

Relaterte lenker:

Konvertering mellom Brøk og Prosent

Prosenter er en annen måte å uttrykke deler av en helhet på, hvor helheten er delt i 100 deler.

Konvertering Eksempel: 1/2 til Prosent
  1. Multipliser brøken med 100 for å finne prosentandelen:
    • (1/2) * 100 = 50%
  2. Brøken 1/2 tilsvarer 50%.

Relaterte lenker:

Potenser

Potenser er en måte å representere multiplikasjon av et tall med seg selv flere ganger. La oss se på eksempelet 2 opphøyd i 3 (2^3).

Input: 2^3
Resultat: 8

Forklaring:

Når vi opphøyer 2 i 3, ganger vi 2 med seg selv tre ganger.

Steg-for-steg-løsning:
  1. Start med 2.
  2. Gange 2 med seg selv én gang:
    • 2 * 2 = 4
  3. Gange resultatet med 2 én gang til:
    • 4 * 2 = 8
  4. Sluttresultatet er 8.

Nummerlinje:

6 -- 7 -- 8 -- 9 -- 10
           ↑
          8

Nummerlinje

Navn på nummer: åtte (eight)

Flere Eksempler på Potenser

Eksempel 1: 3^2 (3 opphøyd i 2)

  1. Start med 3.
  2. Gange 3 med seg selv én gang:
    • 3 * 3 = 9
  3. Sluttresultatet er 9.

Relaterte lenker:

Eksempel 2: 5^4 (5 opphøyd i 4)

  1. Start med 5.
  2. Gange 5 med seg selv tre ganger:
    • 5 * 5 = 25
    • 25 * 5 = 125
    • 125 * 5 = 625
  3. Sluttresultatet er 625.

Relaterte lenker:

Konvertering mellom Brøk og Prosent

Prosenter er en annen måte å uttrykke deler av en helhet på, hvor helheten er delt i 100 deler.

Konvertering Eksempel: 1/2 til Prosent
  1. Multipliser brøken med 100 for å finne prosentandelen:
    • (1/2) * 100 = 50%
  2. Brøken 1/2 tilsvarer 50%.

Relaterte lenker:

Multiplikasjon (Ganging)

Multiplikasjon er når vi ganger et tall med et annet tall. La oss se på eksempelet 4 ganger 3 (4 * 3).

Input: 4 * 3
Resultat: 12

Forklaring:

Når vi ganger 4 med 3, legger vi til 4 tre ganger.

Steg-for-steg-løsning:
  1. Start med 4.
  2. Gange 4 med seg selv én gang:
    • 4 * 1 = 4
  3. Gange resultatet med 4 én gang til:
    • 4 * 2 = 8
  4. Gange resultatet med 4 én gang til:
    • 4 * 3 = 12
  5. Sluttresultatet er 12.

Nummerlinje:

9 -- 10 -- 11 -- 12 -- 13 -- 14 -- 15
                ↑
               12

Nummerlinje

Navn på nummer: tolv (twelve)

Illustrasjon: Multiplikasjonen 4 * 3 kan visualiseres som et rektangel delt i ruter, der hver rute representerer et multiplikasjonssteg.

4 rader
███ 3 kolonner
███
███
███
Relaterte lenker:

Flere Eksempler på Multiplikasjon

Eksempel 1: 5 * 2 (5 ganger 2)

  1. Start med 5.
  2. Gange 5 med 2:
    • 5 * 2 = 10
  3. Sluttresultatet er 10.

Relaterte lenker:

Eksempel 2: 7 * 6 (7 ganger 6)

  1. Start med 7.
  2. Gange 7 med 6:
    • 7 * 6 = 42
  3. Sluttresultatet er 42.

Relaterte lenker:

Divisjon (Deling)

Divisjon er når vi deler et tall med et annet tall. La oss se på eksempelet 12 delt på 4 (12 / 4).

Input: 12 / 4
Resultat: 3

Forklaring:

Når vi deler 12 med 4, ser vi hvor mange ganger 4 går inn i 12.

Steg-for-steg-løsning:
  1. Start med 12.
  2. Del 12 inn i grupper på 4:
    • 12 / 4 = 3
  3. Sluttresultatet er 3.

Nummerlinje:

2.5 -- 3.0 -- 3.5
        ↑
        3

Nummerlinje

Kvotient og Rest: Formelen viser at 12 delt på 4 gir en kvotient på 3 og en rest på 0.

12 = 3 × 4 + 0

Illustrasjon: Divisjonen 12 / 4 kan visualiseres som et rektangel delt i ruter, der hver rute representerer en enhet.

12 delt på 4:
███ 4 kolonner
███
███
███

Navn på nummer: tre (three)

Relaterte lenker:

Flere Eksempler på Divisjon

Eksempel 1: 15 / 5 (15 delt på 5)

  1. Start med 15.
  2. Del 15 inn i grupper på 5:
    • 15 / 5 = 3
  3. Sluttresultatet er 3.

Relaterte lenker:

Eksempel 2: 20 / 4 (20 delt på 4)

  1. Start med 20.
  2. Del 20 inn i grupper på 4:
    • 20 / 4 = 5
  3. Sluttresultatet er 5.

Relaterte lenker:

Brøk og Prosentregning

Forenkling av Brøker

Forenkling av brøker handler om å gjøre brøken så enkel som mulig ved å dele både teller (det øverste tallet) og nevner (det nederste tallet) med deres største felles faktor. La oss se på eksempelet 4/8.

Input: 4/8
Resultat: 1/2

Forklaring:

Når vi forenkler 4/8, finner vi den største felles faktoren (GCF) for 4 og 8, som er 4. Deretter deler vi både teller og nevner med denne faktoren.

Steg-for-steg-løsning:
  1. Identifiser GCF for 4 og 8, som er 4.
  2. Del både teller og nevner med 4:
    • 4 ÷ 4 = 1
    • 8 ÷ 4 = 2
  3. Brøken 4/8 forenkles dermed til 1/2.

Desimalform: 0.5
Prosentform: 50%

Illustrasjoner:

Nummerlinje:

0.35 -- 0.40 -- 0.45 -- 0.50 -- 0.55 -- 0.60 -- 0.65
                      ↑
                    0.5

Nummerlinje

Kakediagram: En visuell representasjon av brøken 4/8 (eller 1/2) som en sirkel delt i 8 deler, hvor 4 deler er fylt.

Tape Diagram: En rektangulær illustrasjon som viser 4 av 8 like deler fylt.

1/8 | 1/8 | 1/8 | 1/8 | 1/8 | 1/8 | 1/8 | 1/8
  1    1    1    1

Kontinuerlig Brøkform:

[0; 2]

Flere Eksempler på Brøkforenkling

Eksempel 1: Forenkle 6/9

  1. GCF for 6 og 9 er 3.
  2. Del både teller og nevner med 3:
    • 6 ÷ 3 = 2
    • 9 ÷ 3 = 3
  3. 6/9 forenkles til 2/3.

Desimalform: 0.6667
Prosentform: 66.67%

Relaterte lenker:

Eksempel 2: Forenkle 10/20

  1. GCF for 10 og 20 er 10.
  2. Del både teller og nevner med 10:
    • 10 ÷ 10 = 1
    • 20 ÷ 10 = 2
  3. 10/20 forenkles til 1/2.

Desimalform: 0.5
Prosentform: 50%

Relaterte lenker:

Konvertering mellom Brøk og Prosent

Prosenter er en annen måte å uttrykke deler av en helhet på, hvor helheten er delt i 100 deler.

Konvertering Eksempel: 1/2 til Prosent
  1. Multipliser brøken med 100 for å finne prosentandelen:
    • (1/2) * 100 = 50%
  2. Brøken 1/2 tilsvarer 50%.

Relaterte lenker:

Konvertering mellom Brøk og Prosent

Prosenter er en måte å uttrykke deler av en helhet på, hvor helheten er delt i 100 deler. La oss se på eksempelet 1/2 til prosent.

Input: (1/2) * 100
Resultat: 50

Forklaring:

Når vi konverterer en brøk til prosent, ganger vi brøken med 100.

Steg-for-steg-løsning:
  1. Start med brøken 1/2.
  2. Multipliser brøken med 100 for å finne prosentandelen:
    • (1/2) * 100 = 50
  3. Sluttresultatet er 50%.

Nummerlinje:

35 -- 40 -- 45 -- 50 -- 55 -- 60 -- 65
                   ↑
                  50

Nummerlinje

Navn på nummer: femti (fifty)

Relaterte lenker:

Flere Eksempler på Konvertering mellom Brøk og Prosent

Eksempel 1: 3/4 til Prosent

  1. Start med brøken 3/4.
  2. Multipliser brøken med 100 for å finne prosentandelen:
    • (3/4) * 100 = 75
  3. Sluttresultatet er 75%.

Relaterte lenker:

Eksempel 2: 2/5 til Prosent

  1. Start med brøken 2/5.
  2. Multipliser brøken med 100 for å finne prosentandelen:
    • (2/5) * 100 = 40
  3. Sluttresultatet er 40%.

Relaterte lenker:

Potenser

Potenser er når vi ganger et tall med seg selv flere ganger. La oss se på eksempelet 2 opphøyd i 3 (2^3).

Input: 2^3
Resultat: 8

Forklaring:

Når vi opphøyer 2 i 3, ganger vi 2 med seg selv tre ganger.

Steg-for-steg-løsning:
  1. Start med 2.
  2. Gange 2 med seg selv én gang:
    • 2 * 2 = 4
  3. Gange resultatet med 2 én gang til:
    • 4 * 2 = 8
  4. Sluttresultatet er 8.

Nummerlinje:

6 -- 7 -- 8 -- 9 -- 10
           ↑
          8

Nummerlinje

Navn på nummer: åtte (eight)

Relaterte lenker:

Flere Eksempler på Potenser

Eksempel 1: 3^2 (3 opphøyd i 2)

  1. Start med 3.
  2. Gange 3 med seg selv én gang:
    • 3 * 3 = 9
  3. Sluttresultatet er 9.

Relaterte lenker:

Eksempel 2: 5^4 (5 opphøyd i 4)

  1. Start med 5.
  2. Gange 5 med seg selv tre ganger:
    • 5 * 5 = 25
    • 25 * 5 = 125
    • 125 * 5 = 625
  3. Sluttresultatet er 625.

Relaterte lenker:

Tall på Standardform

Standardform brukes til å skrive veldig store eller veldig små tall på en enklere måte. La oss se på eksempelet 5000 i standardform.

Input: 5000 in scientific notation
Resultat: 5.000 × 10^3

Forklaring:

Når vi skriver tallet 5000 i standardform, uttrykker vi det som et tall mellom 1 og 10 multiplisert med en potens av 10. Dette gjør vi for å forenkle representasjonen av veldig store eller veldig små tall.

Steg-for-steg-løsning:
  1. Skriv tallet 5000.
  2. Flytt desimaltegnet slik at tallet blir mellom 1 og 10:
    • 5000 blir 5.000
  3. Tell antall plasser desimaltegnet ble flyttet:
    • Vi flyttet desimaltegnet 3 plasser til venstre.
  4. Multipliser tallet med 10 opphøyd i antall plasser desimaltegnet ble flyttet:
    • 5.000 × 10^3

Resultat i standardform: 5.000 × 10^3

Navn på nummer: fem tusen (five thousand)

Relaterte lenker:

Flere Eksempler på Tall i Standardform

Eksempel 1: 123000 i Standardform

  1. Skriv tallet 123000.
  2. Flytt desimaltegnet slik at tallet blir mellom 1 og 10:
    • 123000 blir 1.23000
  3. Tell antall plasser desimaltegnet ble flyttet:
    • Vi flyttet desimaltegnet 5 plasser til venstre.
  4. Multipliser tallet med 10 opphøyd i antall plasser desimaltegnet ble flyttet:
    • 1.23000 × 10^5
  5. Resultat i standardform: 1.23 × 10^5

Relaterte lenker:

Eksempel 2: 0.0045 i Standardform

  1. Skriv tallet 0.0045.
  2. Flytt desimaltegnet slik at tallet blir mellom 1 og 10:
    • 0.0045 blir 4.5
  3. Tell antall plasser desimaltegnet ble flyttet:
    • Vi flyttet desimaltegnet 3 plasser til høyre.
  4. Multipliser tallet med 10 opphøyd i negativt antall plasser desimaltegnet ble flyttet:
    • 4.5 × 10^-3
  5. Resultat i standardform: 4.5 × 10^-3

Relaterte lenker:

Sammentrekning og Faktorisering

Forenkling handler om å gjøre matematiske uttrykk så enkle som mulig, mens faktorisering handler om å skrive et uttrykk som et produkt av sine faktorer. La oss se på eksempelet 2x + 4x.

Input: 2x + 4x
Resultat: 6x

Forklaring:

Når vi forenkler uttrykket 2x + 4x, legger vi sammen de like leddene for å få et enklere uttrykk.

Steg-for-steg-løsning:
  1. Identifiser like ledd: 2x og 4x er begge ledd med x.
  2. Legg sammen koeffisientene til de like leddene:
    • 2 + 4 = 6
  3. Resultatet er 6x.

Geometrisk figur: Linje

Plot: Grafen av funksjonen 6x er en rett linje som går gjennom origo og stiger med en stigningstall på 6.

Plot

Egenskaper som en reell funksjon:

  • Definisjonsområde: ℝ (alle reelle tall)
  • Verdiområde: ℝ (alle reelle tall)
  • Bijektion: Bijektiv fra sitt definisjonsområde til ℝ
  • Paritet: Odd (oddetall)

Derivert: Den deriverte av funksjonen 2x + 4x er 6.

d/dx (2x + 4x) = 6

$d/dx (2x + 4x) = 6$ $$d/dx (2x + 4x) = 6$$

Indefinite Integral: Den ubestemte integralet av funksjonen 6 er:

∫ 6 dx = 3x^2 + konstant

$$∫ 6 dx = 3x^2 + konstant$$

Relaterte lenker:

Flere Eksempler på Sammentrekning og Faktorisering

Eksempel 1: Forenkle 3y + 5y

  1. Identifiser like ledd: 3y og 5y er begge ledd med y.
  2. Legg sammen koeffisientene til de like leddene:
    • 3 + 5 = 8
  • $3 + 5 = 8$
  1. Resultatet er 8y.

Relaterte lenker:

Eksempel 2: Faktorisere 6x + 9

  1. Finn den største felles faktoren (GCF) for 6 og 9, som er 3.
  2. Skriv hvert ledd som et produkt av GCF og et annet tall:

    • 6x = 3 * 2x

    • 9 = 3 * 3

    • $6x = 3 * 2x$

    • $9 = 3 * 3$

  3. Faktoriser ut GCF:
    • 6x + 9 = 3(2x + 3) $$6x + 9 = 3(2x + 3)$$ Relaterte lenker:

Ligninger og Formelregning

Løse Likninger av Første Grad

En førstegradsligning er en ligning der den høyeste potensen av den ukjente er 1. La oss se på eksempelet 2x + 3 = 7.

Input: 2x + 3 = 7
Resultat: x = 2

Forklaring:

Når vi løser ligningen 2x + 3 = 7, følger vi en serie steg for å isolere den ukjente (x).

Steg-for-steg-løsning:

  1. Start med ligningen:

    2x + 3 = 7

  2. Trekk 3 fra begge sider for å isolere 2x:

    2x = 7 - 3

  3. Løs høyresiden:

    2x = 4

  4. Del begge sider av ligningen med 2 for å isolere x:

    x = 4 / 2

  5. Løs høyresiden:

    x = 2

Alternativ form: Ligningen kan også skrives som:

2x - 4 = 0

Nummerlinje:

1.4 -- 1.6 -- 1.8 -- 2.0 -- 2.2 -- 2.4 -- 2.6
                   ↑
                   2

Plot: Grafen viser funksjonen ( y = 2x + 3 ) og linjen ( y = 7 ). Punktet der de to linjene krysser hverandre representerer løsningen x = 2. image

Plot

Relaterte lenker:

image

Flere Eksempler på Løse Likninger av Første Grad

Eksempel 1: Løs 3y - 5 = 10

  1. Start med ligningen:

    3y - 5 = 10

  2. Legg til 5 på begge sider for å isolere 3y:

    3y = 10 + 5

  3. Løs høyresiden:

    3y = 15

  4. Del begge sider av ligningen med 3 for å isolere y:

    y = 15 / 3

  5. Løs høyresiden:

    y = 5

Relaterte lenker: image

Eksempel 2: Løs 5z + 2 = 17

  1. Start med ligningen:

    5z + 2 = 17

  2. Trekk 2 fra begge sider for å isolere 5z:

    5z = 17 - 2

  3. Løs høyresiden:

    5z = 15

  4. Del begge sider av ligningen med 5 for å isolere z:

    z = 15 / 5

  5. Løs høyresiden:

    z = 3

Relaterte lenker: image

Løse likningssett med to ukjente

Likningssett består av flere likninger som vi løser samtidig. La oss se på eksempelet med likningssettet:

$$ \begin{cases} 2x + y = 5 \ 3x - y = 4 \end{cases} $$

Input:

$$ \begin{cases} 2x + y = 5 \ 3x - y = 4 \end{cases} $$

Resultat:

$$ x = \frac{9}{5} \quad \text{og} \quad y = \frac{7}{5} $$

Forklaring:

Når vi løser et likningssett, finner vi verdiene av $x$ og $y$ som gjør begge likningene sanne samtidig.

Steg-for-steg-løsning:
  1. Skriv opp likningssettet:

$$ \begin{cases} 2x + y = 5 \ 3x - y = 4 \end{cases} $$

  1. Legg sammen de to likningene for å eliminere $y$:

$$ (2x + y) + (3x - y) = 5 + 4 $$

  1. Forenkle:

$$ 5x = 9 $$

  1. Del begge sider med 5 for å løse for $x$:

$$ x = \frac{9}{5} $$

  1. Sett inn verdien av $x$ i en av de opprinnelige likningene for å finne $y$:

$$ 2\left(\frac{9}{5}\right) + y = 5 $$

  1. Multipliser og trekk fra for å isolere $y$:

$$ \frac{18}{5} + y = 5 $$

$$ y = 5 - \frac{18}{5} $$

$$ y = \frac{25}{5} - \frac{18}{5} $$

$$ y = \frac{7}{5} $$

Plot: Grafen viser de to likningene $2x + y = 5$ og $3x - y = 4$. Punktet der de to linjene krysser hverandre representerer løsningen $x = \frac{9}{5}$ og $y = \frac{7}{5}$.

image

plot

Relaterte lenker:

image

Flere eksempler på å løse likningssett med to ukjente

Eksempel 1: Løs

$$ \begin{cases} x + 2y = 7 \ 2x - y = 1 \end{cases} $$

  1. Skriv opp likningssettet:

$$ \begin{cases} x + 2y = 7 \ 2x - y = 1 \end{cases} $$

  1. Multipliser den andre likningen med 2 for å eliminere $y$:

$$ \begin{cases} x + 2y = 7 \ 4x - 2y = 2 \end{cases} $$

  1. Legg sammen de to likningene:

$$ (x + 2y) + (4x - 2y) = 7 + 2 $$

  1. Forenkle:

$$ 5x = 9 $$

  1. Del begge sider med 5 for å løse for $x$:

$$ x = \frac{9}{5} $$

  1. Sett inn verdien av $x$ i en av de opprinnelige likningene for å finne $y$:

$$ \frac{9}{5} + 2y = 7 $$

$$ 2y = 7 - \frac{9}{5} $$

$$ y = \frac{26}{5} $$

Relaterte lenker: image

Eksempel 2: Løs

$$ \begin{cases} 4x + 3y = 10 \ x - y = 1 \end{cases} $$

  1. Skriv opp likningssettet:

$$ \begin{cases} 4x + 3y = 10 \ x - y = 1 \end{cases} $$

  1. Multipliser den andre likningen med 3 for å eliminere $y$:

$$ \begin{cases} 4x + 3y = 10 \ 3x - 3y = 3 \end{cases} $$

  1. Legg sammen de to likningene:

$$ (4x + 3y) + (3x - 3y) = 10 + 3 $$

  1. Forenkle:

$$ 7x = 13 $$

  1. Del begge sider med 7 for å løse for $x$:

$$ x = \frac{13}{7} $$

  1. Sett inn verdien av $x$ i en av de opprinnelige likningene for å finne $y$:

$$ 4\left(\frac{13}{7}\right) + 3y = 10 $$

$$ 3y = 10 - \frac{52}{7} $$

$$ y = \frac{18}{7} $$

Relaterte lenker: image

Here is the correctly formatted Markdown document for LaTeX rendering on GitHub, as per your requirements:

Trigonometri og Geometri

Areal, Omkrets, Volum og Overflate

Disse målene hjelper oss å forstå størrelsen på to- og tredimensjonale objekter.

Areal av en Sirkel 🟠

Hvordan beregner vi arealet av en sirkel med radius $( r )$?

Løsning:

$$ A = \pi r^2 $$

Med $-format:

$( A = \pi r^2 )$

Med $$-format:

$$ A = \pi r^2 $$

På CASIO fx-991CW ClassWiz:

  1. Trykk ON for å slå på kalkulatoren.
  2. Trykk på SHIFT og deretter π for å skrive π.
  3. Trykk på ×-tasten.
  4. Skriv inn r ved å trykke ALPHA og deretter R.
  5. Trykk på ^-tasten for eksponent.
  6. Skriv inn 2 og trykk = for å få svaret.

På GeoGebra:

  1. Åpne GeoGebra.
  2. I inntastingsfeltet skriver du π * r^2 og trykker Enter.
  3. Svaret vises i algebra-visningen.

Trigonometri og Geometri

Areal, Omkrets, Volum og Overflate

Disse målene hjelper oss å forstå størrelsen på to- og tredimensjonale objekter.

Trigonometri og Geometri

Areal, Omkrets, Volum og Overflate

Disse målene hjelper oss å forstå størrelsen på to- og tredimensjonale objekter.

Areal av en Sirkel 🟠

Hvordan beregner vi arealet av en sirkel med radius $( r )$?

Løsning:

$$ A = \pi r^2 $$

Med $-format:

$A = \pi r^2$

Med $$-format:

$$ A = \pi r^2 $$

På CASIO fx-991CW ClassWiz:

  1. Trykk ON for å slå på kalkulatoren.
  2. Trykk på SHIFT og deretter π for å skrive π.
  3. Trykk på ×-tasten.
  4. Skriv inn r ved å trykke ALPHA og deretter R.
  5. Trykk på ^-tasten for eksponent.
  6. Skriv inn 2 og trykk = for å få svaret.

På GeoGebra:

  1. Åpne GeoGebra.
  2. I inntastingsfeltet skriver du π * r^2 og trykker Enter.
  3. Svaret vises i algebra-visningen.

Wolfram Alpha - Area of Circle

Forklaring til 8-åring:

For å finne ut hvor stort et sirkelområde er, må vi bruke en formel. Denne formelen sier at vi må gange tallet π (som er omtrent 3.14) med radiusen $(r)$ to ganger.

  1. Først finner vi radiusen til sirkelen.
  2. Så ganger vi radiusen med seg selv.
  3. Til slutt ganger vi resultatet med π.

Eksempel:

Hvis radiusen til sirkelen er 3:

  1. $r = 3$
  2. $r^2 = 3 \times 3 = 9$
  3. $A = \pi \times 9 = 28.26$

Så, arealet av sirkelen er 28.26 kvadrat-enheter.

Trigonometri og Geometri

Areal, Omkrets, Volum og Overflate

Disse målene hjelper oss å forstå størrelsen på to- og tredimensjonale objekter.

Omkrets av et Rektangel 🔲

Hvordan beregner vi omkretsen av et rektangel med lengde $( l )$ og bredde $( b )$?

Løsning:

$$ P = 2(l + b) $$

Med $-format:

$P = 2(l + b)$

Med $$-format:

$$ P = 2(l + b) $$

Se utregning på Wolfram Alpha

På CASIO fx-991CW ClassWiz:

  1. Trykk ON for å slå på kalkulatoren.
  2. Skriv 2 og trykk ×-tasten.
  3. Skriv ( ved å trykke på (-tasten.
  4. Skriv l ved å trykke ALPHA og deretter L.
  5. Skriv + ved å trykke på +-tasten.
  6. Skriv b ved å trykke ALPHA og deretter B.
  7. Skriv ) ved å trykke på )-tasten.
  8. Trykk = for å få svaret.

På GeoGebra:

  1. Åpne GeoGebra.
  2. I inntastingsfeltet skriver du 2 * (l + b) og trykker Enter.
  3. Svaret vises i algebra-visningen.

Forklaring til 8-åring:

For å finne ut hvor langt det er rundt kanten av et rektangel, må vi legge sammen lengden og bredden to ganger. Vi bruker en formel som sier at vi må gange summen av lengden og bredden med 2.

  1. Først finner vi lengden $( l )$ og bredden $( b )$ på rektangelet.
  2. Så legger vi sammen lengden og bredden.
  3. Til slutt ganger vi summen med 2.

Eksempel:

Hvis lengden er 5 og bredden er 3:

  1. $l = 5$
  2. $b = 3$
  3. $l + b = 5 + 3 = 8$
  4. $$P = 2 \times 8 = 16$$

Så, omkretsen av rektangelet er 16 enheter.

image

Omkrets av et Rektangel 🔲

Hvordan beregner vi omkretsen av et rektangel med lengde $( l )$ og bredde $( b )$?

La oss gå gjennom hvert bilde og forklare steg for steg.

Bilde 1: Formel for omkrets

Formelen for omkretsen av et rektangel er gitt ved:

$$ P = 2(l + b) $$

Dette betyr at vi må gange summen av lengden $( l )$ og bredden $( b )$ med 2 for å få omkretsen $( P )$.

Bilde 2: Visualisering

Visualisering av formelen $( P = 2(l + b) )$:

Her ser vi en grafisk representasjon av et plan hvor formelen for omkretsen er visualisert. Dette hjelper oss å se hvordan lengden $( l )$ og bredden $( b )$ bidrar til å beregne omkretsen $( P )$.

Bilde 3: Utvidet form

Bilde 3

Når vi utvider formelen, distribuerer vi 2 over $( l + b )$:

$$ P = 2l + 2b $$

Dette viser oss at vi må gange både lengden $( l )$ og bredden $( b )$ med 2, og deretter legge sammen resultatene.

Bilde 4: Løsning for $( l )$

Hvis vi ønsker å isolere lengden $( l )$, kan vi omskrive formelen:

$$ l = \frac{P}{2} - b $$

Dette viser hvordan vi kan finne lengden ( l ) hvis vi kjenner omkretsen ( P ) og bredden ( b ).

Bilde 5: Derivasjon

Derivasjon av formelen:

Her ser vi at derivasjonen av ( P ) med hensyn til ( b ) er 2, noe som viser at ( P ) endres lineært med ( b ).

Forklaring til 8-åring:

For å finne ut hvor langt det er rundt kanten av et rektangel, må vi legge sammen lengden og bredden to ganger. Vi bruker en formel som sier at vi må gange summen av lengden og bredden med 2.

Eksempel:

Hvis lengden er 5 og bredden er 3:

  1. $$( l = 5 )$$
  2. $$( b = 3 )$$
  3. $$( l + b = 5 + 3 = 8 )$$
  4. $$( P = 2 \times 8 = 16 )$$

Så, omkretsen av rektangelet er 16 enheter.

Forklaring av Bilde: Utvidet form av omkretsformelen

I dette bildet ser vi hvordan formelen for omkretsen av et rektangel, $( P = 2(l + b) )$, utvides:

  1. Start med formelen:

    $$P = 2(l + b)$$

  2. Distribuer 2 over $( l + b )$:

    $$2(l + b) = 2l + 2b$$

  3. Resultatet viser at vi må gange lengden $( l )$ med 2 og bredden $( b )$ med 2, og deretter legge sammen de to resultatene for å få omkretsen $( P )$:

    $$P = 2l + 2b$$

Forklaring til 8-åring:

Når vi har formelen $( P = 2(l + b) )$, betyr det at vi må legge sammen lengden og bredden, og deretter gange med 2. Når vi distribuerer, ser vi at vi ganger både lengden og bredden med 2 før vi legger sammen. image

Forklaring av Bilde: Løsning for $( l )$

I dette bildet ser vi hvordan vi kan løse formelen for omkretsen av et rektangel, $( P = 2(l + b) ), for lengden ( l )$:

  1. Start med formelen:

    $$P = 2(l + b)$$

  2. For å isolere ( l ), del begge sider av likningen med 2:

    $$l + b = \frac{P}{2}$$

  3. Trekk $( b )$ fra begge sider for å isolere $( l )$:

    $$l = \frac{P}{2} - b$$

Forklaring til 8-åring:

Når vi kjenner omkretsen $( P )$ og bredden $( b )$, kan vi finne lengden $( l )$ ved å dele omkretsen på 2 og deretter trekke fra bredden. image

Forklaring av Bilde: Derivasjon av omkretsformelen

I dette bildet ser vi hvordan vi kan derivere formelen for omkretsen av et rektangel, $( P = 2(l + b) ), med hensyn til ( b )$:

  1. Start med formelen:

    $$\frac{\partial}{\partial b}(P) = \frac{\partial}{\partial b}(2(l + b))$$

  2. Deriver med hensyn til $( b )$:

    $$\frac{\partial}{\partial b}(P) = 2 \cdot \frac{\partial}{\partial b}(b)$$

  3. Fordi derivasjonen av en konstant $(l)$ med hensyn til $( b )$ er null:

    $$\frac{\partial}{\partial b}(l) = 0$$

  4. Vi får:

    $$\frac{\partial}{\partial b}(P) = 2$$

Forklaring til 8-åring:

Derivasjon forteller oss hvor raskt noe endrer seg. Når vi ser på hvordan omkretsen $( P )$ endres med hensyn til bredden $( b )$, finner vi at den endrer seg med 2 enheter for hver enhet bredde. image

Forklaring av Bilde: Visuell representasjon av omkretsformelen

Visuell representasjon

Dette bildet viser en grafisk representasjon av omkretsformelen $( P = 2(l + b) )$.

  • Akser:

    • $( l )$: lengden på rektangelet
    • $( b )$: bredden på rektangelet
    • $( P )$: omkretsen av rektangelet

  • Beskrivelse: Grafen viser hvordan omkretsen $( P )$ endres med ulike verdier av lengden $( l )$ og bredden $( b )$. Når $( l )$ og $( b )$ øker, øker også $( P )$, noe som viser at omkretsen øker lineært med lengden og bredden.

Forklaring til 8-åring:

Grafen viser hvordan omkretsen av et rektangel endres når vi endrer lengden og bredden. Når vi gjør rektangelet lengre eller bredere, blir omkretsen større. image

Jeg forstår. Her er den korrigerte og optimaliserte forklaringen med korrekt bruk av LaTeX-formatering:

Pytagoras' Setning

Pytagoras' setning gjelder i en rettvinklet trekant og sier at kvadratet av hypotenusen (den lengste siden) er lik summen av kvadratene til de to andre sidene. Vi skal finne hypotenusen ( c ) i en trekant der de andre sidene er ( a ) og ( b ).

Løsning:

$$ c^2 = a^2 + b^2 $$

For å finne ( c ), tar vi kvadratroten av begge sider:

$$ c = \sqrt{a^2 + b^2} $$

Se utregning på Wolfram Alpha

Med $-format: $c^2 = a^2 + b^2$

Med $$-format:

$$ c^2 = a^2 + b^2 $$

$$ c = \sqrt{a^2 + b^2} $$

CASIO fx-991CW ClassWiz:

  1. Trykk ON for å slå på kalkulatoren.
  2. Skriv a ved å trykke ALPHA og deretter A.
  3. Trykk på ^-tasten for eksponent.
  4. Skriv 2 og trykk +-tasten.
  5. Skriv b ved å trykke ALPHA og deretter B.
  6. Trykk på ^-tasten for eksponent.
  7. Skriv 2 og trykk = for å få verdien av $a^2 + b^2$.
  8. Trykk √-tasten for kvadratrot.
  9. Trykk Ans for å bruke forrige resultat og trykk = for å få hypotenusen.

GeoGebra:

  1. Åpne GeoGebra.
  2. I inntastingsfeltet skriver du sqrt(a^2 + b^2) og trykker Enter.
  3. Svaret vises i algebra-visningen.

Forklaring steg for steg med bilde:

Bilde 1: Formel for hypotenusen

image

Formelen $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ viser at for å finne hypotenusen ( c ), må vi først kvadrere sidene ( a ) og ( b ), deretter legge dem sammen, og til slutt ta kvadratroten av resultatet.

Bilde 2: Løsning for ( b )

image

For å finne ( b ) fra ( c = \sqrt{a^2 + b^2} ), må vi isolere ( b ):

  1. Start med likningen: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$
  2. Kvadrer begge sider for å fjerne kvadratroten: $c^2 = a^2 + b^2$
  3. Trekk ( a^2 ) fra begge sider: $b^2 = c^2 - a^2$
  4. Ta kvadratroten av begge sider: $b = \sqrt{c^2 - a^2}$

Bilde 3: Derivasjon

image

Derivasjonen av ( c ) med hensyn til ( a ):

  1. Start med $$( c = \sqrt{a^2 + b^2} )$$.
  2. Bruk kjerneregelen for derivasjon: $$\frac{\partial c}{\partial a} = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$
  3. Dette viser hvordan ( c ) endres når ( a ) endres.

La oss forbedre presentasjonen ved å gjøre bildene og beskrivelsene mer konsistente og lettfattelige. Her er en oppdatert versjon:

Pytagoras' Setning

Pytagoras' setning gjelder i en rettvinklet trekant og sier at kvadratet av hypotenusen (den lengste siden) er lik summen av kvadratene til de to andre sidene. Vi skal finne hypotenusen ( c ) i en trekant der de andre sidene er ( a ) og ( b ).

Løsning:

$$ c^2 = a^2 + b^2 $$

For å finne ( c ), tar vi kvadratroten av begge sider:

$$ c = \sqrt{a^2 + b^2} $$

Se utregning på Wolfram Alpha

Med $-format: $c^2 = a^2 + b^2$

Med $$-format:

$$ c^2 = a^2 + b^2 $$

$$ c = \sqrt{a^2 + b^2} $$

CASIO fx-991CW ClassWiz:

  1. Trykk ON for å slå på kalkulatoren.
  2. Skriv a ved å trykke ALPHA og deretter A.
  3. Trykk på ^-tasten for eksponent.
  4. Skriv 2 og trykk +-tasten.
  5. Skriv b ved å trykke ALPHA og deretter B.
  6. Trykk på ^-tasten for eksponent.
  7. Skriv 2 og trykk = for å få verdien av $a^2 + b^2$.
  8. Trykk √-tasten for kvadratrot.
  9. Trykk Ans for å bruke forrige resultat og trykk = for å få hypotenusen.

GeoGebra:

  1. Åpne GeoGebra.
  2. I inntastingsfeltet skriver du sqrt(a^2 + b^2) og trykker Enter.
  3. Svaret vises i algebra-visningen.

Forklaring steg for steg med bilde:

Bilde 1: Formel for hypotenusen

image

Formelen $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ viser at for å finne hypotenusen ( c ), må vi først kvadrere sidene ( a ) og ( b ), deretter legge dem sammen, og til slutt ta kvadratroten av resultatet.

Bilde 2: Løsning for ( b )

image

For å finne ( b ) fra ( c = \sqrt{a^2 + b^2} ), må vi isolere ( b ):

  1. Start med likningen: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$
  2. Kvadrer begge sider for å fjerne kvadratroten: $c^2 = a^2 + b^2$
  3. Trekk ( a^2 ) fra begge sider: $b^2 = c^2 - a^2$
  4. Ta kvadratroten av begge sider: $b = \sqrt{c^2 - a^2}$

Bilde 3: Derivasjon

image

Derivasjonen av ( c ) med hensyn til ( a ):

  1. Start med $$( c = \sqrt{a^2 + b^2} )$$.
  2. Bruk kjerneregelen for derivasjon: $$\frac{\partial c}{\partial a} = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$
  3. Dette viser hvordan ( c ) endres når ( a ) endres.

Denne oppdaterte versjonen bør gi en klarere og mer konsistent forklaring som stemmer bedre overens med bildene fra WolframAlpha.

Pytagoras' Setning

Pytagoras' setning gjelder i en rettvinklet trekant og sier at kvadratet av hypotenusen (den lengste siden) er lik summen av kvadratene til de to andre sidene. Vi skal finne hypotenusen ( c ) i en trekant der de andre sidene er ( a ) og ( b ).

Løsning:

The Pythagorean equation is $c=\sqrt{a^2 + b^2}$

c=\sqrt{a^2 + b^2}

For å finne ( c ), tar vi kvadratroten av begge sider:

c = \sqrt{a^2 + b^2}

Se utregning på Wolfram Alpha

CASIO fx-991CW ClassWiz:

  1. Trykk ON for å slå på kalkulatoren.
  2. Skriv a ved å trykke ALPHA og deretter A.
  3. Trykk på ^-tasten for eksponent.
  4. Skriv 2 og trykk +-tasten.
  5. Skriv b ved å trykke ALPHA og deretter B.
  6. Trykk på ^-tasten for eksponent.
  7. Skriv 2 og trykk = for å få verdien av $a^2 + b^2$.
  8. Trykk √-tasten for kvadratrot.
  9. Trykk Ans for å bruke forrige resultat og trykk = for å få hypotenusen.

GeoGebra:

  1. Åpne GeoGebra.
  2. I inntastingsfeltet skriver du sqrt(a^2 + b^2) og trykker Enter.
  3. Svaret vises i algebra-visningen.

Forklaring steg for steg med bilder:

Bilde 1: Formel for hypotenusen

Formel for hypotenusen

Formelen $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ viser at for å finne hypotenusen ( c ), må vi først kvadrere sidene ( a ) og ( b ), deretter legge dem sammen, og til slutt ta kvadratroten av resultatet.

Bilde 2: Løsning for ( b )

Løsning for b

For å finne ( b ) fra ( c = \sqrt{a^2 + b^2} ), må vi isolere ( b ):

  1. Start med likningen: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$
c = \sqrt{a^2 + b^2}
  1. Kvadrer begge sider for å fjerne kvadratroten: $c^2 = a^2 + b^2$
c^2 = a^2 + b^2
  1. Trekk $( a^2 )$ fra begge sider: $b^2 = c^2 - a^2$
b^2 = c^2 - a^2
  1. Ta kvadratroten av begge sider: $b = \sqrt{c^2 - a^2}$
b = \sqrt{c^2 - a^2}

Bilde 3: Derivasjon

Derivasjon

Derivasjonen av ( c ) med hensyn til ( a ):

  1. Start med $( c = \sqrt{a^2 + b^2} )$.
c = \sqrt{a^2 + b^2}
  1. Bruk kjerneregelen for derivasjon: $\frac{\partial c}{\partial a} = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}$
\frac{\partial c}{\partial a} = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}
  1. Dette viser hvordan ( c ) endres når ( a ) endres.

Denne oppdaterte versjonen sikrer bedre sammenheng mellom bildene og beskrivelsene, samtidig som den bruker korrekt LaTeX- og Markdown-format for GitHub.

c=sqrt(Power[a,2]+Power[b,2])


c=sqrt(Power[a,2]+Power[b,2])

c=sqrt(a^2+b^2)


c=sqrt(a^2+b^2)

Forklaring av ulike LaTeX- og Markdown-formater for matematikk

1. Inline LaTeX-format:

Når vi skriver LaTeX inline, bruker vi enkeltdollarsignaler rundt uttrykket:

$\( c = \sqrt{a^2 + b^2} \)$

Renders as: $( c = \sqrt{a^2 + b^2} )$

2. Blokk-LaTeX-format:

Når vi skriver LaTeX i en blokk, bruker vi dobbeltdollarsignaler rundt uttrykket og sørger for at det er omgitt av blanke linjer:

$$
c = \sqrt{a^2 + b^2}
$$

Renders as: $$ c = \sqrt{a^2 + b^2} $$ Renders as: $$c = \sqrt{a^2 + b^2}$$

Or Renders as: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$

3. Markdown math blokk:

Når vi skriver matematikk i en Markdown-blokk, bruker vi ```math for å begynne og avslutte blokken:

```math
c = \sqrt{a^2 + b^2}

Renders as:

c = \sqrt{a^2 + b^2}

4. Mathematica format:

Mathematica-formatet bruker funksjonen Power for eksponenter og kan være nyttig i spesifikke programvarer:

c = sqrt(Power[a,2] + Power[b,2])

Dette formatet er spesifikt for bruk i Mathematica-programvaren og kan ikke rendres direkte i Markdown eller LaTeX.

Disse ulike formateringene er viktige for å sikre at matematikkuttrykkene blir rendret korrekt i forskjellige sammenhenger og verktøy.