Módulo I: (a) Sistemas de Ecuaciones Lineales - leangior/MAP GitHub Wiki

Matemática Aplicada (Introducción a la Modelación Matemática en Cs. Ambientales)

  • Comisión Ecología: Dr. Leandro Giordano / Prof. Silvana Ávila

Módulo I: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Modelos Matriciales

Objetivo

  • Aprender a formular y operar modelos matemáticos para la estimación de magnitudes físicas, ecológicas o demográficas, mediante el uso de sistemas de ecuaciones lineales y su representación matricial

Aplicaciones

  1. Hallar el conjunto de soluciones posibles para un sistema de ecuaciones lineales que caracteriza una situación específica en tiempo o espacio [modelos estáticos]

    • Ejemplos: Estimar la distribución de individuos de distintas poblaciones en distintos sitios de acuerdo al stock disponible en cada sitio y a la cantidades necesarias por cada individuo de la población, interpolación espacial o temporal de valores de magnitudes físicas o ambientales formulando los correspondientes sistemas de ecuaciones lineales para determinar coeficientes de polinomios o planos (e.g. considerando la variación de estas magnitudes sobre una transecta o sobre una superficie)
  1. Formular modelos dinámicos en tiempo discreto y evaluar su operación [modelos dinámicos]

    • Ejemplos: Identificar la estructura de un sistema demográfico y formular las ecuaciones lineales que representan la dinámica del tránsito de una cohorte, identificando la matriz de transición del sistema y, de ahí, realizar proyecciones fundadas sobre la evolución del sistema (e.g. concepto de autovalor)
  1. Formular y operar sistemas discretos lineales para la representación de fenómenos de propagación o tránsito de una señal [funciones de transferencia de sistemas lineales]

    • Ejemplos: Simular la propagación del vuelco de una sustancia contaminante entre 2 puntos situados en una red de drenaje o simular el tránsito de hidrogramas

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Linealidad

Noción general

En general, se asume que una relación entre dos o más magnitudes es lineal si existe relación de proporcionalidad. En otras palabras, debe existir una relación de escalamiento entre las magnitudes implicadas. Por ejemplo, supongamos una partícula que se desplaza a una velocidad constante. En tal caso, podemos establecer que la longitud recorrida por esta en un tiempo determinado será proporcional a esa velocidad. Esto es, si duplicamos la velocidad y asimismo la mantenemos constante durante un tiempo semejante, observaremos que se duplicará la longitud recorrida. Así como si triplicamos esta velocidad, esta longitud se triplicará. Evidentemente, bajo estas condiciones esto aplica para cualquier cambio en el valor en la velocidad considerada.

En efecto, existen numerosos ejemplos de sistemas físicos para los cuales el flujo de energía o masa entre dos puntos es proporcional a la diferencia del potencial de energía en cada punto. En otras palabras, relaciones lineales que pueden resultar de interés en problemas de aplicación para la estimación de flujos de masa/energía en sistemas hidro-ecológicos. Por ejemplo, la ley de Darcy establece que la velocidad del flujo de agua entre dos puntos situados en un medio poroso saturado es proporcional al cociente entre la diferencia de carga o potencial hidraúlico (variación del nivel piezométrico) y la distancia entre estos. En otras palabras, la velocidad es proporcional a la variación promedio por unidad de longitud de la carga hidraúlica (i.e.la pendiente de energía potencial). Esta proporción es una propiedad física del medio poroso y se denomina conductividad hidraúlica. Luego, conociendo el valor de esta magnitud para un medio poroso específico y midiendo el valor de la carga hidraúlica en dos puntos distintos, conociendo la distancia entre estos, puede calcularse la velocidad de la corriente y, de ahí, el caudal de este medio (conociendo el área de la sección transversal, fig. 1).

https://github.com/leangior/MAP/blob/main/imgs/DarcyMix.png

$$\begin{align*} v.A=Q \space \space ; \space \space v &= k \dfrac{\Delta h}{\Delta L} \ \end{align*}$$

Linealidad Matemática

Más estrictamente y en sentido matemático las relaciones entre magnitudes son aplicaciones lineales $f(x)$ si se satisfacen dos propiedades básicas:

  • Proporcionalidad (Homogeneidad):

$$\begin{align*} f(kx_1)=kf(x_1) \ \end{align*}$$

  • Aditividad (Superposición):

$$\begin{align*}f(x_1)+f(x_2)=f(x_1+x_2) \ \end{align*}$$

La primer propiedad establece que el resultado de evaluar la aplicación para el producto entre un valor $x_1$ cualquiera y un valor real k ( o sea $f(kx_1)$ ) es exactamente el mismo que se obtiene al multiplicar por k el resultado de la aplicación para $x_1$ ( o sea $kf(x_1)$ ). De ahí, que el valor $k$ se denomine escalar. La segunda propiedad establece que la suma de los resultados de evaluar la aplicación en dos valores $x_1$ y $x_2$ ( o sea $f(x_1+x_2)$ ) es exactamente igual al resultado que se obtendría evaluando la aplicación para un valor $x=x_1+x_2$ ( o sea $f(x_1+x_2)$ ). Asimismo, de esto último se deduce que la propiedad puede extenderse a un número arbitrario de $n$ sumandos $f(x_i)$, o sea con $i=1,2,...,n$ (puesto que al aplicar la propiedad pueden ir reduciéndose hasta ser 2 sumandos y luego satisfacerla). Finalmente, combinando ambas propiedades se obtiene la siguiente generalización:

$$\sum_{i=1}^{n}f(k_ix_i)=f(\sum_{i=1}^{n}k_ix_i)$$

con $$\sum_{i=1}^{n}f(k_ix_i)=f(k_1x_1)+f(k_2x_2)+...+f(k_{n-1}x_{n-1})+f(k_nx_n)$$

Asimismo, aplicando la propiedad de proporcionalidad, se podrá observar que esta igualdad es equivalente a:

$$\sum_{i=1}^{n}f(k_ix_i)=k_1f(x_1)+k_2f(x_2)+...+k_{n-1} f(x_{n-1})+k_n f(x_n)$$

Como veremos más adelante, estas dos propiedades serán de fundamental importancia en la operación y resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

Ecuaciones lineales

Como se sabe, las Ciencias Matemáticas se dividen en distintas ramas que se dedican a la formulación y estudio específico de determinados entidates u objetos matemáticos. Así el Análisis Matemático se enfoca en el estudio de las funciones y sus propiedades y el Álgebra en el estudio las propiedades de los números, las ecuaciones, los sistemas de ecuaciones y entidades tales como vectores y matrices. Particularmente, en este primer módulo utilizaremos aplicaciones sobre la base de conceptos y métodos provenientes del Álgebra Lineal.

Una gran cantidad de aplicaciones de ciencias físicas, socio-ambientales e ingeniería, tienen que ver con ecuaciones que relacionan a dos o más conjuntos de variables. Una ecuación del tipo:

$$\begin{align*} ax=b \end{align*} $$

que expresa el valor b en términos de una variable $x$ y de una constante de proporcionalidad a, es una ecuación lineal. En efecto, este es el tipo más simple de ecuación lineal. Asimismo, la ecuación:

$$ \begin{align*} a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n=b \end{align*}$$

que vincula el valor b en términos de las variables $x_1,x_2,...,x_n$ también es una ecuación lineal. En muchas aplicaciones, se conoce el valor b (al que denominaremos término independiente) y las constantes $a_1,a_2,...,a_n$ (a las que denominaremos coeficientes) y se requiere estimar o hallar el conjunto de valores de las variables $x_1,x_2,...,x_n$ (incógnitas) que satisfacen la ecuación. Luego, se entiende como una solución de la ecuación lineal a una sucesión de valores $s_1,s_2,...,s_n$ que tiene la propiedad de satisfacer la ecuación lineal cuando $x_1=s_1, x_2=s_2,...,x_n=s_n$.

Así, para el caso más simple $$ax=b$$ reordenando los términos resulta evidente que $$x=\dfrac{b}{a}$$ es una solución del sistema. A partir de este simple ejemplo podríamos introducir algunos aspectos propios sobre las características de la solución o el conjunto de soluciones posibles, que luego desarrollaremos con mayor profundidad al estudiar sistemas de ecuaciones (en efecto este es el caso más simple de un sistema: de una ecuación con una sola incógnita).

Veamos:

  • Puede notarse que si _b_=0 y _a_=0, la ecuación tiene infinitas soluciones. Puesto que b/a no puede determinarse: se sabe que cualquier número real s puede satisfacer la ecuación (0._s_=0).
  • Asimismo, si _a_=0 y b es distinto de 0, la ecuación no tiene solución (puesto que 0._s_=0 y b es distinto a 0).
  • Por otro lado si, a es distinto de 0 y _b_=0, la ecuación tiene una solución única, siendo _s_=0 (puesto que a.0=0, solución que se denomina trivial).
  • Por último, si a y b son distintos de 0, la solución será única (determinada) e igual s_=_b/a.

Luego, podemos concluir que una ecuación lineal puede tener una solución, múltiples soluciones o ninguna solución. Esto también aplica a la ecuación del tipo $a_ix_1+a_2x_2+...+a_nx_n=b$, puesto que es una combinación lineal (por aditividad) de ecuaciones del tipo más simple $a_ix_i=b_i$ y, de ahí, que se extienda la propiedad.

A la vez, diremos que cualquier solución $s=(s_1,s_2,...,s_n)$ de la ecuación $$a_1x_1+a_2x_2+....+a_nx_n=b$$ cuya notación también puede simplificarse y generalizarse mediante la operación sumatoria $$\sum_{i=1}^{n}a_ix_i=b$$ constituye un vector solución. Específicamente, durante la primer parte de este taller entenderemos al concepto de vector como una lista de valores numéricos. En este caso, será una lista de valores numéricos para la cual el orden de cada uno se asocia con el valor de la incógnita correspondiente (i.e. $x_1=s_1,x_2=s_2,...,x_n=s_n$), de tal manera que si se reemplazan los valores en la ecuación esta se satisface.

Así, por ejemplo se nos pide hallar al manos una solución para la ecuación:

$$\begin{align*} 6x_1-3x_2+4x_3=-13 \end{align*}$$

se podrá establecer que $s=(2,3,-4)$ es un vector solución para esta ecuación (verifique)

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Extendiendo el concepto de ecuación lineal, de manera más general, un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas es un conjunto de $m$ ecuaciones lineales, cada una con $n$ incógnitas y coeficientes y su correspondientes términos independientes. Luego, un sistema de ecuaciones lineales (SEL) constituye una estructura matemática del tipo

$$\begin{align*} a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n&=b_1 \ a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{1n}x_n&=b_2 \ .& \ .& \ .& \ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+...+a_{mn}x_n&=b_m \ \end{align*}$$

Puede observarse que los coeficientes del SEL están afectados por dos subíndices, utilizados para indicar en qué ecuación se encuentra y cuál es la variable afectada. Así, al primero de estos lo denominaremos i, e indica el número de ecuación en la cual se sitúa dicho coeficiente. Al segundo lo llamaremos j, e indica que el coeficiente está asociado a la j-ésima variable de la i-ésima ecuación lineal. De forma análoga el subíndice i también se utiliza para notar el i-ésimo término independiente del SEL (evidentemente existe uno solo por ecuación). Así, la i-ésima ecuación de cualquier SEL puede notarse mediante $$a_{i1}x_1+a_{i2}x_2+...+a_{ij}x_j+...+a_{in}x_n=b_i$$

Por lo general, como ocurre cuando debe resolverse cualquier ecuación y extendiendo el concepto a un SEL, los coeficientes $a_{ij}$ son constantes con valores conocidos y dados los valores $b_1,b_2,...,b_n$ se desean determinar los valores $x_1,x_2,...,x_n$ que satisfacen cada ecuación del SEL.

Análogamente a lo planteado para una ecuación lineal, una solución del SEL es una sucesión de n números $s_1,s_2,...,s_n$ que tiene la propiedad de que cada ecuación del SEL se satisface cuando $x_1=s_1,x_2=s_2,...,x_n=s_n$. Luego, el problema operativo radica en hallar un vector solución o el conjunto de todos los vectores solución que satisfacen el SEL. Así, en el contexto de aplicación esto implicará la formulación de un SEL de acuerdo a los datos y marcos teóricos disponibles. Esto es, siempre y cuando, se disponga de datos suficientes u sea válida una aproximación lineal para la descripción del fenómeno o el proceso observado.

Para encontrar las soluciones de un SEL se utiliza una técnica denominada método de eliminación. Esta técnica se desarrrolla aplicando las propiedades de proporcionalidad (homogeneidad) y aditividad (supersposición).

Método de eliminación. Noción de ecuación equivalente y dependencia lineal

Supongamos que se nos presenta una ecuación lineal $$a_{i1}x_1+a_{i2}x_2+...+a_{ij}x_j+...+a_{in}x_n=b_i$$

De acuerdo al principio de proporcionalidad, el producto de esta ecuación por cualquier constante k constituye una ecuación equivalente, esto es: el conjunto solución de una y la otra es el mismo. Asimismo, por el principio de aditividad si se nos presenta un SEL de 2 o más ecuaciones

$$\begin{align*} a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n&=b_1 \ a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{1n}x_n&=b_2 \ .& \ .& \ .& \ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+...+a_{mn}x_n&=b_m \ \end{align*}$$

la suma de 2 ecuaciones o más produce otra ecuación equivalente. En consecuencia, puede operarse en el sistema multiplicando ecuaciones por cualquier escalar k y sumando/restando ecuaciones, de forma tal que se obtengan ecuaciones equivalentes en las cuales se hayan eliminado incógnitas, pudiendo despejar el valor de otras.

Asimismo, diremos que toda ecuación equivalente del sistema depende linealmente de alguna de las ecuaciones de este (pues es una combinación lineal que surge de sumar un múltiplo de una ecuación a otra). La noción de dependencia lineal será útil para identificar si en un SEL que se nos presente, alguna de estas ecuaciones es equivalente o depende linealmente de otras. Puesto que esto tiene fuertes implicancias en el tipo de solución que el SEL pueda presentar.

Ejemplo 1. Estimación del número de individuos de 2 poblaciones a partir del conocimiento del total de individuos de ambas y su proyección de crecimiento anual

En una isla la población de 2 especies de Marsupiales asciende a $10^5$ individuos. Por otro lado se ha proyectado que el crecimiento anual de una de estas poblaciones será del 5%, mientras que la otra crecerá a un ritmo del 9%, de manera tal que si se suman las proyecciones se estima que a fin de año habrá 7800 individuos más en la isla, considerando ambas especies.

Sol: En primer lugar habremos de identificar el SEL que puede deucirse a partir de esta información. Así, si llamamos $P_1$ a una población de marsupiales y $P_2$ a otra, de acuerdo a la información brindada podremos establecer lo siguiente:

Las dos especies suman 10^5 individuos:

$$P_1+P_2=10^5$$

Se proyecta un crecimiento conjunto de 7800 individuos, al 5% anual en una especie y al 9% anual en otra:

$$0.05P_1+0.09P_2=7800$$

En consecuencia se obtiene un SEL de 2 ecuaciones, con 2 incógnitas:

$$\begin{align*} P_1+P_2&=10^5 \ 0.05P_1+0.09P_2&=7800 \end{align*}$$

Utilizando el método de eliminación podemos proceder de la siguiente manera: (a) multiplicamos la primer ecuación por 0.05 (proporcionalidad) y (b) le restamos la segunda ecuación (aditividad y proporcionalidad). Dicho de una manera más estricta en términos de operaciones algebraicas: en realidad para restar multiplicamos por -1 a la segunda ecuación y se la sumamos a la primera multiplicada por 0.05 (de manera tal que se utilizan el principio de proporcionalidad y el de aditividad, combinados) $$0.05P_1+0.05P_2+(-1)(0.05P_1+0.09P_2)=0.0510^5-7800$$ obteniendo la ecuación equivalente $$-0.04P_2=-2800$$ que también es equivalente a $$0.04P_2=2800$$ Así, puede despejarse el valor $P_2=70000$. Finalmente, reemplazando este valor en la primera ecuación puede verficarse que $P_1=30000$, de forma tal que el vector solución es $$s=(30000,70000)$$.

En este simple ejemplo podríamos notar 2 observaciones fundamentales:

  • La cantidad de ecuaciones linealmente independientes es igual a la cantidad de incógnitas (2x2) [ninguna de las 2 ecuaciones es combinación lineal de la otra]
  • El sistema tiene solución única

Esto se último se puede generalizar, puesto que mediante el uso de coefiecientes generalizados del tipo $a_{ij}$ y operación por eliminación se obtiene la demostración. Luego, al introducir el concepto de matriz y las reglas básicas del álgebra matricial, tanto como la representación matricial de un SEL, veremos que esto puede extenderse a cualquier SEL de m ecuaciones y n incógnitas cuando m_=_n y las ecuaciones sean linealmente independientes. De aquí que en cursos de nivel secundario se nos repitiera que el sistema tiene solución única si la cantidad de incógnitas es igual a la cantidad de ecuaciones linealmente independientes.

Ejemplo 2. Estimación de stock disponible de recursos en función del rendimiento específico y el stock disponible de insumos para la producción

En un experimento agro-ecológico se desea inicialmente producir tres tipos distintos de pasturas para luego realizar algunas pruebas. Para realizar esto se conocen los requerimientos de consumo de agua y abono, por parte de cada una de ellas, y se dispone de un stock limitado de insumos. En este caso específico:

  • Cada Kg de cultivo de las pasturas A,B y C requiere 2, 3 y 4 litros de agua, respectivamente.
  • Cada kg de cultivo de las pasturas A,B y C requiere 2, 2 y 3 gramos de abono, respectivamente.
  • Se disponen de 800 litros de agua y 600 gr de abono

Sol: Nuevamente, debemos identificar el SEL. Así si llamamos $N_A,N_B$ y $N_C$ a la producción total por cada pastura, podríamos proceder considerando los datos que nos han brindado. Organicemos la información y formulemos el modelo matemático para realizar esta estimación, sobre la base de un SEL:

  • Cada Kg de cultivo de las pasturas A,B y C requiere 2, 3 y 4 litros de agua y además se disponen de 800 litros. Lo que puede formalizarse mediante:

$$\begin{align} 2N_A+3N_B+4N_C=800 \end{align}$$

  • Cada Kg de cultivo de las pasturas A,B y C requiere 2, 2 y 3 gramos de abono y además se disponen de 600 gramos. Lo que puede formalizarse mediante:

$$\begin{align} 2N_A+2N_B+3N_C=600 \end{align}$$

Así, la estimación puede realizarse hallando la solución del SEL:

$$\begin{align} 2N_A+3N_B+4N_C=800 \ 2N_A+2N_B+3N_C=600 \end{align}$$

Para esto se procede por método de eliminación, por ejemplo restando la segunda ecuación a la primera, de manera tal que se elimina $N_A$ $$N_B+N_C=200$$ Lo que conduce a $$N_B=200-N_C$$ Luego, reemplazando el valor $N_B$ por su expresión en función de $N_C$, en la primer ecuación se obtiene $$N_A=100-\dfrac{N_C}{2}$$ Finalmente, como la producción no puede tomar valores negativos debe staisfacerse $$0<=N_C<=200$$ Puesto que si $N_C>200$ luego $N_B<0$ que es una condición que no podría observarse (el modelo matemático formulado mediante el SEL representa la producción de bienes y la restricción debe considerarse para formular un conjunto solución adecuado). Así, finalmente el vector solución es $$s=(100-\dfrac{N_C}{2},200-N_C,0<=N_c<=200)$$

En este otro ejemplo podríamos notar 2 observaciones fundamentales:

  • La cantidad de ecuaciones linealmente independientes es menor a la cantidad de incógnitas (2x3)
  • El sistema no tiene solución única, si no que presenta infinitas soluciones, y en principio estas se encuentran en función de la cantidad $N_C$
Ejemplo 3. Cuando no hay solución!

Supongamos que a partir de un enunciado se puede formualr el siguiente SEL

$$\begin{align} \dfrac{1}{2}x_1+2x_2&=4 \ x_1+4x_2&=6 \end{align}$$

Si procedemos de acuerdo al método de eliminación bien pudiera multiplicarse por 2 la primer ecuación y luego restarle la primera. Así, es fácil observar que se arriba a una igualdad que resulta en un absurdo. Dicho de otro modo, procediendo por el método de eliminación pueden eliminarse todas las incógnitas pero no los términos independientes. Esto es:

$$0=2$$

Luego, se puede observar que:

  • Los términos de la izquierda de ambas ecuaciones están vinculados linealmente pero no así los de la derecha (esto es, no son linealmente independientes). Esto es $$2(\dfrac{1}{2}x1+2x_2)=x_1+4x_2$$ Sin embargo $$8 \ne 6$$
  • El sistema no tiene solución

Es más, si reordenamos los términos podremos comprobar que ambas ecuaciones conforman dos rectas paralelas (i.e. la misma pendiente) pero con distinta ordenada al origen

$$\begin{align} -\dfrac{1}{4}x_1+2=x_2 \ -\dfrac{1}{4}x_1+\dfrac{3}{2}=x_2 \end{align}$$

En el apartado siguiente profundizaremos brevemente sobre este significado geométrico.

Tipos de SELs y soluciones

Como se ha visto, un SEL puede presentar un único vector solución, más de uno (o infinitos) o puede no tener solución (o lo que es lo mismo, que sea conjunto vacío). Esto conduce a la siguiente clasificación:

  • Diremos que un SEL es compatible y determinado cuando posee una única solución
  • Diremos que un SEL es compatible e indeterminado cuando posee más de una solución
  • Diremos que un SEL es incompatible cuando no tiene solución

Por otro lado, de acuerdo a lo que pudimos observar:

  • Un SEL de $mxn$ para el cual $m=n$ y todas las ecuaciones sean linealmente independientes será compatible y determinado
  • Un SEL de $mxn$ para el cual $m$ $<$ $n$ y todas las ecuaciones sean linealmente independientes será compatible e indeterminado
  • Un SEL para el cual los coeficientes de las variables sean proporcionales pero no así los términos independientes será incompatible

Al mismo tiempo, es posible mostrar el significado o interpretación geométrica del conjunto solución de un SEL. Por ejemplo, se sabe que

$$\begin{align*} a_{11}x_1+a_{12}x_2&=b_1 \ a_{21}x_1+a_{22}x_2&=b_2 \end{align*}$$

es un SEL de 2x2. Bien puede advertirse que cada ecuación representa una recta (quizás reordenando los términos esto sea más evidente apra cualquiera). Luego la pregunta es ¿es posible definir si un sistema es compatible (determinado o indeterminado) o incompatible mediante su representación gráfica? La respuesa es sí.

Por ejemplo, si tomamos el primer ejemplo y reordenamos los términos, podríamos ver que ambas rectas se intersectan en un único punto, el cual es justamente está conformado por las coordenadas del vector solucion $$s=(30000,70000)$$

https://github.com/leangior/MAP/blob/main/imgs/marsupios.png

Es más, podríamos extender el análisis considerando las distintas represenatciones gráficas de SELs compuestos por 2 rectas, así podríamos observar y concluir lo que se muestra en la fig. 3

https://github.com/leangior/MAP/blob/main/imgs/SELsRectas.png

Esto es, el conjunto de soluciones posibles estará dado por todos los puntos que se encuentren en la intersección de ambas rectas. Luego existen tres posibilidades:

  • (a) que se intersecten en un único punto (solución única, compatible y determinado)
  • (b) que se intersecten en maś de un punto, y en este caso es fácil concluir que esto implica que sean la misma recta y,de ahí, que tenga infinitas soluciones (compatible e indeterminado)
  • (c) que sean rectas paralelas, de forma tal que en un espacio euclidiano no existe intersección y, de ahí, que no tenga solución

Esta observación también podría extenderse a un SEL de 3x3, del tipo

$$\begin{align*} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3&=b_1 \ a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_2&=b_2 \ a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_2&=b_3 \end{align*}$$

en cuyo caso podemos demostrar (o intuir al menos) que las ecuaciones describen planos, de forma tal que los casos que podrían observarse quedan dados por lo que se muestra en la fig. 4

https://github.com/leangior/MAP/blob/main/imgs/PlanosSels.png

Nuevamente, puede mostrarse que la interpretación geométrica de la solución es justamente el conjunto de todas las coordenadas de intersecciones posibles entre estos 3 planos.

Este tipo de interpretación puede extenderse a sistemas de 4x4 o de mayores dimensiones, para las cuales ya no podremos usar 'la imaginación' (como para poder graficarlos en una hoja) pero claramente sí nuestra capacidad de pensar.

Sistemas sobredeterminados

Llamaremos sobredeterminado a aquellos SELS para los cuales el número de ecuaciones linealmente independiente sea mayor al de incógnitas. En muchos casos estos sistemas no tienen solución y, de ahí, que en este curso no nos enfoquemos en su estudio en profundidad. En algunos casos, la formulación de este tipo de sistemas tiene aplicaciones importantes en ciencias e ingeniería, como por ejemplo para el cálculo de flujos en régimen permanente (constantes), si las relaciones que los definen son lineales.

Ejemplo 4. Cálculo del flujo de régimen en un medio saturado compuesto por distintos estratos en serie

Para un perfil de suelo con dos horizontes, ambos con espesores $L_1$ y $L_2$, con conductividades hidraúlcias $k_{s1}$ y $k_{s2}$ y conociendo el potencial hidraúlico en los bordes $H_1$, $H_2$ y $H_3$ (Fig. 5), se desea estimar la velocidad $q$ correspondiente al flujo de equilibrio (permanente) para el caso que el medio se mantuviera completamente saturado

https://github.com/leangior/MAP/blob/main/imgs/MunozCarpena.png

A partir de la ley de Darcy, y lo expuesto en la figura y el enunciado, se sabe que en cada uno de los 2 estratos debe cumplirse

$$\begin{align} q&=\dfrac{(H_1-H_2)}{L_1}k_{s1} \ q&=\dfrac{(H_2-H_3)}{L_2}k_{s2} \end{align}$$

reordenando los términos se obtiene un sistema de 2 ecuaciones y 1 sola incógnita

$$\begin{align} q \dfrac{k_{s1}}{L_1}&=(H_1-H_2) \ q \dfrac{k_{s2}}{L_2}&=(H_2-H_3) \end{align}$$

Por aditividad si sumamos todas las ecuaciones podremos comprobar que

$$q(\dfrac{k_{s1}}{L_1}+\dfrac{k_{s2}}{L_2}) = H_1 - H_3$$

y finalmente, computar:

$$q =\dfrac{H_1 - H_3}{\dfrac{k_{s1}}{L_1}+\dfrac{k_{s2}}{L_2}}$$

que es la solución del sistema.

Asimismo, puede comprobarse que si el sistema estuviera compuesto por N estratos, la solución queda dada mediante

$$\begin{align} q=&{H_1-H_{N+1}} \over {\sum \dfrac{k_{si}}{L_i}} \end{align}$$