Формулы суммирования представляют собой краткие выражения, описывающие сложение сколь угодно большой последовательности чисел

УДАЛЮ ЭТО КОГДА ПРОВЕРЮ

$$ \sum_{i=1}^{n} f_i = f(1) + ... + f(n) $$

Для четного числа n сумму первых n=2k чисел можно выразить, объединив

$$ \sum_{i=1}^{n} i = \sum_{i=1}^{k} (i+(2k-i+1))=k(2k+1)=n(n+1)/2 $$

Для нечётных чисел результат аналогичный

Классы формул суммирования

Cумма степени целых числе

Арифметическую прогрессию в виде формулы

$$ S(n) = \sum_{i=1}^{n} i = n(n+1)/2 $$

можно встретить в анализе алгоритма сортировка методом выбора. Важным фактором является наличие квадратичной суммы

$$ $S(n,p) = \sum_{i=1}^{n} i^p = \Theta(n^{p+1})$ $$

Таким образом, сумма квадратов кубичная, а сумма кубов четверичная Для p < -1 сумма S(n,p) всегда стремится к константе, когда $n \to \infty$, а для $p \ge 0$ она расходится. Между этими случаями представляет интерес сумма гармонических чисел:

$$ H(n) = \sum_{i=1}^{n} 1/i = \Theta(\log n). $$

Cумма геометрической прогрессии

В геометрической прогрессии индекс цикла играет роль показателя степени, т.е

$$ G(n, a) = \sum_{i=0}^{n} a^i = a(a^{n+1} - 1)/(a - 1). $$

Сумма прогрессии зависит от её знаменателя, т.е от числа а, при |a| < 1 сумма G(n,a) стремится к константе, когда $n \to \infty$ Такая сходимость последовательности означает, что если количество элементов последовательности растет линейно, то их сумма необязательно будет расти линейно, она может быть ограничена константой - $1 + 1/2 + 1/4 + ... \le 2$