Matemática Aplicada (Introducción a la Modelación Matemática en Cs. Ambientales)

• Comisión Ecología: Dr. Leandro Giordano / Prof. Silvana Ávila

Módulo II: Aplicaciones de Cálculo de una Variable

Objetivo

• Hacer uso de las herramientas de cálculo de una variable para la formulación de modelos matemáticos en la estimación de variables biofísicas, mediante las técnicas de derivación e integración (i.e. cálculo de tasas/valores extremos y de valores acumulados/valor medio, estimación de áreas y volúmenes), incorporando las nociones de diferencial de una variable y una función, por un lado, y de integración definida, por otro.

Aplicaciones

1. Problemas de Extremos (máximos/mínimos, locales/globales, puntos de inflexión)

   • Ejemplos: Estimar rendimientos o puntos de localización óptimos. Estimar el pico y el tiempo al pico de distintas señales (e.g. concentración de un contaminante, caudal líquido en una sección fluvial). Estimar puntos de inflexión (función curvatura).

2. Estimación del área bajo una curva y del valor medio. Estimación de volúmenes a partir de aplicación de la técnica de integración sobre curvas Área-Elevación.

   • Ejemplos: Estimar el stock o resevas acumuladas o su valor medio en un intervalo de tiempo, a partir del conocimiento de sus tasas de varaición. Extraer Curvas Área-Volumen a partir de Información Topográfica. Resampleo de señales a distinta resolución temporal.

Función derivada y Concepto de Diferencial

En el desarrollo de esta sección se asumirá que se está familiarizado con los conceptos básicos de función $f(x):R \to R$ de una variable real $x$ (e.g. definición, univocacidad/biyectividad, teorema de continuidad de Bolzano, funciones polinómicas y funciones trascendentales - exponenciales, logarítmicas, trigonométricas -, límites de una función, funciones invertibles y composición de funciones), propios del desarrollo de una Introducción a las Matemáticas Superiores o de las Matemáticas Generales. En todo caso, se recomienda realizar un breve repaso por los ítems mencionados.

Función Derivada

Es sabido que muchos procesos ecológicos varían continuamente en el espacio o en el tiempo, alterando las magnitudes de los factores involucrados. Por ejemplo, se sabe que la cantidad de biomasa en un organismo irá variando de acuerdo a su estado ontogenético, el cual depende del tiempo. Luego, si el proceso puede describirse a partir de una relación, al menos unívoca, entre el tiempo y la biomasa, y si llamamos $M$ a esta magnitud y $t$ al tiempo, $M(t):R \to R$ será la función que permite asignarle a cada valor real de $t$, un valor real $M$.

En este ejemplo, además debiera considerarse que $t$ estará definido para un subconjunto en el intervalo $[0,T]$ (en donde $T$ es la extensión esperada del ciclo de vida del organismo), tanto como $M$ estará definido en el intervalo $[0,M_0]$ (en donde $M_0$ será la biosama máxima que pueda alcanzar dicho organismo). Así, sería más apropiado formular $M(t):[0,T] \to [0,M_0]$ .

Particularmente, el interés en la formulación de este tipo de modelos puede residir en responder a preguntas tales cómo:

• ¿Cuál es la tasa de crecimiento de la función $M(t)$? ¿Es caracterizable por otra función $f(t)$?

• ¿Hay algún instante $t$ para el cual esta tasa sea máxima, nula o mínima?

• ¿Para qué instantes $t_1,t_2,...,t_n$ la función $M(t)$ presenta máximos o mínimos locales/globales?

• ¿Cambia la curvatura de la función $M(t)$ en algún instante?

Por lo general, una función $f(x)$ puede presentarse de 3 formas:

• (a) Como una tabla con dos columnas, una para la variable $x$ y otra para $f(x)$ (i.e. una matriz con 2 vectores columnas $\mathbf{X}=[x_1,...,x_n]$ y $\mathbf{Y}=[f(x_1),...,f(x_n)]$)

• (b) Como gráfica en un sistema de coordenadas rectangulares $(x,y)$ con $y=f(x)$

• (c) Como expresión análitica o su forma explícita. Por ejemplo, la función lineal $f(x)=a_1 x+a_0$

Cualquiera de estas 3 representaciones es una función matemática, siempre y cuando se satisfaga el principio básico que establece que a cada elemento del conjunto dominio $\mathbf{X}$ le corresponda uno y sólo un elemento del conjunto imagen $\mathbf{Y}$. En este módulo se aplicarán propiedades del Cálculo de una Variable y, de ahí, se trabajará con la forma explícita. Asimismo, se utilizará la representación gráfica de las formas explícitas a fin de facilitar la interpretación de conceptos y operaciones.

La Fig.1 muestra la representación en un sistema de coordenadas rectangulares de una función $f(x)$. A la vez, se señala un subdominio o intervalo de $x$, definido para un valor $x_1$ y un valor $x_2=x_1+h$ (siendo $h$ un número real), para el cual la función es contínua. En efecto, debido a las propiedades de las funciones (univocidad/biyectividad), es posible afimar que este intervalo finito se encuentra asociado a un intervalo finito de f(x), definido entre $f(x_1)$ y $f(x_2)$. Ciertamente, esto puede demostrarse y sostenerse para cualquier intervalo finito de $x$, para el cual $f(x)$ sea contínua.

En principio, introduzcamos la noción de incremento o diferencia finita de la variable $x$. Esto es, dados dos puntos $x_1$ y $x_2$, considerando la información del ejemplo de la Fig. 1:

$$\begin{align*} \Delta x &= x_2 - x_1 = x_1 + h - x_1 = h \ \end{align*}$$

A la vez, introduxcamos el concepto de incremento o diferencia finita de la función $f(x)$:

$$\begin{align*} \Delta f(x) &= f(x_2 ) - f(x_1 ) = f(x_1 + h) - f(x_1) \ \end{align*}$$

Resulta evidente que el cociente de estos incrementos finitos, definido mediante:

$$\begin{align*} \dfrac{\Delta f(x)}{\Delta x} &= \dfrac{f(x_1 + h) - f(x_1)}{h} \end{align*}$$

es la pendiente de la recta secante que une los puntos $(x_1,x_2)$ y $(f(x_1),f(x_2))$.

Esto es, la tasa de incremento medio de $f(x)$ en el intervalo con límites $x_1$ y $x_2$.

Luego, se introduce el concepto de función derivada $f(x)'$ de la función $f(x)$, como el límite de este cociente cuando $\Delta x \to 0$ (o lo que es lo mismo, $h \to 0$):

$$\begin{align} f(x)'=\lim_{\Delta x \to 0}{\dfrac{\Delta f(x)}{\Delta x}} \end{align}$$

La interpretación geométrica es la siguiente: si $\Delta x \to 0$, luego también $\Delta f(x) \to 0$ . Consecuentemente, en el límite, la recta secante de la Fig. 1 se transformará en una recta tangente, aquella que pasa solamente por el punto con coordenadas $x_1$ y $f(x_1)$. Luego, el límite del cociente de estos incrementos finitos representa la tasa de cambio local o instantánea de $f(x)$ en $x_1$, cuyo valor será igual a la pendiente de esta recta tangente a $f(x)$ en $x_1,f(x_1)$. En la Fig. 2 se presenta una animación que da cuenta de esto y lo pone en relación con la noción d1. e diferencial.

Noción de diferencial. Derivada como cociente de diferenciales

Asimismo, se introduce la noción de diferencial de una variable $x$, como el límite de $\Delta x$ cuando $h \to 0$:

$$dx=\lim_{h \to 0} \Delta x$$

En otras palabras, el diferencial de una variable es una diferencia infinitesimal. Coloquialmente, 'tan pequeña como podamos imaginar y aun más, hasta dejar de imaginarlo'. Estrictamente, una diferencia infinitamente pequeña.

Del mismo modo, se introduce la noción de diferencial de una función $f(x)$ como el límite del incremento finito $\Delta f(x)$ cuando $h \to 0$ o lo que es lo mismo cuando $\Delta x \to 0$:

$$df(x)=\lim_{\Delta x \to 0} \Delta f(x)$$

Y así puede observarse también que se sostiene la siguiente igualdad:

$$\begin{align} f(x)'&=\lim_{\Delta x \to 0}{\dfrac{\Delta f(x)}{\Delta x}} \ f(x)'&={\dfrac{df(x)}{dx}} \end{align}$$

que establece que la derivada $f(x)'$ de una función $f(x)$ queda dada mediante el cociente entre ambos diferenciales.

Asimismo, puede observase que se deduce $f(x)'dx=df(x)$. Esto es, se establece que el incremento infinitesimal de una función es igual al producto entre la derivada de la función $f(x)$ y el diferencial de la variable $dx$. Esto será fundamental para entender en mayor profundidad, posteriormente, el cálculo integral (puesto que $f(x)'dx$ será el integrando).

Luego, la pregunta en términos de aplicación será por qué es conveniente la adopción de estas nociones, de la definición de la derivada en términos de un cociente de diferenciales. La respuesta directa es, la diferenciación es una operación y luego $d$ es un operador. Así, si se conocen las propiedades de la diferenciación, el cómputo de la derivada es directo.

Así también, como la derivada $f'(x)$ de la función $f(x)$ representa la tasa de cambio local o instantánea, será útil para detectar máximos (picos) o mínimos (valles), puesto que es sabido que cuando se alcanza un pico o un valle la pendiente de $f(x)$ es 0 (verifique). Además, se debe saber que:

• Toda función $f(x)'$ puede derivarse recursivamente al menos hasta que el valor de la función derivada obtenida sea una constante $k$, como ya veremos (la derivada de una constante es igual a 0, pues la pendiente es 0).

Así, la $n$-énesima derivada de $f(x)$ será aquella función $g(x)$ que se obtiene al iterar(repetir) $n$-veces la operación de derivación sobre $f(x)$ (una vez que se obtiene una derivada, se vuelve a realizar al operación hasta cumplir con $n$ operaciones).

Una aplicación de importancia de esto es el estudio de la segunda derivada de $f(x)$, comúnmente denotada como $f(x)''$. Esta función describe la curvatura de $f(x)$ y será de importante aplicación para la detección de cambios en la curvatura.

Así como primer derivada se denota mediante $f(x)'$, la segunda se denota mediante $f(x)''$ y así en adelante. Asimismo, la notación diferencial es más conveniente, pues permite una mayor generalización. En esta se define a la derivada de orden $n$ como aquella función definida mediante la operación: $$\dfrac{d^n f(x)}{dx^n}$$.

Propiedades de la diferenciación

El río de los recuerdos. Cómputo de la derivada como límite. La 'vieja escuela'

Antes de las propiedades de la diferenciación y su aplicación para el cómputo de derivadas, es muy posible que para esto haya tenido que desarrollar el cálculo del límite de $\lim_{\Delta x \to 0}{\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}}$, de forma explícita.

Por ejemplo, si consideramos:

$$f(x)=ax^2+bx+c$$

Para esto se procedía de la siguiente forma. Se sabe que:

$$\begin{align*} f(x)'=\lim_{\Delta x \to 0}{\dfrac{\Delta f(x)}{\Delta x}}=\lim_{\Delta x \to 0}{\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}} \end{align*}$$

Luego si reemplazamos $f(x)$ por la expresión cuadrática precedente (igualdad precedente), se obtiene:

$$\begin{align*} \lim_{\Delta x \to 0}{\dfrac{\Delta f(x)}{\Delta x}}=\lim_{\Delta x \to 0}{\dfrac{a(x+\Delta x)^2+b(x+\Delta x)+c-(ax^2+bx+c)}{\Delta x}} \end{align*}$$

Desarrollando el binomio y el producto $b(x+\Delta x)$, eliminando las constantes $c$, se llega a:

$$\begin{align*} \lim_{\Delta x \to 0}{\dfrac{\Delta f(x)}{\Delta x}}=\lim_{\Delta x \to 0}{\dfrac{ax^2+2ax\Delta x+a\Delta x^2+bx+b\Delta x-ax^2-bx}{\Delta x}} \end{align*}$$

Aplicando propiedad distributiva y eliminando los factores con igual valor se obtiene:

$$\begin{align*} \lim_{\Delta x \to 0}{\dfrac{\Delta f(x)}{\Delta x}}=\lim_{\Delta x \to 0}{2ax+a\Delta x+b}=2ax+b \end{align*}$$

Luego, finalmente puede establecerse la igualdad:

$$\begin{align*} f(x)'=2ax+b \end{align*}$$

Los pasos del método pueden repertirse para otras funciones. En lenguaje coloquial, la estrategia consiste en eliminar a $\Delta x$ del denominador, a fin de poder calcular el límite de forma directa.

Ciertamente, la aplicación de este método para polinomios de bajo orden puede no ser muy dificultosa para personas con ganas y tiempo (si quiere probar con un ejemplo inicial le recomendamos el cálculo para la función lineal. Intuitivamente podemos pensar que es una constante e igual a su pendiente, pues la recta tangente a los puntos de una recta, es la misma recta).

Como siempre hay entusiastas de la ciencia, muchas personas se dedicaron a estudiar estos límites paralas funciones polinómicas, trignométricas y exponenciales. Gracias a ello, siempre se pudo disponer de tablas de derivadas. Aun así, la introducción del uso del operador diferencial y sus reglas (i.e. las mismas de la derivación), nos permitirá fácilmente deducir derivadas, puesto el carácter directo de la operación. Una vez calculado el diferencial de una función $df(x)$, veremos que en el cociente $\frac{df(x)}{dx}$ (que es la función derivada), $dx$ siempre se anulará.

Diferenciales y Diferenciación de una Función $f(x)$

Al inicio de este módulo se presentó la siguiente igualdad, introduciendo el concepto de diferencial de una variable $x$ y diferencial de una función $f(x)$:

$$\begin{align*} f(x)'=\dfrac{df(x)}{dx} \end{align*}$$

Que como se ha visto, también puede expresarse como:

$$\begin{align*} df(x)=f(x)'dx \end{align*}$$

Quedando en claro que la diferenciación es una operación y, por tanto, $d$ es un operador. En consecuencia, resulta conveniente conocer las leyes del operador $d$ en $f(x)$.

Ya se mencionó que esta expresión tiene importantes consecuencias operativas en el cálculo (el diferencial de una función es el integrando en el cálculo integral). Específicamente se desarrollarán a continuación las vinculadas al cómputo de la derivada. Aún así, no quisiera dejar de notarse que un aspecto bello de esta igualdad es que zanja algunos aspectos en la guerra del cálculo, librada por Newton y Leibniz (ver aquí!), puesto que pone en relación la notación operativa de ambos autores. Luego de terminar la lectura sobre diferenciales, bien puede entretenerse (aquí!)

Propiedades fundamentales

En primer lugar:

0. El diferencial de una constante escalar $k$ es siempre:

$$d(k)=0$$

Esto guarda sentido, puesto que si el valor es constante, cualquier diferencia finita es igual a 0 y, de ahí, que el diferencial también lo sea.

Además:

1. El diferencial del producto de un escalar $k$ y una función $f(x)$ es igual al producto de $k$ por el diferencial de la función $f(x)$:

$$d(kf(x))=kdf(x)$$

2. La diferenciación de funciones es distributiva y conmutativa en la suma (resta). Luego:

$$\begin{align*} d(f(x)+g(x))=df(x)+dg(x)=dg(x)+df(x) \end{align*}$$

3. El diferencial del producto de 2 funciones queda dado mediante (regla del producto):

$$d(f(x).g(x))=g(x)df(x)+f(x)dg(x)$$

4. Finalmente, se introduce la regla del cociente:

$$d \left (\dfrac{f(x)}{g(x)} \right)=\dfrac{g(x)df(x)-f(x)dg(x)}{g(x)^2}$$

Estas propiedades serán utilizadas para simplificar el cómputo de la derivada.

Diferenciación de funciones

A continuación, se introducen las definiciones de la operación diferenciación en funciones polinómicas, trigonométricas, potenciación y logaritmación.

Diferenciación de Polinomios

Para el caso de los polinomios, se introduce el caso general $g(x)=f(x)^n$ (podrá ver que las propiedades 1 y 2 y el desarrollo de un n-nomio así lo permiten).

Nótese que el caso más simple será $f(x)=x$ (función identidad de la variable independiente), de manera tal que $g(x)=f(x)^n=x^n$, en dicho caso. En esta sección utilziamos $f(x)$ en lugar de $x$ pues se está trabajando con el operador 'diferencial de una función'. Asimismo, si $f(x)=x$, luego queda claro que $df(x)=dx$.

Luego, la diferenciación de polinomios queda dada mediante:

$$d(f(x)^n)=nf(x)^{n-1}df(x)$$

Aquí surgen 2 aspectos interesantes. El primero, es que si recuerda la tabla de derivadas de los polinomios, la forma es exactamente la misma (ahí la relación entre operaciones). El segundo, es que siempre al diferenciar una función, el resultado es el producto de otra función y el diferencial de la primera. Esto último tiene consecuencias importantes en el cómputo de la derivada, al eliminar el denominador del cociente.

Veamos un ejemplo, para el caso más simple $f(x)=x$, entonces $dg(x)=d(f(x)^n)=nx^{n-1}dx$.

Y de ahí, $\dfrac{dg(x)}{dx}=\dfrac{nx^{n-1}dx}{dx}=nx^{n-1}$, tal cual puede observarse en una simple tabla de derivadas.

Diferenciación de funciones trigonométricas

Si es necesario repasar sobre la definición de funciones trigonométricas, siempre es conveniente referirse a la circunferencia de radio 1 (ver aquí!). En caso que quieran consultarse las identidades trigonométricas (relaciones entre operaciones), útiles para la simplificación de problemas, pueden consultar en páginas como esta.

Para la forma general $g(x)=sen(f(x))$, $dg(x)$ será:

$$d(sen(f(x))=cos(f(x))df(x)$$

Así, en el caso maś simple si $f(x)=x$, luego $d(sen(x))=cos(x)dx$. De forma tal que: $$\dfrac{d(sen(x))}{dx}=cos(x)$$ Tal cual se puede apreciar en una simple tabla de derivadas. Esto también podrá verificarlo de manera análoga en todas las definiciones posteriores.

Asimismo para $g(x)=cos(f(x))$, $dg(x)$ será:

$$d(cos(f(x))=-sen(f(x))df(x)$$

Finalmente para $g(x)=tan(f(x))$:

$$d(tan(f(x))=sec^2(f(x))df(x)$$

Diferenciación de funciones potenciales/exponenciales

Sea $g(x)=a^{f(x)}$, la expresión general de una función potencial de $f(x)$ (y por tanto de $x$) y de base $a$. Luego $dg(x)$ queda definida mediante:

$$d \left (a^{f(x)} \right)=ln(a)a^{f(x)}df(x)$$

Así, para el caso más simple $f(x)=x$, luego $dg(x)=d(a^{f(x)})=ln(a)a^xdx$ y, de ahi que: $$\dfrac{d(a^x)}{dx}=ln(a)a^{x}$$ como se puede apreciar en una simple tabla de derivadas.

Queda claro que si el exponente $a=e$ (el número exponencial o nepperiano), entonces reemplazando se obtiene:

$$d \left (e^{f(x)} \right)=ln(e)e^{f(x)}df(x)=e^{f(x)}df(x)$$

Así, para el caso más simple $f(x)=x$, puede comprobrase que (verifique): $$\dfrac{d(e^x)}{dx}=e^x$$.

Finalmente para la función inversa de la exponenciación, la logaritmación $g(x)=ln(f(x))$, la diferenciación queda dada mediante:

$$d(ln(f(x))=\dfrac{1}{f(x)}df(x)$$

Así, puede demostrarse que para el caso más simple $f(x)=x$, será (verifique): $$\dfrac{dg(x)}{dx}=\dfrac{d(ln(x))}{dx}=\dfrac{1}{x}$$

Pues bien, con la definición de estas operaciones y de las propiedades fundamentales de la diferenciación de funciones, se ha visto que para el caso más simple $f(x)=x$, la operación es directa, eliminpándose $dx$ en la expresión resultante. A continuación, se introducirá una regla con importante aplicación (y hasta ahora, como podrá ver a posteriori fue aplicada implícitamente), pues nos permitirá derivar de forma sencilla funciones compuestas de la variable independiente.

Regla de la cadena

Sea $g(u)$ una función de una variable $u=f(x)$ (i.e. luego puede realizarse la composición de funciones). Además, sean ambas funciones continuas y derivables en un dominio específico de $x$. Podrá mostrarse, que en términos algebraicos se sostiene la igualdad:

$$g(x)'=\dfrac{dg(u)}{dx}=\dfrac{dg(u)}{du}\dfrac{du}{dx}$$

Que en términos operativos equivale a:

$$g(x)'=\dfrac{dg(u)}{du}\dfrac{df(x)}{dx}$$

Que también puede expresarse como:

$$g(x)'=g(u)'f(x)'$$

En pocas palabras, en dicha situación la derivada $g(x)'$ equivale al producto de derivar $g(u)'$ y $f(x)$'.

Ejemplo de aplicación de la regla de la cadena

Sea $g(x)=cos(u)$ con $u=f(x)$ y $f(x)=ax^n+b$. Luego, puede plantearse de acuerdo a lo formulado: $$\dfrac{dg(x)}{dx}=\dfrac{dg(u)}{du}\dfrac{du}{dx}=\dfrac{dg(u)}{du}\dfrac{df(x)}{dx}$$ Primeramente puede resolverse: $$\dfrac{dg(u)}{du}=\dfrac{-sen(u)du}{du}=-sen(u)$$ Luego, mediante la aplicación de las propiedades y definiciones fundamentales de la diferenciación de funciones, también se procede a resolver: $$\dfrac{du}{dx}=\dfrac{df(x)}{dx}=\dfrac{d(ax^n+b)}{dx}$$ $$\dfrac{du}{dx}=\dfrac{d(ax^n+b)}{dx}=\dfrac{d(ax^n)}{dx}+\dfrac{d(b)}{dx} $$ $$\dfrac{du}{dx}=anx^{n-1}\dfrac{dx}{dx}+0$$ $$\dfrac{du}{dx}=anx^{n-1}$$ Finalmente, reemplazando ambos resultados en la igualdad formulada originalmente, y sustituyendo mediante la definición explícita de $u=f(x)$ se obtiene:

$$\begin{align} \dfrac{dg(x)}{dx}&=-ansen(u)x^{n-1} \ \dfrac{dg(x)}{dx}&=-ansen(ax^n+b)x^{n-1} \ \end{align}$$ O lo que es lo mismo: $$g(x)'=-ansen(ax^n+b)x^{n-1}$$

En los slides de los talleres precedentes (NotasdeAula3.pdf) podrán obserar un desarrollo alternativo de esta regla, aplicando directamente las propiedades de diferenciación de forma recursiva, primeramente al diferenciar $g(u)$ y al reemplazar $u=f(x)$ y continuar diferenciado hasta reducir la diferenciación a $dx$, el diferencial de la variable independiente de la función (composición) explícita $g(x)$ (debe tenerse en cuenta que hay una errata en la primer linea del último paso del desarrollo - una $n$ de más, que luego se corrige -).

Ejemplos de Aplicación

Ejemplo 1. Determinación del tiempo al pico y su relación con el tiempo de residencia para un modelo de tránsito de caudales (función impulso-respuesta)

Para la simulación del tránsito de caudales o de contaminantes sobre una red fluvial, más específicamente para la elaboración de funciones de transferencia en sistemas lineales, es común asumir una función de impulso-respuesta, que muestra cómo se distribuiría temporalmente un impulso de escorrentía generado en una cuenca sobre el punto de cierre de esta, el traslado de un impulso de caudal registrado aguas arriba hacia un punto situado aguas abajo o el vuelco instantáneo de un contaminante, desde un punto situado aguas arriba en su arribo a un sitio aguas abajo, entre otras situaciones (e.g. también puede simular la distribución temporal en respuesta a la ingesta instantánea de una sustancia).

Para el tránsito de caudales o de sustancia contaminantes, una aproximación para obtener dicha función consiste en conceptualizar la red fluvial, o el tramo considerado, como un sistema de $n$ reservorios en serie, para los cuales la relación entre la descarga y el almacenamiento es lineal ( $S=kQ$, con $S$ siendo el almacenamiento, $Q$ el caudal y $k$ una constante de proprocionalidad que representa el tiempo de residencia medio). La Fig. 3 muestra una cascada de $n$ reservorios lineales y las funciones de transferencia que se obtendrían en cada uno de estos (si $n=1,2,3...,N$). Nótese como la onda se atenúa y retarda al incrementarse el número de reservorios, por efecto del almacenamiento (esto es algo que puede observarse en el fenómeno de tránsito y que se puede reproducir con este modelo).

Como veremos luego, cuando se desarrollen las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Lineales de Primer Grado, esta asunción conduce al siguiente modelo matemático (por ahora, tómelo por hecho!):

$$Q(t)=\dfrac{Q_0}{(N-1)!} \left(\dfrac{t}{k} \right)^{N-1} e^{-t/k} $$

En donde $Q(t)$ es el caudal o la concentración de un contaminante observado aguas abajo en el instante $t$ (con $t=0$ indicando el instante inicial del tránsito de un impulso de escorrentía/caudal o del vuelco de un contaminante, de forma tal que $t>=0$). El parámetro $N$ representa la cantidad de reservorios, la función $(N-1)!$ se conoce como función factorial (ver aquí!). Finalmente, $k$ es un parámetro que representa el tiempo de residencia promedio de una partícula de agua o de la sustancia contaminante y $Q_0$ representa el impulso de caudal ingresante al tramo o la concentración de contaminante que se volcó en el instante $t=0$, con las mismas unidades que $t$.

Así por ejemplo, la Fig. 4 muestra como un ingreso instantáneo de caudal de 500 $m^3/s$ se distribuiría a la salida de un tramo compuesto por 3 reservorios lineales, con tiempo de residencia $k$ igual a 2.5 días, y $t$ expresado en días.

Para el caso de este modelo, bien podríamos indagar si bien pudiera establecerse alguna relación directa entre el tiempo al pico $t_p$ (el instante en que $Q(t)$ es máximo) y el parámetro de tiempo de residencia $k$. Entre otras cosas, puesto que observado un tiempo al pico, bien podría permitirnos inferir el valor del parámetro o, simplemente, dado que conociendo el parámetro se podría calcular directamente este.

En efecto, si el tiempo al pico $t_p$ es el instante para el cual la función $Q(t)$ se maximiza luego debe satisfacerse:

$$\dfrac{dQ}{dt}=0$$

Por lo que primero se procede a calcular la primer derivada. Aplicando las propiedades de diferenciación podemos desarrollar esto mediante:

$$\begin{align*} \dfrac{dQ}{dt}=\dfrac{Q_0}{(N-1)!} \dfrac{d}{dt} \left[ \left (\dfrac{t}{k} \right)^{N-1} e^{-t/k} \right] \end{align*} $$

Aplicando la regla del producto y la definición de diferenciación de un polinomio y de la función exponencial, se obtiene:

$$\begin{align*} \dfrac{dQ}{dt}=\dfrac{Q_0}{(N-1)!} \left [ - \left (\dfrac{t}{k} \right)^{N-1} \dfrac{e^{-t/k}}{k} + \dfrac{(N-1)}{k} \left (\dfrac{t}{k} \right)^{N-2} e^{-t/k} \right ] \end{align*} $$

De manera tal que igualando a 0 la derivada y utilizando el factor común $\left (\dfrac{t}{k} \right)^{N-2} \dfrac{e^{-t/k}}{k}$, eliminando $\dfrac{Q_0}{(N-1)!}$ (puesto que al realizar $\frac{dQ}{d0}=0$ así puede hacerse, pues es una constante que puede sacarse de la diferenciación - verifique, propiedad 0 -), se debe satisfacer:

$$\begin{align*} \left (\dfrac{t}{k} \right)^{N-2} \dfrac{e^{-t/k}}{k} \left (\dfrac{-t}{k} + N - 1 \right)=0 \end{align*} $$

Luego, por un lado se sabe que:

$$\left (\dfrac{t}{k} \right)^{N-2} \dfrac{e^{-t/k}}{k}=0$$

si y sólo si $t=0$. Y en tal caso es un mínimo. Luego, resta analizar el otro término, evaluando para qué valores de $t>=0$ se satisface:

$$\left (\dfrac{-t}{k} + N - 1 \right)=0$$

Concluyendo que $t$ debe ser:

$$t=(N-1)k$$

Como puede observarse, en este tipo de función este valor será un máximo absoluto, por tanto bien puede corrobarse que para este modelo, siempre será:

$$t_p=(N-1)k$$

Así, para el caso del ejemplo de la Fig. 4 si $N=3$ y $k=2.5$ días, luego $t_p$ será igual a 5 días. Por otro lado, si hubieran informado que se tratara de un sistema con 3 reservorios lineales, con pico de respuesta al impulso igual $t_p=5$ días, se podría haber deducido que $k=2.5$ días.

Ejemplo 2. Localización óptima en un espacio isotrópico. Un primer modelo simple.

En principio diremos que un espacio isotrópico es aquel para el cual la variación de una magnitud $z$ sólo depende de la distancia $x$ a un foco o punto central, sin importar la dirección. Este tipo de asunción sobre la variación de un campo escalar, por ejemplo la renta urbana, fue ampliamente utilizado en Ecología y en Geografía Urbana. En esta última disciplina dio lugar a la Teoría del lugar central de E. Burguess (1925) (ver aquí), de la Escuela de Chicago (Fig. 5).

En consecuencia, podrá decirse que el modelo se simplifica a una relación $z(x)$ (el escalar z es función de una variable x). Por lo general, podemos partir de la asunción que la renta urbana estará controlada por:

• El costo de de desplazarse al centro desde el lugar de residencia. El cual se incrementa a medida que la distancia $x$ también crece. En principio consideraremos que este costo se incrementa linealmente a una tasa $a$, esto es:

$$C_t(x)=ax$$

En donde $C_t(x)$ reprenta el costo de transporte a una distancia $x$ del centro.

• El costo de residencia o de establecerse en un sitio particular. Este costo dependerá de varios factores. En una primera y simple aproximación supondremos que este decrece exponencialmente desde el centro a la periferia (se asume que la competencia por el espacio es mayor), siguiendo la ley:

$$C_r(x)=C_0e^{-x/k}$$

En donde $C_0$ es el costo fijo cuando $x=0$ y $k$ es un parámetro que regula la caída de la renta de residencia.

El costo total $C(x)$ queda dado entonces por:

$$C(x)=C_t(x)+C_r(x)=ax+C_0e^{-x/k}$$

Luego, si quiéramos evaluar en qué sitio se minimizaría la renta y, por tanto, el costo de situarse en el mismo, se encontraría un sitio óptimo. Nuevamente, para esto se procede evaluando:

$$\dfrac{dC}{dx}=0$$

Desarrollando, mediante la propiedad distributiva de la diferenciación y mediante las definiciones para polinomios (una recta lo es, de grado 1) y exponenciales, se obtiene:

$$\dfrac{dC}{dx}=a-\dfrac{C_0}{k}e^{-x/k}=0$$

de modo tal que operando se obtiene, que el candidato a mínimo debe satisfacer:

$$x=- k \left [ln(a) + ln (C_0) - ln(k) \right]$$

La Fig. 6 muestra un modelo de este tipo, con parámetros a=1.5 ARG/km k=0.5 km y C0=100 ARG (En donde ARG representa pesos, sí... un poco desactualizado... pero en 1925 debía ser bastante!)