Равномерное, нормальное и экспоненциальное распределения, типовые приемы и способы их применения в задачах имитационного моделирования.

Реферат к лекции 11 Информационные системы как системы массового обслуживания

Выполнил: Даниил Салип, ИДБ-18-08

Проверил: Хушнуд Мавлоназаров, ИДБ-18-08

Что такое метод имитационного моделирования

Метод имитационного моделирования заключается в создании логико аналитической математической модели системы и внешних воздействий, имитации функционирования системы, т.е. в определении временных изменений состояния системы под влиянием внешних воздействий и в поучении выборок значений выходных параметров, по которым определяются их основные вероятностные характеристики.

Данное определение справедливо для стохастических систем.

Модель системы со структурным принципом управления представляет собой совокупность моделей элементов и их функциональные взаимосвязи.

Модель элемента (агрегата, обслуживающего прибора) - это, в первую очередь, набор правил (алгоритмов) поведения устройства по отношению к выходным воздействиям (заявкам) и правил изменений состояний элемента. Элемент отображает функциональное устройство на том или ином уровне детализации. В простейшем случае устройство может находится в работоспособном состоянии или в состоянии отказа. В работоспособном состоянии устройство может быть занято, например, выполнение операции по обслуживанию заявки или быть свободным. К правилам поведения устройства относятся правила выборки заявок из очереди; реакция устройства на поступление заявки, когда устройство занято или к нему имеется очередь заявок; реакция устройства на возникновение отказа в процессе обслуживания заявки и некоторые другие.

Основная идея метода имитационного моделирования

Основная идея метода имитационного моделирования состоит в следующем:

Пусть необходимо определить функцию распределения случайной величины y. Допустим, что искомая величина y может быть представлена в виде зависимости: y = f(x), где x случайные величины с известными функциями распределения.

❌ Метод имитационного моделирования состоит не в определении функции распределения, а в использовании эмпирических знаний или гипотез о функциях распределения случайных величин для генерации псевдо-случайных последовательностей, имитирующих внешние воздействия и реакции системы (узла, устройства).

Для решения задач такого вида применяется следующий алгоритм:

1. по каждой из величин x производится случайное испытание, в результате каждого определяется некоторое конкретное значение случайной величины xi;
2. используя найденные величины, определяется одно частное значение yi по выше приведённой зависимости;
3. предыдущие операции повторяются N раз, в результате чего определяется N значений случайной величины yi;
4. на основании N значений величины находится её эмпирическая функция распределения.

Проще говоря, идея метода, с точки зрения программной реализации, состоит в следующем:

**элементам системы необходимо поставить в соответствие некоторые программные компоненты, а состояния этих элементов описывать с помощью переменных состояния. **

❌ Нужны простые и понятные примеры элементов, состояний и соответствия программных компонентов

Т.к. элементы, по определению, взаимодействуют, значит, может быть реализован алгоритм функционирования элементов по отдельности. Кроме того, элементы существуют во времени, значит надо задать алгоритм изменения переменных состояний, что реализуется с помощью механизма продвижения модельного времени.

Особенностью метода является то, что получаемая в результате информация по своей природе аналогична той, которую можно получить в процессе исследования реальной системы. Однако её объем значительно больше и на ее получение затрачивается меньше сил и времени. Метод имитации обычно используется для решения вероятностных задач. Практический интерес решения вероятностных задач заключается в том, что он позволяет решать задачи, не сформулированные в виде уравнений и формул. Различные случайные величины, которые характеризуют отдельные стороны исследуемого процесса, воспроизводятся в соответствии с заданными законами распределения вероятностей.

Распределения заявок

Как уже было сказано заявки попадающие на обрабатывающее устройство могут быть распределены случайно не только подчиняясь равномерному, но и нормальному , а также экспоненциальному распределению. В связи с чем возникает необходимость в генерировании последовательности значений случайных величин с заданным законом распределения вероятностей.

Равномерное распределение

В основу всех методов и приемов моделирования случайных факторов заложено использование случайных чисел, имеющих равномерное распределение на интервале [0;1]. Модели случайных процессов с данным законом распределения является основой для моделей случайных процессов с законами распределения отличными от равномерного. Так модели с законом распределения отличным от равномерного могут быть получены с помощью композиции нескольких моделей случайных процессов с равномерным законом распределения или методом обратного преобразования.

Случайная величина x называется распределённой равномерно на отрезке [a;b], если плотность распределения вероятностей постоянна на данном отрезке. Иными словами, все возможные значения равномерно распределённой случайной величины лежат в пределах некоторого интервала; в пределах которого все значения случайной величины одинаково вероятны (обладают одной и той же плотностью вероятности)

Одним из распространенных методов генерации таких последовательностей является метод линейной конгруэнтной последовательности Д. Г. Лемера

Нормальное распределение

Нормальное распределение или распределение Гаусса является наиболее универсальным, удобным и широко применяемым. Этому закону распределения подчиняются многие природные явления и процессы. Он занимает особое место в теории вероятности, теории надежности информационных систем и теории обработки экспериментальных данных. А основная особенность данного закона распределения, выделяющая его среди других законов, состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения при весьма часто встречающихся типичных условиях.

Предположим, что для имитации поведения информационной системы необходимо построить модель случайного процесса с нормальным законом распределения с математическим ожидаем и среднеквадратичным отклонением тогда для генерации последовательности можно воспользоваться следующим методом:

• Образуем модель случайного процесса , имеющего статистические характеристики, отличающиеся от требуемых.
• Полученную модель случайного процесса равномерно распределенного на интервале от 0 до 1 преобразуем по следующему правилу:
• После получения модель случайного процесса нормально распределенного на интервале от 0 до 1 может быть подвергнута коррекции для обеспечения заданных статистических характеристик по формуле:

Экспоненциальное распределение

Экспоненциальное распределение широко применяется при моделировании информационных систем для описания случайных процессов, протекающих в информационных системах. Это объясняется тем, что экспоненциальное распределение обладает замечательным свойством, присущим только этому распределению, благодаря которому для многих моделей удается получить достаточно простые аналитические результаты в явном виде. Хотя распределение реальных процессов, протекающих в информационной системе, часто существенно отличаются от экспоненциального, использование последнего позволяет получить во многих случаях оценку для более напряженного режима обслуживания системы

Для нахождения случайной величины, имеющей экспоненциальное распределение, методом обратного преобразования необходимо воспользоваться следующей рекуррентным отношением:

где – элемент псевдослучайной последовательности равномерно распределенной на интервале от 0 до 1

---

Литература:

0. Моделирование информационных систем (курс) // https://edu.stankin.ru/course/view.php?id=415

1. Непрерывное равномерное распределение // https://ru.wikipedia.org/wiki/Непрерывное_равномерное_распределение

2. Нормальное распределение // https://ru.wikipedia.org/wiki/Непрерывное_равномерное_распределение

3. Экспоненциальное распределение // https://ru.wikipedia.org/wiki/Экспоненциальное_распределение

4. Имитационное моделирование // https://ru.wikipedia.org/wiki/Имитационное_моделирование