矩阵论

转置

$(AB)^T=B^TA^T$

共轭

实部不变，虚部取负：

$(A){ij}=\overline{A{ij}}$

共轭转置

$(A^){ij}=\overline{A{ji}}$或者$A^=(\overline{A})^T=\overline{A^T}$

行列式

一个 n×n 矩阵的行列式等于其任意行（或列）的元素与对应的代数余子式乘积之和，即：

$det(A)=a_{i1}A_{i1}+ \cdots +a_{in}A_{in}=\sum^n_{j=1}a_{ij}(-1)^{i+j}det(A_{ij})$

特征值与特征向量

n×n 的方块矩阵 A 的一个特征值和对应特征向量是满足：$Av=\lambda v$的标量以及非零向量。其中 v 为特征向量，$\lambda$为特征值。

A 的所有特征值的全体，叫做 A 的谱，记为$\lambda(A)$。矩阵的特征值和特征向量可以揭示线性变换的深层特性。

迹

nxn 矩阵 A 的对角元素之和称为矩阵 A 的迹(trace)，记作$tr(A)$，即：

$tr(A)=a_{1,1}+a_{2,2}+\cdots+a_{n,n}=\sum^n_{i=1}a_{i,i}$

正定性

n×n 的实对称矩阵A如果满足对所有非零向量$x\in R^n$ ，对应的二次型$Q(x)=x^TAx$ 。若$Q>0$ ，就称A为正定矩阵。若$Q<0$， 则A是一个负定矩阵，若$Q\geq 0$ ，则A为半正定矩阵，若A既非半正定，也非半负定，则A为不定矩阵 。对称矩阵的正定性与其特征值密切相关。矩阵是正定的当且仅当其特征值都是正数 。

分解

三角分解

设$A\in C^{nxn}_n$ ,则A可以唯一地分解为A=U1R ,其中U1是酉矩阵***，R是正线上三角复矩阵，或A可以唯一地分解为其中L是正线上三角复矩阵，***是酉矩阵$A=LU_2$

谱分解

谱分解（Spectral decomposition）是将矩阵分解为由其特征值和特征向量表示的矩阵之积的方法。需要注意只有对可对角化矩阵才可以施以特征分解。

奇异值分解

假设M是一个m×n阶矩阵，其中的元素全部属于域K，也就是实数域或复数域。如此则存在一个分解使得

其中U是m×m阶酉矩阵；Σ是m×n阶实数对角矩阵；而V**，即V的共轭转置，是n×n阶酉矩阵。这样的分解就称作M的奇异值分解 [17] 。Σ对角线上的元素Σi*,i即为M的奇异值。常见的做法是将奇异值由大而小排列。如此Σ便能由M唯一确定了。

满秩分解

设

，若存在矩阵

及

，使得A**=FG*，则称其为的A***一个满秩分解 [18] 。

LUP分解

LUP分解的思想就是找出三个n×n矩阵L*,U,P*，满足

. 其中L是一个单位下三角矩阵，U是一个单位上三角矩阵，P是一个置换矩阵。 而满足分解条件的矩阵L,U*,P称为矩阵A的一个LUP*分解 [19] 。

矩阵类别

对称矩阵

在线性代数中，对称矩阵是一个方形矩阵，其转置矩阵和自身相等 [8] 。即

.例如：

.

Hermitian矩阵

一个正方的复值矩阵

称为Hermitian矩阵，若A=AH即其元素

,换言之Hermitian矩阵是一种复共轭对称矩阵 [1] 。

对一个实值矩阵，Hermitian矩阵与对称矩阵等价。

正交矩阵

一个实的正方矩阵

称为正交矩阵，若

.

酉矩阵

一个复值正方矩阵

称为酉矩阵，若

.

带型矩阵

矩阵

，若矩阵满足条件aij=0,|i-j|>k，则矩阵A可以称为带型矩阵(banded matrix) [20] 。

三角矩阵

在线性代数中，三角矩阵是方形矩阵的一种，因其非零系数的排列呈三角形状而得名。三角矩阵分上三角矩阵和下三角矩阵两种。若

,则

的矩阵称为上三角矩阵 [8] ，若

,则

的矩阵称为下三角矩阵 [8] 。三角矩阵可以看做是一般方阵的一种简化情形。

相似矩阵

在线性代数中，相似矩阵是指存在相似关系的矩阵。相似关系是两个矩阵之间的一种等价关系。两个n×n矩阵A与B为相似矩阵当且仅当存在一个n×n的可逆矩阵P，使得：

或

。

相合矩阵

令

,并且C非奇异，则矩阵

称为***A***的相合矩阵。其中线性变换

称为相合变换 [1] 。

Vandermonde矩阵

Vandermonde矩阵（范德蒙矩阵）的命名来自Alexandre-Théophile Vandermonde的名字，范德蒙矩阵是一个各列呈现出几何级数关系的矩阵 [1] 。

例如：

或以第i行第j列的关系写作：

Hadamard矩阵

Hadamard矩阵（阿达马矩阵）是一个方阵，每个元素都是 +1 或 −1，每行都是互相正交的 [17] 。

n阶的阿达马矩阵H满足：

。这里In是n×n的单位矩阵。

对角矩阵

对于m×m的矩阵，当

时，有

，此时所有非对角线上的元素均为0 [8] ，此时的矩阵称为对角矩阵。

分块矩阵

一个分块矩阵是将矩阵分割出较小的矩阵，这些较小的矩阵就称为子块 [21] 。例如：

该矩阵可以分为四个2×2的矩阵：

分块后的矩阵可以写为如下形式：

Jacobian矩阵

Jacobian矩阵是函数的一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵。

可表示为如下形式：

旋转矩阵（Rotation matrix）

旋转矩阵（Rotation matrix）是在乘以一个向量的时候有改变向量的方向但不改变大小的效果的矩阵。旋转矩阵不包括反演，它可以把右手坐标系改变成左手坐标系或反之。所有旋转加上反演形成了正交矩阵的集合。

旋转矩阵是世界上著名的彩票专家、澳大利亚数学家底特罗夫研究的，它可以帮助您锁定喜爱的号码，提高中奖的机会。首先您要先选一些号码，然后，运用某一种旋转矩阵，将你挑选的数字填入相应位置。如果您选择的数字中有一些与开奖号码一样，您将一定会中一定奖级的奖。当然运用这种旋转矩阵，可以最小的成本获得最大的收益，且远远小于复式投注的成本。

旋转矩阵的原理在数学上涉及到的是一种组合设计：覆盖设计。而覆盖设计，填装设计，斯坦纳系，t-设计都是离散数学中的组合优化问题。它们解决的是如何组合集合中的元素以达到某种特定的要求。

范数

矩阵的范数主要包括三种主要类型：诱导范数，元素形式范数和Schatten范数 [13] 。

若映射

满足以下要求：

则称该映射为

上的矩阵范数。

诱导范数

诱导范数又称

矩阵空间上的算子范数(operator norm)，定义为： [22]

常用的诱导范数为p-范数：

p范数也称为明克夫斯基 p范数或者

范数。特别的，当

时，对应的诱导范数分别为 [23]

元素形式范数

将

矩阵按照列的形式，排成一个

的向量，然后采用向量范数的定义，即得到矩阵的元素形式范数 [24] ，表式如下：

Schatten范数

Schatten范数是用矩阵的奇异值定义的范数，定义为：

其中

为对应矩阵的奇异值 [25] 。