阶乘质数 - johanzumimvon/Johan-zumimvon-Christianity GitHub Wiki

此条目介绍的是阶乘素数。关于另一种用法，请见质数阶乘。

阶乘质数是指可以被表示成(n!−1)或者(n!+1)的质数, 也就是也阶乘相邻的质数. 其中, 形如(n!−1)的质数亦名左阶乘质数; 形如(n!+1)的质数亦名右阶乘质数.

左阶乘质数

1, 5, 23, 719, 5039, 479001599, 87178291199

十二进制则有更简单的形式

1, 5, 1#, 4##, 2∗##, 1144#####, 14∗8#9#####

右阶乘质数

2, 3, 7, 39916801

十二进制则有更简单的形式

2, 3, 7, 11450001

全部阶乘质数

1, 2, 3, 5, 7, 23, 719, 5039, 39916801, 479001599, 87178291199, 10888869450418352160768000001, 265252859812191058636308479999999

使左阶乘质数成立的n有

2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 30, 32, 33, 38, 94, 166, 324, 379, 469, 546, 974, 1963, 3507, 3610, 6917, 21480, 34790, 94550, 103040, 147855, 208003

使右阶乘质数成立的n有

0, 1, 2, 3, 11, 27, 37, 41, 73, 77, 116, 154, 320, 340, 399, 427, 872, 1477, 6380, 26951, 110059, 150209, 288465, 308084, 422429

阶乘质数无穷多的证明

可以使用外域构造法

首先, 设一个非零自然数M, 其可以被所有的自然数整除, 也就是 $\mathrm{\frac{M}{n}}$属于整数, 也就是 $\mathrm{\frac{M}{2}}$, $\mathrm{\frac{M}{3}}$, $\mathrm{\frac{M}{4}}$, $\mathrm{\frac{M}{5}}$, 等等等等都是整数. 其中的n可以取任意正整数, 并且由于n包含了全体质数, 所以 $\mathrm{\frac{M}{p_{n}}}$也是整数, 比如 $\frac{\mathrm{N}}{11}$.

则对于(M−1)或者(M+1), 由于与M相邻而互质, 也就是其最大公约数为1. 所以(M−1)与(M+1)都不能被任何质数整除, 这就相当于构造了新的质数, 也就是外域构造法. 所以可以肯定阶乘质数有无穷个, 并且不论左右都有无穷个.

质数定理验证

自然数N是质数的概率为 $\mathrm{\frac{1}{\ln(N)}}$ . 又由于 $\mathrm{e^{N\ln(N)}≥N!}$ , 所以N的阶乘周围出现质数的概率要超过 $\mathrm{2\frac{1}{\ln(e^{N\ln(N)})}≥2\frac{1}{N\ln(N)}}$ . 又微积分可知, 第N个阶乘以内的阶乘质数要超过 $\mathrm{\int\frac{2}{N\ln(N)}dN=\ln[\ln(N)]}$个.

双阶乘情形

n	n!!−1
1	0
2	1
3	2
4	7
5	14
6	47
7	104
8	383
9	944
10	3839
11	10394
12	46079

1, 2, 7, 47, 383, 10321919, 51011754393599, 1130138339199322632554990773529330319359999999, 73562883979319395645666688474019139929848516028923903999999999