FP TS Category 范畴 - kscarrot/blog GitHub Wiki

之前已经解除到了一些基础的抽象,像是等价,偏序,半群和幺半群. 现在我们会探索一些进阶的抽象概念,这些概念会让函数式编程变的更加有趣.

从通常习惯上,第一个被介绍的进阶的抽象应该是函子(Functor),但是在我们讨论函子之前,我想我们需要学习一下函子构建的基础--范畴.

函数式编程的一大特性就是可组合性(composition).但是这个特性到底意味着什么?我们能说仅仅是两个东西的简单组合吗?我们如何能够把东西的组合描述的更好呢? 我们需要对可组合性由一个更加严肃的定义.而这正是范畴想要表达的事情.

范畴是组合的本质(Categories capture the essence of composition.)

范畴

范畴的定义有一些长,而且被特别的分成了两个部分:

  • 第一个部分是理论上的(我们需要定义范畴的构成)
  • 第二部分是我们特别感兴趣的:组合的概念

PartI 定义

一个范畴由两个类定义(对象类,态射类):

  • 对象类: 由对象组成的类
  • 态射类: 由对象间的态射锁构成的类 态射: 从一个对象类到另一个对象的映射关系.

注意,这里的对象不是oop里的对象,你可以把这里的对象想象成一个无法检查的黑盒,甚至可以想象成态射的一个辅助占位的符号

对于任何一个态射f都有一个源对象A和一个目标对象B,A和B都属于对象类Object 我们使用箭头来表示f: A->B,读作 f是A到B的态射.

PartII 组合

这里有一个操作符∘,称为组合,满足下面一些性质:

  • 组合性: 对于 f: A->B he g:B->C,可以实现一个新的态射,这个态射是f和g的符合: f∘g: A->C
  • 结合性:对于 f: A->B , g:B->C,h:C->D有h∘(g∘f)=(h∘g)∘f
  • 单位元:对于任意对象X,存在一个映射到自身的态射 identity:X->X,有 indentity∘f = f

函数语言的范畴

  • 对象类: 类型(types)
  • 态射: 函数
  • ∘同时是函数的组合(composition)

这个图可以被解释为一个非常简单的编程语言,仅仅包括三种类型和少量的函数

  • A = string
  • B = number
  • C = boolean
  • f = string => number
  • g = number => boolean
  • g ∘ f = string => boolean

可以这样被实现

function f(s: string): number {
  return s.length
}

function g(n: number): boolean {
  return n > 2
}

// h = g ∘ f
function h(s: string): boolean {
  return g(f(s))
}

TypeScript的范畴

我们可以定义一个TS的范畴作为TypeScript的一个模型:

  • 对象类: 所有的TypeScript类型: string,number,Array<string>....
  • 态射: TypeScript的函数: (a: A) => B.....
  • 恒等态射:const identity = <A>(a: A): A => a
  • 态射的组合: 函数组合

作为TypeScript的一个模型,TS范畴受到了很多限制:没有循环,没有条件判断,几乎没有任何东西... 尽管如此,这种简单的模型对于我们主要目的来说已经足够丰富了:即合理的理解范畴的概念.

组合的关键问题

在TS范畴里,我们可以组合下面两个函数f: (a: A) => B和g: (c: C) => D,当B和C相等的时候.

function compose<A, B, C>(g: (b: B) => C, f: (a: A) => B): (a: A) => C {
  return a => g(f(a))
}

但是如果B和C不相等呢?我们还能组合这些函数吗? 在下篇文章中,我们可以看到在哪些条件下能够进行这种组合.我们将讨论函子的概念.

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