DD教你装逼：随机微分方程与期权定价 （未完） - wutong92120/KFQ-POST GitHub Wiki

那么有趣的问题来了，这个权限到底值多少钱？在交易当天，这个权限的价格十分明显：如果股票的价格S大于K，那么这个权限的价格V就是S-K；如果股票的价格小于S，那么这个权限就是一张废纸，这个权限不值钱，价格V为0。 所以我们用V=max{S-K, 0}来表达这个权限在交易当天的价格。可是问题来了：从现在开始到交易到来的当天，这个权限的价格是怎样变化的？

为了解答这个问题, 我们先研究一下股票价格走势的特点：

这个是微软价格的走势图。 我们可以把他看成一个价格以时间为变量的函数S(t)。这个函数有三个特点：1他连续但处处不可导；2他有一个走势（微软的估价是越来越低的）；3；在不同的时间段，股价的波动不同（01-02年股价波动大，04-05年波动相对平缓）。 在此我们一项项分析这三个特性，然后引入一个由布朗运动，走势项与波动项三个东西组成的方程来最大限度地还原股价走势。

首先我们来说说为什么这个函数是连续但处处不可导的。首先对于任意时刻，所有在这一时刻买入卖出这支股票的人用的都是同一个价格，所以这个股票在没一时间点上的左右极限都是一样的，所以它连续。其次，处处不可导这个是基于一个十分重要的假设：市场中不存在无风险套利机会。这个假设虽然不全然正确，但也非常接近事实了。在成熟的市场，无风险套利机会都是转瞬即逝，而且出现的机会非常难得，所以这个假设我们可以认为它在大部分时间都是正确的。基于这个假设，如果价格函数存在导数的话，那么在导数存在的那一时刻上，我们完全可以按照导数的变化准确地预支下一刻股票价格的变化，那么我们就在这个时刻点上根据导数的变化买入/卖出股票来套利，这样就变成了一个无风险套利。这种策略是不会存在的，所以股票价格函数连续但处处不可导。

根据这一个特性，我们将目光放在布朗运动上。布朗运动是一种路径连续的运动，但同样因为不可预测性，他处处不可导。下图是一个用电脑模拟出来的一维布朗运动：

一维布朗运动W是这么一个函数：他连续，而且他在时间 t 的值于他以前的走势完全没有关系，在△t 这一段很短的时间内，他的增量服从正态分布 N(0,△t)。 如果你不懂正态分布，请摸我。 因为在任意短时间内，W的变化永远都是随机的，他有50%向上，50%向下，而且变化程度也完全是随机的，所以这个函数也是连续但处处不可导的。 

我们在这里引进了一维布朗运动，但问题拿了，布朗运动是没有任何趋势的，而且在任意一段时间内，他们的波动是一样的（这些东西需要证明，但是证明非常麻烦，至少她看上去完全是我所说的这样子吧）。 所以我们还需要对布朗运动做一下改进来模拟股票的走势。

所以我们在这里引入趋势项。趋势项是决定股票价格总体趋势的可导连续函数。因为股票的平均价格是有规律变化的，例如微软生意不好，那么他的股票在交易时可能非常随机，但总体趋势是向下走的。当微软生意变好了，股票价格整体上又会慢慢上升。这种可预见性说明了股票价格的走向并不是随机的，而是服从一个可预测的规律的，这个规律就是一个可导函数。因为导数说明了我们在这一点上可以预测下一刻的变化。重新用回刚才微软的股价图：

微软的股价下跌到一个临界之后总体稳定。 所以他在三段时间内，趋势各服从一个函数。好了，我们就说这三个函数大概是S=e^(-t)， S=30和 S=t^2吧

好了，是时候做一些数值模拟了。在这之前，我们先确定一些记号。 在很短一段时间，说△t 内吧，布朗运动的增长量是△W（请记住这个增量完全是一个随机变量），那么股票价格S的增长量就是△S了。哦，对了，正的增长量是增长，那么负的增长量就是减少了。

先模拟这个方程:

先提醒一下，dy=-ydx这个微分方程的解就是y=e^(-x)，所以我们现在是模拟第一个时间段的股票价格。好了，啦啦啦啦，我们得到了下面的结果：

（虽然下降速度不是很一样，但是趋势总体是一样的吧~~~）

好了，然后我们模拟最后一段股票价格，也就是说我们模拟这么一个方程：

然后电脑给了我们这么一个结果：

哈哈哈，是时候欢呼了吗？ 我觉得我将第一段和最后一段股票走势给大概模拟出来了。 通过这两个模拟，我们还发现了一个非常有用的事实：方程中的第二项，也就是布朗运动增量那一项，只是给了函数总体趋势一些干扰，却并不能完全扭转函数的总体走向（当然，这也是可以证明的，但因为我们不是数学家，就不证明了）

来到这里，我们就差不多可以完成我们对股票价格函数的讨论了。但是，等等，我们还要说说波动！因为前两次模拟我们都是忽略股票的波动的，现在我们再考虑一下股票的波动代表了什么。

假如有某个关于微软的重大消息发布了，那么肯定会造成市场交易量的增多或者减少。如果市场交易增多了，就会有人高点抛售低点买进吧。 假如这种行为大量发生，就会造成股票价格非常地不确定，也就是波动非常地大。反之，交易的人少了，股票就会更少波动，不确定性也会更少。

所以我们所说的波动就是股票价格在某一时间段不确定性的程度。再回想起我们前面说过的方程，当方程第二项，也就是随机项为0的时候，股票价格走势是完全确定的，是可以被预测的（当然这违反了无套利机会假设，是不能发生的），当第二项增大时，股票价格的波动就会变大。现在我们来看看将原来的两个方程的随机项乘以10倍，就是模拟以下两个方程：

然后下面就是我们得到的电脑模拟结果：

哇靠.....这是什么鬼？？跟原来完全不一样了~~~别着急，我们让子弹飞一飞，用更长的时间尺度来看我们这个模拟：

这两个模拟结果是我将模拟的时间延长了5倍的结果。所以当波动增大后，短期内股票价格是更不确定的，但长期来说，走势仍然是不变的。好了，到了这里，我们就可以做总结了，任何一支股票价格，他们都服从以下方程：

其中趋势项方程和波动方程都是可导可预测的方程，但是布朗运动给我们引进了不确定的因素。造成了股票精确价格的不可预测，和总体趋势的可预测。而我写下的这个方程，就是随机微分方程

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第一章完，有空继续第二章~~~