Estrella Mudéjar

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Justificación

La estrella mudéjar es un elemento decorativo ampliamente utilizado desde tiempos remotos por diferentes civilizaciones mediterráneas. Esta estrella ha tenido diferentes nombres según la civilización, pero para nosotros resulta familiar por aparecer, sobre todo, en el arte árabe del Al-andalus y en el arte mudéjar.

Es una estrella de ocho puntas y aparece al superponer los centros de dos cuadrados idénticos pero uno girado 45º con respecto al otro:

En Aragón resulta un ornamento muy característico del mudéjar, y en concreto del turolense. Tal es su relevancia que para hacer alusión a la Autovía Mudejar el escultor zaragozano Julio Tapia realizó una obra con dicha estrella. Podéis verla cuando vayáis por la Autovía o si no os queréis mover en este enlace.

Desde un punto de vista matemático, su modelado en 3d nos va a permitir trabajar conceptos como la diferencia de conjuntos, traslaciones, rotaciones, ángulo central, apotemas, radios y relaciones entre los lados de un triángulo rectángulo (trigonometría).

Actividad inicial guiada: Estrella mudéjar sencilla

Para empezar, vamos a realizar una sencilla estrella mudejar con dos prismas cuadrados de dimensiones 10x10x5 (eje_x, eje_y, eje_z o para entendernos, ancho por largo por alto):

Unas preguntas de teoría

• ¿Cuánto mide la apotema de la base cuadrada?¿Tiene alguna relación con el lado del cuadrado?¿Y si el cuadrado tuviera un lado diferente, la relación se mantendría?
• ¿Crees que para otros polígonos regulares va a seguir existiendo una relación entre el lado y la apotema?
• ¿Sabes algo de trigonometría? En caso afirmativo, las preguntas anteriores deberían resultarte sencillas. En caso contrario, no te preocupes la parte teórica la facilitaremos para que puedas hacer el modelado si te ves desbordado.

Respuestas a las preguntas

• La apotema es la mitad del lado.

• Sí, siempre va a haber relación. La respuesta está en la semejanza de triángulos rectángulos y la trigonometría. Esto nos permitirá calcular bien el radio, la apotema o el lado del polígono regular siempre que nos den uno de ellos.

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Modelado en BlocksCAD

Paso	Código	Renderizado
Insertamos un cubo de 10x10x5 centrado en origen
Insertamos otro igual pero girado 45º sobre el plano XY (girar el eje Z)
Juntamos los dos objetos para formar un único objeto

Actividad 2: "Estrella mudéjar" sobre un hexágono regular

Vale, la actividad anterior era muy sencilla y además era guiada. Ahora se propone realizar una especie de estrella mudéjar modificada a partir de un hexágono regular de radio y altura que quieras. La figura a modelar debería quedar algo así:

Cuestiones previas

• ¿Hacia qué objeto tiende un polígono regular cuando aumentamos el número de lados al polígono?
• ¿Cuánto tiene que girar el prisma hexagonal superpuesto para generar las puntas en mitad de las aristas del prisma original?¿Puedes dar una fórmula general que vaya en función del número de lados y que por tanto sirva para el cuadrado o el hexágono?

Consideraciones a las cuestiones

• Al aumentar el número de lados, el polígono se va acercando a un círculo como se puede ver en la siguiente animación:

• BlocksCAD interpreta los cilindros de esta manera, como un prisma de base regular con un número de lados elevado.

• Podemos generar un prisma de base regular modificando el número de lados asociado a un cilindro con el bloque :

• La rotación que hay que hacer es la mitad del ángulo central: $$\frac{180}{nlados}$$

• Importante: Al usar el bloque cilindro modificado por el número de aristas, el parámetro que le damos es el radio del polígono regular y no la longitud de la arista (o lado del polígono regular)

  Modelado en BlocksCAD

  Se propone como ejercicio su modelado. Al final de la documentación tienes un enlace a una posible solución.

Actividad 3: "Estrella mudéjar" del número de lados que queramos con hueco. Estrella mudéjar paramétrica

Con el esfuerzo que ha costado modelarla estaría bien que en lugar de que se generara a partir de un hexágono lo haga de un polígono del número de lados cualquiera y del tamaño de lado que se quiera. Para ello tendrás que modificar el código para que reciba el número de lados como un parámetro (léase variable).

Si hacemos la diferencia con otra estrella igual de lado menor obtendremos el contorno de la estrella. Intenta hacerlo de forma paramétrica. Parámetros o variables a utilizar:

• Número de lados del polígono regular que genera la estrella
• Longitud del radio del polígono
• Longitud del radio del polígono que genera el hueco

Ejemplo: Estrella de David generada con triángulos de radios 10 y 8, exterior e interior respectivamente.

• Modelado en BlocksCAD

  Se propone como ejercicio su modelado. Al final de la documentación tienes un enlace a una posible solución.

Actividad 4: "Estrella mudéjar" paramétrica con puntas diferentes. Estrella mudejar paramétrica avanzada

Vamos a añadir un poco de complejidad al programa. En las estrellas anteriores todas las puntas son iguales. Ahora en lugar de que la mitad de las puntas las genere el prisma poligonal girado se pide que sean los generados por un prisma cuadrado con la diagonal superpuesta sobre la arista (el lado del cuadrado se pide que sea 1/3 de la arista).

Como una imagen vale más que mil palabras:

Además quedará más bonita con un hueco en el interior con el grosor que se le pase por parámetro.

Se pide por tanto modelar una estrella que tenga como parámetros:

• Número de lados
• Longitud del lado
• Grosor de la estrella: Altura y anchura del contorno. Opcional: Si se quiere se pueden hacer dos parámetros.

El resultado tiene que ser algo así para un polígono generador de 8 lados:

Cuestiones previas

• Hemos visto que los prismas de base poligonal distinta del cuadrado se generan a partir del radio del polígono. ¿Existe alguna fórmula general que relacione la longitud del lado con el radio?¿Y alguna relación entre la apotema y el lado?
• El cuadrado que genera las puntas, ¿Cuánto hay que trasaladarla?
• ¿Cuántas rotaciones hay que hacer del cuadrado para generar todas las puntas?¿Qué ángulo entre ellos?

Respuestas a las cuestiones previas

• La respuesta a la primera cuestión la encontramos en la trigonometría: fíjate en la siguiente animación y los ángulos que aparecen:

  • El triángulo formado por el centro del polígono, el punto medio de un lado y un vértice adyacente es siempre rectángulo. El ángulo correspondiente al centro del polígono es la mitad del ángulo central: $$\alpha=\dfrac{\frac{360}{n_{lados}}}{2}$$

  • Fijado el número de lados del polígono regular, aunque varíe el tamaño del lado, los triángulos que salgan serán semejantes. Al ser semejantes los lados son proporcionales, o dicho de otra forma, la razón entre lados se mantiene constante y dependen exclusivamente del ángulo que se apoya en el centro del polígono: Son las razones trigonométricas. La principales son:

    Razón trigonométrica	Aplicación en el polígono regular
    seno = lado opuesto / hipotenusa	$\sin{\alpha}=\frac{semilado}{radio}$
    coseno = lado contiguo / hipotenusa	$\cos{\alpha}=\frac{apotema}{radio}$
    tangente = lado opuesto / lado contiguo	$\tan{\alpha}=\frac{semilado}{apotema}$

• El cuadrado hay que trasladarlo la apotema del polígono

• Habrá que hacer tantas puntas como lados y habrá que rotar la mitad del ángulo central: $$\alpha=\frac{180}{nlados}$$

Ejemplo de aplicación: Determina el radio y la apotema para un pentágono regular de lado 6:

• radio = (6/2)/seno(180/5)
• apotema = (6/2)/tan(180/5)

Modelado en BlocksCAD

Se propone como ejercicio su modelado.

Los siguientes pasos te pueden servir de guía:

1. Construye una función que permita calcular el radio de un polígono regular a partir del lado
2. Construye una función que permita calcular la apotema de un polígono regular a partir del lado
3. Construye el prisma poligonal paramétrico (número de lados, lado y grosor)
4. Construye el cuadrado que generará las puntas diferentes, rótalo y giralo. Repite el proceso las veces que necesites
5. Unifica en un solo objeto los construidos en los pasos 3 y 4
6. Construye la estrella que servirá de hueco
7. Vacía de la estrella inicial la estrella que sirve de hueco

Ayuda:

1. Para el paso 1 puedes fijarte en los siguientes bloques:

   Mira cómo se hace en la siguiente animación:

2. Para el paso 4, la repetición de cuadrado, se hace con un bloque de tipo contar que aparece en el menú secuencias (En opciones has tenido que seleccionar Colección avanzada de bloques)

No obstante, si no lo has conseguido pero quieres ver cómo se puede hacer, al final de la documentación tienes un enlace a una posible solución.

Enlaces

Aquí tienes unas posibles soluciones, pero no las mires hasta que lo hayas hecho tú. ¡Si no, no tiene gracia! :

• Estrella mudéjar sencilla
• Estrella "mudejar" hexagonal
• Estrella "mudéjar" paramétrica sencilla
• Estrella "mudéjar" paramétrica