Zahlensysteme - prototyping-lab/technisches-grundlagenprojekt GitHub Wiki
Das Dezimalsystem oder auch Zehnersystem genannt, wurde eingeführt, da der Mensch 10 Finger hat.
Ein Computer besteht aus vielen Transistoren. Ein Transistor ist ein Schalter, der 2 Schaltstellungen hat: An = 1 und Aus = 0.
Da wir hier nur zwei Ziffern in dem Zahlensystem haben, wird es auch als Binärsystem (Bi lat. Zwei) bezeichnet.
Um eine Binärzahl zu schreiben (Bsp. 11112), benötigt man viel Platz. Zudem es ist oft recht unübersichtilich. Für eine sparsamere Darstellung wurde das Hexadezimalsystem eingeführt. Die 11112 aus dem Beispiel wäre im Dezimalsystem nur noch eine "1510", als Hexadezimalzahls nur noch ein "F16".
Eine Gruppe aus 4 Binärziffern lässt sich also immer mit einer Hexadezimalzahl darstellen (24 = 16).
Um zu zeigen, in welchem Zahlensystem sich eine Zahl befindet, hängt man einen sogenannten Index an die Zahl an. Eine 10 kann zum Beispiel entweder eine Binärzahl, Dezimalzahl oder eine Hexadezimalzahl sein. Um diese Verwechslung zu vermeiden, schreibt man also 1010 für das Dezimalsystem und 102 um zu symbolisieren, dass eine Binärzahl gemeint ist, bzw. 1016 bei einer Zahl im Hexadezimalsystem.
Das jeweilige Zahlensystem muss immer mit dem sogenannten Index gekennzeichnet werden.
Im Dezimalsystem wird mit der Basis 10 gezählt.
In der Grundschule haben wahrscheinlich einige die Schreibweise kennen gelernt, bei der über die entsprechenden Stellen einer Zahl die Einerstellen, Zehnerstellen, Hunderterstellen und Tausenderstellen geschrieben werden. Das ist auch in der Grafik unten zu sehen.
Bei den Einern ist die Potenz der Basis eine 0, bei den Zehnern die 1, den Hundertern die 2 und so weiter. Nach diesem Schema funktionieren auch die anderen Zahlensysteme, nur das die Basis eine andere ist.
In der Grafik haben wir als Beispiel die Zahl 101010 genommen.
Der größte Teiler aus der Zehner Potenzreihe, ist die 100010, welche 1 Mal hinein passt. Es bleibt als Rest die 10 Übrig. In die 10 passt nun kein vollständiger Hunderter mehr hinein, also steht in der Tabelle eine 0. Danach folgt wieder ein Zehner und zum Schluss bleibt kein Rest mehr, weshalb bei der Einerstelle wieder eine Null steht.
Während wir im Dezimalsystem die Basis 10 haben, wird im Dualsystem mit der Basis 2 gearbeitet. die Potenzen verhalten sich genau gleich wie im Dezimalsystem, sie sind also von Null aufsteigend.
Wo wir nun im Dezimalsystem die Einer-, Zehner- oder Hunderterstellen haben, sind im Dualsystem Einer-, Zweier-, oder Viererstellen.
Wenn wir also eine Binäre Zahl wie die 10102 in der Grafik unten haben, gehen wir genauso vor wie mit der 101010, die wir bei den Dezimalzahlen als Beispiel hatten.
Die linke eins zeigt also an, dass wir eine Achterstelle haben. Die 0 rechts daneben zeigt uns eine Viererstelle an. Die darauffolgende 1 wieder, dass wir eine Zweierstelle haben und die ganz rechte 0, symbolisiert das wir keine Einerstelle haben.
Wenn wir nun die 8 und die 2 addieren, erhalten wir die Zahl 1010. So wissen wir, dass die binäre Zahl 10102 der Dezimalzahl 1010 entspricht.
Aufgrund der Arbeitsweise eines Rechners müssen dezimale Zahlen in duale transformiert werden. In der IT-Technik werden nur binäre Signale verarbeitet.
Auch das Hexadezimalsystem funktioniert wieder nach dem gleichen Schema wie das Binär- und auch das Dezimalsystem.
Hier sind es aber Potenzen mit der Basis 16.
In dem Beispiel unten in der Grafik haben wir die Zahl 7D8.
Bei dieser Zahl kommt noch eine Besonderheit des Hexadezimalsystems ins Spiel, nämlich der Buchstabe mitten in der Zahl.
Das liegt daran, dass wir Ziffern von 0 bis 9 haben, hier jede Stelle jedoch 16 Werte annehmen kann. Aus diesem Grund ersetzt man die Werte 10 - 15 einfach mit den Buchstaben A bis F.
Ansonsten gehen wir wieder die einzelnen Stellen von links nach rechts durch und schreiben uns heraus, wie oft die einzelnen Stellen in der Hexadezimalzahl vorkommen (Beispiel siehe Grafik). So können wir die Hexadezimalzahl in eine Dezimalzahl umrechnen.
Text: Marvin | Bild: Nyal | Quiz: Jannes