迪杰斯特拉算法 - milkandbread/summary-interview GitHub Wiki
迪杰斯特拉(Dijkstra)算法是典型最短路径算法,用于计算一个节点到其他节点的最短路径。 它的主要特点是以起始点为中心向外层层扩展(广度优先搜索思想),直到扩展到终点为止。
基本思想
通过Dijkstra计算图G中的最短路径时,需要指定起点s(即从顶点s开始计算)。
此外,引进两个集合S和U。S的作用是记录已求出最短路径的顶点(以及相应的最短路径长度),而U则是记录还未求出最短路径的顶点(以及该顶点到起点s的距离)。
初始时,S中只有起点s;U中是除s之外的顶点,并且U中顶点的路径是"起点s到该顶点的路径"。然后,从U中找出路径最短的顶点,并将其加入到S中;接着,更新U中的顶点和顶点对应的路径。 然后,再从U中找出路径最短的顶点,并将其加入到S中;接着,更新U中的顶点和顶点对应的路径。 ... 重复该操作,直到遍历完所有顶点。
操作步骤
(1) 初始时,S只包含起点s;U包含除s外的其他顶点,且U中顶点的距离为"起点s到该顶点的距离"[例如,U中顶点v的距离为(s,v)的长度,然后s和v不相邻,则v的距离为∞]。
(2) 从U中选出"距离最短的顶点k",并将顶点k加入到S中;同时,从U中移除顶点k。
(3) 更新U中各个顶点到起点s的距离。之所以更新U中顶点的距离,是由于上一步中确定了k是求出最短路径的顶点,从而可以利用k来更新其它顶点的距离;例如,(s,v)的距离可能大于(s,k)+(k,v)的距离。
(4) 重复步骤(2)和(3),直到遍历完所有顶点。
单纯的看上面的理论可能比较难以理解,下面通过实例来对该算法进行说明。
(1) 对迪杰斯特拉进行算法演示(以第4个顶点D为起点)
第1步:将顶点D加入到S中。 此时,S={D(0)}, U={A(∞),B(∞),C(3),E(4),F(∞),G(∞)}。 注:C(3)表示C到起点D的距离是3。
第2步:将顶点C加入到S中。 上一步操作之后,U中顶点C到起点D的距离最短;因此,将C加入到S中,同时更新U中顶点的距离。以顶点F为例,之前F到D的距离为∞;但是将C加入到S之后,F到D的距离为9=(F,C)+(C,D)。 此时,S={D(0),C(3)}, U={A(∞),B(23),E(4),F(9),G(∞)}。
第3步:将顶点E加入到S中。 上一步操作之后,U中顶点E到起点D的距离最短;因此,将E加入到S中,同时更新U中顶点的距离。还是以顶点F为例,之前F到D的距离为9;但是将E加入到S之后,F到D的距离为6=(F,E)+(E,D)。 此时,S={D(0),C(3),E(4)}, U={A(∞),B(23),F(6),G(12)}。
第4步:将顶点F加入到S中。 此时,S={D(0),C(3),E(4),F(6)}, U={A(22),B(13),G(12)}。
第5步:将顶点G加入到S中。 此时,S={D(0),C(3),E(4),F(6),G(12)}, U={A(22),B(13)}。
第6步:将顶点B加入到S中。 此时,S={D(0),C(3),E(4),F(6),G(12),B(13)}, U={A(22)}。
第7步:将顶点A加入到S中。 此时,S={D(0),C(3),E(4),F(6),G(12),B(13),A(22)}。
此时,起点D到各个顶点的最短距离就计算出来了:A(22) B(13) C(3) D(0) E(4) F(6) G(12)。
/*************************************************
* 函数名称:dijkstra(int src)
* 功能描述:求无权图的任意点到其它顶点的距离
* 参数列表:src是起点
* 返回结果:void
*************************************************/
void Graph::dijkstra(int src)
{
//初始化顶点信息
for(int i = 0; i < vertex_num; ++i){
nodeArr[i].known = false;
nodeArr[i].dist = INFINITY;
nodeArr[i].path = 0;
}
//重要的一步,开启算法的关键一步
nodeArr[src].dist = 0;
for(; ;){
//找到unknown的dist最小的顶点
int v = 0;
int max = INFINITY;
for(int i = 0; i < vertex_num; ++i){
if(!nodeArr[i].known && (max > nodeArr[i].dist)){
max = nodeArr[i].dist;
v = i;
}
}
//没有找到满足条件的顶点,退出算法
if(max == INFINITY)
break;
nodeArr[v].known = true;
//更新与v相邻所有顶点w的dist,path
for(list<Node>::iterator it = graph_list[v].begin(); it != graph_list[v].end(); ++it){
if(!nodeArr[(*it).vertex].known){
if(nodeArr[v].dist + (*it).weight < nodeArr[(*it).vertex].dist){
nodeArr[(*it).vertex].dist = nodeArr[v].dist + (*it).weight;
nodeArr[(*it).vertex].path = v;
}
}
}
}
}
/*******************************************************
* 类名称: 邻接表图
********************************************************/
class Graph{
private:
int edge_num;//图边的个数
int vertex_num;//图的顶点数目
list<Node> * graph_list;//邻接表
vector<GraphNode> nodeArr;//保存每个顶点信息的数组
public:
Graph(){}
Graph(char* graph[], int edgenum);
~Graph();
void print();
void dijkstra(int src);
void printShorestPath();
private:
vector<int> get_graph_value(char* graph[], int columns);
void addEdge(char* graph[], int columns);
};
int main(int argc, char *argv[])
{
char *topo[5000];
int edge_num;
char *demand;
int demand_num;
char *topo_file = argv[1];
edge_num = read_file(topo, 5000, topo_file);
if (edge_num == 0)
{
printf("Please input valid topo file.\n");
return -1;
}
int src;
cout << "输入求最短路径的起点:";
cin >> src;
Graph G(topo, edge_num);
G.print();
cout << "Dijkstra: " << endl;
G.dijkstra(src);
G.printShorestPath();
release_buff(topo, edge_num);
return 0;
}
1,1,2,2
2,1,4,1
3,2,4,3
4,2,5,10
5,3,1,4
6,3,6,5
7,4,3,2
8,4,6,8
9,4,5,2
10,4,7,4
11,5,7,6
12,7,6,1