鸡兔同笼 | 鸡兔问题 | 数学应用题

鸡兔同笼

原文

今有难兔同笼，上有三十五头，下有九 十四足，问难兔各几何

有若干只鸡免同在一个笼子里，从上面 数，有35个头，从下面数，有94只脚。 问笼中各有多少只鸡和兔？

二元一次方程

解：设鸡有x，兔有y。

x+y=35

2x+4y=94

2x+2y=70

相减，得

2y=94−70

y=12

代入

x=35−12

x=23

答：有23只鸡、12只兔。

キラㇺ公式法解二元一次方程

也可以使用キラㇺ公式求解二元一次方程。诸位试一试！キラㇺ公式可以避免繁琐过程造成的出错。

使用キラㇺ公式之前先做整理：

x+y−35=0

2x+4y−94=0

n(雞)=x= $\frac{b_{1}c_{2}−b_{2}c_{1}}{a_{1}b_{2}−a_{2}b_{1}}=\frac{1\cdot(−94)−4\cdot(−35)}{1\cdot 4−2\cdot 1}=23$

n(兔)=y= $−\frac{a_{1}c_{2}−a_{2}c_{1}}{a_{1}b_{2}−a_{2}b_{1}}=−\frac{1\cdot(−94)−2\cdot(−35)}{1\cdot 4−2\cdot 1}=12$

遇到负数、减号，注意一下运算法则

一元一次方程

解：设有x只鸡、(35−x)只兔。

2x+4(35−x)=94

−2x=94−140

x=23

(35−x)=12

解比例法求解化学方程式

氢单质

已知水的相对分子质量是18，请问电解多少水可以得到18千克氢气？

解

设水的质量为x，则有

2H₂O ══ 2H₂ + O₂

x                  18㎏

36                4

x:36=18㎏:4

4x=648㎏

x=162㎏

答：需要162千克水。

已知有0.12千克大理石与过量盐酸反应，剩下也0.02千克残渣，试问产生了多少二氧化碳？

解

设二氧化碳的产生量为イ

CaCO₃+2HCl ══ CO₂↑+2H₂O+CaCl₂

(0.12−0.02)㎏        イ

100                           44

(0.12−0.02)㎏:100=イ:44

100イ=4.4㎏

イ=0.044千克

答：产生了44克二氧化碳

化学反应的本质与反应过量原理

由于许多化学反应实质上就是分子随机组合引起的，所以有不少反应的某些反应物需要超量自身的 $\frac{1}{10}$ 才能反应彻底，比如合成氨反应中，6千克氢气至少需要与30.8千克氮气反应才能彻底被消耗掉。

小明家距实验室有12千米，有一次小明走了6千米忘记带了试剂，于是回家取试剂，请问小明一共走了多远？

解

6+6+12=24

答

走了24千米。

相遇问题与追及问题

首先，这二者皆涉及速度距离公式l=vt，其中，l是距离，v是速度，t是时长。

相遇问题

イ(甲)与ロ(乙)相向而行，其中，甲的速度为v(甲)，乙的速度为v(ロ)，甲乙相距l，则相遇时间为：

t= $\frac{l}{v(イ)+v(ロ)}$

追及问题

イ(甲)与ロ(乙)同向而行，其中，甲的速度为v(甲)，乙的速度为v(ロ)，甲乙相距l，则相遇时间为：

t= $\frac{l}{v(イ)−v(ロ)}$

其中，当t为负值时，则追及发生于之前；t=0时，则永远不发生相遇或者追及。

植树问题

直线

植树带长n米，种植了イ颗树，则树的间距为

l= $\frac{n}{イ−1}$

株数

イ=段数+1=n÷l+1= $\frac{n}{l}+1$

但是到了环形植树带，种植了イ颗树，则树的间距为

l= $\frac{n}{イ}$

株数

イ=段数+1=n÷l= $\frac{n}{l}$

有机化学中的类比

有机化学中，烷烃的化学式为 $C_{x}H_{2x+2}$ ，环烷烃的化学式为 $C_{x}H_{2x}$ ，也能反映这个事实

溶液质量分数

$\omega=\frac{m_イ}{M}=\frac{m_イ}{m_イ+m_ロ}$

如果是多组分溶液，则有

$\omega=\frac{m_イ}{m_イ+m_ロ+etc}$

已知某溶液中，n(NaCl):n(H₂O):n(NH₃)=1:9:1，试计算该溶液中的氯化钠的质量分数和物量分数。

解：

$\omega (NaCl)=\frac{m(NaCl)}{m(NaCl)+m(H₂O)+m(NH₃)}$ $=\frac{58.45}{58.45+18·9+17}$ $=0.25$

物量分数

$\frac{n(NaCl)}{n(NaCl)+n(H₂O)+n(NH₃)}$ $=\frac{1}{1+9+1}$ $=\frac{1}{11}$

其他

水的电离

已知水的离子积是10⁻¹⁴M²，如果氢离子的浓度比氢氧根离子的浓度小10⁻⁷M，试求氢氧根离子的浓度。

解：

设氢氧根离子的浓度为x，则有

Kw=x(x−10⁻⁷M)=10⁻¹⁴M²

令10⁻⁷M记作1，则有

x(x−1)=1

x²−x=1

x= $\frac{\sqrt{4+1}+1}{2}$ =φ（黄金分割比）

x=1.618·10⁻⁷M

答：氢氧根离子的浓度为1.618·10⁻⁷M

化合物中的某元素含量

$\omega=\frac{n}{相对分子质量}$

比如计算⁹⁰ZrO₂(其中氧的质量为16)中的含锆量：

$\omega(Zr)=\frac{90}{90+2·16}=0.7377$

物量

物量与粒子数

1mol对映6.022·10²³。如果使用十二进制，会得到更加精确的近似值： $1;111111\cdot 10^{1*}$

物量与质量

$\frac{m}{n}=M_m$

比如碳酸钙的モㇿ质量是0.1kg·mol⁻¹

モㇿ体积

同温同压下，气体有相同的モㇿ体积，273.15开氏度且常压下的モㇿ体积为0.224141m³·mol⁻¹。

$\frac{V}{n}=V_m$

比如，铜单质的モㇿ体积为0.0000070921875m³·mol⁻¹，也就是1立方数铜的物量为141000モㇿ。

常数

焓变

ΔH−θΔS＜0原理

气体的扩散速度

同温同压下，气体的扩散速度可以写成

$V=k\sqrt{\frac{1}{M}}$

其中，M是摩尔质量或者相对分子质量。