Классификация событий в теории вероятностей

Все события в теории вероятностей разделены на 3 вида:

• Достоверные - это события, которые обязательно произойдут при выполнении некоторой совокупности условий.
• Невозможные - это события, которые заведомо не произойдут при выполнении некоторой совокупности условий.
• Случайные - это события, которые либо произойдут, либо не произойдут при выполнении некоторой совокупности условий.

В дальнейшем совокупность условий будет называться опытом или испытанием.

События, опыт, испытания - это основные понятия теории вероятностей.

Классическое определение вероятности

Вероятность события также является основным понятием теории вероятностей. Вероятность даёт количественную меру возможности появления или не появления события.

Классическое определение вероятности

Вероятностью события А называется отношение числа исходов испытания благоприятствующих событию А к общему числу исходов испытания.

\Huge 
P(A) = \frac{m}{n}

m - число благоприятствующих исходов

n - общее число исходов

Основные формулы комбинаторики

Комбинаторика - это наука, изучающая количество комбинаций элементов, построенных по определённым правилам.

Рассмотрим некоторые комбинации элементов и их количество, используемые при вычислении вероятности:

Перестановки

Перестановки - это комбинации из n элементов, отличающихся друг от друга порядком их расположения.

Рассмотрим пример:

\Huge 
n = 6

Из них можно построить следующие комбинации:

\Huge 
123456

\Huge 
634215

\Huge 
532416 

---

\Huge 
P_{n} =n!

\Huge 
P_{6} =6!=1*2*3*4*5*6=720

Размещения

Размещения - это комбинации из n элементов по m элементов, отличающихся друг от друга составом и порядком их расположения.

\Huge 
n=6

\Huge 
m=4

---

\Huge 
1234

\Huge 
2345

\Huge 
2134

Число размещений:

\Huge 
\mathrm{A}_{n}^{m}=\frac{n!}{(n-m)!}

\Huge 
\mathrm{A}_{6}^{4}=\frac{6!}{(6-4)!}=\frac{6!}{2!}=\frac{1*2*3*4*5*6}{1*2}=360

Сочетания

Сочетания - это комбинации из n элементов по m элементов, отличающихся друг от друга составом.

\Huge 
\mathrm{A}_{n}^{m}=\frac{n!}{m!*(n-m)!}

\Huge 
\mathrm{A}_{6}^{4}=\frac{6!}{4!*(6-4)!}=\frac{6!}{4!*2!}=\frac{1*2*3*4*5*6}{1*2*3*4*1*2}=\frac{30}{2}=15

Пример

В группе из 30 учеников на контрольной работе 6 учеников получили оценку "5", 10 учеников оценку "4", 9 учеников оценку "3". Какова вероятность того, что все три ученика, вызванные к доске, имеют оценку "2" по контрольной работе?

Решение

Соб. А - три ученика, вызванные к доске, имеют оценку "2" по контрольной работе.

\Huge 
n = \mathrm{C}_{30}^{3}=\frac{30!}{3!*(30-3)!}=\frac{30!}{3!*27!}=4060

\Huge 
m=\mathrm{C}_{5}^{3}=\frac{5!}{3!*2!}=\frac{4*5}{2}=10

\Huge 
P(A)=\frac{10}{4060}=0,002

Теоремы сложения и умножения вероятностей

Теорема сложения вероятностей несовместимых событий

Суммой А + B двух событий А и В называется событие, состоящее из появления либо события А, либо В, либо двух событий одновременно (хотя бы одно).

"+" - или

События А и В называются несовместимыми, если они не могут появиться в одном испытании. Если А и В несовместимы, то событие А + В состоит в появлении либо события А, либо события В.

Теорема I. Сложение вероятностей двух несовместимых событий

\Huge 
P(A+B)=P(A)+P(B)

Вероятность появления одного из двух несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий.

Полная группа событий

События А1, ..., An образуют полную группу событий, если в результате испытания появится хотя бы одно из этих событий.Если событие А1, ..., An несовместимы, то они образуют полную группу несовместимых событий.

Теорема. Сумма вероятностей полной группы несовместимых событий

Если событие А1, ..., An образуют полную группу несовместимых событий, то сумма их вероятностей равна 1.

\Huge 
P(A_{1})+...+P(A_{n})=1

Противоположные события

События А и Ā называются противоположными, если они образуют полную группу несовместимых событий, то есть в результате испытания может появиться только одно из событий.

Теорема. Сумма вероятностей противоположных событий

Если А и Ā являются противоположными, то сумма их вероятностей равна 1.

\Huge 
P(A)+P(Ā)=1

A - p

Ā - q

\Huge 
p+q=1

\Huge 
q=1-p

Теорема умножения вероятностей независимых событий

Произведение событий А и В называются события А * В, состоящее в появлении этих двух событий одновременно.

События А и В независимые, если вероятность одной из этих событие не зависит от появления или не появления другого.

Теорема II. Умножение вероятностей двух независимых событий

Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

\Huge 
P(AB)=P(A)*P(B)