利用deepseek求解三角函数题目 - l1t1/note GitHub Wiki

1.已知sin(a-b)=sqrt(10)/10, sin(2b)=sqrt(5)/5, a∈[pi, 3pi/2], b∈[pi/4, pi/2], 求a+b，
下列选项哪个正确？
A. 5pi/4
B. 7pi/4
C. 5pi/4或7pi/4

它利用数值计算得出了B。

2.提示：使用换元法解上述题目，设x=a-b, y=2b, 则x+y=a-b（注意：这里我写错了，应该是a+b）

它用三角恒等式得出了C。

3.5pi/4取不到，因为a等于pi，b等于pi/4不能同时成立

这是提问了三次得到的最终结果。

### 题目回顾

已知：
- \(\sin(a - b) = \frac{\sqrt{10}}{10}\)
- \(\sin(2b) = \frac{\sqrt{5}}{5}\)
- \(a \in [\pi, \frac{3\pi}{2}]\)
- \(b \in [\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}]\)

求 \(a + b\) 的值，并选择正确的选项：
A. \(\frac{5\pi}{4}\)  
B. \(\frac{7\pi}{4}\)  
C. \(\frac{5\pi}{4}\) 或 \(\frac{7\pi}{4}\)

### 第一步：理解已知条件

首先，我需要理解题目中给出的所有信息：

1. **角度范围**：
   - \(a\) 在第三象限，即 \(\pi\) 到 \(\frac{3\pi}{2}\) 之间。
   - \(b\) 在第一象限，即 \(\frac{\pi}{4}\) 到 \(\frac{\pi}{2}\) 之间。

2. **三角函数值**：
   - \(\sin(a - b) = \frac{\sqrt{10}}{10}\)
   - \(\sin(2b) = \frac{\sqrt{5}}{5}\)

### 第二步：使用换元法

根据提示，设：
\[
x = a - b
\]
\[
y = 2b
\]

因此：
\[
x + y = a - b + 2b = a + b
\]

我们需要求的是 \(a + b = x + y\)。

已知：
\[
\sin(x) = \frac{\sqrt{10}}{10}
\]
\[
\sin(y) = \frac{\sqrt{5}}{5}
\]

### 第三步：求解 \(x\) 和 \(y\)

首先，求解 \(x\) 和 \(y\) 的值。

#### 1. 求解 \(x = a - b\)

已知：
\[
\sin(x) = \frac{\sqrt{10}}{10}
\]

由于 \(a \in [\pi, \frac{3\pi}{2}]\) 且 \(b \in [\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}]\)，所以：
\[
a - b \in [\pi - \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{4}] = [\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{4}]
\]

因此，\(x \in [\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{4}]\)。

在这个区间内，\(\sin(x)\) 为正，所以 \(x\) 在第二象限。

利用三角恒等式：
\[
\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1
\]
\[
\left(\frac{\sqrt{10}}{10}\right)^2 + \cos^2(x) = 1
\]
\[
\frac{10}{100} + \cos^2(x) = 1
\]
\[
\cos^2(x) = \frac{90}{100} = \frac{9}{10}
\]
\[
\cos(x) = -\frac{3}{\sqrt{10}} = -\frac{3\sqrt{10}}{10}
\]

#### 2. 求解 \(y = 2b\)

已知：
\[
\sin(y) = \frac{\sqrt{5}}{5}
\]

由于 \(b \in [\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}]\)，所以：
\[
y = 2b \in [\frac{\pi}{2}, \pi]
\]

因此，\(y\) 在第二象限。

利用三角恒等式：
\[
\sin^2(y) + \cos^2(y) = 1
\]
\[
\left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)^2 + \cos^2(y) = 1
\]
\[
\frac{5}{25} + \cos^2(y) = 1
\]
\[
\cos^2(y) = \frac{20}{25} = \frac{4}{5}
\]
\[
\cos(y) = -\frac{2}{\sqrt{5}} = -\frac{2\sqrt{5}}{5}
\]

### 第四步：求解 \(a + b = x + y\)

我们需要求 \(a + b = x + y\)。

已知：
\[
\sin(x) = \frac{\sqrt{10}}{10}, \quad \cos(x) = -\frac{3\sqrt{10}}{10}
\]
\[
\sin(y) = \frac{\sqrt{5}}{5}, \quad \cos(y) = -\frac{2\sqrt{5}}{5}
\]

利用和角公式：
\[
\sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y
\]
\[
\cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y
\]

计算 \(\sin(x + y)\)：
\[
\sin(x + y) = \left(\frac{\sqrt{10}}{10}\right)\left(-\frac{2\sqrt{5}}{5}\right) + \left(-\frac{3\sqrt{10}}{10}\right)\left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)
\]
\[
= -\frac{2\sqrt{50}}{50} - \frac{3\sqrt{50}}{50}
\]
\[
= -\frac{5\sqrt{50}}{50}
\]
\[
= -\frac{5 \times 5\sqrt{2}}{50}
\]
\[
= -\frac{25\sqrt{2}}{50}
\]
\[
= -\frac{\sqrt{2}}{2}
\]

计算 \(\cos(x + y)\)：
\[
\cos(x + y) = \left(-\frac{3\sqrt{10}}{10}\right)\left(-\frac{2\sqrt{5}}{5}\right) - \left(\frac{\sqrt{10}}{10}\right)\left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)
\]
\[
= \frac{6\sqrt{50}}{50} - \frac{\sqrt{50}}{50}
\]
\[
= \frac{5\sqrt{50}}{50}
\]
\[
= \frac{5 \times 5\sqrt{2}}{50}
\]
\[
= \frac{25\sqrt{2}}{50}
\]
\[
= \frac{\sqrt{2}}{2}
\]

因此：
\[
\sin(x + y) = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos(x + y) = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]

这意味着：
\[
x + y = \frac{7\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{或} \quad x + y = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
\]

由于 \(a \in [\pi, \frac{3\pi}{2}]\) 且 \(b \in [\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}]\)，所以：
\[
a + b \in [\pi + \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{2}] = [\frac{5\pi}{4}, 2\pi]
\]

因此，\(a + b\) 的可能值为 \(\frac{5\pi}{4}\) 或 \(\frac{7\pi}{4}\)。

### 第五步：验证 \(\frac{5\pi}{4}\) 是否可取

根据题目条件，\(a \in [\pi, \frac{3\pi}{2}]\) 且 \(b \in [\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}]\)。

如果 \(a + b = \frac{5\pi}{4}\)，则：
\[
a = \frac{5\pi}{4} - b
\]

由于 \(b \in [\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}]\)，所以：
\[
a \in \left[\frac{5\pi}{4} - \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{4} - \frac{\pi}{4}\right] = \left[\frac{3\pi}{4}, \pi\right]
\]

然而，\(a\) 的范围是 \([\pi, \frac{3\pi}{2}]\)，所以 \(a\) 不能小于 \(\pi\)。因此，\(a + b = \frac{5\pi}{4}\) 不可取。

### 第六步：验证 \(\frac{7\pi}{4}\) 是否可取

如果 \(a + b = \frac{7\pi}{4}\)，则：
\[
a = \frac{7\pi}{4} - b
\]

由于 \(b \in [\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}]\)，所以：
\[
a \in \left[\frac{7\pi}{4} - \frac{\pi}{2}, \frac{7\pi}{4} - \frac{\pi}{4}\right] = \left[\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right]
\]

这正好落在 \(a\) 的范围内 \([\pi, \frac{3\pi}{2}]\)。因此，\(a + b = \frac{7\pi}{4}\) 是可取的。

### 第七步：结论

根据以上分析，\(a + b\) 的唯一可能值是 \(\frac{7\pi}{4}\)。

### 最终答案

选项 B 正确。

\(\boxed{B}\)