质数，亦名 素数，貭数，質數，primus，是指仅能被1、自身整除的数。

十二进制中，1000内的质数有

2, 3, 5, 7, #, 11, 15, 17, 1#, 25, 27, 31, 35, 37, 3#, 45, 4#, 51, 57, 5#, 61, 67, 6#, 75, 81, 85, 87, 8#, 91, 95, ∗7, ∗#, #5, #7, 105, 107, 111, 117, 11#, 125, 12#, 131, 13#, 141, 145, 147, 157, 167, 16#, 171, 175, 17#, 181, 18#, 195, 19#, 1∗5, 1∗7, 1#1, 1#5, 1#7, 205, 217, 21#, 221, 225, 237, 241, 24#, 251, 255, 25#, 267, 271, 277, 27#, 285, 291, 295, 2∗1, 2∗#, 2#1, 2##, 301, 307, 30#, 315, 321, 325, 327, 32#, 33#, 347, 34#, 357, 35#, 365, 375, 377, 391, 397, 3∗5, 3∗#, 3#5, 3#7, 401, 40#, 415, 41#, 421, 427, 431, 435, 437, 447, 455, 457, 45#, 465, 46#, 471, 481, 485, 48#, 497, 4∗5, 4#1, 4##, 507, 511, 517, 51#, 527, 531, 535, 541, 545, 557, 565, 575, 577, 585, 587, 58#, 591, 59#, 5#1, 5#5, 5#7, 5##, 611, 615, 617, 61#, 637, 63#, 647, 655, 661, 665, 66#, 675, 687, 68#, 695, 69#, 6∗7, 6#1, 701, 705, 70#, 711, 71#, 721, 727, 735, 737, 745, 747, 751, 767, 76#, 771, 775, 77#, 785, 791, 797, 7∗1, 7##, 801, 80#, 817, 825, 82#, 835, 841, 851, 855, 85#, 865, 867, 871, 881, 88#, 8∗5, 8∗7, 8∗#, 8#5, 8#7, 901, 905, 907, 90#, 91#, 921, 927, 955, 95#, 965, 971, 987, 995, 9∗7, 9∗#, 9#1, 9#5, 9##, ∗07, ∗0#, ∗11, ∗17, ∗27, ∗35, ∗37, ∗3#, ∗41, ∗45, ∗4#, ∗5#, ∗6#, ∗77, ∗87, ∗91, ∗95, ∗9#, ∗∗7, ∗∗#, ∗#7, ∗##, #11, #15, #1#, #21, #25, #2#, #31, #37, #45, #61, #67, #6#, #71, #91, #95, #97, #∗5, ##5, ##7

可以看到，只有2、3是特殊的质数。十二进制中，其他质数均结尾于1, 5, 7, #。也就是几乎全部质数相邻于6n。

正整数必定能表示成质数的自然数幂

$1=\mathrm{p}^{0}$

$9=3^{2}$

$12=2^{2}3^{1}$

$55=5^{1}11^{1}$

$66=2^{1}3^{1}11^{1}$

正有理数必定能表示成质数的整数幂

$\frac{11}{12}=2^{-2}3^{-1}11^{1}$

$\frac{2}{3}=2^{1}3^{-1}$

$\frac{9}{8}=2^{-3}3^{2}$

部分代数数也可以有有理数次幂的质数分解

$2\sqrt{3}=2^{1}3^{\frac{1}{2}}$

$\sqrt[3]{2}=2^{\frac{1}{3}}$

比黎曼猜想更强的猜想

$\mathrm{\sqrt[n]{p(n)}>\sqrt[n+1]{p(n+1)}}$

亦即

$\mathrm{[p(n)]^{n^{-1}}>[p(n+1)]^{(n+1)^{-1}}}$

$2>\sqrt{3}>\sqrt[3]{5}>\sqrt[4]{7}>\sqrt[5]{11}>\mathrm{etc}$

$2>3^{\frac{1}{2}}>5^{\frac{1}{3}}>7^{\frac{1}{4}}>11^{\frac{1}{5}}>\mathrm{etc}$

$2^{1^{-1}}>3^{2^{-1}}>5^{3^{-1}}>7^{4^{-1}}>11^{5^{-1}}>\mathrm{etc}$

质数亦与其他数学问题密切相关

哥德巴赫猜想

不可及数

黎曼猜想

亏数、完美数、过剩数

孤独数与友谊数

考拉兹猜想

通过尤拉乘积可以证明质数无穷多

对于n≥2的自然数，其最少拥有一个质数因子，所以两个相邻数字n与(n+1)必定没有共同因子，而乘积n(n+1)的质因子必定多于n，这样就组成了一个ㇷ゚ロニㇰ数列形成的迭代数列：

$\mathrm{a_{n+1}=a_{n}(a_{n}+1)}$

随着n的增加，aₙ的质因数的分解会急剧增加，且对于aₙ，其质因数的数目必定大于等于(n−1)，n趋于无穷大时，aₙ至少有(∞−1)=∞个质因子，所以质数有无穷个。

迭代数列的aₙ趋于∞时的质因子也会组成以下数列：

可以看出，刚才所用的数列，即使是趋于∞，其质因子也没有5、11等等大多数质数。可以看出质数真是无穷多。

这些质数有共同特征，也就是除了2、3，这些质数可以写成(6n+1)的形式，这也证明了形如(6n+1)的质数有无穷多。

其中，能够表示成(aₙ+1)的质数只有5个：

2, 3, 7, 43, 3263443

对于费马数(ﾌｴマ数) $\mathrm{a_{n}=2^{2^{n}}+1}$ ，其有 $\mathrm{a_{n+1}=2^{2^{n}\cdot 2}+1=(2^{2^{n}})^{2}-1+2=(a_{n}-2)a_{n}+2}$

由于费马数是奇数，所以aₙ₊₁必定与(aₙ−2)aₙ互质，也就意味着aₙ₊₁必定与aₙ互质，没有公共因子，又由于a₁=5与a₂=17互质，所以由数学归纳法可知，费马数互质，又因为n可以取到无穷大，使得aₙ可以有无穷多个，且各自没有共同的质数因子，所以质数有无穷多个。

事实上，对于费马数，其很容易就可以写成 $\mathrm{a_{n}=3a_{1}a_{2}a_{3}\cdot etc\cdot a_{n-2}a_{n-1}+2}$ ，又因为费马数是奇数，所以必定相互互质。

目前已知的费马质数仅有5个： 3, 5, 17, 257, 65537

此证明方法涉及的质数有

3, 5, 17, 257, 641, 65537, 114689, 274177, 319489, 974849, 2424833, 6700417, 13631489, 26017793, 45592577, 63766529, 167772161, 825753601, 1214251009, 6487031809, 70525124609, 190274191361, 646730219521, 2710954639361, 2748779069441, 4485296422913, 6597069766657 

假设质数有有穷个，那么将其标记为{イ, ロ, ハ, ニ, ホ, ヘ, ト, etc, セ, ス}，其必定有最大质数ス，则其乘积为 N=イロハニホヘトetcセス，对于(N+1)，其如果是合数，则无法被分解成之前假设时用的质数；如果是质数，则与假设相悖。所以质数有无穷个。

设pr(n)为质数阶乘，也就是前n个质数的乘积，比如pr(0)=1，pr(5)=2·3·5·7·11。那么对于ユㇰレイー伝ㇲ数，其数列为aₙ=pr(n)+1

其中，已知的ユㇰレイー伝ㇲ质数有

也有人认为2是欧几里得质数。

孪生质数无穷多的证明

n周围的质数出现概率为 $\mathrm{\frac{1}{\ln(n)}}$ ，所以通过微积分可知，π(x)≈li(x)。其中，π(x)是质数计数函数，是指x以内且包括x自身的质数的数目，也就是π(x)中的x每到达一个质数，π(x)就会增加1：

π(6.99)=3

π(7)=4

π(7.01)=4

π(x)相当于天花板函数的变形。

如果黎曼猜想成立，则x以内的质数满足：

li(x)−k $\mathrm{\sqrt{x}\ln(x)}$ ＜π(x)＜ li(x)+k $\mathrm{\sqrt{x}\ln(x)}$

为了方便表述，将 $\mathrm{\prod_{n=1}^{\infty}[1-\frac{1}{p(n)}]}$ 默认为 $\mathrm{\prod [1-\frac{1}{p(n)}]}$ 。

N→∞时的质数频率为

$\mathrm{\lim_{N \to \infty}F(N)}$

= $(1-\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})(1-\frac{1}{5})(1-\frac{1}{7})\cdot \mathrm{etc}$

= $\mathrm{\prod [1-\frac{1}{p(n)}]}$

= $\mathrm{\frac{1}{\prod\frac{1}{1-\frac{1}{p(n)}}}}$

=1÷ζ(1)

=1÷H(∞)

= $\frac{1}{\ln(\infty)+\gamma}$

将x代入式子可知

F(x)= $\mathrm{\frac{1}{\ln(x)}}$

也就是X周围的质数出现概率为 $\mathrm{\frac{1}{\ln(x)}}$ ，对其积分可得li(x)

利用质数可以通过星际通信来判断地外文明是否存在：

ロハホトル

イ　ロ　ハ　ニ　ホ　ヘ　ト　丌　リ　ヌ　ル　ヲ
　　ロ　ハ　　　ホ　　　ト　　　　　　　ル　　

由于大多数哺乳动物的彩色视觉只分辨黄绿色(#F3FF00～#EEFF00)与蓝紫色(#5900FF)，也就是紅緑色盲 | プロタノピア，所以在使用彩色星际通信的时候，应该注意尽可能多地使用黄色系与蓝色系的对比，或者黄绿色与蓝紫色的对比，而不是红配绿、红配蓝、粉红配蓝、粉红配青、粉红配绿、黄配绿、青配白！

这是因为，区分电子跃迁吸收光子引起的黄色大地与化学键振动吸收光子、瑞利散射引起的蓝色天空、海洋、氧气是更加基本的！而区分绿色的叶子与橙色的水果不如区分天与地更加基本。

虽然电子跃迁吸收光子引起的颜色也有蓝紫色、蓝色，比如颜料紫23，但不多见，且比容易与天空、海水的的蓝色相区分。

对大多数动物来说，在黑白灰的基础上，仅仅增对大多数动物来说，在黑白灰的基础上，仅仅增加对黄蓝的区分就够了！

或者这么说，对于大多数动物来说，区分绿、黄、橙、红之间的差异没有什么生存优势，有时甚至会因此造成生存劣势！甚至对人类来说，区分黄蓝比区分红绿更加基本！

那么，对于星际通信，如果使用彩色，那么就应该设计成这样：

$\mathrm{\color{#5900FF}{イ　ロ　ハ　ニ　ホ　ヘ　ト　丌　リ　ヌ　ル　ヲ}}$

$\mathrm{\color{#EEFF00}{　　ロ　ハ　　　ホ　　　ト　　　　　　　ル　　}}$

使用灰色并去除一些不必要的装饰可以更好地实现通信

<to bgcolor="B5BCAB"><font color="#5900FF">イ　ロ　ハ　ニ　ホ　ヘ　ト　丌　リ　ヌ　ル　ヲ</font></td>
<to bgcolor="B5BCAB"><font color="#EEFF00">　　ロ　ハ　　　ホ　　　ト　　　　　　　ル　　</font></td>

之所以不使用红色，是因为对于紅緑色盲，红色就像黑色、绿色、黄褐色一样难以分辨，更何况(且夫)红色在人类文化中常常有恶劣的意味，容易让人联想到大屠杀、残暴镇圧等等恶行。这是因为哺乳动物、人类使用血红素运输氧气，其运输效果、速率远远好于血蓝素(鲎类的血液成分)、血绿素，所以对于其他文明，如果其不是色盲的话，红色就会让他们联想起他们历史上的“文化大革命死了n亿人”、“宍泗镇圧叓件”、“开普勒_22b共产党发动迫害开普勒_22b家庭教会”等等醜恶叓件。

也就是说，即使是对于地外文明，红色也会让他们联想到镇圧，如果地外文明都是紅緑色盲的话，他们看到的就是黑色、黄褐色、“绿色”。

也就是说，红色成了被神诅咒的地狱的颜色！

由于地外文明在其历史上也会经历诸如【周厉王堵民之口】、【周幽王烽火戏诸侯】、【秦始皇焚书坑儒】、【吕后发明人彘酷刑】、【纳粹大屠杀】、【门化大镉铭】、【宍泗叓件】、【强拆】、【我爸是李刚】、【996强迫劳动式盘剥】、【互联网公司对家庭教会的镇圧】、【Keplerchat对开普勒家庭教会的迫害】、【氢化铵试题】、【铅、镉、砷等等毒元素造成的污染】等等醜事，所以星际通信有着诸多禁忌：

红色代表镇圧、迫害。另外粉红色、洋红色也是绝对的禁忌！

虽然人类需要劳动工具，但是共产党也喜欢用劳动工具作为自己的会徽以代表左派。在地球上是镰刀斧头或者镰刀锤子；但在其他星球上也可能是缝纫机、纺织机、管道、实验室物品、刀子、武器、砖头、船、罗盘等等。这些与劳动有关的器具的形状，会让他们联想起【文化大革命】、【宍泗镇圧】等等叓件。

某些形状的衣服会对他们产生恶劣联想，比如西服会让他们联想起法利赛人；短袖短裤会让他们联想起低贱市井；时尚服装会让他们联想起巴比伦大淫妇；怪异的衣服会让他们联想起不卫生。

螺旋形会让他们联想起深渊、暗礁、险流、坠落黑洞等等危险。另外螺旋的解析式也是禁忌，比如

这些形状大量出现于互联网公司等等的产品中，可能涉及【九九六强迫劳动】、【虐待劳工】，所以就是个根本禁忌。

不同文化中，同一种动物有着不同的含义；图腾涉及拜偶像；海洋生物形状比较醜陋，尤其是章鱼，全身都是圆点等等形状，更加会引起密集恐惧症。