一些曲线或者图形的最大曲率

曲率是指曲线上某一处内切圆的最大半径的倒数。这会出现于抛光领域。抛光可以使用三氧化二镨（Pr₂O₃）等等制成的砂轮。

镨钕混合物纯化的方法：

镨钕混合物可以记作Di，向DiCl₃溶液中加入过量碳酸钠溶液，生成Na₃[Di(CO₃)₃]，之后通入臭氧，会得到Pr(OH)₄沉淀，剩下的钕化合物会在溶液中，从而将镨从镨钕混合物中分离出来。为了得到高纯度的镨（比如光谱纯），这个过程可以重复多次。

镨提纯的反应式

Di³⁺+3CO₃²⁻══[Di(CO₃)₃]³⁻

2Na₃[Pr(CO₃)₃]+O₃+4H₂O ══ 2Pr(OH)₄↓+3Na₂CO₃+3CO₂+O₂

曲率

其中，曲率用符号q或者q(x)表示之，也就是

$q=\frac{|y''|}{\sqrt{[1+(y')^2]^3}}$ 或者 $q(x)=\frac{|f''(x)|}{\sqrt{[1+(f'(x))^2]^3}}$

最大曲率

对于曲线，其存在最大曲率，记作Q。

y=c

最大曲率

Q=0

限制相切圆

r(m)=∞（砂轮半径任意）

一次函数、任意直线

y=kx+h

最大曲率

Q=0

限制相切圆

r(m)=∞（砂轮半径任意）

反比例函数

y= $\frac{k}{x}$

最大曲率

Q= $\frac{1}{\sqrt{2|k|}}$

限制相切圆

r(m)= ${\sqrt{2|k|}}$

标准抛物线

$y=\frac{1}{2}x^2$

最大曲率

Q=1

限制相切圆

r(m)=1（砂轮半径最大为1，也就是直径最大为2）

一般抛物线

$y=\frac{1}{2k}(x-b)^2+h$

最大曲率

Q= $\frac{1}{|k|}$

限制相切圆

r(m)=|k|（砂轮半径最大为|k|，也就是直径最大为|2k|）

卧抛物线【y²=2kx】

对于y=√(2kx)，则有最大曲率

Q= $\frac{1}{|k|}$

限制相切圆

r(m)=|k|

y=kx³

最大曲率

Q $\approx1.762285439\sqrt{|k|}$ < $\sqrt[5]{17}$

限制相切圆

r(m) $\approx \frac{0.5674449}{\sqrt{|k|}}$

更准确的数值是

1.7622854390675951608002947

在实用工学中，可以将 $\sqrt[5]{17}$ =1.7623403478323170138610022535648699280830视为其系数。

y=kx⁴

最大曲率

Q= $2.15146952\sqrt[3]{|k|}$

限制相切圆

r(m)≈ $\frac{0.46479858}{\sqrt[3]{|k|}}$

y=kx⁵

最大曲率

Q≈ $3\sqrt[4]{|k|}$

限制内切圆

r(m)≈ $\frac{1}{3\sqrt[4]{|k|}}$

y=kx⁶

最大曲率

Q≈ $3\sqrt[5]{|k|}$

限制相切圆

r(m)≈ $\frac{1}{3\sqrt[5]{|k|}}$

指数曲线

$y=\frac{1}{k}e^{kx}$

最大曲率

Q= $\frac{2\sqrt{3}}{9}|k|$

限制相切圆

$r(m)=\frac{3\sqrt{3}}{2}÷|k|$

对数曲线

y=ln(kx)÷k

Q= $\frac{2\sqrt{3}}{9}|k|$

限制相切圆

$r(m)=\frac{3\sqrt{3}}{2}÷|k|$

悬链线

y=k cosh(x÷k)−k+h

最大曲率

Q=1÷|k|

限制相切圆

r(m)=|k|

正弦函数、馀弦函数、反正弦函数

y=sin(x)、y=cos(x)、y=arcsin(x)

最大曲率

Q=1

限制相切圆

r(m)=1

正切函数、馀切函数、反正切函数

y=tan(x)、y=cotan(x)、y=arctan(x)

最大曲率

Q=0.3707825

限制相切圆

r(m)=2.6969983

正割、馀割

y=1÷cos(x)、y=1÷sin(x)

最大曲率

Q=1.1154

限制相切圆

r(m)=0.89654＞0.8964

双曲正弦、反双曲正弦

$y=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$

$y=\ln(x+\sqrt{1+x^2})$

最大曲率

Q=0.19245

限制内切圆

r(m)=5.19615

双曲馀弦、反双曲馀弦

y=cosh(x)、y=arcosh(x)

Q=1

r(m)=1

双曲正切、反双曲正切

y=tanh(x)、y=artanh(x)

最大曲率

Q=0.507305

限制相切圆

r(m)=1.971199

y=1÷sinh(x)

最大曲率

Q=0.621635

限制内切圆

r(m)=1.608661

y=1÷cosh(x)

最大曲率

Q=1

限制内切圆

r(m)=1

y=1÷tanh(x)

最大曲率

Q=1.02313

限制内切圆

r(m)=0.97739

y=

$e^{-x^{2}}$

最大曲率

Q=2

限制内切圆

r(m)= $\frac{1}{2}$

y=cosh⁻²(x)

最大曲率

Q=2

限制内切圆

r(m)= $\frac{1}{2}$

y=

$\frac{1}{1+x^2}$

最大曲率

Q=2

限制内切圆

r(m)= $\frac{1}{2}$

y=

$\frac{1}{\ln(x)}$

最大曲率

Q=0.67265

限制内切圆

r(m)=1.48667

y=k√x³

最大曲率

Q=∞（在(0,0)处），相当于(0,0)处的内接圆半径为0（退化成一个点），该曲线形状的物体的上端的(0,0)处附近不能用砂轮打磨抛光！

限制相切圆

r(m)=0

y=li(x)

最大曲率

Q=∞

限制内切圆

r(m)=0

半圆

y=√(r²−x²)

最大曲率

Q=1÷r

限制相切圆

r(m)=r

圆

(x−a)²+(y−b)²=r²

最大曲率

Q=1÷r

限制相切圆

r(m)=r

y=|x|

最大曲率

Q=∞，(0,0)处上端无法被打磨抛光。

限制相切圆

r(m)=0

y=sgn(x)

最大曲率

Q=∞

限制相切圆

r(m)=0

摆线

x=r(t−sin t)

y=r(1−cos t)

最大曲率

Q=∞，(0,0)处下端无法被打磨抛光。

限制相切圆

r(m)=0

等角螺线

r(s)=ceᵏˢ

也可以写作

r=ceᵏˢ

最大曲率

Q=∞，(0,0)处附近无法被加工

限制相切圆

r(m)=0

正方形■

∑=a²

最大曲率

Q=∞，正方形内侧无法被完全抛光

限制相切圆

r(m)=0

矩形

∑=ab

最大曲率

Q=∞，矩形内侧无法被完全抛光

限制相切圆

r(m)=0

平行四边形

∑=ah

最大曲率

Q=∞，平行四边形内侧无法被完全抛光

限制相切圆

r(m)=0

三角形

∑= $\frac{1}{2}ah$ =ah÷2

最大曲率

Q=∞，三角形内侧无法被完全抛光

限制相切圆

r(m)=0

梯形

∑=(a+b)h÷2

最大曲率

Q=∞，梯形内侧无法被完全抛光

限制相切圆

r(m)=0

圆面积

∑=πr²=πd²÷4

最大曲率

Q=1÷r

限制相切圆

r(m)=r

挖去四分之一圆的面积

∑=(1−π÷4)

最大曲率

Q=∞，挖去四分之一圆的面积的内侧无法被完全抛光

限制相切圆

r(m)=0

圆叶的面积

∑=[π÷2−1]a²

最大曲率

Q=∞，圆叶内侧无法被完全抛光

限制相切圆

r(m)=0

反函数列表（イㇴヲーㇲー函数列表，list of inverse function，イㇴヲーㇲーハㇺスー）

y=x

反函数

y=x

y=a−x

反函数

y=a−x

y=k÷x

反函数

y=k÷x

y=x+h

反函数

y=x−h

y=kx

反函数

y=x÷k

y=xⁿ

反函数（广义）

y=ⁿ√x

y=eˣ

反函数

y=ln(x)

y=sin(x)

反函数（广义）

y=arcsin(x)

y=tan(x)

反函数（广义）

y=arctan(x)

y=xeˣ

反函数

y=W(x) ラㇺポーㇳ双乌函数

y=sinh(x)

反函数

$y=\ln(x+\sqrt{1+x^2})$

导函数的推广形式

导函数就是 lim_{Δx→0} $\frac{ [f(x+\Delta x)−f(x)]}{\Delta x}$ ，记作f'(x)或者y'

类比可以得到导增长率函数（导倍函数）

lim_{Δx→0} $\frac{ [\frac{f(x+\Delta x)}{f(x)}−1]}{\Delta x}$ ，记作fr(x)

一些函数的导增长率函数(导倍函数)

f(x)=c

fr(x)=0

f(x)=kx

fr(x)=1÷x

f(x)=kxⁿ

fr(x)=n÷x

f(x)=k√x

fr(x)=1÷(2x)

f(x)=³√x

fr(x)=1÷(3x)

f(x)=ⁿ√x

fr(x)=1÷(nx)

f(x)=keˣ

fr(x)=1

f(x)=eᵏˣ

fr(x)=k

f(x)=aˣ

fr(x)=ln a

f(x)=ln(x)

fr(x)=1÷[x ln(x)]

f(x)=sin(x)

fr(x)=cot(x)

f(x)=−sin(x)

fr(x)=cot(x)

f(x)=cos(x)

fr(x)=−tan(x)

f(x)=−cos(x)

fr(x)=−tan(x)

f(x)=sec(x)=1÷cos(x)

fr(x)=tan(x)

f(x)=csc(x)

fr(x)=−cot(x)

f(x)=sinh(x)

fr(x)=1÷tanh(x)

f(x)=cosh(x)

fr(x)=tanh(x)

f(x)=1÷x

fr(x)=−1÷x

f(x)=−1÷x

fr(x)=−1÷x

f(x)=xˣ

fr(x)=ln(x)+1

f(x)=e^e^x

fr(x)=eˣ

f(x)=xeˣ

fr(x)= $\frac{1}{x}+1$

导指函数

lim_{Δx→0} $\frac{[\frac{\ln[f(x+\Delta x)]}{\ln[f(x)]}−1]}{\Delta x}$ ，记作fp(x)

一些函数的导指函数

f(x)=c

fp(x)=0

f(x)=xᵃ

fp(x)= $\frac{1}{x\ln(x)}$

f(x)=eᵏˣ

fp(x)=1÷x

f(x)=aˣ

fp(x)=1÷x

f(x)=e^e^x

fp(x)=1

f(x)=e^e^(kx)

fp(x)=k

f(x)=e^e^e^(x)

fp(x)=eˣ

台的体积、面积

圆台

其中【R】是指底面半径，【r】是指顶面半径。

侧面积

$\Sigma=\pi(R+r)l=\pi(R+r)\sqrt{(R-r)^2+h^2}$

表面积

$\Sigma=\pi[(R+r)l+R^2+r^2]$

体积

$V=\frac{\pi h}{3}(R^2+r^2+Rr)$

棱台

其中，∑₂是底面面积，∑₁是顶面面积；L是底面边长，l是顶面边长。

体积

$V=\frac{h}{3}(\Sigma_2+\Sigma_1+\sqrt{\Sigma_2 \Sigma_1})$

正方棱台体积

$V=\frac{h}{3}(L^2+l^2+Ll)$

球缺体积公式

$V=\frac{\pi h^2}{3}(3r-h)$

其中，r是原球体的半径，h是球缺的高

弓形面积

$\Sigma=r^2\arcsin(\frac{x}{r}-1)-\sqrt{x(2r-x)}(r-x)+\frac{\pi r^2}{2}$