Matemática Aplicada (Introducción a la Modelación Matemática en Cs. Ambientales)

• Comisión Ecología: Dr. Leandro Giordano / Prof. Silvana Ávila

Módulo III: Introducción a las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y a los Sistemas Dinámicos Continuos

Objetivo

• Poder formular expresiones formales que caractericen la dinámica de procesos físicos y ecológicos (i.e. mediante ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden)

Aplicaciones

1. Formulación de sistemas dinámicos continuos

   • Ejemplos: Identificar flujos y estados, elaborar ecuaciones de conservación y obtener la solución general o particular de lso modelos formulados

Ámbito de Aplicación

Análisis de Sistemas Dinámicos

Ya se ha visto que todo sistema puede definirse como un conjunto de componentes y flujos. Así, cada componente queda caracterizada por mecanismos específicos que describen las leyes que regulan el flujo de materia, energía o información a través su frontera y que alteran el estado del sistema.

Consecuentemente, el caso más simple de un sistema dinámico queda descrito por una única componente, caracterizada por una única variable de estado $x(t)$ - la cual representa la cantidad de materia, energía o información presente en el sistema en un instante específico -, que varía en función del tiempo y de acuerdo a las tasas instantáneas de entrada y salida de materia, energía o información $I(t)$ y $Q(t)$. Esto se ejemplifica en la figura 1.

En función de todo lo anteriormente expuesto en el transcurso de este taller, se sabe que $\frac{dx}{dt}$ será la tasa de variación instantánea de $x(t)$. A la vez, podemos suponer que la cantidad total de materia, energía o información dependerá del balance entre entradas y salidas, de forma tal que matemáticamente esto se puede expresar mediante la siguiente ecuación:

$$\dfrac{dx}{dt}=I(t)-Q(t)$$

la cual es una ecuación de conservación, pues establece que la 'cantidad total de materia/energía/información disponible en un instante variará de acuerdo a la diferencia entre de las tasas instantáneas de entrada y salida de materia/energía/información'. Así, por ejemplo, si la salida es mayor a la entrada, la cantidad disponible en el sistema disminuirá, si ocurre lo contrario aumentará y si ambas tasas son iguales, la cantidad permanecerá estable.

Por otro lado en muchos problemas de aplicación, es bastante común que resulte más fácil obtener datos o información sobre las tasas de entrada y salida que sobre el valor de la cantidad total disponible. Por ejemplo:

• En un tramo fluvial es más fácil medir el caudal de ingreso y el caudal de salida que el volumen almacenado instantáneamente en dicho tramo.

• Para el conteo de humedad en el suelo o el cómputo de las reservas subterráneas, en donde la observación directa de los volúmenes almacenados es una práctica poco común o de difícil consecución fuera de la escala de laboratorio.

• Ciertamente, para una población es más sencillo medir las muertes, nacimientos y flujos migratorios, que realizar un censo de población o al menos es más fácil realizarlo con mayor frecuencia.

En procesos como estos, de acuerdo a la información de entrada y salidas podrían postularse leyes que caractericen $I(t)$ y $Q(t)$.

Luego, el problema planteado consiste en hallar la estructura de $x(t)$ a partir de la información provista por $I(t)$ y $Q(t)$. Intuitivamente, si se sabe que:

$$\dfrac{dx}{dt}=I(t)-Q(t)$$

podría operarse mediante:

$$\int dx=\int \left [I(t)-Q(t) \right] dt $$

resolviéndose la integración, de acuerdo a las reglas del álgebra presentadas previamente, obteniéndose una solución general que involucra una constante de integración $C \in \mathbb{R}$. Esto es, un conjunto de infinitas soluciones. A la vez, si se conociera el valor de la cantidad $x(t)$ para $t=t_0$, denominado condición inicial, podría operarse para obtener el valor de $C$ que satisface dicha condición, obteniéndose una solución particular.

Asimismo, las ideas que se desarrollaron también pueden aplicarse para analizar la variación de un conjutno de estados dentro de un sistema, en un espacio unidimensional, considerando un instante o un intervalo de tiempo fijo, dado que también se obtendrían ecuaciones diferenciales ordinarias en dicho caso. Un ejemplo típico de aplicación es la obtención de la curva de distribución estática de presión $P(z)$, en función de la elevación $z$, para en un volumen de aire a temperatura constante (proceso isotérmico).

Introducción a las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Aclaración

A continuación se desarrollarán someramente los principales conceptos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de primer grado, a manera de guía para señalar los aspectos conceptuales más relevantes, necesarios para un correcto desarrollo, formulación y resolución de este tipo de ecuaciones, en problemas de aplicación. Al respecto, para un desarrollo más profundo (y también necesario) y a fin de poder cumplimentar los requisitos de evaluación, se refiere al texto de Boyce y Di Prima, 'Ecuaciones diferenciales y problemas de valores de frontera', provisto en la bibliografía obligatoria del presente taller, particularmente los puntos 1.1 (Capítulo 1), 2.1 2.3, 2.5 y 2.6 (Capítulo 2).

Definición

Toda Ecuación Diferencial Ordinaria, particularmente de primer grado, tendrá la forma:

$$\dfrac{dx}{dt}=f(x,t)$$

y el problema planteado consiste en hallar el conjunto solución $x(t)$.

Esto es, 'el conjunto de todas las ecuaciones $x(t)$ que satisfacen la ecuación diferencial'. En palabas más simples, aquellas expresiones $x(t)$ cuya derivada en función de la variable independiente $t$ es $f(x,t)$.

Ciertamente, para poder resolver una ecuación diferencial ordinaria o EDO se habrá de operar integrando ambos miembros. En consecuencia, el primer conjunto solución que pueda obtenerse estará compuesto por una cantidad infinita de ecuaciones que sólo variarán en el valor de la constante de integración $C$. Por esto mismo, esta solución se denomina solución general.

Por otro lado, si se conoce el valor de $x(t)$ para $t=t_0$ (siendo $t_0$ un instante arbitrario al que se denomina instante inicial), o lo que es lo mismo $x(t_0)$, valor denominado condición inicial, será posible despejar el valor de $C$ reemplazando $t$ por $t_0$ y $x(t_0)$ por $x(t)$ en la solución general y operando algebraicamente. Así, se obtendrá un conjunto solución compuesto por una única solución, la solución particular de la ecuación diferencial dada dicha condición inicial.

Asimismo, el grado de una EDO queda dado por el orden de al diferenciación o derivación. Así,

$$\dfrac{d^2x}{dt^2}=g(x,t)$$

o,

$$\dfrac{d^2x}{dt^2}+\dfrac{dx}{dt}=h(x,t)$$

Serán ambas EDOs de segundo orden. Específicamente, en este taller trabajaremos con EDOS de primer orden.

Resumiendo

• Una ecuación diferencial es una ecuación cuya solución es un conjunto de ecuaciones (solución general) u otra ecuación (solución particular).

• Siempre uno de sus términos se expresa como cociente de diferenciales (o derivada), mientras el otro suele ser una expresión que combina la función respuesta con la varable explicativa.

• En muchas ocasiones se nos brinda información sobre la tasa de cambio de un proceso,mientras el objetivo consiste en obtener una descripción exacta del proceso. Este es el ámbito de aplicación.

Tipos de EDOs y resolución

EDOS de variables separables

Una EDO se dice de variables separables si:

$$\dfrac{dx}{dt}=f(x,t)=\dfrac{M(t)}{N(x)}$$

Esto es, si es posible expresar $f(x,t)$ como el cociente de 2 funciones, cada una al respecto de cada una de las variables involucradas (independiente y dependiente), esto es: $M(t)$ en función de $t$ y $N(x)$ en función de $x$. Luego si la EDO a resolver presenta la estructura:

$$\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{M(t)}{N(x)}$$

Es posible operar algebraicamente para reacomodar los términos en cada miembro, _separando aquello que depende de $x$ y aquello que depende de $t$, de forma tal que la igualdad puede expresarse como el producto de la función por el diferencial de la variable considerada:

$$N(x){dx}=M(t)dt$$

Luego, integrando ambos miembros se obtiene la solución general:

$$\int N(x){dx}=\int M(t)dt$$

Finalmente, si se conoce el valor de la condición inicial $x(t)$ para $x(t=t_0)$, se reemplazan $x(t=t_0)$ por $x(t)$ y $t$ por $t_0$ en la solución general, pudiendo despejarse el valor de $C$ para dicho caso, obteniéndose la solución particular.

Ejemplo 1. Resolución de una EDO de variables separables

Sea:

$$\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{ln(t)\sqrt{x}}{k}$$

Con $k \in \mathbb{R}$. En donde $N(x)=k/\sqrt{x}$ y $M(t)=ln(t)$. Luego, aplicando el procedimiento para la obtención de la solución general:

$$k \int x^{-1/2}dx=\int ln(t)dt$$

Para este caso, la integración del miembro derecho puede resolverse mediante aplicación de la técnica de integración por partes (puede plantearse $u=ln(t)$, $du=dt/t$, $dv=dx$ y $v=x$). Así, se obtiene (verifique):

$$2k\sqrt{x}=t \left (ln(t)-1 \right)+C$$

Finalmente, se obtiene la solución general:

$$x(t)=\dfrac{\left [t \left (ln(t)-1 \right) \right]^2}{4k^2}+C$$

Luego, si se sabe que la condición inicial es $x(t_0)=100$ y $t_0=1$, reemplazando en la solución general, se obtiene:

$$\begin{align*} 100&=\dfrac{\left [1 \left (ln(1)-1 \right) \right]^2}{4k^2}+C \ 100&=\dfrac{1}{4k^2}+C \end{align*}$$

De manera tal que:

$$C=100-\dfrac{1}{4k^2}$$

Obteniéndose la solución particular:

$$x(t)=\dfrac{1}{4k^2} [\left (t \left (ln(t)-1 \right) \right)^2-1]+100$$

Nota: El ejemplo podría haberse desarrollado con un valor de $k$ específico. La razón de presentarlo así se debe a que en ciertas ocasiones se nos darán modelos, con parámetros cuyos valores pueden desconocerse, como puede ser el caso de un $k$ real desconocido. Se ha visto con una ecuación diferencial ordinaria se obtiene la solución general. Luego, con una ecuación diferencial ordinaria y una condición inicial ($t_0,x(t_0))$ conocida, se otiene una solución particular. Si se deseara obtener el valor de $k$ para un caso específico, luego al agregar una incógnita (como ya se ha visto en SELs), se necesita al menos un dato más para poder determinar su valor, esto es otro par de valores $(t_1,x(t_1))$.

EDOS lineales de primer orden

Toda EDO que se ajuste a la estructura:

$$\dfrac{dx}{dt}+P(t)x=G(t)$$

con $P(t)$ y $G(t)$ siendo funciones explícitas de $t$, constituye una EDO lineal de primer orden.

La solución general de cualquier EDO lineal de primer orden se obtiene mediante el uso del factor integrante $e^{\int P(t) dt}$ en ambos miembros, pudiéndose demostar la siguiente igualdad:

$$x(t)e^{\int P(t) dt}=\int G(t) e^{\int P(t) dt} dt $$

En efecto, si derivamos el miembro izquierdo al respecto de $t$, por regla del producto podrá notarse que:

$$\dfrac{d[x(t)e^{\int P(t) dt}]}{dt}=x(t)\dfrac{d(e^{\int P(t) dt})}{dt}+e^{\int P(t) dt}\dfrac{dx}{dt}$$

Que equivale a (aplicando las propiedades de la diferenciación, cancelándose $dt$ en el primer término desarrollado):

$$\dfrac{d[x(t)e^{\int P(t) dt}]}{dt}=x(t)P(t)e^{\int P(t) dt}+e^{\int P(t) dt}\dfrac{dx}{dt}$$

o simplificando:

$$\dfrac{d[x(t)e^{\int P(t) dt}]}{dt}= \left [x(t)P(t)+\dfrac{dx}{dt} \right] e^{\int P(t) dt}$$

Por otro lado, la derivación de la integral del miembro derecho conduce a (recuérdese que la diferenciación de una integración devuelve el integrando):

$$\dfrac{d \int G(t) e^{\int P(t) dt} dt}{dt}= G(t) e^{\int P(t)dt}$$

Nuevamente, igualando los miembros de la expresión original y reemplazando por los resultados obtenidos:

$$\left [x(t)P(t)+\dfrac{dx}{dt} \right] e^{\int P(t) dt}=G(t) e^{\int P(t)dt}$$

Finalmente, dividiendo ambos términos por el factor de integración, se llega a:

$$\dfrac{dx}{dt}+P(t)x=G(t)$$

Lo que demuestra que efectivamente:

$$x(t)e^{\int P(t) dt}=\int G(t) e^{\int P(t) dt} dt $$

o más llanamente:

$$x(t)=\dfrac{\int G(t) e^{\int P(t) dt} dt}{e^{\int P(t) dt}}$$

es el método de cómputo que permite hallar la solución general de cualquier EDO lineal de primer orden.

En síntesis, para obtener la solución general de cualquier EDO lineal de primer orden:

• Primero debe verificarse que la EDO evaluada se ajusta a la estructura $\dfrac{dx}{dt}+P(t)x(t)=G(t)$ (es efectivamente una EDO lineal)

• Esto implica determinar las formas explícitas de $P(t)$ y $G(t)$. Para esto recuérdese que si $k \in \mathbb{R}$ es una constante cualquiera y se trabaja con formas del tipo $\dfrac{dx}{dt}+kx(t)=G(t)$ ó $\dfrac{dx}{dt}+P(t)x(t)=k$, bien puede asumirse que $P(t)=k$ ó $G(t)=k$, en cada caso.

• Una vez identificada esta estructura se procede a calcular $\int P(t)dt$ a fin de poder determinar exactamente el exponente del factor de integración $e^{\int P(t)dt}$.

• A continuación se resuelve la integral indefinida $\int G(t) e^{\int P(t) dt} dt$

• Finalmente se divide por el factor de integración $e^{\int P(t)dt}$, de forma tal de poder obtener la solución general $x(t)$

• Además, si se brinda información de la condición inicial $(t_0,x(t_0))$ es posible obtener la solución particular reemplazando $x(t)$ por $x(t_0)$ y $t$ por $t_0$ en ambos miembros de la solución general.

Ejemplo 2. Desarrollo y resolución de una ecuación dinámica lineal

Supongamos que el caudal de ingreso para un tramo fluvial está dado por el valor $I(t)=I_0+\lambda sen(at+b)$, en donde $I_0$ es un valor promedio de caudal sobre el cual oscila este ingreso instantáneo y $\lambda$ es un factor que regula la amplitud de las oscilaciones, también en unidades de caudal. Particularmente $a$ es un parámetro de transformación de unidades temporales a radianes (básicamente con valor $2 \pi / T$, siendo $T$ la duración de un ciclo - e.g. un año -, por tanto $a$ se expresa en unidades $t^{-1}$) y $b$ es un valor de desplazamiento de fase (ángulo en radianes, adimensional). Por otro lado, supongamos que el caudal descargado se encuentra en función del almacenamiento en el tramo, siguiendo la forma $KQ(t)=x(t)$. En donde $x(t)$ es el almacenamiento en el instante $t$ y $K$ una constante de proporcionalidad con mismas unidades que $t$ (i.e. se puede asumir como el tiempo de residencia promedio de una partícula de agua en el tramo). Considérese que $a,I_0,\lambda$ y $K \in \mathbb{R}>0$ y $b \in \mathbb{R}$ son parámetros que en un caso específico toman valores concretos (nuevamente, se hace uso de esta generalización).

Ciertamente, como se sabe la tasa de variación del almacenamiento dependerá de la diferencia entre el caudal de entrada y el caudal de salida, esto es una ecuación de conservación:

$$\dfrac{dx}{dt}=I(t)-Q(t)$$

Reemplazando por sus expresiones correspondientes y utilizando la ecuación que vincula el almacenamiento y el caudal de salida, se podrá observar que:

$$\dfrac{dx}{dt}+\dfrac{x(t)}{K}=I_0+\lambda sen(at+b)$$

Que es una EDO lineal con $P(t)=\dfrac{1}{K}$ y $G(t)=I(t)=I_0+\lambda sen(ax+b)$.

Se sabe que la solución general se obtendrá mediante:

$$x(t)=\dfrac{\int G(t) e^{\int P(t) dt} dt}{e^{\int P(t) dt}}$$

• Para esto primero se calcula el exponente del factor de integración $\int P(t) dt$

$$\int P(t)dt = \dfrac{1}{K}\int {dt}=\dfrac{t}{K}+C$$

En términos prácticos, en el cálculo del exponente del factor de integración despreciaremos la constante de integración de este cómputo (puesto que después operando se anula). Así, el factor de integración será considerado como:

$$e^{\int P(t)dt}=e^{t/K}$$

• Luego se procede a calcular la integral del miembro derecho de la igualdad, aplicando las equivalencias ya obtenidas o informadas previamente:

$$\int G(t) e^{\int P(t) dt} dt=\int \left [I_0 + \lambda sen(at+b) \right] e^{t/K} dt=I_0 \int e^{t/k}dt + \lambda \int sen(at+b)e^{t/k} dt $$

La integral $I_0 \int e^{t/k} dt$ se resuelve por cambio de variable $u=t/K$, de manera tal que

$$I_0\int e^{t/K}dt=KI_0e^{t/K}+C$$

La integral $\lambda \int sen(ax+b) e^{t/K} dt$ puede resolverse mediante la técnica de integración por partes, obteniéndose (verifique desarrollando al integración por partes, recuerde tratar a $\lambda, K,a$ y $b$ como constantes):

$$\lambda \int sen(at+b) e^{t/K} dt=\dfrac{-\lambda Ke^{t/K}\left [aKcos(at+b)-sen(at+b) \right]}{a^2K^2+1}+C$$

• Así, Combinando ambas soluciones, se obtiene:

$$\int G(t) e^{\int P(t) dt} dt=KI_0e^{t/K}-\dfrac{\lambda Ke^{t/K}\left [aKcos(at+b)-sen(at+b) \right]}{a^2K^2+1}+C$$

Finalmente, dividiendo la integral precedente por el factor de integración, se obtiene la solución general:

$$x(t)=KI_0-\dfrac{\lambda K\left [aKcos(at+b)-sen(at+b) \right]}{a^2K^2+1}+Ce^{-t/K}$$

• Al mismo tiempo, si se informara que el almacenamiento inicial $x(t_0)=0$, con $t_0=0$, reemplazando en la solución general se obtiene:

$$0 = KI_0-\dfrac{\lambda K\left [aKcos(b)-sen(b) \right]}{a^2K^2+1}+C$$

• de forma tal que:

$$C=\dfrac{K\left [aKcos(b)-sen(b) \right]}{a^2K^2+1}-KI_0$$

En consecuencia, la solución particular a un problema de este tipo con la condición inicial $x(0)=0$ será (reordenando términos y extrayendo algunos factores comunes):

$$x(t)=\dfrac{\lambda K}{a^2K^2+1}\{{\left [aKcos(b)-sen(b) \right]}e^{-t/K}-\left [aKcos(at+b)-sen(at+b) \right]\}+KI_0(1-e^{-t/k})$$