数列相邻项之比的极限值 - johanzumimvon/Johan-zumimvon-Christianity GitHub Wiki
φ
斐波那契数列（ﾌｲボナチ数列）
a₁=1
a₂=1
aₙ=aₙ₋₂+aₙ₋₁
求证，随着n趋于无穷大， $\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\phi$
证明
n趋于无穷大时，设aₙ=x²，aₙ₋₁=x，aₙ₋₂=1，则有：
aₙ=aₙ₋₂+aₙ₋₁
x²=1+x
x²−x−1=0
x= $\frac{1+\sqrt{1+4}}{2}$
也就是φ= $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
对于卢卡斯数列，这个趋势也是成立的。
卢卡斯数列（ルカㇲ数列）
a₁=2
a₂=1
aₙ=aₙ₋₂+aₙ₋₁
$\sqrt{2}$
2_佩尔数列（2_ペㇾ数列）
a₁=1
a₂=2
aₙ=aₙ₋₂+2aₙ₋₁
求证，随着n趋于无穷大， $\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=1+\sqrt{2}$
证明
n趋于无穷大时，设aₙ=x²，aₙ₋₁=x，aₙ₋₂=1，则有：
aₙ=aₙ₋₂+2aₙ₋₁
x²=1+2x
x²−2x−1=0
x= $\frac{2+\sqrt{4+4}}{2}$
也就是 $1+\sqrt{2}$
ρ
巴都万数列（パ土ワㇴ数列）
a₁=1
a₂=1
a₃=1
aₙ=aₙ₋₃+aₙ₋₂
求证，随着n趋于无穷大， $\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\rho$
其中，ρ是塑胶数，也就是三次方程x³−x−1=0的根
证明
n趋于无穷大时，设aₙ=x³，aₙ₋₂=x，aₙ₋₃=1，则有：
aₙ=aₙ₋₃+aₙ₋₂
x³=1+x
x³−x−1=0
x=ρ=[x|1,0,−1,−1]（一种表示方程根的方法）
其他的佩尔数列
$\sqrt{2}$
$\sqrt{2}$
=[1;2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,トラ]
=[1;2,トラ]
循环节为2
对应佩尔数列（2_ペㇾ数列）
a₀=0
a₁=1
a₂=2
aₙ=2aₙ₋₁+aₙ₋₂
$\sqrt{2}\approx\mathrm{\frac{a_{n}}{a_{n−1}}−1}$
$\sqrt{3}$
$\sqrt{3}$
=[1;1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,トラ]
=[1;1,2,トラ]
循环节是1,2
对应佩尔数列（3_ペㇾ数列）
a₀=0
a₁=1
a₂=2
a₃=3
aₙ=2aₙ₋₁+aₙ₋₂（n为偶数，n=2k）
aₙ=aₙ₋₁+aₙ₋₂（n为奇数，n=2k+1）
得到数列（3的ペㇾ数列）
1,2,3,8,11,30,41,112,153,418,571,1560,2131,5822, トラ
A048788
$\sqrt{3}\approx\mathrm{\frac{a_{2n}}{a_{2n−1}}−1}$
$\sqrt{4}$
$\sqrt{4}$ =2 平方数开方就是简单
$\sqrt{5}$
$\sqrt{5}$
=[2;4,4,4,4,4,4,4,4,トラ]
=[2;4,トラ]
对应佩尔数列（5_ペㇾ数列）
a₀=0
a₁=1
a₂=4
a₃=17
aₙ=4aₙ₋₁+aₙ₋₂
得到数列（5的ペㇾ数列）
0,1,4,17,72,305,1292,5473,23184,98209,416020,1762289,7465176
A001076
$\sqrt{5}\approx\mathrm{\frac{a_{n}}{a_{n−1}}−2}$
$\sqrt{6}$
$\sqrt{6}$
=[2;2,4,2,4,2,4,2,4,2,4,トラ]
=[2;2,4,トラ]
循环节是2,4
6_ペㇾ
a₀=0
a₁=1
a₂=4
a₃=9
aₙ=4aₙ₋₁+aₙ₋₂（n为偶数，n=2k）
aₙ=2aₙ₋₁+aₙ₋₂（n为奇数，n=2k+1）
得到数列（6的ペㇾ数列）
1, 4, 9, 40, 89, 396, 881, 3920, 8721, 38804, 86329, 384120, 854569, 3802396, 8459361, 37639840, 83739041, 372596004,トラ
$\sqrt{6}\approx\mathrm{\frac{a_{2n}}{a_{2n−1}}−2}$
$\sqrt{7}$
$\sqrt{7}$ =[2;1,1,1,4トラ]
循环节是1,1,1,4
7_ペㇾ
a₀=0
a₁=1
a₂=1
a₃=2
a₄=9
aₙ=aₙ₋₁+aₙ₋₂（n为偶数，n=4k+1）
aₙ=aₙ₋₁+aₙ₋₂（n为奇数，n=4k+2）
aₙ=aₙ₋₁+aₙ₋₂（n为偶数，n=4k+3）
aₙ=4aₙ₋₁+aₙ₋₂（n为奇数，n=4k）
得到数列（7的ペㇾ数列）
1,1,2,9,11,20,31,144,175,319,494,2295,トラ
OEIS没有收录这个数列
$\sqrt{7}\approx\mathrm{\frac{a_{4n}}{a_{4n−1}}−2}$
$\sqrt{8}$
$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$
$\sqrt{9}$
$\sqrt{9}=3$
其他ペㇾ
$\sqrt{10}$
$\sqrt{10}$ =[3;6,トラ]
$\sqrt{11}$
$\sqrt{11}$ =[3;3,6,トラ]
$\sqrt{12}$
$\sqrt{12}$ =[3;2,6,トラ]
$\sqrt{13}$
$\sqrt{13}$ =[3;1,1,1,1,6,トラ]
$\sqrt{14}$
$\sqrt{14}$ =[3;1,2,1,6,トラ]
$\sqrt{15}$
$\sqrt{15}$ =[3;1,6,トラ]
$\sqrt{16}$
$\sqrt{16}=4$
$\sqrt{17}$
$\sqrt{17}$ =[4;8,トラ]
$\sqrt{18}$
$\sqrt{18}$ =[4;4,8,トラ]
$\sqrt{19}$
$\sqrt{19}$ =[4;2,1,3,1,2,8,トラ]
$\sqrt{20}$
$\sqrt{20}$ =[4;2,8,トラ]
$\sqrt{36}$
$\sqrt{36}=6$
$\sqrt{37}$
$\sqrt{37}$ =[6;12,トラ]
$\sqrt{38}$
$\sqrt{38}$ =[6;6,12,トラ]
$\sqrt{39}$
$\sqrt{39}$ =[6;4,12,トラ]
$\sqrt{40}$
$\sqrt{40}$ =[6;4,12,トラ]
$\sqrt{42}$
$\sqrt{42}$ =[6;3,12,トラ]
$\sqrt{48}$
$\sqrt{48}$ =[6;1,12,トラ]
$\sqrt{\mathrm{n^{2}+2n}}$
$\sqrt{\mathrm{n^{2}+2n}}$ =[n;1,2n,トラ]
$\sqrt{\mathrm{n^{2}+1}}$
$\sqrt{\mathrm{n^{2}+1}}$ =[n;2n,トラ]
$\sqrt{\mathrm{n^{2}+2}}$
$\sqrt{\mathrm{n^{2}+2}}$ =[n;n,2n,トラ]
其实，我最近发明了一个近似值，其有
ln(12)≈ $\frac{82}{33}$
有些类似于圆周率的密率 $\frac{355}{113}$ 。
巴都万数列（パ土ワㇴ数列）
a₁=1
a₂=1
a₃=1
aₙ=aₙ₋₂+aₙ₋₃
1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, 21, 28, 37, 49, 65, 86, 114, 151, 200, 265, 351, 465, 616, 816, 1081, 1432, 1897, 2513, 3329, 4410, 5842, 7739, 10252, 13581, 17991, 23833, 31572, 41824, 55405, 73396, 97229, 128801, 170625
ρ(塑胶数)≈ $\mathrm{\frac{a_{n}}{a_{n-1}}}$ （n越大则越精确）
塑胶数ρ是三次方程x³−x−1=0的解。
也就是ρ=[x|1,0,−1,−1]（一种表示方程根的方法）
附录
$\sqrt{x}$ 的连分数的列表
$\sqrt{0}$ =0
$\sqrt{1}$ =1
$\sqrt{2}$ =[1;2,トラ]
$\sqrt{3}$ =[1;1,2,トラ]
$\sqrt{4}$ =2
$\sqrt{5}$ =[2;4,トラ]
$\sqrt{6}$ =[2;2,4,トラ]
$\sqrt{7}$ =[2;1,1,1,4,トラ]
$\sqrt{8}$ =[2;1,4,トラ]
$\sqrt{9}$ =3
$\sqrt{10}$ =[3;6,トラ]
$\sqrt{11}$ =[3;3,6,トラ]
$\sqrt{12}$ =[3;2,6,トラ]
$\sqrt{13}$ =[3;1,1,1,1,6,トラ]
$\sqrt{14}$ =[3;1,2,1,6,トラ]
$\sqrt{15}$ =[3;1,6,トラ]
$\sqrt{16}$ =4
$\sqrt{17}$ =[4;8,トラ]
$\sqrt{18}$ =[4;4,8,トラ]
$\sqrt{19}$ =[4;2,1,3,1,2,8,トラ]
$\sqrt{20}$ =[4;2,8,トラ]
$\sqrt{29}=2\sqrt{5}$
$\sqrt{21}$ =[4;1,1,2,1,1,8,トラ]
$\sqrt{22}$ =[4;1,2,4,2,1,8,トラ]
$\sqrt{23}$ =[4;1,3,1,8,トラ]
$\sqrt{24}$ =[4;1,8,トラ]
$\sqrt{25}$ =5
$\sqrt{26}$ =[5;10,トラ]
十二进制是[5;*,トラ]
$\sqrt{27}$ =[5;5,10,トラ]
$\sqrt{28}$ =[5;3,2,3,10,トラ]
$\sqrt{28}=2\sqrt{7}$
$\sqrt{29}$ =[5;2,1,1,2,10,トラ]
$\sqrt{30}$ =[5;2,10,トラ]
$\sqrt{31}$ =[5;1,1,3,5,3,1,1,10,トラ]
$\sqrt{32}$ =[5;1,1,1,10,トラ]
$\sqrt{33}$ =[5;1,2,1,10,トラ]
$\sqrt{34}$ =[5;1,4,1,10,トラ]
$\sqrt{35}$ =[5;1,10,トラ]
$\sqrt{36}$ =6
$\sqrt{37}$ =[6;12,トラ]
十二进制是[6;10,トラ]
$\sqrt{38}$ =[6;6,12,トラ]
$\sqrt{39}$ =[6;4,12,トラ]
$\sqrt{40}$ =[6;3,12,トラ]
$\sqrt{40}=2\sqrt{10}$
$\sqrt{41}$ =[6;2,2,12,トラ]
$\sqrt{42}$ =[6;2,12,トラ]
$\sqrt{43}$ =[6;1,1,3,1,5,1,3,1,1,12,トラ]
$\sqrt{44}$ =[6;1,1,1,2,1,1,1,12,トラ]
$\sqrt{44}=2\sqrt{11}$
$\sqrt{45}$ =[6;1,2,2,2,1,12,トラ]
$\sqrt{45}=3\sqrt{5}$
$\sqrt{46}$ =[6;1,3,1,1,2,6,2,1,1,3,1,12,トラ]
$\sqrt{47}$ =[6;1,5,1,12,トラ]
$\sqrt{48}$ =[6;1,12,トラ]
$\sqrt{49}$ =7
$\sqrt{59}$ =[7;14,トラ]
十二进制是[7;12,トラ]
$\sqrt{51}$ =[7;7,14,トラ]
$\sqrt{52}$ =[7;4,1,2,1,4,14,トラ]
$\sqrt{52}=2\sqrt{13}$
$\sqrt{53}$ =[7;3,1,1,3,14,トラ]
$\sqrt{54}$ =[7;2,1,6,1,2,14,トラ]
$\sqrt{55}$ =[7;2,2,2,14,トラ]
$\sqrt{56}$ =[7;2,14,トラ]
$\sqrt{57}$ =[7;1,1,4,1,1,14,トラ]
$\sqrt{58}$ =[7;1,1,1,1,1,1,14,トラ]
$\sqrt{59}$ =[7;1,2,7,2,1,14,トラ]
$\sqrt{60}$ =[7;1,2,1,14,トラ]
$\sqrt{60}=2\sqrt{15}$
$\sqrt{61}$ =[7;1,4,3,1,2,2,1,3,4,1,14,トラ]
$\sqrt{62}$ =[7;1,6,1,14,トラ]
$\sqrt{63}$ =[7;1,14,トラ]
$\sqrt{64}$ =8
$\sqrt{65}$ =[8;16,トラ]
$\sqrt{66}$ =[8;8,16,トラ]
$\sqrt{68}$ =[8;4,16,トラ]
$\sqrt{72}$ =[8;2,16,トラ]
$\sqrt{99}$ =[9;1,18トラ]
$\sqrt{11}=\frac{1}{3}\sqrt{99}$
$\sqrt{98}$ =[9;1,8,1,18,トラ]
$\sqrt{96}$ =[9;1,3,1,18,トラ]
$\sqrt{143}$ =[11;1,22,トラ]
$\sqrt{142}$ =[11;1,10,1,22,トラ]
$\sqrt{140}$ =[11;1,4,1,22,トラ]
$\sqrt{136}$ =[11;1,1,1,22,トラ]