Лекция 1. Элементы линейной алгебры - osleek/IFST GitHub Wiki
Матрицы
Матрица - это таблица из m * n чисел, расположенных в виде m строк и n столбцов, где a₁₁, a₁₂, ..., aₘₙ - числа.
Матрица обозначается буквами А, В, С.
\Huge
A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & ... &a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\
... & ... & ... & ... \\
a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn}
\end{pmatrix}
Краткое обозначение матрицы
\Huge A={a_{ij}}
i = номер строки
j = номер столбца, на котором стоит элемент
Квадратная матрица - это матрица, у которых числа строк и столбцов равны.
\Huge
A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & ... &a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\
... & ... & ... & ... \\
a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn}
\end{pmatrix}
Главную диагональ квадратной матрицы составляют элементы, расположенные на диагонали от верхнего левого угла к правому нижнему.
Побочной диагональю квадратной матрицы называются элементы, стоящие на другой диагонали.
Если в матрице А поменять местами строки и столбцы, то получим матрицу:
\Huge
A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{21} & ... &a_{m1} \\
a_{12} & a_{22} & ... & a_{m2} \\
... & ... & ... & ... \\
a_{1n} & a_{2n} & ... & a_{mn}
\end{pmatrix}
Такая матрица называется транспонированной к матрице А.
Матрица-столбец - это матрица, состоящая из одного столбца.
Матрица-строка - это матрица, состоящая из одной строки.
Единичная матрица - это квадратная матрица, на главной диагонали которой стоят единицы, а все остальные элементы равны 0.
\Huge
Е=\begin{pmatrix}
1 & 0 &0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
Арифметические действия над матрицами
Сложение матриц
Суммой матриц А и В с элементами A = {aᵢⱼ}, B = {bᵢⱼ}, называется матрица C = {cᵢⱼ}.
\Huge
c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}
ВАЖНО: складывать можно только матрицы одинаковых размеров.
Пример
\Huge
A+B=\begin{pmatrix}
2 &3 &1 \\
0&-1 & 2
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
1 &1 &3 \\
4&3 & 2
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
3 &4 &4 \\
4&2 & 4
\end{pmatrix}
Умножение матриц на число
Произведение матрицы A = {aᵢⱼ} на число λ (лямбда), называется матрица, каждый элемент которой вычисляется по формуле:
\Huge
{c_{ij}}=λ*a_{ij}
Пример
\Huge
2A=2*\begin{pmatrix}
2 &3 &1 \\
0 &-1 &2
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
4 &6 &2 \\
0 &-2 &4
\end{pmatrix}
Умножение матриц
Произведением матрицы A = {aᵢⱼ} m × k на B = {bᵢⱼ} k × n (соответственные матрицы), называется C = {cᵢⱼ} m × n, каждые элемент которой вычисляется по формуле:
\Huge
C_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+...+a_{ik}b_{kj}
Пример: найти произведение АВ матриц А и В
AB=
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 \\
3 & -1 & 0 \\
2&-2 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
3 & 2 \\
4 & 2 \\
-1 & 1
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
1*3+2*4+1*(-1)ㅤㅤㅤㅤㅤㅤ⠀⠀ & &⠀⠀1*2+2*2+1*1 \\
3*3+(-1)*4+0*(-1) & &3*2+(-1)*2+0*1 \\
2*3+(-2)*4+1*(-1) & &2*2+(-2)*2+1*1
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
10& 7 \\
5 & 4 \\
-3& 1
\end{pmatrix}
ВАЖНО: AB ≠ BA (нет коммутативности)
Определители
Рассмотрим систему из двух уравнений с двумя переменными:
\Huge
\left\{
\begin{array}
a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} = b_{1} \\
a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} = b_{2}
\end{array}
\right.\text{⠀⠀⠀⠀где⠀} \begin{pmatrix}
a_{11}& a_{12}\\
a_{21}& a_{22}
\end{pmatrix}\text{⠀- матрица системы}
Первое уравнение системы умножим на а₂₂, второе на а₁₂:
\Huge
\left\{
\begin{array}{ccc}
a_{11}x_{1}a_{22} + a_{12}x_{2}a_{22} = b_{1}a_{22} \\
a_{21}x_{1}a_{12} + a_{22}x_{2}a_{12} = b_{2}a_{12}
\end{array}
\right.
Вычтем из первого уравнения второе:
\Huge
x_{1}(a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}) = b_{1}a_{22} - b_{2}a_{12}
Определителем второго порядка для квадратной матрицы второго порядка называется число, получаемое по формуле:
\Huge
Δ = \begin{vmatrix}
a_{11}& a_{12} \\
a_{21}& a_{22}
\end{vmatrix} = a_{11} * a_{22} - a_{12} * a_{21}
Пример
\Huge
Δ = \begin{vmatrix}
1& 2 \\
3& 4
\end{vmatrix} = 1 * 4 - 2 * 3 = -2
Определителем третьего порядка для квадратной матрицы третьего порядка называется число, получаемое по формуле:
Δ = \begin{vmatrix}
a_{11}& a_{12}& a_{13}\\
a_{21}& a_{22}& a_{23}\\
a_{31}& a_{32}& a_{33}
\end{vmatrix} = a_{11} * a_{22} * a_{33} + a_{31} * a_{12} * a_{23} + a_{13} * a_{21} * a_{32} - a_{31} * a_{22} * a_{13} - a_{33} * a_{21} * a_{12} - a_{11} * a_{23} * a_{32}
Пример
Δ = \begin{pmatrix}
2 &3 & 7 \\
5 & 4 & 1 \\
6 &8 & 9
\end{pmatrix}=2*4*9+6*3*1+5*8*7-(7*4*6+5*3*9+8*1*2)=72+18+280-168-135-16=51
Определитель - это число, поставленное по определённым правилам в соответствие квадратной матрице.
Миноры и алгебраические дополнения
Минором Mᵢⱼ для элементов Аᵢⱼ определителя Δ n-го порядка называется определитель (n-1)-го порядка, полученный вычёркиванием i-ой строки и j-го столбца данного определителя.
Алгебраическим дополнением Аᵢⱼ для элементов aᵢⱼ определителя Δ называется произведение минора Mᵢⱼ на (-1)ᶦ+ʲ, где ij - номер строки и столбца, на которых стоит элемент.
\Huge
А_{ij}=(-1)^{i+j}*M_{ij}
Пример
Найти М₁₁, М₃₂ и А₁₁, А₃₂
\Huge
Δ=\begin{pmatrix}
3 & 5 & 7 \\
-1 & 7 & 0 \\
0 & 5& 3
\end{pmatrix}
Решение
\Huge
M_{11}=\begin{pmatrix}
7 & 0 \\
5 & 3
\end{pmatrix}=21
\Huge
A_{11}=(-1)^{2}*21=21=M_{11}
\Huge
M_{32}=\begin{pmatrix}
3 & 7 \\
-1 & 0
\end{pmatrix}=0-(-7)=7
\Huge
A_{32)}=(-1)^{5}*7=-7
Обратная матрица
Матрица А-¹ обратная к квадратной матрице А, если выполняется равенство:
\Huge
AA^{-1}=A^{-1}A=E
где Е - соответствующая единичная матрица
Теорема вычисления обратной матрицы
Если определитель Δ матрицы А ≠ 0, то для матрицы А можно найти обратную матрицу по формуле:
\Huge
A^{-1}=\frac{1}{Δ}Ã^{T}
à - присоединённая матрица
Aᵢⱼ - алгебраические дополнения
\Huge
Ã^{T}=\begin{pmatrix}
A_{11} & A_{21} & ... & A_{n1} \\
A_{12} & A_{22} & ... & A_{n2} \\
A_{n1} & A_{n2} & ... & A_{nn}
\end{pmatrix}
Пример: найти А-¹ для А
\Huge
А =
\begin{pmatrix}
1& 2 & -3\\
3 & 2 & -4 \\
2& -1& 0
\end{pmatrix}
Решение
\Huge
Δ = \begin{vmatrix}
1 &2 & -3\\
3 &2 & -4\\
2 &-1 & 0
\end{vmatrix} = 0 * 16+9+12-0-4=1≠0,\Rightarrow А^{-1}\text{ существует}
Найдём алгебраические дополнения
\Huge
A_{11}=\begin{vmatrix}
2 & -4 \\
-1 & 0
\end{vmatrix} *(-1)^{2}=-4
\Huge
A_{12}=\begin{vmatrix}
3 & -4 \\
2 & 0
\end{vmatrix} *(-1)^{3}=-8
\Huge
A_{13}=\begin{vmatrix}
3 & 2 \\
2 & -1
\end{vmatrix} *(-1)^{4}=-7
\Huge
A_{21}=\begin{vmatrix}
2 & -3 \\
-1 & 0
\end{vmatrix} *(-1)^{3}=3
\Huge
A_{22}=\begin{vmatrix}
1 & -3 \\
2 & 0
\end{vmatrix} *(-1)^{4}=6
\Huge
A_{23}=\begin{vmatrix}
1 & 2 \\
2 & -1
\end{vmatrix} *(-1)^{5}=5
\Huge
A_{31}=\begin{vmatrix}
2 & -3 \\
2 & -4
\end{vmatrix} *(-1)^{4}=-2
\Huge
A_{32}=\begin{vmatrix}
1 & -3 \\
3 & -4
\end{vmatrix} *(-1)^{5}=-5
\Huge
A_{33}=\begin{vmatrix}
1 & 2 \\
3 & 2
\end{vmatrix} *(-1)^{6}=-4
\Huge
Ã=\begin{pmatrix}
-4 &-8 & -7 \\
3 & 6 & 5 \\
-2 & -5 & -4
\end{pmatrix}
\Huge
Ã^{T}=\begin{pmatrix}
-4 &3 & -2 \\
-8 & 6 & -5 \\
-7 & 5 & -4
\end{pmatrix}
\Huge
A^{-1}=\frac{1}{1}*\begin{pmatrix}
-4 &3 & -2 \\
-8 & 6 & -5 \\
-7 & 5 & -4
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-4 &3 & -2 \\
-8 & 6 & -5 \\
-7 & 5 & -4
\end{pmatrix}
Проверка правильности вычисления обратной матрицы вычисляется по определению
\Huge
A*A^{-1}=A^{-1}*A=E
A*A^{-1}=\begin{pmatrix}
-4 & 3 & -2 \\
-8 & 6 & -5 \\
-7 & 5 & -4
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 & 2 & -3 \\
3 & 2 & -4 \\
2 & -1 & 0
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
-4+9-4⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀ & & -4*2+3*2-2*(-1) \\
-8*1+6*3-5*2 & &-8*2+6*2-5*(-1) \\
-7+15-8⠀⠀⠀⠀⠀⠀ & & -7*2+5*2-4*(-1)
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0& 1 & 0 \\
0 &0 & 1
\end{pmatrix}=E
Вычисление определителя с помощью разложителя по строке/столбцу
\Huge
Δ=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\
a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn}
\end{pmatrix}
\Huge
\text{1 строка}=а_{11}А_{11}+а_{12}А_{12}+...+а_{1n}А_{1n}
\Huge
\text{2 столбец}=а_{12}А_{12}+а_{22}А_{22}+...+а_{n2}А_{n2}
Пример: вычислить разложением
Δ=\begin{vmatrix}
3 & 5 & 7 \\
-1 & 7 & 0 \\
0 & 3 & 3
\end{vmatrix}=3*\begin{vmatrix}
7 &0 \\
5 & 3
\end{vmatrix}*(-1)^{2}-1*\begin{vmatrix}
5 & 7 \\
5 & 3
\end{vmatrix}*(-1)^{3}+0*\begin{vmatrix}
5 & 7 \\
7 & 0
\end{vmatrix}*(-1)^{4}=3*(21-0)+1*(15-35)=63-20=43
Решение системы линейных алгебраический уравнение (СЛАУ)
Метод Крамера
Пусть дана СЛАУ из 3 уравнений с у неизвестными
\Huge
\left\{ \begin{array}{cl}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3}=b_{1} \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3}=b_{2} \\
a_{31}x_{1}+a_{32}x_{2}+a_{33}x_{3}=b_{3}
\end{array} \right.
При этом А из коэффициентов при неизвестных называется матрцией системы и имеет вид
\Huge
А=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{pmatrix}
\Huge
Δ=\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{vmatrix}
Формулы Крамера. Решение СЛАУ из 3 уравнений с 3 неизвестными
\Huge x_{1}=\frac{Δ_{1}}{Δ};\text{ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ⠀} x_{2}=\frac{Δ_{2}}{Δ};\text{⠀} x_{3}=\frac{Δ_{3}}{Δ};\text{}
Δ - определитель матрицы системы (не равен 0)
Δ₁,Δ₂,Δ₃ - определители, получаемые из Δ заменой 1, 2 и 3 столбца на столбец свободных членов
Пример: найти решение СЛАУ методом Крамера
\Huge
\left\{ \begin{array}{cl}
2x_{1}-x_{2}+x_{3}=1 \\
x_{1}+2x_{2}-x_{3}=2 \\
x_{1}-x_{2}+2x_{3}=0
\end{array} \right.
\Huge Δ=\begin{vmatrix}
2 &-1 &1 \\
1 &2 &-1 \\
1 &-1 &2
\end{vmatrix}=8+1-1-2+2-2=6≠0
\Huge Δ_{1}=\begin{vmatrix}
1 &-1 &1 \\
2 &2 &-1 \\
0 &-1 &2
\end{vmatrix}=4+0-2-0+4-1=5
\Huge Δ_{2}=\begin{vmatrix}
2 &1 &1 \\
1 &2 &-1 \\
1 &0 &2
\end{vmatrix}=8+1-1-2+2-2=3
\Huge Δ_{3}=\begin{vmatrix}
2 &-1 &1 \\
1 &2 &2 \\
1 &-1 &0
\end{vmatrix}=0-2-1-2-0+4=-1
\Huge x_{1}=\frac{5}{6};\text{ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ⠀} x_{2}=\frac{1}{2};\text{⠀} x_{3}=-\frac{1}{6};\text{}
Матричная запись СЛАУ
Рассмотрим СЛАУ из трёх уравнений с тремя неизвестными:
\Huge
\left\{ \begin{array}{cl}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3}=b_{1}\\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3}=b_{2}\\
a_{31}x_{1}+a_{32}x_{2}+a_{33}x_{3}=b_{3}
\end{array} \right.
\Huge
A=\begin{pmatrix}
a_{11} &a_{12} &a_{13} \\
a_{21} &a_{22} &a_{23} \\
a_{31} &a_{32} &a_{33}
\end{pmatrix}
A - матрица системы
Матрица X
\Huge
X=\begin{pmatrix}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}
\end{pmatrix}\text{⠀- матрица-столбец неизвестных}
\Huge
B=\begin{pmatrix}
b_{1} \\
b_{2} \\
b_{3}
\end{pmatrix}\text{⠀- матрица-столбец свободных членов}
Матричная форма СЛАУ
\Huge
A=\begin{pmatrix}
a_{11} &a_{12} &a_{13} \\
a_{21} &a_{22} &a_{23} \\
a_{31} &a_{32} &a_{33}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
b_{1} \\
b_{2} \\
b_{3}
\end{pmatrix}
Или кратко:
\Huge
AX=B
Решение СЛАУ матричным способом
- Запишем СЛАУ в матричной форме
\Huge
AX=B
- Умножим слева на А-¹ левую и правую части равенства
\Huge
A^{-1}AX=A^{-1}B
\Huge
EX=A^{-1}B
\Huge
X=A^{-1}B \text{⠀- формула решения СЛАУ матричным способом}
Пример: решить СЛАУ матричным способом
\Huge
\left\{ \begin{array}{cl}
x_{1}+2x_{2}-3x_{3}=-7\\
3x_{1}+2x_{2}-4x_{3}=-4\\
2x_{1}-x=0⠀⠀⠀⠀⠀⠀
\end{array} \right.
\Huge
A=\begin{pmatrix}
1 & 2 & -3 \\
3 & 2 & -4 \\
2 & -1 & 0
\end{pmatrix}
Матрица-столбец неизвестных:
\Huge
X=\begin{pmatrix}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}
\end{pmatrix}
Матрица-столбец свободных членов:
\Huge
B=\begin{pmatrix}
-7 \\
-4 \\
0
\end{pmatrix}
\Huge
X=A^{-1}B
\Huge
A^{-1}=\frac{1}{Δ}Ã^{T}\text{⠀-обратную матрицу нашли ранее в примере}
\Huge
A^{-1}=\begin{pmatrix}
-4 & 3 & -2 \\
-8 & 6 & -5 \\
-7 & 5 & -4
\end{pmatrix}
\Huge
\begin{pmatrix}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-4 & 3 & -2 \\
-8 & 6 & -5 \\
-7 & 5 & -4
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
-7 \\
-4 \\
7
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
2 \\
-3 \\
1
\end{pmatrix}\Rightarrow \begin{matrix}
x_{1} =\\
x_{2} =\\
x_{3} =
\end{matrix}\begin{matrix}
2 \\
-3 \\
1
\end{matrix}