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FRACTIONAL BROWNIAN MOTION (fBm)

直愚

这两天看了一些FRACTIONAL BROWNIAN MOTION的近期文献,发现很好玩,写些注记玩吧.

BROWNIAN MOTION的研究源于BOTANIST BROWN(1827)对花粉粒子在液体中运动的观察,严肃意义上 的研究开始于爱因斯坦(1904)(PERRIN的工作是在这个方向上的继续)和Louis Bachelier(1900)(Fischer Black and Myron Scholes的工作是在这个方向上的继续),随后WIENER第一个在数学上 严格定义了BROWNIAN MOTION(1923),所以BROWNIAN MOTION也常被成为WIENER PROCESS.

定义包括: 1.X_0=0,(X_t)连续 2.X_{t+h}-X_t ~ N(0, h) 3.X_{t+h}-X_t 与X_t-X_0独立

WIENER证明了满足以上三个条件的过程存在,而且,3.可以由1.2.推出----也就是说,Brownian Motion的MARKOV性质是INTRINSIC的!!

BROWNIAN MOTION是RANDOM SPATIAL PROCESS LIMIT THEOREM(可以认为是中心极限定理的无穷 维推广)的第一个例子,也是SCALING LIMIT METHODOLOGY的最著名例子,在维数方向的进一步推 广导致了DYNKIN的SUPER-PROCESS和LE-GALL的BROWNIAN SNAKE,对超过程感兴趣的读者可以看一 看Scaling Limits and Super-Brownian Motion, Gordon Slade, CF., NOTICE OF AMS VOL49 NUM 9.

FRACTIONAL BROWNIAN MOTION则是BROWNIAN MOTION在另外一个方向的推广,MANDELBROT ET VAN NES (1968)

2'.X_{t+h}-X_t ~ N(0, h^\ALPHA), \ALPHA \IN (0,2).

使人惊讶的现象出现乐,这样定义的过程不再是MARKOV的了,它会是一个LONG MEMORY PROCESS, 或者可以看成是一个无穷维MARKOV过程上的线性泛函.MANDELBROT给上述过程起名为FRACTIONAL BROWNIAN MOTION并给出了其分形维数和其作为无穷维MARKOV过程上的线性泛函的表示定理:是 关于标准BROWNIAN MOTION积分形式

然而,在随后的近40年里,几乎没有FRACTIONAL BROWNIAN MOTION的任何严格进展,另一方面, FRACTIONAL BROWNIAN MOTION的LONG MEMORY 性质引起了工程,经济等等各个应用层面的注意, 大量没有基础的MODELS被引入,原因很简单,在FRACTIONAL BROWNIAN MOTION TYPE MODELS里 面,PAST INDEED INFLUENCE THE FUTURE.

过去5年里,关于FRACTIONAL BROWNIAN MOTION的严格分析终于慢慢开始了,特别的,包括以下 作者的工作NUALART,CARMONA, ET AL的MALLIAVIN 分析方法ZAHLE 的分形导数+RIEMANN-STIELTJIES 方法HEIDE ET AL 的PATH-WISE RIEMANN-STIELTJIES方法Heyde ET AL的相关统计研究ETC......

可以预见,在将来的十年里,建立在FRACTIONAL BROWNIAN MOTION思想上的MODEL将掀起一场风暴, 而我们会是它的见证者

假设你学过最基本的马氏链,所有的教材都会用到一个极简单的例子,就是天气预报模型:suppose that whether or not it rains today depends on previous weather conditions through the last two days, in order to construct a Markov chain, we must expand the state space to include the weather conditions in two days,而最简单的模型则是今天的天气是前两天天气的 线性函数----那么,假设whether or not it rains today depends on previous weather conditions through the last INFINITE days呢?

FRACTIONAL BROWNIAN MOTION就可以认为是这样的线性函数,当然它还太简单,因为线性性局限太大 ----为了建立非线性FRACTIONAL BROWNIAN MOTION TYPE MODEL,必须懂得对FRACTIONAL BROWNIAN MOTION自身来进行计算,而近5年的进展正好是这个方向上的突破

好了,这是关于FBM最后一贴:PPPP

【想了解 stochastic,推荐几本书】

中文里面偶比较喜欢的是 黄志远写的随机分析基础,很容易看, 而严加安写的鞅论是不错的工具书

英文教材里面,可以看以下几本: 1.Ross 的随机模型入门教材,本科生就可以看懂,写的不错 2.Karatzas & Shreve关于BROWNIAN MOTION的书很不错,稍微有点难,需要有实分析和测度论的底子,可 以先看HALMOS的测度论 3.Oksendal关于随机方程的书是同类中最容易的 4.PROTTER关于随机分析的书对于ITO分析的引入是最有效的,这本书是在专业级别里面最容易看的

【更正】

关于FBM的引入偶犯了个错误,真正第一个引入FBM概念的是Kolmogorov,1940----as usual, KING is always the KING...而偶相信LEVY也一定在很早的时候就知道有FBM,而他只是没有把他写下来 而已---正如他把BM的严格定义第一人的位置MISS掉一样....

Kolmogoroff, A. N. Wienersche Spiralen und einige andere interessante Kurven im Hilbertschen Raum. (German) C. R. (Doklady) Acad. Sci. URSS (N.S.) 26, (1940). 115--118.

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