欧几里得质数 - johanzumimvon/Johan-zumimvon-Christianity GitHub Wiki

欧几里得质数, 亦名eucleīdēs primus，ユーㇰレイー匚ーㇲ质数, ユーㇰレイー匚ーㇲㇷ゚リムㇲ, 是指属于质数的欧几里得数.

欧几里得数, ユーㇰレイー匚ース, 就是指能够表示成某个数之前全部质数之积加1的形式的数, 比如3=2+1, 7=2·3+1, 31=2·3·5+1, 211=2·3·5·7+1, 2311=2·3·5·7·11+1.

欧几里得数都是整数其形式为Eₙ=pr(n)+1，其中pr(n)是从2到第n个质数pₙ的质数阶乘，其中pr(0)=1。命名是由古希腊(コライキア)数学家欧几里德(Εὐκλείδης，ユーㇰレイー匚ーㇲ)来命名。

除了2、3，十二进制中，欧几里得数必定结尾于7；

除了2、3、7，十进制中，欧几里得数必定结尾于1。

n	aₙ
1	2
2	3
3	7
4	31
5	211
6	2311
7	30031
8	510511
9	9699691
10	223092871
11	6469693231
12	200560490131
13	7420738134811
14	304250263527211
15	13082761331670031
16	614889782588491411
17	32589158477190044731
18	1922760350154212639071
19	117288381359406970983271

这表明并非所有欧几里得数都是质数。

欧几里得数不能是平方数.

因为十二进制中，除了2、3，欧几里得数必定结尾以7，平方数则结尾于0、1、4、9。

十二进制中的欧几里得数为

n	aₙ
1	2
2	3欧几里得质数
3	7欧几里得质数
4	27欧几里得质数
5	157欧几里得质数
6	1407欧几里得质数
7	15467=4#·365
8	207527=17·81·1#1
9	32#92#7=24#·14215
∗	62868807=225·29#32#
#	130682#527=237·3#7·17987
10	32∗53376557欧几里得质数
11	9#∗23222∗9#7=131·2#0∗#·287545

质数与其对应的欧几里得质数

质数	欧几里得质数
1	2
2	3
3	7
5	31
7	211
11	2311
31	200560490131
379	pr(76)+1
1019	pr(172)+1
1021	pr(173)+1
2657	pr(385)+1
3229	pr(458)+1
4547	pr(617)+1
4787	pr(644)+1
11549	pr(1392)+1
13649	pr(1614)+1
18523	pr(2123)+1
23801	pr(2648)+1
24029	pr(2674)+1
42209	pr(4414)+1
145823	pr(13495)+1
366439	pr(31261)+1
392113	pr(33238)+1
4328927	pr(304724)+1
5256037	pr(365072)+1

其中, 379是第76个质数, 所以会出现左右不同的写法.

数学问题：是否存在无穷多个欧几里得素数?

这是一个极其重要的数学问题，因为在反证法证明质数有无穷多的时候，就创造出了欧几里得数。所以欧几里得质数是否有无穷多，则会影响到数学教学甚至整个数理化教学。如果欧几里得质数被证明数量有穷，就会有许多人因误解而指责教师：【老师你骗我！你不是用这个方法证明质数无穷吗？！】

证明

外域构造法

设全部质数为{イ, ロ, ハ, ニ, ホ, ヘ, ト, チ, リ, ヌ, ル, ヲ, etc, ス}. 其中, 由于质数的数目是无穷多的, 因此ス是所有质数中趋于无穷大的质数, 也就是 $\mathrm{ス=\lim_{n\to\infty}P_{n}}$. 设一个特殊的合数, 可以被任何一个质数整除, 记作pr(ス), pr(ス)可以被2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19等等任何质数整除. 则对于[pr(ス)+1], 其又构成了新的数且不能被之前的质数整除, 相当于构造了新的质数, 所以欧几里得质数应该有无穷多个.

对于欧几里得数[pr(n)+1], 其有

$\mathrm{pr(n)+1\approx e^{n\ln(n)}}$

这样, 由质数定理(自然数N是质数的概率为 $\mathrm{\frac{1}{\ln(N)}}$ )可知, 第N个欧几里得数是质数的概率约为 $\mathrm{\frac{1}{\ln(e^{N\ln(N)})}=\frac{1}{N\ln(N)}}$ .

那么前N个欧几里得数中的欧几里得质数的数目应该约为 $\mathrm{\int\frac{1}{N\ln(N)}dN=\ln\ln N}$ .

即使是换成阶乘质数, 也是如此, 因为阶乘的增长速度更慢.

n	截止质数	2pr(n)+1
1	1	3
2	2	5
3	3	13
4	5	61
5	7	421
6	11	4621
7	31	401120980261
8	61	2pr(18)+1
9	83	2pr(23)+1
10	101	2pr(26)+1
11	113	2pr(30)+1
12	409	2pr(80)+1
13	659	2pr(120)+1
14	857	2pr(148)+1
15	1373	2pr(220)+1
16	2711	2pr(395)+1
17	5897	2pr(776)+1
18	6869	2pr(884)+1
19	7699	2pr(977)+1
20	32983	2pr(3535)+1
22	37021	2pr(3927)+1
22	44491

利用外域构造法, 也可以得知形如 $\mathrm{[2pr(n)+1]}$的质数有无穷多.