用deepseek解决圆周相邻和平方问题的过程

for (int v = neighbors._Find_first(); v < MAX_N; v = neighbors._Find_next(v)) 请把这个循环改为：先取出所有neighbors, 然后按这些neighbors按尚未使用的邻接点数量排序存入数组，再针对数组循环

为了提高代码的效率，我们可以对 neighbors 的处理方式进行优化。具体来说，我们可以先将所有未访问的邻接顶点提取出来，然后根据这些顶点的未使用邻接点数量进行排序，最后再遍历排序后的顶点数组。这样可以优先处理邻接点较少的顶点，从而减少回溯的次数。

以下是修改后的代码：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <bitset>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int MAX_N = 100;  // 假设最大顶点数为 100

class Graph {
    int V;  // 顶点数
    vector<bitset<MAX_N>> adj;  // 邻接表（使用 bitset 表示）
public:
    Graph(int V) : V(V), adj(V) {}
    long long cnt = 0;

    void add_edge(int u, int v) {
        adj[u].set(v);  // 设置 u 和 v 之间的边
        adj[v].set(u);  // 无向图，双向设置
    }

    bool hamiltonian_cycle_util(vector<int>& path, bitset<MAX_N>& visited, int pos) {
        if (pos == V) {
            // 检查是否形成环
            if (adj[path[pos - 1]].test(path[0])) {
                return true;
            }
            return false;
        }

        // 获取当前顶点的邻接顶点 bitset
        bitset<MAX_N> neighbors = adj[path[pos - 1]] & ~visited;

        // 提取所有未访问的邻接顶点
        vector<int> neighbor_list;
        for (int v = neighbors._Find_first(); v < MAX_N; v = neighbors._Find_next(v)) {
            neighbor_list.push_back(v);
        }

        // 按未使用的邻接点数量排序
        sort(neighbor_list.begin(), neighbor_list.end(), [this, &visited](int a, int b) {
            return (adj[a] & ~visited).count() < (adj[b] & ~visited).count();
        });

        // 遍历排序后的邻接顶点
        for (int v : neighbor_list) {
            cnt++;
            path[pos] = v;
            visited.set(v);  // 标记为已访问
            if (hamiltonian_cycle_util(path, visited, pos + 1)) {
                return true;
            }
            visited.reset(v);  // 回溯
        }
        return false;
    }

    vector<int> hamiltonian_cycle(int s) {
        vector<int> path(V, -1);
        bitset<MAX_N> visited;  // 使用 bitset 存储访问状态

        // 从顶点 s 开始
        path[0] = s;
        visited.set(path[0]);

        if (hamiltonian_cycle_util(path, visited, 1)) {
            return path;
        }
        return {};
    }
};

int main() {
    int n = 50;
    Graph G(n);

    // 构建图
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        for (int j = i + 1; j <= n; ++j) {
            int sum = i + j;
            int sqrt_sum = sqrt(sum);
            if (sqrt_sum * sqrt_sum == sum) {
                G.add_edge(i - 1, j - 1);  // 顶点编号从 0 开始
            }
        }
    }

    for (int s = 0; s < 3; s++) {
        // 基于当前系统的当前日期/时间
        time_t now = time(0);
        G.cnt = 0;

        // 查找哈密顿环
        vector<int> cycle = G.hamiltonian_cycle(s);
        if (!cycle.empty()) {
            cout << "Hamiltonian Cycle: ";
            for (int v : cycle) {
                cout << v + 1 << " ";  // 恢复顶点编号
            }
            cout << time(0) - now << " " << G.cnt << endl;
        } else {
            cout << "No Hamiltonian Cycle found." << endl;
        }
    }

    return 0;
}

修改说明：

提取邻接顶点：使用 neighbor_list 存储所有未访问的邻接顶点。
排序：根据每个顶点的未使用邻接点数量进行排序，优先处理邻接点较少的顶点。
遍历排序后的顶点：在 hamiltonian_cycle_util 中，遍历排序后的 neighbor_list，而不是直接遍历 neighbors。

优点：

减少回溯次数：通过优先处理邻接点较少的顶点，可以减少递归深度和回溯次数，从而提高算法效率。
代码清晰：将邻接顶点的提取和排序逻辑分离，使代码更易读和维护。

注意事项：

排序操作会增加一定的计算开销，但在大多数情况下，这种开销会被减少的回溯次数所抵消。
如果图的规模非常大（如 n > 100），可能需要进一步优化或使用更高效的算法（如动态规划或启发式算法）。

因为最后一步时首个顶点要用它的邻接点回环，加一个判断首节点所有邻接点都已用就回溯，或者禁止在未到最后一步时使用首个顶点的最后一个邻接点，采取实现更方便的方法

为了优化哈密顿环的查找过程，特别是针对最后一步需要回到起点的情况，可以在递归过程中增加一些判断条件，避免在未到最后一步时使用起点的最后一个邻接点，从而减少不必要的回溯。以下是修改后的代码实现：

修改后的代码

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <bitset>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int MAX_N = 100;  // 假设最大顶点数为 100

class Graph {
    int V;  // 顶点数
    vector<bitset<MAX_N>> adj;  // 邻接表（使用 bitset 表示）
public:
    Graph(int V) : V(V), adj(V) {}
    long long cnt = 0;

    void add_edge(int u, int v) {
        adj[u].set(v);  // 设置 u 和 v 之间的边
        adj[v].set(u);  // 无向图，双向设置
    }

    bool hamiltonian_cycle_util(vector<int>& path, bitset<MAX_N>& visited, int pos, int start) {
        if (pos == V) {
            // 检查是否形成环
            if (adj[path[pos - 1]].test(start)) {
                return true;
            }
            return false;
        }

        // 获取当前顶点的邻接顶点 bitset
        bitset<MAX_N> neighbors = adj[path[pos - 1]] & ~visited;

        // 提取所有未访问的邻接顶点
        vector<int> neighbor_list;
        for (int v = neighbors._Find_first(); v < MAX_N; v = neighbors._Find_next(v)) {
            neighbor_list.push_back(v);
        }

        // 按未使用的邻接点数量排序
        sort(neighbor_list.begin(), neighbor_list.end(), [this, &visited](int a, int b) {
            return (adj[a] & ~visited).count() < (adj[b] & ~visited).count();
        });

        // 遍历排序后的邻接顶点
        for (int v : neighbor_list) {
            // 如果未到最后一步，且 v 是起点的最后一个邻接点，则跳过
            if (pos != V - 1 && v == start && adj[path[pos - 1]].count() == 1) {
                continue;
            }

            cnt++;
            path[pos] = v;
            visited.set(v);  // 标记为已访问
            if (hamiltonian_cycle_util(path, visited, pos + 1, start)) {
                return true;
            }
            visited.reset(v);  // 回溯
        }
        return false;
    }

    vector<int> hamiltonian_cycle(int s) {
        vector<int> path(V, -1);
        bitset<MAX_N> visited;  // 使用 bitset 存储访问状态

        // 从顶点 s 开始
        path[0] = s;
        visited.set(path[0]);

        if (hamiltonian_cycle_util(path, visited, 1, s)) {
            return path;
        }
        return {};
    }
};

int main() {
    int n = 50;
    Graph G(n);

    // 构建图
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        for (int j = i + 1; j <= n; ++j) {
            int sum = i + j;
            int sqrt_sum = sqrt(sum);
            if (sqrt_sum * sqrt_sum == sum) {
                G.add_edge(i - 1, j - 1);  // 顶点编号从 0 开始
            }
        }
    }

    for (int s = 0; s < 3; s++) {
        // 基于当前系统的当前日期/时间
        time_t now = time(0);
        G.cnt = 0;

        // 查找哈密顿环
        vector<int> cycle = G.hamiltonian_cycle(s);
        if (!cycle.empty()) {
            cout << "Hamiltonian Cycle: ";
            for (int v : cycle) {
                cout << v + 1 << " ";  // 恢复顶点编号
            }
            cout << time(0) - now << " " << G.cnt << endl;
        } else {
            cout << "No Hamiltonian Cycle found." << endl;
        }
    }

    return 0;
}

修改点说明

增加 start 参数：
- 在 hamiltonian_cycle_util 函数中增加 start 参数，用于记录起点。
- 在最后一步（pos == V）时，检查当前顶点是否可以回到起点。
跳过起点的最后一个邻接点：
- 在遍历邻接点时，如果未到最后一步（pos != V - 1），且当前邻接点是起点（v == start），并且当前顶点的邻接点数量为 1（即起点的最后一个邻接点），则跳过该邻接点。
- 这样可以避免在未到最后一步时使用起点的最后一个邻接点，从而减少不必要的回溯。
排序优化：
- 仍然保留对邻接点按未使用邻接点数量排序的逻辑，以进一步优化搜索顺序。

优点

减少回溯：通过跳过起点的最后一个邻接点，避免在未到最后一步时使用它，从而减少不必要的递归调用和回溯。
保持高效：排序逻辑仍然保留，确保优先处理邻接点较少的顶点，进一步优化搜索效率。
代码清晰：逻辑分离明确，易于理解和维护。

示例输出

假设图中有哈密顿环，输出可能如下：

Hamiltonian Cycle: 1 3 6 10 15 21 28 36 45 5 14 23 34 46 9 20 32 44 8 19 31 43 7 18 30 42 12 24 37 50 13 25 38 49 11 22 35 47 16 27 39 48 17 29 40 2 4 26 41 0 1
Time: 2 seconds, Recursive calls: 123456

如果没有找到哈密顿环，输出如下：

No Hamiltonian Cycle found.

总结

通过增加对起点最后一个邻接点的判断，可以有效减少不必要的回溯，同时保留排序优化逻辑，进一步提升算法效率。这种方法实现简单，且适用于大多数中小规模图的哈密顿环查找问题。

测试发现，不同的起点找到回环所用的递归调用次数cnt差异很大，n<90时，大多数都有一个起点cnt小于10万，请把hamiltonian_cycle()函数实现为内部带起点从0开始尝试的循环，一旦cnt大于10万就放弃这个起点，cnt归零测试下一个起点，一旦找到回环就跳出循环返回主程序，同时把主程序改为测试n从80到100这种思路的循环

为了实现您描述的功能，我们需要对 hamiltonian_cycle() 函数进行修改，使其内部带有一个循环，从起点 0 开始尝试，如果递归调用次数 cnt 超过 10 万，则放弃当前起点并尝试下一个起点。一旦找到哈密顿环，立即返回结果。同时，主程序将改为测试 n 从 80 到 100 的循环。

以下是修改后的代码：

修改后的代码

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <bitset>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int MAX_N = 100;  // 假设最大顶点数为 100

class Graph {
    int V;  // 顶点数
    vector<bitset<MAX_N>> adj;  // 邻接表（使用 bitset 表示）
public:
    Graph(int V) : V(V), adj(V) {}
    long long cnt = 0;

    void add_edge(int u, int v) {
        adj[u].set(v);  // 设置 u 和 v 之间的边
        adj[v].set(u);  // 无向图，双向设置
    }

    bool hamiltonian_cycle_util(vector<int>& path, bitset<MAX_N>& visited, int pos, int start) {
        if (pos == V) {
            // 检查是否形成环
            if (adj[path[pos - 1]].test(start)) {
                return true;
            }
            return false;
        }

        // 获取当前顶点的邻接顶点 bitset
        bitset<MAX_N> neighbors = adj[path[pos - 1]] & ~visited;

        // 提取所有未访问的邻接顶点
        vector<int> neighbor_list;
        for (int v = neighbors._Find_first(); v < MAX_N; v = neighbors._Find_next(v)) {
            neighbor_list.push_back(v);
        }

        // 按未使用的邻接点数量排序
        sort(neighbor_list.begin(), neighbor_list.end(), [this, &visited](int a, int b) {
            return (adj[a] & ~visited).count() < (adj[b] & ~visited).count();
        });

        // 遍历排序后的邻接顶点
        for (int v : neighbor_list) {
            // 如果未到最后一步，且 v 是起点的最后一个邻接点，则跳过
            if (pos != V - 1 && v == start && adj[path[pos - 1]].count() == 1) {
                continue;
            }

            cnt++;
            if (cnt > 100000) {  // 如果递归调用次数超过 10 万，直接返回 false
                return false;
            }

            path[pos] = v;
            visited.set(v);  // 标记为已访问
            if (hamiltonian_cycle_util(path, visited, pos + 1, start)) {
                return true;
            }
            visited.reset(v);  // 回溯
        }
        return false;
    }

    vector<int> hamiltonian_cycle() {
        vector<int> path(V, -1);
        bitset<MAX_N> visited;  // 使用 bitset 存储访问状态

        // 尝试从每个起点开始
        for (int s = 0; s < V; s++) {
            cnt = 0;  // 重置递归调用次数
            path.assign(V, -1);  // 重置路径
            visited.reset();  // 重置访问状态

            // 从顶点 s 开始
            path[0] = s;
            visited.set(s);

            if (hamiltonian_cycle_util(path, visited, 1, s)) {
                return path;
            }
        }
        return {};
    }
};

int main() {
    // 测试 n 从 80 到 100
    for (int n = 80; n <= 100; n++) {
        Graph G(n);

        // 构建图
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            for (int j = i + 1; j <= n; ++j) {
                int sum = i + j;
                int sqrt_sum = sqrt(sum);
                if (sqrt_sum * sqrt_sum == sum) {
                    G.add_edge(i - 1, j - 1);  // 顶点编号从 0 开始
                }
            }
        }

        // 基于当前系统的当前日期/时间
        time_t now = time(0);

        // 查找哈密顿环
        vector<int> cycle = G.hamiltonian_cycle();
        if (!cycle.empty()) {
            cout << "n = " << n << ": Hamiltonian Cycle found. Recursive calls: " << G.cnt << ", Time: " << time(0) - now << " seconds." << endl;
            cout << "Cycle: ";
            for (int v : cycle) {
                cout << v + 1 << " ";  // 恢复顶点编号
            }
            cout << endl;
        } else {
            cout << "n = " << n << ": No Hamiltonian Cycle found. Recursive calls: " << G.cnt << ", Time: " << time(0) - now << " seconds." << endl;
        }
    }

    return 0;
}

修改点说明

hamiltonian_cycle() 函数：
- 内部增加一个循环，从起点 0 开始尝试。
- 如果递归调用次数 cnt 超过 10 万，则放弃当前起点并尝试下一个起点。
- 一旦找到哈密顿环，立即返回结果。
主程序：
- 改为测试 n 从 80 到 100 的循环。
- 对于每个 n，构建图并调用 hamiltonian_cycle() 查找哈密顿环。
- 输出结果，包括递归调用次数和运行时间。
递归调用次数限制：
- 在 hamiltonian_cycle_util() 中，每次递归调用时检查 cnt 是否超过 10 万，如果超过则直接返回 false。

示例输出

假设对于某个 n，程序找到哈密顿环，输出可能如下：

n = 80: Hamiltonian Cycle found. Recursive calls: 87654, Time: 3 seconds.
Cycle: 1 3 6 10 15 21 28 36 45 5 14 23 34 46 9 20 32 44 8 19 31 43 7 18 30 42 12 24 37 50 13 25 38 49 11 22 35 47 16 27 39 48 17 29 40 2 4 26 41 0 1

如果没有找到哈密顿环，输出如下：

n = 85: No Hamiltonian Cycle found. Recursive calls: 100001, Time: 5 seconds.

总结

通过修改 hamiltonian_cycle() 函数，使其内部尝试多个起点，并在递归调用次数超过 10 万时放弃当前起点，可以显著提高算法的效率。同时，主程序改为测试 n 从 80 到 100 的循环，方便批量测试和分析结果。

非常好，n到500都能很快算出。谢谢！

不客气！很高兴听到这个优化对您的问题有效，并且能够处理更大的规模（如 n = 500）。这说明我们的优化策略（如限制递归调用次数、动态调整起点、排序邻接点等）确实显著提升了算法的效率。

如果您有其他问题或需要进一步的优化建议，随时可以联系我！以下是一些可能的进一步优化方向，供您参考：

进一步优化方向

并行化：
- 如果硬件支持，可以将不同起点的搜索任务并行化（如使用多线程或 GPU 加速）。
- 每个线程负责一个起点的搜索，独立计算，最终汇总结果。
启发式剪枝：
- 在递归过程中，可以引入更多的启发式规则（如基于度数、连通性等）来提前剪枝，减少不必要的递归调用。
动态调整递归深度限制：
- 根据当前递归深度动态调整 cnt 的限制。例如，在较浅的递归层允许更多的调用次数，而在较深的递归层减少调用次数。
混合算法：
- 结合其他算法（如动态规划、随机化算法或启发式搜索）来处理更大规模的图。
图的性质分析：
- 在实际应用中，如果图具有某些特殊性质（如稀疏性、对称性等），可以利用这些性质进一步优化算法。

示例：并行化实现（伪代码）

如果您有兴趣尝试并行化，以下是一个简单的伪代码示例：

#include <thread>
#include <vector>

vector<int> parallel_hamiltonian_cycle(Graph& G) {
    vector<int> result;
    vector<thread> threads;
    bool found = false;

    for (int s = 0; s < G.V; s++) {
        threads.emplace_back([&G, s, &result, &found]() {
            if (found) return;  // 如果其他线程已经找到结果，直接返回
            auto cycle = G.hamiltonian_cycle(s);
            if (!cycle.empty()) {
                result = cycle;
                found = true;  // 设置标志位，通知其他线程
            }
        });
    }

    for (auto& t : threads) {
        t.join();
    }

    return result;
}

总结

您的反馈非常有价值！如果您在未来遇到类似的问题或需要进一步的帮助，请随时联系我。祝您在算法优化和应用中取得更多成功！ 🚀

用deepseek解决圆周相邻和平方问题的过程 - l1t1/note GitHub Wiki

修改说明：

优点：

注意事项：

修改后的代码

修改点说明

优点

示例输出

总结

修改后的代码

修改点说明

示例输出

总结

进一步优化方向

示例：并行化实现（伪代码）

总结

⚠️ GitHub.com Fallback ⚠️

用deepseek解决圆周相邻和平方问题的过程 - l1t1/note GitHub Wiki

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修改后的代码

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示例输出

总结

修改后的代码

修改点说明

示例输出

总结

进一步优化方向

示例：并行化实现（伪代码）

总结

⚠️ **GitHub.com Fallback** ⚠️

⚠️ GitHub.com Fallback ⚠️