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Working with Matrices

연립방정식을 풀고, 공간 내의 점을 변형시키세요

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Overview

행렬(matrix)은 행(row)과 열(column)로 이루어진 2차원 배열입니다. simd 라이브러리는 최대 4개의 행과 4개의 열의 16개의 원소를 포함하는 행렬들에 대한 지원을 제공합니다. 이 라이브러리는 컬럼(열) 메이저 네이밍 컨벤션(Column major naming convention)을 사용합니다;

예를 들어, simd_doublel4x2 는 4개의 컬럼(열)과 2개의 로우(행)을 포함하는 매트릭스(행렬)입니다.

simd 라이브러리는 적절히 크기가 조정된 벡터들로부터 행렬의 행 또는 열을 생성할수 있는 옵션을 포함하는 생성자(initializer)를 제공합니다. 예를 들어, 다음의 코드는 네 개의 원소를 가지는 두 벡터를 사용하여 2 x 4 행렬과 4 x2 행렬을 생성합니다:

let x = simd_double4(x: 10, y: 20, z: 30, w: 40)
let y = simd_double4(x:  1, y: 2, z: 3, w: 4)

/* 
A matrix of two columns and four rows:

	10 1
	20 2
	30 3
	40 4

*/
let a = simd_double2x4([x,y])

/* 
A matrix of four columns and two rows"

	10 20 30 40
	1  2  3  4

*/
let b = simd_double4x2(row:[x,y])

다음의 예시들은 행렬의 보편적인 사용법을 보여줍니다.

Solve Simultaneous Equations

AX = B 형태의 연립방정식을 풀기 위해 행렬을 사용할 수 있습니다; 예를 들어, 다음과 같은 방정식에서 x와 y를 찾는데 사용합니다:

2x + 4y = 2
-4x + 2y = 14

먼저 좌변의 계수를 포함하는 2x2 행렬을 생성합니다.

let a = simd_2x2(rows: [simd_double2(2,4), simd_double2(-4,2)])

그리고 우변의 값을 포함하는 벡터를 생성합니다.

let b = simd_double2(2,14)

x와 y의 값을 구하기 위해서, a 행렬의 역행렬과 벡터 b를 곱해줍니다:

let x = simd_mul(a.inverse, b)

결과 x 는 두개의 원소를 가지는 벡터 (x,y) = (-2.6,1.8) 입니다.

Transform Vectors with Matrix Multiplication

행렬은 2D나 3D 공간 내에 있는 점들을 변형(이동(translate), 회전(rotate), 배율(scale))시키기 위한 편리한 방법을 제공합니다.

다음의 이미지는 점 A가 B로 이동된 것, C로 회전된 것, 그리고 D로 배율된 것을 보여줍니다.

2D 좌표들을 3개의 원소를 가지는 벡터로 나타내는 것으로, 행렬 곱을 통해 점들을 변환할 수 있습니다. 일반적으로, 공간에서의 위치를 나타내는 벡터의 3번째 원소인 z는 1으로 고정됩니다.

예를 들어, 위 그림에서 점 A를 나타내는 벡터는simd_float3로 다음 코드와 같이 정의됩니다.

let positionVector = simd_float3(x: 3, y: 2, z: 1)

2차원 좌표계에 대한 변환 행렬은 3x3 행렬로 나타내어집니다.

Translate

이동 변환 행렬은 다음과 같은 형태를 가집니다:

1 0 0

0 1 0

tx ty 1

simd 라이브러리는 항등 행렬(대각선을 따라 1이 있고, 나머지 부분에 0이 존재하는)에 대한 상수를 제공합니다. 3x3 Float 항등 행렬은 matrix_identity_float3x3 입니다.

다음의 함수는 항등 행렬의 원소를 설정하는 것으로 특정한 tx와 ty값에 따라 simd_float3x3 행렬을 반환합니다.

func makeTranslationMatrix(tx: Float, ty: Float) -> simd_float3x3{
    var matrix = matrix_identity_float3x3
    
    matrix[0,2] = tx
    matrix[1,2] = ty
    
    return matrix
}

위치벡터의 이동을 적용하기 위해서는 각 쌍을 서로 곱합니다.

let translationMatrix = makeTranslationMatrix(tx: 1, ty: 3)
let translatedVector = positionVector * translationMatrix

translatedVector의 결과는 위 그림에 나타난 점 B와 같이 (x: 4.0, y: 5.0, z: 1.0) 의 값을 가집니다.

Rotate

회전 변환 행렬은 다음과 같은 형태를 가집니다.

cos(angle) sin(angle) 0

-sin(angle) cos(angle) 0

0 0 1

다음 함수는 특정된 라디안의 회전각도에 따라 simd_float3x3행렬을 반환합니다.

func makeRotationMatrix(angle: Float) -> simd_float3x3{
    let rows = [
        simd_float3(cos(angle), sin(angle), 0),
        simd_float3(-sin(angle), cos(angle), 0),
        simd_float3(0,			 0, 		 1)
    ]
    return float3x3(rows: rows)
}

이전에 이동된 벡터에 회전 변환을 적용하기 위해서는, 두 쌍을 서로 곱하면 된다.

let rotationMatrix = makeRotationMatrix(angle: GLKMatehDegreesToRadians(30))
let rotatedVector = translatedVector * rotationMatrix

rotatedVector의 결과값은 (x: 0.964102, y: 6.33013, z: 1.0)으로 위 그림에 나타난 점 C와 같다.

Scale

배율 변환 행렬은 다음과 같은 형태를 가집니다.

xScale 0 0

0 yscale 0

0 0 1

다음 함수는 특정한 x와 y 배율값에 따라 simd_float3x3행렬을 반환합니다.

func makeScaleMatrix(xScale: Float, yScale: Float)->sim_float3x3{
    let rows = [
        simd_float3(xScale, 	0, 0),
        simd_float3(	 0, yScale, 0),
        simd_float3(	 0, 	0, 1)
    ]
    
    return float3x3(rows: rows)
}

이전에 회전된 벡터에 대하여 배율 변환을 적용하기 위해서는 두 쌍을 서로 곱하면 된다.

let scaleMatrix = makeScaleMatrix(xScale: 8, yScale: 1.25)
let scaledVector = rotateVector * scaleMatrix

scaledVector의 결과값은 (x: 7.71282, y: 7.91266, z: 1.0) 으로 위 그림에 나타난 점 2와 같다.

이 세가지의 변환 행렬은 전부 곱해질 수 있으며, 이와 곱해진 위치벡터 역시 같은 결과를 가진다:

let transformMatrix = translationMatrix * rotationMatrix * scaleMatrix
let transformedVector = positionVector * transformMatrix