Matemática Aplicada (Introducción a la Modelación Matemática en Cs. Ambientales)

• Comisión Ecología: Dr. Leandro Giordano / Prof. Silvana Ávila

Módulo II: Aplicaciones de Cálculo de una Variable

Objetivo

• Hacer uso de las herramientas de cálculo de una variable para la formulación de modelos matemáticos en la estimación de variables biofísicas, mediante las técnicas de derivación e integración (i.e. cálculo de tasas/valores extremos y de valores acumulados/valor medio, estimación de áreas y volúmenes), incorporando las nociones de diferencial de una variable y una función, por un lado, y de integración definida, por otro.

Aplicaciones

1. Problemas de Extremos (máximos/mínimos, locales/globales, puntos de inflexión)

   • Ejemplos: Estimar rendimientos o puntos de localización óptimos. Estimar el pico y el tiempo al pico de distintas señales (e.g. concentración de un contaminante, caudal líquido en una sección fluvial). Estimar puntos de inflexión (función curvatura).

2. Estimación del área bajo una curva $f(x)$ y del valor medio de $f(x)$, en el intervalo $[x_1,x_2]$. Estimación de volúmenes a partir de aplicación de la técnica de integración en objetos bidimensionales o tridimensionales, sobre la base de un eje $z$ y haciendo uso de las curvas Ancho-Elevación $W(z)$ ó Área-Elevación $A(z)$.

   • Ejemplos: Estimar el stock o reservas acumuladas o su valor medio en un intervalo de tiempo, a partir del conocimiento de sus tasas de variación. Extraer Curvas Área-Volumen a partir de Información Topográfica. Resampleo de señales a distinta resolución temporal.

Integración y Noción de Primitiva de $f(x)$

Dada una función $f(x)$, se define a la primitiva de $f(x)$ como aquella otra función $F(x) + C$, tal que:

$$\dfrac{d \left (F(x)+C \right)}{dx} = f(x) $$

En pocas palabras: "la primitiva de $f(x)$ es toda aquella función $F(x)+C$ tal que su derivada respecto a $x$ es exactamente $f(x)$". En todo caso, $C$ es una constante que puede asumir el valor de cualquier número real. En consecuencia, el conjunto solución está compuesto por infinitas ecuaciones del tipo $F(x)+C$ en donde $F(x)$ es una función explícita de $x$ y $C$ la constante. Asimismo, aplicando las propiedades fundamentales de la diferenciación podrá notarse que:

$$\dfrac{d \left (F(x)+C \right)}{dx} = \dfrac{dF(x)}{dx} = f(x) $$

Estableciéndose que la derivada de $F(x)$ es $f(x)$ (puesto que la diferenciación de una constante es siempre 0).

A continuación, se introduce el concepto de integral indefinida de $f(x)dx$ como la primitiva de $f(x)$. En consecuencia, la integración es la operación inversa de la diferenciación (esto se deduce a partir del Teorema Fundamental del Cálculo ver aquí o aquí ). Y, además, se se puede observar que la integración es una operación indirecta, mientras la diferenciación es una operación directa.

Esto es, si reordenamos los términos de la ecuación precedente podrá notarse que:

$$dF(x)=f(x)dx$$

De acuerdo a la definición de la primitiva de $f(x)$ como inversa de la diferenciación y utilizando la notación del cálculo integral ( $\int$ ) podrá notarse que:

$$\int dF(x) = F(x) + C$$

Puesto que $d \left(F(x)+C \right) = dF(x) $. Luego, igualando las expresiones queda claro que:

$$F(x) + C=\int f(x)dx$$

Puede observarse que la integración se realiza sobre el producto $f(x)dx$. En otras palabras, sobre el producto de una función y el diferencial de la variable independiente (que bien puede ser función de otrra variable!). Esto guarda un significado fuertemente geométrico. Así, luego podrá deducirse intuitivamente la integral definida si se parte de la definición de la integral como el área bajo la curva $f(x)$. En efecto, se verá que este cómputo puede realizarse mediante una aproximación numérica conocida como suma de Riemann (ver aquí): en un intervalo $[x_1,x_n]$, compuesto por $n$ sub-intervalos de longitud igual a $\Delta x$, mediante $\sum_{k=2}^{n} f(x_k) \Delta x$.

Propiedades de la integración

Como ya se ha visto, la integración del diferencial de una función o de una variable, tiene por resultado la misma función o variable, más una constante $C$. Esto es:

$$\int dx = x +C$$

$$\int d \left( f(x) \right) = f(x) + C $$

Si bien esta afirmación parece trivial, será de suma utilidad, por ejemplo, para demostrar la base teórica de la técnica de integración por partes.

Asimismo, la integral de $f(x)=0$ será aquella función $F(x)$ cuya derivada sea igual a 0. Esto es, una constante $C$, puesto que la pendiente de una recta con valor constante es igual a 0.

$$\int 0 dx=C$$

Por otro lado, sea $k$ un número real distinto de 0, al igual que en la diferenciación podrá observarse que (producto por un escalar $k$ distinto a 0):

$$\int kf(x)dx=k\int f(x)dx$$

A la vez, la integración es distributiva con la suma (y resta) de funciones, así sean $f(x)$ y $g(x)$ distintas funciones de $x$:

$$\int \left (f(x)+g(x) \right) dx=\int f(x)dx + \int g(x)dx$$

Asimismo, si el integrando está compuesto por el producto de una función $f(x)$ y el diferencial de otra función $d \left ( g(x) \right)$, puede procederse aplicndo la técnica de integración por partes (ver aquí), que establece:

$$\int f(x)d \left ( g(x) \right)=f(x)g(x)-\int g(x)d \left ( f(x) \right)$$

Demostración de la integración por partes a aprtir de las propiedades de diferenciación e integración:

Si se parte del producto de 2 funciones $f(x)$ y $g(x)$, a partir de la diferenciación podrá notarse que (regla del producto):

$$d \left(f(x)g(x) \right)=g(x)d(f(x))+f(x)d(g(x))$$

Luego, si se integran ambos miembros podrá verse que (propiedad distributiva e integral de un diferencial):

$$\begin{align*} \int d \left(f(x)g(x) \right) &= \int [g(x)d(f(x))+f(x)d(g(x))] \ f(x)g(x) &= \int g(x)d(f(x)) + \int f(x)d(g(x)) \end{align*}$$

Finalmente, reordenando los términos (realziando las operaciones algebraicas necesarias), se obtiene:

$$\int f(x)d \left ( g(x) \right)=f(x)g(x)-\int g(x)d \left ( f(x) \right)$$

Por otro lado, si partimos de una integral conocida:

$$\int f(x)dx = g(x) + C$$

y realizamos el cambio de la variable $x$ por una función continua y diferenciable (derivable) $u(x)$, cuya derivada $$u'(x)=\dfrac{d(u(x))}{dx}$$ es también una función continua, se obtiene la expresión general del cambio de variable:

$$\int f(u(x))d(u(x)) = g(u(x))+C$$

Así, para poder aplicar esta técnica se debe identificar un integrando compuesto por la función $u(x)$ y su diferencial $d(u(x))$ (Podrán encontrar ejemplos de cómputo aquí)

Integrales indefinidas de funciones de una variable $u$

Las integrales que se deducen a continaución se han generalizado para una variable $u$, que a la vez puede ser una composición $u(x)$. las mismas se pueden deducir, invirtiendo las definiciones adoptadas en el cálculo diferencial (siguiendo la noción de primitiva).

• Integral de un escalar $k$

$$\int kdu=ku+C$$

Lo cual puede deducirse de manera intuitiva a partir del concepto de primitiva, puesto que la derivada de una recta es un valor constante (la pendiente es constante).

• Integral de polinómicas

$$\int u^n du = \dfrac{u^{n+1}}{n+1}+C$$

Ejemplo 1. Calcular $\int f(x)dx$ con $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$.

Luego, si el polinomio es $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$, de acuerdo a la definición precedente y la propiedad de multiplicación por un escalar y la propiedad distributiva para la suma/resta, aplicando las definiciones precedentes se obtiene:

$$\begin{align*} \int f(x) dx &= a_n \int x^ndx+a_{n-1} \int x^{n-1}dx+...+a_1\int x dx + a_0\int dx \ \int f(x) dx &= a_n \dfrac{x^{n+1}}{n+1}+a_{n-1} \dfrac{x^{n}}{n}+...a_1 \dfrac{x^{2}}{2}+a_0x+C \end{align*}$$

Asimismo, cabe preguntarse ¿Esta generalización aplica para el caso $\int x^{-1} dx$? ¿Por qué?

• Integral de $u^{-1}$

$$\int \dfrac{du}{u} = ln(u) + C$$

En aplicaciones ecológicas será bastante común 'toparse' con este tipo de integración.

• Integral de la función exponencial

$$\int e^u du = e^u + C$$

'Para qué, total... si da lo mesmo'. Esto es parcial, puesto que sabemos que puede darse el caso más general $u=u(x)$. Luego, en dicho caso, habrá que realziar el cambio de variable correspondiente.

• Integral de funciones trigonométricas

Finalmente, de acuerdo a las definiciones adoptadas para la diferenciación, bien puede mostrarse que:

$$\begin{align*} \int sen(u) du &= - cos(u) + C \ \int cos(u) du &= sen(u) + C \ \int sec^2(u) du &= tan(u) + C \ \end{align*}$$

A la vez, nótese que siempre se puede verificar la integración, puesto que su diferenciación debe dar por resultado al integrando. Esto es: si $F(x)+C$ es el resultado de $\int {f(x)dx}$, luego debe satisfacerse $d(F(x))=f(x)dx$ (de acuerdo al concepto de primitiva).

Ejemplo 2. Un simple cambio de variable. Calcular: $$\int e^{ax+b} dx$$

Para esto, primeramente se identifica que la integración responde a la forma $\int e^{u(x)} du$. Luego, se procede al cambio de variable: $$u(x)=ax+b$$ A continuación, se debe computar $du$, para su reemplazo en el integrando, así: $$\begin{align*} du&=d(ax+b) \ du&=adx \ \dfrac{du}{a}&=dx \end{align*}$$ Así reemplazando $ax+b$ por $u(x)$ y $dx$ por $du/a$ en la expresión original, se obtiene (aplicando la propiedad de multiplicación por un escalar y la definición de integral de función exponencial):

$$\begin{align*} \int e^{ax+b} dx &= \dfrac{1}{a} \int e^{u(x)} du \ \int e^{ax+b} dx &= \dfrac{1}{a} (e^{u(x)}+C) \ \end{align*}$$

Finalmente, reemplazando por la expresión original $u(x)=ax+b$, se puede verificar que:

$$ \int e^{ax+b} dx = \dfrac{1}{a} (e^{ax+b}+C)$$

La integral definida $\int_{x_1}^{x_n} f(x)dx$

Partamos de considerar una curva $f(x)$ como la que se muestra en la figura adjunta. Supóngase que quisiéramos computar el área bajo la curva para el intervalo con límite inferior $x=x_1$ y $x=x_n$. En principio, podríamos considerar un conjunto de $n$ intervalos de longitud $\Delta x$ y obtener una estimación mediante la sumatoria de los rectángulos de base $\Delta x$ y altura $f(x)$, tal como se muestra en la Fig. 1 (en donde $x_1=1$ y $x_n$=7).

Bien puede apreciarse que:

$$\sum_{k=2}^{n} f(x_k) \Delta x \approx A(x_1,x_n)$$

En donde $A(x_1,x_n)$ es el área bajo $f(x)$ entre los límites de cómputo $x_1$ y $x_n$, $\Delta x$ es la longitud del paso de cálculo (o resolución adoptada) y $f(x_k)$ es la función $f(x)$ evaluada en el límite superior de cada intervalo (esto es arbitrario, puesto que podría elegirse el límite inferior o el valor mediano de $x$ en cada intervalo).

En la animación puede observarse ademaś que si $\Delta x \to 0$, luego el cómputo, en el límite, es exacto. Esto es:

$$\lim_{\Delta x \to 0} \sum_{k=2}^{n} f(x_k) \Delta x = A(x_1,x_n)$$

Asimismo, ya se pudo ver que $\lim \Delta x \to 0=dx$. Por otro lado, en este límite, la operación sumatoria se transforma en una integral (y, posiblemente de ahí el término 'integración', una 'suma continua'), de modo tal que se establece la siguiente igualdad:

$$\lim_{\Delta x \to 0} \sum_{k=2}^{n} f(x_k) \Delta x = \int_{x_1}^{x_n} f(x)dx$$

En donde el miembro derecho $\int_{x_1}^{x_n} f(x)dx$ se denomina como la integral definida de $f(x)$ en el intervalo $[x_1,x_n]$. El cómputo de la integral definida se realiza mediante la diferencia del valor de la integral indefinifa $F(x)+C$ evaluado en el límite superior $x_n$ al respecto de su valor correspondiente para el límite inferior $x_1$, esto es:

$$\int_{x_1}^{x_n} f(x)dx = F(x_n)+C-[F(x_1)+C]$$

Como las constantes se eliminan (puesto que es la misma constante $C$), se simplifica a:

$$\int_{x_1}^{x_n} f(x)dx = F(x_n)-F(x_1)$$

Reemplazando en las igualdades precedentes queda claro que el área bajo la curva $f(x)$ en el intervalo $[x_1,x_n]$, se computa exactamente mediante:

$$A(x_1,x_n)=F(x_n)-F(x_1)$$

En donde:

$$F(x)+C=\int f(x)dx$$

Valor medio de $f(x)$ en el intervalo $[x_1,x_n]$

El valor medio de una función $f(x)$ para el intervalo $[x_1,x_n]$ puede obtenerse mediante el cómputo de la integral definida y su posterior división por la longitud del intervalo $x_n-x_1$. Esto es:

$$\overline f(x_1,x_n) = \dfrac{\int_{x_1}^{x_n} f(x)dx}{x_n-x_1}$$

En donde $\overline f(x_1,x_n)$ representa el valor medio de la función $f(x)$ para el intervalo $[x_1,x_n]$.

En primer lugar, de acuerdo a lo visto en la introducción al cómputo de diferenciales, puede notarse que si se integra $f(x)$ se obtiene una función $F(x)+C$ para la cual $f(x)$ representa la tasa de cambio local o instantánea de $F(X)+C$ en $x$. Esto era, la pendiente de la recta tangente al punto con coordenada horizontal $x$ y vertical $F(X)+C$, en un sistema de representación rectangular. Luego, el valor medio $\overline f(x_1,x_n)$ representará la tasa de cambio media de $f(x)$ en el intervalo $[x_1,x_n]$, o lo que es lo mismo: la pendiente de la recta secante que une los puntos (x_1,F(x_1)+C) y (x_n,F(x_n)+C), en dicho sistema de representación.

Una aplicación importante de esta definición es que si se conoce el valor medio, es directo el cómputo de la integral definida de $f(x)$ en $[x_1,x_n]$, ya que reordenando los términos podrá notarse que:

$$\overline f(x_1,x_n) (x_n-x_1) = \int_{x_1}^{x_n} f(x)dx $$

Esto lleva a que en muchos procedimientos numéricos se aproxime un valor medio mediante el cómputo de la media aritmética:

$$\overline f(x_1,x_n) \approx \sum_{k=1}^{n} \frac {f(x_k)}{n}$$

Para luego aproximar el valor del cómputo del área bajo la curva (o el valor acumulado de $f(x)$ entre $x_1$ y $x_n$) mediante el uso de la definición precedente. En efecto, una aplicación directa del cálculo integral consiste en estimar el valor acumulado de $f(x)$ o área bajo la curva (recordemos que la integración es una 'suma continua'), que representa generalmente una tasa de cambio en un proceso dinámico o en una dimensión espacial, mediante la integral definida $F(x_n)-F(x_1)$, tal cual se pide en varios de los ejercicios prácticos de la guía de TPs de la cursada de Matemática Aplicada (Comisión Ecología).

Ejemplos de aplicación

1.a Cómputo del valor acumulado de un atributo dinámico, sobre la base de su tasa de variación

En Cs. Ambientales es bastante común realizar mediciones directas o indirectas de las tasas de crecimiento instanáneas o locales en los atributos de algún proceso físico o biofísico (e.g. caudal líquido en el ciclo hidrológico, variación de biomasa durente el ciclo fenológico, tasas de supervivencia y reproducción en la dinámica de poblaciones). Asimismo, en muchas ocasiones se desea estimar el valor acumulado del atributo durante un intervalo finito en el tiempo o en el espacio.

Supóngase que se conoce la tasa de variación de biomasa $M$ para una especie animal en función del tiempo (esto es, su derivada temporal):

$$\dfrac{dM}{dt}=f(t)$$

y desea estimarse el valor acumulado o la variación total de biomasa entre dos instantes $t_1$ < $t_2$. Bien puede procederse realizando las operaciones algebraicas correspondientes, de manera tal que puedan reordenarse los términos de ambos miembros, dando lugar a la expresión:

$$dM=f(t)dt$$

luego, integrando ambos miembros:

$$\int dM=\int f(t)dt$$

puede obtenerse finalmente la expresión:

$$M(t)=F(t)+C$$

En donde $F(t)+C$ es la primitiva de $f(t)$. Luego, si se desea saber la variación de biomasa entre dos instantes $t_1$ < $t_2$, podrá verse que esto equivale a:

$$\Delta M=M(t_2)-M(t_1)=\int_{t_1}^{t_2}f(t)dt$$

Desarrollemos estas ideas teóricas con un simple ejemplo práctico.

Consideremos que la tasa de crecimiento de la población total de una especie animal $M$ (en miles de infividuos) puede modelarse mediante:

$$\dfrac{dM}{dt}=1.218t^2-44.72t+709.1$$

en donde $t$ expresa el tiempo en años y $t=0$ se corresponde con el año 1970. Además, supóngase que se desea estimar la variación de población entre 2005 y 2012.

En primer lugar, debemos hallar el modelo general de $M(t)$, esto es la ecuación que expresa el número de individuos de la población (en miles) en función del tiempo $t$. Para poder realizar esto procedemos de acuerdo a lo expuesto precedentemente.

Se puede notar que:

$$f(t)=1.218t^2-44.72t+709.1$$

Luego, se sabe que:

$$dM=f(t)dt=(1.218t^2-44.72t+709.1)dt$$

Integrando ambos términos:

$$\int dM=\int(1.218t^2-44.72t+709.1)dt$$

de manera tal que, aplicando la propiedad distributiva y las definición de integral indefinida de un polinomio de grado $n$, se obtiene el modelo:

$$M(t)=\dfrac{1.218}{3}t^3-\dfrac{44.72}{2}t^2+709.1t+C$$

En donde $C$ es la constante de integración.

Como se verá más adelante, esto constituye una solución general a nuestro primer interrogante, puesto que $C \in \mathbb{R}$ es en principio un valor real cualquiera. Asimismo, se verá que si se conoce el valor $M(t)$ para un instante $t=t_0$ (denominado condición inicial) es posible determinar el valor particular de $C$, igualando las expresiones y reemplazando $t$ por $t_0$ en la función explícita. Así por ejemplo si $t_0=0$ y $M(0)=10$, en este caso $C=10$. Así $M(t)=\frac{1.218}{3}t^3-\frac{44.72}{2}t^2+709.1t+10$ será una solución particular, si $M(0)=10$.

Luego, si se desea computar la variación de población entre dos intantes cualquiera $t_1$ < $t_2$, como se ha visto es evidente que:

$$\Delta M = M(t_2)-M(t_1) = \int_{t_1}^{t_2}f(t)dt$$

de forma tal que, para este cómputo, carece de interés la determinación de $C$, puesto que se anula en la substracción al computar la integración definida. En este caso, si se desarrolla (verifique):

$$M(t_2)-M(t_1) = \int_{t_1}^{t_2}f(t)dt=\dfrac{1.218}{3}(t_2^3-t_1^3)-\dfrac{44.72}{2}(t_2^2-t_1^2)+709.1(t_2-t_1)$$

Luego, si se sabe que $t=0$ se corresponde con el año 1970, luego si se desea averiguar la variación de población entre 2005 y 2012, puede realizarse el cambio de variable por simple substracción y serán $t_1=2005-1970=35$ y $t_2=2012-1970=42$, pudiendo comprobarse que:

$$M(t_2)-M(t_1) = 5584.138$$

Por último, como el resultado está expresado en miles, se podrá afirmar que durante los años 2005 y 2012, se produjo un crecimiento positivo de 5.584.138 individuos.

En conclusión, para todo problema en el cual se conozca una tasa de variación instantánea o local $\frac{dM}{dt}=f(t)$ y se desea conocer la variación $M(t_2)-M(t_1)$, esta puede computarse mediante $\int_{t_1}^{t_2}f(t)dt$.

1.b Cómputo del valor medio

Supóngase que un proceso dinámico, por ejemplo la variación de la concentración de un contaminante en un sitio, pueda ser modelado mediante la ecuación:

$$f(t)=C_0e^{-t/k}t$$

En donde $k$ es un parámetro de forma (decaimiento exponencial), expresado en las mismas unidades que $t$ y $C_0$ presente unidades de concentración por unidad de $t$.

Ahora bien, suponga que se desea computar el valor medio de $f(t)$ para el intervalo de duración $\Delta t=t_2-t_1$. Así, si por definición el valor medio es:

$$\overline f(t_1,t_2)=\dfrac{\int_{t_1}^{t_2} f(t)dt}{t_2-t_1}$$

• En primer lugar se caculará la integral indefinida $\int f(t)dt$
• Luego, se computará la integral definida de $\int_{t_1}^{t_2}f(t)dt$, esto es para el intervalo $t \in [t_1,t_2]$
• Finalmente se realizará el cociente de esta última integral al respecto de la amplitud $\Delta t=t_2-t_1$, obteniéndose el valor medio.

Consecuentemente, primero se procede al cálculo de la integral indefinida (puesto que $C_0$ e una constante que multiplica el integrando):

$$\int C_0 e^{-t/k}tdt= C_0 \int e^{-t/k}tdt$$

Por lo que debe calcularse:

$$\int e^{-t/k}tdt$$

La cual puede obtenerse aplicando la técnica de integración por partes:

$$\int udv = uv-\int vdu$$

considerando los cambios $u=t$ y $dv=e^{-t/k}dt$, luego $du=dt$ y $v=-ke^{-t/k}$

$du$ se obtiene diferenciando $u$ y $v$ último se obtiene por integración de $dv$. Asimismo, en un nivel práctico se omite la constante así puesto que si incluimos $C$, debiera realizarse tanto en $u$ como en $v$, y eventualmente se anulan al operar algebraicamente.

Reemplazando e igualando en la expresión a integar:

$$\int e^{-t/k}tdt=-ke^{-t/k}t+ k \int e^{-t/k}dt$$

Como $\int e^{-t/k}dt=-ke^{t/k}+C$, finalmente:

$$\int e^{-t/k}tdt=-ke^{-t/k}t- k^2e^{-t/k}+C$$

reagrupando, se obtiene la solución general:

$$\int e^{-t/k}tdt=-ke^{-t/k}(t+ k)+C$$

A continuación, se computa la integral definida en el intervalo $t\in [t_1,t_2]$, por definición esto es igual a la resta de la integral indefinida evaluada en $t_2$ al respecto de la integral indefinida evaluada en $t_1$:

$$\int_{t_1}^{t_2} e^{-t/k}tdt=-ke^{-t_2/k}(t_2+ k)+ke^{-t_1/k}(t_1+ k)$$

Para poder computar exactamente la función requerida originalmente, se multiplican ambos miembros por $C_0$ a fin de obtener la integral definida $\int_{t1}^{t2} C_0 e^{-t/k}tdt$. Asimismo, se pueden agrupar las constantes y reordenar los términos, de manera tal que:

$$\int_{t_1}^{t_2} C_0e^{-t/k}tdt=C_0k \left [e^{-t_1/k}(t_1+ k)-e^{-t_2/k}(t_2+ k) \right]$$

Finalmente se divide por la longitud del intervalo $\Delta t = t_2-t_1$ y se obtiene la expresión general para el cómputo del valor medio para el modelo $f(t)=C_0e^{-t/k}t$:

$$\overline f(t_1,t_2)=\dfrac{C_0k \left [e^{-t_1/k}(t_1+ k)-e^{-t_2/k}(t_2+ k) \right]}{t_2-t_1}$$

Y, luego, dados cualesquiera $t_1$ < $t_2$, y dados los valores $k$ y $C_0$ el cómputo del valor medio es directo.

En síntesis, si se siguen estos 3 pasos dada una función explícita $f(t)$, se obtiene la expresión para el cómputo del valor medio

2. Cómputo de áreas y volúmenes

2.1 La aplicación 'indirecta' para el cómputo de áreas y volúmenes de figuras geométricas regulares o irregulares.

Ya se ha visto la fuerza de la definición de la suma de Riemann a fin de introducir la definición y la interpretación geométrica de la integral definida. Este concepto puede utilizarse para el cómputo de secciones transversales de figuras geométricas o su volumen, utilizando el cálculo de una variable, cuando intuitivamente podríamos pensar que necesitaríamos de herramientas de cálculo de varias varibales (para maś detalle ver aquí).

En pocas palabras, si se sabe como varía el ancho de una figura $W(z)$ en función de un eje de integración $z$ (ver Fig. 2), es posible obtener el valor del área $A(z)$. Esto es, si se contruyen rectángulos de base $W(z)$ y espesor $\Delta z$, aplicando la suma de Riemann, se podría afirmar que:

$$\sum_{k=1}^{n-1} W(z_k) \Delta Z \approx A(z_1,z_k)$$

Y más enfáticamente que:

$$\lim_{\Delta Z \to 0} \sum_{k=1}^{n-1} W(z_k) \Delta Z = A(z_1,zk) = \int_{z_1}^{z_n}W(z)dz$$

En consecuencia, definida la función $W(z)$ es posible obetenr $A(z)$, mediante:

$$ \int W(z)dz = A(z)$$

Para ejemplificar esto, tomemos el ejemplo concreto de la Fig. 2. Partamos de computar el área de acuerdo a principios básicos de la geometría euclidiana, a fin de observar primeramente como la aplicación de ambos métodos conduce al mismo resultado (lo cual tendrá beneficios en casos más complejos!)

• Se sabe que el área de un triángulo rectángulo es igual al producto de los catetos divido por 2. Por lo tanto, el área dos triángulos rectángulos será igual al producto de ambos catetos (en efecto, es un rectángulo!).

• Se conoce la elevación $Z$ y el ángulo de inclinación $\phi$ de la sección triangular (datos).

• Utilizando la definición de tangente, podemos establecer que:

$$tan(\phi)=\dfrac{2Z}{W(Z)}$$

Puesto que cada lado adyacente tiene una dimensión $W(Z)/2$ y el opuesto es la elevación Z.

• Reordenando obtenemos la longitud de cada cateto adyacente:

$$\dfrac{W(Z)}{2}=\dfrac{Z}{tan(\phi)}$$

• El área del triángulo de elevación $Z$ es igual a la suma del área de los dos triángulos rectángulos:

$$A(Z)=2 \left [\dfrac{W(Z)}{4} Z \right]=\dfrac{W(Z)}{2}Z$$

• Finalmente, reemplazando:

$$A(Z)=\dfrac{W(Z)Z}{2}=\dfrac{Z^2}{tan(\phi)}$$

Pues bien, ahora procedamos con el desarrollo de la integral definida entre $z=0$ y $z=Z$, de acuerdo a los lineamientos teóricos formulados al principio de este ejemplo (nótese que $Z$ es un valor particular de la variable $z$).

Siguiendo nuestra primer definición establecemos que:

$$A(z)=\int W(z)dz$$

La función $W(z)$ ya ha se descubierto, puesto que para cualquier $z \in [0,Z]$, podremos observar que se satisface (como se ha mostrado inicialmente):

$$\dfrac{W(z)}{2}=\dfrac{z}{tan(\phi)}$$

Luego, reordenando:

$$W(z)=\dfrac{2z}{tan(\phi)}$$

Operando:

$$A(z)=\int \dfrac{2z}{tan(\phi)}dz=\dfrac{2}{tan(\phi)}\int zdz$$

Cuya solución general es:

$$A(z)=\dfrac{2}{tan(\phi)} \dfrac{z^2}{2}+C$$

o lo que es lo mismo:

$$A(z)=\dfrac{z^2}{tan(\phi)}+C$$

Finalmente, si quisiéramos evaluar el valor del área entre $z=0$ y $z=Z$, se aplica la integral definida, eliminándose la constante $C$ y el término con $z=0$, de forma tal que:

$$\int_{0}^{Z}W(z)dz=\dfrac{Z^2}{tan(\phi)}=A(Z)$$

En suma, si se dispone o se puede obtener una expresión $W(z)$, la integral definida $\int_{z_1}^{z_2} W(z)dz$ permite computar el valor de la sección transversal de la figura geométrica para el intervalo definido entre $z_1$ y $z_2$

2.1 La aplicación 'indirecta' para el cómputo de áreas y volúmenes de figuras geométricas regulares o irregulares.

Esta idea también puede utilizarse para el cálculo de volúmenes $V(z)$, si se establece un eje de integración $z$ y se conoce la ecuación que describe la variación del área en función de $z$, $A(Z)$. Este tipo de aplciación es común para el cómputo del volumen almacenado en embalses, a partir de datos topográficos (Fig. 3).

En general el procedimiento es el siguiente:

• A partir de información topográfica y generalmente mediante algún método de ajuste emṕírico o estadístico (e.g. método de mínimos cuadrados, ver Álgebra Lineal de Kolman), se extrae la función cota-área, la expresión explícita de $A(z)$

• Luego se computa $\int A(z)dz=V(z)$

• Finalmente, conocidos los límites de integración $z_1$ y $z_2$, se computa el volumen definido entre ambos límites, aplicando $\int_{z_1}^{z_2}A(z)dz$.

Por ejemplo, supóngase que a partir de un relevamiento y para un embalse se pudo mostrar que la relación cota-área es:

$$A(z)=\lambda z^\gamma$$

Computando la integral indefinida, se obtiene:

$$V(z)=\lambda \dfrac{z^{\gamma+1}}{\gamma+1}$$

Así, si $z_1=0$ y $z_2=Z$, luego:

$$V(Z)=\lambda \dfrac{Z^{\gamma+1}}{\gamma+1}$$