鸡兔同笼 | 鸡兔问题 | 数学应用题

鸡兔同笼

原文

今有雞兔同籠, 上有三十五頭, 下有九 十四足, 問雞兔各幾何

小百科

按照严复的译法

幾何是指多少(how many或者how much)

形學是指geometry(ゲォメㇳリー)

有若干只鸡免同在一个笼子里，从上面 数，有35个头，从下面数，有94只脚。 问笼中各有多少只鸡和兔？

二元一次方程

解：设鸡有x，兔有y。

x+y=35

2x+4y=94

2x+2y=70

相减，得

2y=94−70

y=12

代入

x=35−12

x=23

答：有23只鸡、12只兔。

キラㇺ公式法解二元一次方程

也可以使用キラㇺ公式求解二元一次方程。诸位试一试！キラㇺ公式可以避免繁琐过程造成的出错。

使用キラㇺ公式之前先做整理：

x+y−35=0

2x+4y−94=0

n(雞)=x= $\frac{b_{1}c_{2}−b_{2}c_{1}}{a_{1}b_{2}−a_{2}b_{1}}=\frac{1\cdot(−94)−4\cdot(−35)}{1\cdot 4−2\cdot 1}=23$

n(兔)=y= $−\frac{a_{1}c_{2}−a_{2}c_{1}}{a_{1}b_{2}−a_{2}b_{1}}=−\frac{1\cdot(−94)−2\cdot(−35)}{1\cdot 4−2\cdot 1}=12$

遇到负数、减号，注意一下运算法则

一元一次方程

解：设有x只鸡、(35−x)只兔。

2x+4(35−x)=94

−2x=94−140

x=23

(35−x)=12

解比例法求解化学方程式

氢单质

已知水的相对分子质量是18，请问电解多少水可以得到18千克氢气？

解

设水的质量为x，则有

2H₂O ══ 2H₂ + O₂

x                  18㎏

36                4

x:36=18㎏:4

4x=648㎏

x=162㎏

答：需要162千克水。

已知有0.12千克大理石与过量盐酸反应，剩下也0.02千克残渣，试问产生了多少二氧化碳？

解

设二氧化碳的产生量为イ

CaCO₃+2HCl ══ CO₂↑+2H₂O+CaCl₂

(0.12−0.02)㎏        イ

100                           44

(0.12−0.02)㎏:100=イ:44

100イ=4.4㎏

イ=0.044千克

答：产生了44克二氧化碳

化学反应的本质与反应过量原理

由于许多化学反应实质上就是分子随机组合引起的，所以有不少反应的某些反应物需要超量自身的 $\frac{1}{10}$ 才能反应彻底，比如合成氨反应中，6千克氢气至少需要与30.8千克氮气反应才能彻底被消耗掉。

小明家距实验室有12千米，有一次小明走了6千米忘记带了试剂，于是回家取试剂，请问小明一共走了多远？

解

6+6+12=24

答

走了24千米。

相遇问题与追及问题

首先，这二者皆涉及速度距离公式l=vt，其中，l是距离，v是速度，t是时长。

相遇问题

イ(甲)与ロ(乙)相向而行，其中，甲的速度为v(甲)，乙的速度为v(ロ)，甲乙相距l，则相遇时间为：

t= $\frac{l}{v(イ)+v(ロ)}$

追及问题

イ(甲)与ロ(乙)同向而行，其中，甲的速度为v(甲)，乙的速度为v(ロ)，甲乙相距l，则相遇时间为：

t= $\frac{l}{v(イ)−v(ロ)}$

其中，当t为负值时，则追及发生于之前；t=0时，则永远不发生相遇或者追及。

植树问题

直线

植树带长n米，种植了イ颗树，则树的间距为

l= $\frac{n}{イ−1}$

株数

イ=段数+1=n÷l+1= $\frac{n}{l}+1$

但是到了环形植树带，种植了イ颗树，则树的间距为

l= $\frac{n}{イ}$

株数

イ=段数+1=n÷l= $\frac{n}{l}$

有机化学中的类比

有机化学中，烷烃的化学式为 $C_{x}H_{2x+2}$ ，环烷烃的化学式为 $C_{x}H_{2x}$ ，也能反映这个事实

溶液质量分数

$\omega=\frac{m_イ}{M}=\frac{m_イ}{m_イ+m_ロ}$

如果是多组分溶液，则有

$\omega=\frac{m_イ}{m_イ+m_ロ+etc}$

已知某溶液中，n(NaCl):n(H₂O):n(NH₃)=1:9:1，试计算该溶液中的氯化钠的质量分数和物量分数。

解：

$\omega (NaCl)=\frac{m(NaCl)}{m(NaCl)+m(H₂O)+m(NH₃)}$ $=\frac{58.45}{58.45+18·9+17}$ $=0.25$

物量分数

$\frac{n(NaCl)}{n(NaCl)+n(H₂O)+n(NH₃)}$ $=\frac{1}{1+9+1}$ $=\frac{1}{11}$

氢氧化钠与硫酸镁

解仌

MgSO₄ + 2NaOH ══ Mg(OH)₂↓ + Na₂SO₄

设氢氧化钠的质量为x, 则有

m[Mg(OH)₂]:m[NaOH]=58:2·40

58:80=8.7ㇰラㇺ:x

$\mathrm{\frac{58}{80}=\frac{8.7 _{コ}ラㇺ}{x}}$

x=12ㇰラㇺ

荅仌

氢氧化钠的质量分数为

$\mathrm{\omega=\frac{m(NaOH)}{M}=\frac{12}{120-80}=\frac{3}{10}}$

如果是考试或者作业, 则填「30%」; 如果是自己私自, 则填「0.3」或者「 $\frac{3}{10}$ 」也可以

中国大陆八股文式回答仌

30%

自繇式回答仌

$\frac{3}{10}$, 0.3

H₂SO₄ + 2NaOH ══ Na₂SO₄ + 2H₂O

m(H₂SO₄):m(NaOH)=98:2·40

98:80=x:80ㇰラㇺ·0.3

80x=98·80ㇰラㇺ·0.3

x=29.4ㇰラㇺ

荅仌

有29.4公克硫酸与氢氧化钠反应.

其他

水的电离

已知水的离子积是10⁻¹⁴M²，如果氢离子的浓度比氢氧根离子的浓度小10⁻⁷M，试求氢氧根离子的浓度。

解：

设氢氧根离子的浓度为x，则有

Kw=x(x−10⁻⁷M)=10⁻¹⁴M²

令10⁻⁷M记作1，则有

x(x−1)=1

x²−x=1

x= $\frac{\sqrt{4+1}+1}{2}$ =φ（黄金分割比）

x=1.618·10⁻⁷M

答：氢氧根离子的浓度为1.618·10⁻⁷M

化合物中的某元素含量

$\omega=\frac{n}{相对分子质量}$

比如计算⁹⁰ZrO₂(其中氧的质量为16)中的含锆量：

$\omega(Zr)=\frac{90}{90+2·16}=0.7377$

物量

物量与粒子数

1mol对映6.022·10²³。如果使用十二进制，会得到更加精确的近似值： $1;111111\cdot 10^{1*}$

物量与质量

$\frac{m}{n}=M_m$

比如碳酸钙的モㇿ质量是0.1kg·mol⁻¹

モㇿ体积

同温同压下，气体有相同的モㇿ体积，273.15开氏度且常压下的モㇿ体积为0.224141m³·mol⁻¹。

$\frac{V}{n}=V_m$

比如，铜单质的モㇿ体积为0.0000070921875m³·mol⁻¹，也就是1立方数铜的物量为141000モㇿ。

常数

焓变

ΔH−θΔS＜0原理

气体的扩散速度

同温同压下，气体的扩散速度可以写成

$V=k\sqrt{\frac{1}{M}}$

其中，M是摩尔质量或者相对分子质量。

趣味方程、趣味数学题(一些试题来自于智力测试网站)

乒乓球拍的价格比乒乓球贵一美元, 乒乓球与乒乓球拍的总价为1.1美元, 请问乒乓球的价格是多少

士大夫提示: 很容易得到0.1美元这一错误答案, 即使是博士后也不可避免这一低级错误. 不是0.1美元哦, 请仔细想一想.

解: 设乒乓球的价格是x, 则有

x + (x + 1$) = 1.1$

2x = 0.1$

x = 0.05$

需要0.05美元(5美分)

你知道吗, 小粉红(五毛党、自亁五、自千五)又名fifty cents, 五十美分

一本书的价格降低了50％。现在，如果按原价出售，价格提高了百分之几?

书的原价格是a, 降价50%会变成

(1−0.5)a = 0.5a

恢復原价出售, 价格提高倍数为

a÷0.5a − 1 = 1

答: 提高了100%

火车守车(车尾)长6.4米；机车的长度等于守车的长加上半节车厢的长。车厢长度等于守车长加上机车长。火车的机车、车厢、守车共长多少米？

解: 设机车长x, 则有

x=6.4m+0.5(6.4m+x)

2x = 19.2m + x

x = 19.2m

火车总长为

6.4m + x + (6.4m + x) = 51.2

哥哥今年15岁，他的年龄是妹妹年龄的3倍。当哥哥的年龄是妹妹年龄2倍时，哥哥几岁?

解: 哥哥15岁时, 妹妹是5岁, 则哥哥的年龄是妹妹年龄2倍时, 有

15 + x = 2(5 + x)

15 + x = 10 + 2x

x = 5

15 + x = 20

当哥哥的年龄是妹妹年龄2倍时, 哥哥年龄是20岁.

56 − 3(x÷2) = 32

56 − 32 = 3(x÷2)

24 = 3(x÷2)

x÷2 = 8

x = 16

糖果盒里有76块糖，分给6个人吃，每人每3分钟吃2块，那么这盒糖够他们吃多久？

解:

76÷6 ≈ 12(去尾法)

每三分钟吃2块, 则有

12÷2·3 = 18

答

至少能吃18分钟.

打满水缸要13桶水。王林每次只能提两桶水，要打满水缸他需要走几趟?

13÷2 ≈ 7(收尾法)

答: 需要7次.

一个小队由99个人组成，这99个人不是男人就是女人。在这99人中，至少有一个人是女人，并且任意两个人中至少有一个人是男人。请问这99个人中，女人有几个？

解: 至少有一个是女人, 且任意二人至少有一个不是女人, 即有女人且女人的数目最多为1.

答: 女人数目为1.

小明小刚小军三人一起去买东西，小明的花费是小刚的60%，小刚的花费是小军的120%，他们3人一共花了730元，请问小刚花了多少钱？

解: 如果将小军的消费视为未知数则最为简易(如果是其他人则更为麻烦), 遂设小军的花费是x元, 则有

小军	x	註释
小刚	1.2x
小明	0.72x	1.2·0.6 = 0.72

x + 1.2x + 0.72x = 730

2.92x = 730

292x = 73000

73x = 73000÷4

x = 250

1.2x = 300

如果天平1、2处于平衡状态，那么，带问号的空托盘中应放入什么图案，才能使天平3也保持平衡？

第一个天平

2x + 2y = 3

第二个天平

x + 6y = 6

第三个天平

(2y + 7x)是多少

解:

由二元方程性质(代入法、相减法、キラㇺ公式)可知

x = 0.6

y = 0.9

2y + 7x = 1.8 + 4.2 = 6

如果天平1、2处于平衡状态，那么，带问号的空托盘中应放入什么图案，才能使天平3也保持平衡？

第一个天平

x + 4y = 3

第二个天平

y + 1 = 2x

第三个天平

(3y + 3x)是多少

解:

由二元方程性质可知

(3y + 3x) = 4

解方程

$\mathrm{\sqrt{3 + \sqrt{9 + x}} = \sqrt[3]{x}}$

解: 由二次根式的性质可知, 要想使方程有意义, x应该不小于−9

经取立方数时两边的值为

x	左	右
−8	2	−2
−1
0	$\sqrt{6}$	0
27	3	3

x = 3

代元法

解方程 $\mathrm{x^{2} + 25x + 52 = 3\sqrt{x^{2} + 25x + 80}}$的全部解之积

解: 设k = x² + 25x + 52, 则有

$\mathrm{k = 3\sqrt{k + 28}}$

$\mathrm{k^{2} = 9(k + 28)}$

$\mathrm{k^{2} −9k −252 = 0}$

$\mathrm{k = \frac{9 ± \sqrt{1044} }{2}}$

由于方程的第二个满足根式, 有

$\mathrm{x^{2} + 25x + 52 = \frac{9 + \sqrt{1044}}{2}}$

$\mathrm{x^{2} + 25x + 52 = \frac{9 − \sqrt{1044}}{2}}$

由韦达定理

解之和 $\mathrm{−\frac{b}{a}}$

解之乘积

$\mathrm{\frac{c}{a}}$

可得

$\mathrm{(52 − \frac{9 + \sqrt{1044}}{2})\cdot(52 − \frac{9 − \sqrt{1044}}{2})} = 1995.25$