Motion of a Rigid Body on a Plane Surface

Coordinates	표기1	설명1	표기2	설명2
Body fixed	$x$	longitudinal position	$u$	longitudinal velocity
Body fixed	$y$	lateral position	$v$	lateral velocity
Body fixed	$z$	vertical position	$w$	vertical velocity
Body fixed	$p$	vertical position	$\phi$	roll angle
Body fixed	$q$	vertical position	$\theta$	pitch angle
Body fixed	$r$	vertical position	$\psi$	yaw angle
Earth fixed	$X$	longitudinal position	$U$	longitudinal velocity
Earth fixed	$Y$	lateral position	$V$	lateral velocity
Earth fixed	$Z$	vertical position	$W$	vertical velocity

Coordinate Transformation

earth-fixed와 body-fixed 좌표계의 관계는 3개의 rotation term과 1개의 translation term으로 구성되어 있다.
일반적으로 rotation term의 경우 X(roll), Y(pitch), Z(yaw) 축의 회전순서를 고려한다.

Kinematics of Lateral Vehcicle Motion

kinematic model이란 motion의 영향을 주는 force를 고려하지 않은 채 오직 차량의 linkage(구조)만을 가지고 해석하는 방법이다.따라서 단순히 기하학적 관계만이 해당 시스템을 대표하는 것으로 말할 수 있다. lateral motion에서의 해석을 쉽게 하기 위해 사용되는 대표적인 model은 bicycle model이며 다음과 같은 특징을 가지고 있다.

1. 좌/우측 전/후륜은 각각 point A, B에서의 하나의 바퀴로 표현된다.
2. 전/후륜 모두 조향이 가능하다는 가정을 전제로 한다.
3. 차량이 평면에서의 움직임만을 가지고 있다고 가정한다.

이와 더불어 추가적으로 고려해야 할 사항은 다음과 같다.

1. slip angle, $\beta$는 C.G에서 이동하는 속도와 차량이 향한 방향 사이의 각도를 의미한다.
2. C.G에서의 velocity는 $V$로 나타낸다.
3. $O$는 각 바퀴의 수직방향으로 그려지는 직선 $\overline{AO}$, $\overline{BO}$의 교차점이다.
4. $R$은 차량의 경로의 반지름을 의미한다. $\overline{OC}$로 나타낸다. 또한 C.G에서의 velocity $V$는 이에 수직이다.

위의 그림과 기하학적 관계를 이용하여 yaw rate를 구하는 방법은 다음과 같다.

1. 삼각형 OCA에 사인 법칙을 적용한다.

• 

2. 삼각형 OCB에 사인 법칙을 적용한다.

• 

3. 각각 1번 2번식에 $\frac{l_f}{cos(\delta_f)}, \frac{l_r}{cos(\delta_r)}$ 항을 양쪽에 곱한다.

4. 최종적으로 전개되는 식은 다음과 같다.

5. 위의 식을 합하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

• 

6. 차량의 경로의 반지름 $R$은 낮은 속도로 인해 천천히 변한다고 가정할때 이에 따라 차량의 회전 변화율인 yaw rate는 차량의 각속도와 동일해야한다.

• $\dot{X} = Vcos(\psi+\beta)$
• $\dot{Y} = Vsin(\psi+\beta)$
• $\dot{\psi}=\frac{V}{R}=\frac{Vcos(\beta)}{l_f+l_r}(tan(\delta_f)-tan(\delta_r))$

결론적으로 $V,\delta_f,\delta_r$ 총 3개의 제어가 가능한 input을 통해 차량의 yaw rate를 구할 수 있다. 추가적으로 3번째 yaw rate에 관한 식을 변형하면 slip angle $\beta$를 얻을 수 있다.

• $\beta=atan{\frac{l_ftan(\delta_r)+l_rtan(\delta_f)}{l_f+l_r}}$

Bicycle Model of Lateral Vehicle Dynamics

높은 속도에서는 각 바퀴의 속도가 바퀴의 방향을 나타낼 수 없다. 이로 인해 geometry만을 이용하는 kinematic model이 아닌 바퀴에 가해지는 횡방향 힘인 lateral tire forces를 추가적으로 고려하는 dynamic model이 필요한 것이다.

위의 그림은 차량의 bicycle model에서 2DOF(vehicle lateral position $y$, vehicle yaw angle $\psi$)만을 고려하여 모델링한다. 또한 C.G에서의 차량의 속도는 $V_x$로 표현한다.

Lateral Dynamics

가장먼저 vehicle lateral dynamics에 관한 식은 다음과 같다. 이 모델에서는 도로의 bank angle에 의한 힘을 고려하지 않는다. 뉴턴에 제 2법칙에서 $y$축에서 motion에 따라 발생하는 힘은 다음과 같다.

• $ma_y=F_{yf}+F_{yr}$ ,where $a_y=\frac{d^2y}{dt^2}_{inertial}$

$a_y$는 $y$축 방향에서 C.G에서의 inertial acceleration값을 의미한다. $F_{yf},F_{yr}$은 각각 전륜과 후륜에 가해지는 횡방향 힘이다. 여기서 $a_y$는 두가지 term으로 분리할 수 있다.

• $a_y=\ddot{y}+V_x\dot{\psi}$

$a_y$는 y axis로 motion에 의해 생기는 acceleration, $V_x\dot{\psi}$는 centripetal acceleration(구심 가속도)이다.

따라서 최종적으로 다음과 같이 정리 될 수 있다.

• $m(\ddot{y}+V_x\dot{\psi})=F_{yf}+F_{yr}$

Yaw Dynamics

z 축에 대한 모멘트 균형을 고려하면 다음과 같다.

• $I_z\ddot{\psi}=l_fF_{yf}-l_rF_{yr}$

작은 slip angle의 경우에서 타이어에 가해지는 횡방향 힘은 slip angle과 비례한다. 또한 slip angle은 타이어가 향해있는 방향과 속도 벡터 $V$의 방향사이의 차이 각도를 의미하게 된다. $\delta$가 전륜의 조향각을 의미할 때 전/후륜의 slip angle은 다음과 같이 구해진다.

• $\alpha_f=\delta-\theta_{vf}$
• $\alpha_r=-\theta_{vr}$

이에 따라 작은 slip angle의 경우에서 타이어에 가해지는 횡방향 힘은 slip angle과 비례한다고 하였으므로 전개되는 식은 다음과 같다. 계수 $2$는 bicycle model에서 전/후륜의 바퀴를 1개로 취급했으므로 $2$를 곱한다.

• $F_{yf}=2C_{af}\alpha_f$
• $F_{yr}=2C_{ar}\alpha_r$

$C_{af},C_{ar}$은 각 타이어의 cornering stifness라고 칭하며 slip angle은 다음과 같이 구해진다.

• $tan(\theta_{vf})=\frac{V_y+l_f\dot{\psi}}{V_x}$
• $tan(\theta_{vr})=\frac{V_y-l_r\dot{\psi}}{V_x}$

small angle approximation에 의해 $tan(\theta)=\theta$, $V_y=\dot{y}$로 가정하므로 다음과 같이 정리된다.

• $\theta_{vf}=\frac{V_y+l_f\dot{\psi}}{V_x}$
• $\theta_{vr}=\frac{V_y-l_r\dot{\psi}}{V_x}$

위의 모든 식을 종합하면 다음과 같이 state space model 형태로 만들 수 있다.

Dynamicl Model in terms of Error w.r.t Road

에러값을 상태 변수로 설정하기 위해 automatic lane keeping을 위한 기본 상태변수는 다음과 같이 설정 된다.

• $x=[y, \dot{y}, \psi, \dot{\psi}]$

각각 body fixed 좌표계에서의 lateral position, lateral velocity, yaw, yaw rate값을 의미한다. 상태 방정식은 다음과 같이 선형 시불변 시스템(Linear Time Invariant System)이 된다.

• $\dot{x}=Ax+B\delta$

위의 그림에서 에러 변수를 설정해보자.

1. $e_1$: distance of CG of the vehicle from the center line of the lane
2. $e_2$: orientation error of the vehicle with respect to the road

constant longitudinal velocity를 $V_x$, constant radius $R$이라고 설정하고, $R$이 매우 큰 값을 가질 때 small angle approximation($tan(\theta)=\theta$)을 적용하여 요구되는 $\dot{\psi}$, 즉 yaw rate는 다음과 같다.

• $\dot{\psi}_{des}=\frac{V_x}{R}$
• $\frac{V_{x}^2}{R}=V_x\dot{\psi}_{des}$

위의 두식을 이용하여 에러 텀을 정의하면 다음과 같다.

• $\ddot{e_1}=(\ddot{y}+V_x\dot{\psi})-\frac{V_{x}^2}{R}=\ddot{y}+V_x(\dot{\psi}-\dot{\psi}_{des})$
• $e_2=\psi-\psi_{des}$

위에서 lateral position error를 두번 미분한 텀을 적분하면 다음과 같이 정리된다.

• $\dot{e_1}=\dot{y}+V_x(\psi-\psi_{des})$
• if $V_x$ is not constant, $\dot{e_1}=\dot{y}+\int{V_xe_2dt}$

위의 두 식을 lateral dynamics에 관한 식에 대입하여 state space model 형태로 정리하면 최종적으로 다음과 같은 형태를 띈다.

1. $x=[e_1, \dot{e_1}, e_2, \dot{e_2}]^T$
2. $\dot{x}=Ax+B_1\delta+B_2\dot{\psi_{des}}+B_3sin(\phi)$

Dynamic Model in terms of Yaw Rate and Slip Angle

• Steering angle, $\delta$
• Vehicle sideslip angle, $\beta$
• Yaw rate of the vehicle body, $\gamma=\dot{\psi}$

small angle assumptions에 의해 body slip angle은 다음과 같이 계산된다.

• $\beta=\frac{\dot{y}}{V_x}=\frac{1}{V_x}=\frac{1}{V_x}(\dot{e_1}-e_2)$
• $\frac{d\beta}{dt}=\frac{1}{dt}\frac{\dot{y}}{V_x}=\frac{\ddot{y}}{V_x}$

위의 식을 lateral dynamics에 적용하면 다음과 같이 정리된다.

• $mV_x(\frac{d\beta}{dt}+\dot{\psi})=mV_x(\frac{d\beta}{dt}+\gamma)=F_{yf}+F_{yr}+F_{bank}$
• $I_z\ddot{\psi}=I_z\dot{\gamma}=l_fF_{yf}-l_rF_{yr}$

이때 tire에 가해지는 lateral force와 전/후륜의 slip angle은 다음과 같이 정의된다.

• $F_{yf}=C_{\alpha f}\alpha_f,\alpha_f=\delta-\theta_{vf}=\delta-\beta-\frac{l_f\gamma}{V_x}$
• $F_{yr}=C_{\alpha r}\alpha_r, \alpha_r=-\theta_{vr}=-\beta+\frac{l_r\gamma}{V_x}$

최종적으로 lateral dynamics에 따라 다음과 같이 정리할 수 있다.

From Body Fixed to Global Coordinates

위에 기술한 모든 식의 경우 body fixed 좌표계에서 정의된 값들이다. global 좌표계에서 차량의 trajectory를 확인하기 위해서는 좌표 변환이 필요하다.

위의 그림에서 ($X_{des}, Y_{des}$)는 vehicle의 lateral axis를 따라 center line의 global 좌표를 의미한다.

• $X=X_{des}-e_1sin(\psi)$
• $Y=Y_{des}+e_1cos(\psi)$
• $X_{des}=\int{Vcos(\psi_{des})dt}$
• $Y_{des}=\int{Vsin(\psi_{des})dt}$
• $\psi=e_2+\psi_{des}$

위의 식에 따라 차량의 global coordinate은 다음과 같이 구해진다.

Analysis of 2 DOF Handling Model

Steady state response (정상상태 응답, 시스템이 궁극적으로 지향하는 정상적인 상태)

• constant steering input

steady state condition을 나타내며, 차량이 고정된 속도와 조향각으로 주행했을 때, radius of turn($R$)이 constant인 상태를 의미한다. 이는 차량의 handling 동작에 대한 특성을 확인하기위해 일반적으로 사용되는 방법이다.

Stability soltuion

• no steering input

어떠한 조향각도 입력되지 않았을 때 straight running condition을 나타낸다. 특히, input이 존재하지 않기 때문에 정상상태 응답에 도달하기 까지 발생하는 과도응답(transient response)는 작은 외란에도 영향을 받게 된다.

Frequency response

• sinusoidal steering input

정현파의 조향각을 입력으로 넣었을 때 차량의 dynamic response를 확인할 수 있다. 간접적으로 frequency renponse는 어떠한 조향각 입력에도 차량의 전체적인 reponse를 나타낼 수 있다. Three solution types are interconnected. steady response is the limiting the value of frequency reponse as frequency is reduced to zero. the expressions defining overall hadling behavior(understeer, oversteer)

Understanding Steady State Cornering

steady state steering angle을 위한 curve of raidus $R$은 어떻게 될까? 이는 다음과 같이 정의된다.

• $\delta-\alpha_f + \alpha_r = \frac{L}{R}$
• $\delta = \frac{L}{R}+\alpha_f-\alpha_r$

이때 $\alpha_f, \alpha_r$은 각 전/후륜의 slip angle이다.

• $F_{yf}+F_{yr}=m\frac{V_x^2}{R}=ma_y$
• $F_{yf}l_f-F_{yr}l_r=0$

위의 두 식에 따라 전/후륜이 횡방향으로 받은 lateral tire force는 다음과 같이 정리된다.

• $F_{yr}=m\frac{l_f}{l_f+l_r}\frac{V_x^2}{R}=m_r\frac{V_x^2}{R}$
• $F_{yf}=m\frac{l_r}{l_f+l_r}\frac{V_x^2}{R}=m_f\frac{V_x^2}{R}$

$m_f, m_r$은 각 바퀴에 가해지는 vehicle mass의 비율이다.

Cornering stiffness

slip angle이 매우 작을 때 lateral tire force로 표현되는 1차 방정식으로 가정한다.

• $\alpha_f=\frac{F_{yf}}{2C_{af}}=\frac{m_f}{2C_{af}}\frac{V_x^2}{R}$
• $\alpha_r=\frac{F_{yr}}{2C_{ar}}=\frac{m_r}{2C_{ar}}\frac{V_x^2}{R}$

따라서 steady state steering angle은 최종적으로 다음과 같다.

• $\delta = \frac{L}{R}+\alpha_f-\alpha_r=\frac{L}{R}+(\frac{m_f}{2C_{af}}-\frac{m_r}{2C_{ar}})\frac{V_x^2}{R}$
• $\delta = \frac{L}{R}+K_va_y$

이 때의 $K_v$를 understeer gradient라고 칭한다.

결론적으로 steady state steering angle은 vehicle velocity와 road curvature가 circular road에서의 조향각과의 관계식을 나타내는 것이다. 특히나 understeer gradient의 경우 neutral steer를 위한 조향각의 magnitude와 direction을 결정한다.

Neutral steer

• $K_v=0, \alpha_f=\alpha_r$

전/후륜의 slip angle이 같아 $K_v=0$이 되는 상황이다. 이 상황의 경우 constant radius turn을 시행할 때, vehicle velocity가 변화함에 따라 steering angle에 대한 변화가 존재하지 않는다. 즉, curve radius와 wheel base에만 영향을 받는 것이다.

Understeer

• $K_v>0, \alpha_f>\alpha_r$

전륜의 slip angle이 후륜의 slip angle 보다 커 $K_v>0$이 되는 상황이다. 이 상황의 경우 constant radius turn을 시행할 때, vehicle velocity가 변화함에 따라 $K_v$의 비례하여 steering angle이 증가하는 현상이다. 대부분의 사람이 속도가 증가함에 따라 조향각이 증가하는 것이 합리적이라 생각하므로 대부분의 차량은 understeer 특성을 띄도록 설계된다.

Oversteer

• $K_v<0, \alpha_f<\alpha_r$ 전륜의 slip angle이 후륜의 slip angle 보다 작아 $K_v<0$이 되는 상황이다. 이 상황의 경우 constant radius turn을 시행할 때, vehicle velocity가 변화함에 따라 $K_v$의 비례하여 steering angle이 감소하는 현상이다. 주로 경주용 차량들이 oversteer 특성을 띄도록 설계된다.

위의 그래프에서 critical speed는 oversteer 특성을 띄는 차량이 속도가 증가할 수록 오히려 반대 방향으로 조향을 주기 직전의 속도이다.

• $V_{crit}=\sqrt{\frac{L}{-K_v}}=\sqrt{\frac{2L^2C_{af}C_{ar}}{m(l_fC_{af}-l_rC_{ar})}}$