迪杰斯特拉算法 - milkandbread/summary-interview GitHub Wiki

1 迪杰斯特拉算法介绍

迪杰斯特拉(Dijkstra)算法是典型最短路径算法,用于计算一个节点到其他节点的最短路径。 它的主要特点是以起始点为中心向外层层扩展(广度优先搜索思想),直到扩展到终点为止。

基本思想

 通过Dijkstra计算图G中的最短路径时,需要指定起点s(即从顶点s开始计算)。

 此外,引进两个集合S和U。S的作用是记录已求出最短路径的顶点(以及相应的最短路径长度),而U则是记录还未求出最短路径的顶点(以及该顶点到起点s的距离)。

 初始时,S中只有起点s;U中是除s之外的顶点,并且U中顶点的路径是"起点s到该顶点的路径"。然后,从U中找出路径最短的顶点,并将其加入到S中;接着,更新U中的顶点和顶点对应的路径。 然后,再从U中找出路径最短的顶点,并将其加入到S中;接着,更新U中的顶点和顶点对应的路径。 ... 重复该操作,直到遍历完所有顶点。

操作步骤

(1) 初始时,S只包含起点s;U包含除s外的其他顶点,且U中顶点的距离为"起点s到该顶点的距离"[例如,U中顶点v的距离为(s,v)的长度,然后s和v不相邻,则v的距离为∞]。

(2) 从U中选出"距离最短的顶点k",并将顶点k加入到S中;同时,从U中移除顶点k。

(3) 更新U中各个顶点到起点s的距离。之所以更新U中顶点的距离,是由于上一步中确定了k是求出最短路径的顶点,从而可以利用k来更新其它顶点的距离;例如,(s,v)的距离可能大于(s,k)+(k,v)的距离。

(4) 重复步骤(2)和(3),直到遍历完所有顶点。

单纯的看上面的理论可能比较难以理解,下面通过实例来对该算法进行说明。

迪杰斯特拉算法图解:

(1) 对迪杰斯特拉进行算法演示(以第4个顶点D为起点)

初始状态:S是已计算出最短路径的顶点集合,U是未计算除最短路径的顶点的集合!

第1步:将顶点D加入到S中。 此时,S={D(0)}, U={A(∞),B(∞),C(3),E(4),F(∞),G(∞)}。 注:C(3)表示C到起点D的距离是3。

第2步:将顶点C加入到S中。 上一步操作之后,U中顶点C到起点D的距离最短;因此,将C加入到S中,同时更新U中顶点的距离。以顶点F为例,之前F到D的距离为∞;但是将C加入到S之后,F到D的距离为9=(F,C)+(C,D)。 此时,S={D(0),C(3)}, U={A(∞),B(23),E(4),F(9),G(∞)}。

第3步:将顶点E加入到S中。 上一步操作之后,U中顶点E到起点D的距离最短;因此,将E加入到S中,同时更新U中顶点的距离。还是以顶点F为例,之前F到D的距离为9;但是将E加入到S之后,F到D的距离为6=(F,E)+(E,D)。 此时,S={D(0),C(3),E(4)}, U={A(∞),B(23),F(6),G(12)}。

第4步:将顶点F加入到S中。 此时,S={D(0),C(3),E(4),F(6)}, U={A(22),B(13),G(12)}。

第5步:将顶点G加入到S中。 此时,S={D(0),C(3),E(4),F(6),G(12)}, U={A(22),B(13)}。

第6步:将顶点B加入到S中。 此时,S={D(0),C(3),E(4),F(6),G(12),B(13)}, U={A(22)}。

第7步:将顶点A加入到S中。 此时,S={D(0),C(3),E(4),F(6),G(12),B(13),A(22)}。

此时,起点D到各个顶点的最短距离就计算出来了:A(22) B(13) C(3) D(0) E(4) F(6) G(12)。

Dijkstra算法的代码:

/*************************************************
*  函数名称:dijkstra(int src)
*  功能描述:求无权图的任意点到其它顶点的距离
*  参数列表:src是起点
*  返回结果:void 
*************************************************/
void Graph::dijkstra(int src)
{
    //初始化顶点信息
    for(int i = 0; i < vertex_num; ++i){
        nodeArr[i].known = false;
        nodeArr[i].dist = INFINITY;
        nodeArr[i].path = 0;
    }
    //重要的一步,开启算法的关键一步
    nodeArr[src].dist = 0;
 
    for(; ;){
        //找到unknown的dist最小的顶点 
        int v = 0;
        int max = INFINITY;
        for(int i = 0; i < vertex_num; ++i){
            if(!nodeArr[i].known && (max > nodeArr[i].dist)){
                max = nodeArr[i].dist;
                v = i;
            }
        }
 
        //没有找到满足条件的顶点,退出算法
        if(max == INFINITY)
            break;
 
        nodeArr[v].known = true;
        //更新与v相邻所有顶点w的dist,path
        for(list<Node>::iterator it = graph_list[v].begin(); it != graph_list[v].end(); ++it){
            if(!nodeArr[(*it).vertex].known){
                if(nodeArr[v].dist + (*it).weight < nodeArr[(*it).vertex].dist){
                    nodeArr[(*it).vertex].dist = nodeArr[v].dist + (*it).weight;
                    nodeArr[(*it).vertex].path = v;
                }
            }
        }
 
    }
}

图类的接口:

/*******************************************************
*  类名称: 邻接表图
********************************************************/ 
class Graph{
    private:
        int edge_num;//图边的个数
        int vertex_num;//图的顶点数目
        list<Node> * graph_list;//邻接表
        vector<GraphNode> nodeArr;//保存每个顶点信息的数组
        
    public:
        Graph(){}
        Graph(char* graph[], int edgenum); 
        ~Graph();
        void print();
        void dijkstra(int src);
        void printShorestPath(); 
    private:
        vector<int> get_graph_value(char* graph[], int columns);
        void addEdge(char* graph[], int columns);
};

测试主函数:

int main(int argc, char *argv[])
{
    char *topo[5000];
    int edge_num;
    char *demand;
    int demand_num;
 
    char *topo_file = argv[1];
    edge_num = read_file(topo, 5000, topo_file);
    if (edge_num == 0)
    {
        printf("Please input valid topo file.\n");
        return -1;
    }
 
    int src;
    cout << "输入求最短路径的起点:";
    cin >> src;
 
    Graph G(topo, edge_num);
    G.print();
    
    cout << "Dijkstra: " << endl;
    G.dijkstra(src);
    G.printShorestPath();
 
 
    release_buff(topo, edge_num);
 
	return 0;
}

测试的图的数据:

1,1,2,2
2,1,4,1
3,2,4,3
4,2,5,10
5,3,1,4
6,3,6,5
7,4,3,2
8,4,6,8
9,4,5,2
10,4,7,4
11,5,7,6
12,7,6,1

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